ОГЛАВЛЕНИЕ

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с.
Книга предназначена для начального ознакомления с основами теории
вероятностей и математической статистики и развития навыков решения
практических задач.
Основное внимание уделяется краткости изложения полного курса «Теории
вероятностей и математической статистики», состоящего из теоретического и
практического материала. Структура изложения максимально приближена к
лекционным и практическим занятиям. Пособие может одновременно играть роль
учебника, задачника и справочника.
Для преподавателей ВУЗов, инженеров и студентов технических и
экономических специальностей.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора 6
Предисловие 7
Список основных сокращений и обозначений 10
Глава I. Случайные события 13
§ 1. Основные понятия 13
1.1. Пространство элементарных событий (13). 1.2. Алгебра событий
(14). 1.3. Вероятность события (15).
§ 2. Основные свойства вероятности 17
2.1. Аксиоматические свойства (17). 2.2. Свойства вероятности для
полной группы событий (19). 2.3. Типовые задачи (21).
§ 3. Основные формулы вычисления вероятностей 30
3.1. Формула умножения вероятностей (30). 3.2. Формула сложения
вероятностей (32). 3.3. Формула полной вероятности (33). 3.4.
Формула Байеса (33). 3.5. Формула Бернулли (34). 3.6. Типовые
задачи (35).
§ 4. Задачи для самостоятельного решения 42
Глава II. Случайные величины 53
§ 5. Основные понятия 53
5.1. Функция распределения (53). 5.2. Дискретные случайные
величины (54). 5.3. Непрерывные случайные величины (56). 5.4.
Числовые характеристики случайных величин (58). 5.5.
Характеристическая функция (61). 5.6. Квантиль (62). 5.7. Типовые
задачи (63).
§ 6. Основные дискретные распределения 68
6.1. Биномиальное распределение (68). 6.2. Распределение Бернулли
(70). 6.3. Распределение Пуассона (71). 6.4. Типовые задачи (73).
§ 7. Основные непрерывные распределения 76
7.1. Равномерное распределение (76). 7.2. Экспоненциальное
распределение (78). 7.3. Нормальное распределение (79). 7.4.
Распределение Вейбулла (82). 7.5. Логарифмически нормальное
распределение (83). 7.6. Типовые задачи (84).
§ 8. Задачи для самостоятельного решения 87
Глава III. Случайные векторы 93
§ 9. Двумерные случайные величины 93
9.1. Функция распределения (93). 9.2. Плотность распределения (96).
9.3. Типовые задачи (99).
§ 10. Условные распределения 105
10.1. Условная функция распределения (105). 10.2. Условная
плотность распределения (107). 10.3. Условное математическое
ожидание (109). 10.4. Корреляционная зависимость (111). 10.5.
Двумерное нормальное распределение (113). 10.6. Типовые задачи
(114).
§ 11. Многомерные случайные величины 119
11.1. Основные характеристики многомерных СВ (119). 11.2.
Многомерное нормальное распределение (122). 11.3. Биржевой
парадокс (123). 11.4. Типовые задачи (125).
§ 12. Задачи для самостоятельного решения 128
Глава IV. Случайные последовательности 132
§ 13. Закон больших чисел 132
13.1. Виды сходимости последовательностей СВ (132). 13.2.
Сходимость усредненной суммы независимых СВ (135). 13.3.
Типовые задачи (138).
§ 14. Центральная предельная теорема 141
14.1. Сходимость нормированной суммы независимых СВ (141). 14.2.
Сходимость частоты (144). 14.3. Типовые задачи (146).
§ 15. Задачи для самостоятельного решения 149
Глава V. Математическая статистика 152
§ 16. Основные выборочные характеристики 152
16.1. Основные понятия (152). 16.2. Вариационный ряд (153). 16.3.
Выборочная функция распределения (154). 16.4. Гистограмма (156).
16.5. Выборочные моменты (157). 16.6. Типовые задачи (159).
§ 17. Основные распределения в статистике 161
17.1. Распределение хи-квадрат (161). 17.2. Распределение Стьюдента
(162). 17.3. Распределение Фишера (164).
§ 18. Точечные оценки 165
18.1. Основные понятия (165). 18.2. Метод максимального
правдоподобия (169). 18.3. Метод моментов (172).
§ 19. Интервальные оценки 173
19.1. Основные понятия (173). 19.2. Использование центральной
статистики (174). 19.3. Использование точечной оценки (180). 19.4.
Типовые задачи (182).
§ 20. Проверка статистических гипотез 183
20.1. Основные понятия (183). 20.2. Проверка гипотезы о значении
параметра (185). 20.3. Проверка гипотезы о виде закона распределения
(186). 20.4. Проверка гипотезы о независимости двух СВ (188). 20.5.
Проверка гипотезы об однородности наблюдений (189). 20.6. Типовые
задачи (190).
§ 21. Задачи для самостоятельного решения 196
Глава VI. Приложения математической статистики 198
§ 22. Регрессионный анализ 198
22.1. Модели регрессии (198). 22.2. Схема Гаусса-Маркова (199). 22.3.
Простая линейная регрессия (201). 22.4. Типовые задачи (204).
§ 23. Метод статистических испытаний 205
23.1. Основные понятия (205). 23.2. Вычисление вероятности события
(205). 23.3. Вычисление определенного интеграла (208). 23.4. Типовые
задачи (211).
§ 24. Задачи для самостоятельного решения 212
Ответы 213
Таблицы 216
Список литературы 219
Предметный указатель 221
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиомы теории вероятностей 16 Группировка выборки 156
Алгебра Буля 15 Диаграммы Венна 14
— событий 15 Дисперсия выборочная 157
Биржевой парадокс 124 — — несмещенная 158
Вероятность доверительная 174 — случайной величины 59
— события 16 Доверительная область 183
— — апостериорная 34 Доверительный интервал 174
— — априорная 33 — — право (лево) сторонний 174
— — условная 19 — — центральный 174
Выборка неоднородная 152 Закон больших чисел 135
— однородная 152 — — — усиленный 136
Выборочная дисперсия 157 — распределения СВ 53
— квантиль 154 Информация Фишера 167
Выборочное среднее 157 Квантиль 62
Выборочные начальные и — выборочная 154
центральные моменты 157 Ковариация 111
Гамма-функция 83 Коэффициент корреляции 111
Гипотеза 19 — — выборочный 158
— о виде закона распределения 186 Кривая Гаусса 77
— — значении параметра 185 — регрессии 109
— — независимости 188 Кривые Пирсона 161
— об однородности 189 — Стьюдента 163
— статистическая 183 — Фишера 164
Гистограмма 156 Критерий статистический 183
Группа событий полная 19 — хи-квадрат (Пирсона) 186, 188,
189 — точечная (выборочная) 165
— эффективности 168 — эффективная 166
Критическая область 183 — R-эффективная 168
Линия регрессии 204 Ошибка 1-го (2-го) рода 184
ММ-оценка 172 — предсказания
МНК-оценка 199, 202 среднеквадратическая 203
МП-оценка 169 План эксперимента 198
Математическое ожидание СВ 58 Плотность распределения
— — условное 109, 110 (вероятности) двумерной СВ 96
— — n-мерной СВ 119 — — двумерной нормально
Матрица ковариационная 119 распределенной СВ 113
— корреляционная 120 — — случайной величины 56
— ортогональная 175 — — условная 107
— плана 199 — — n-мерной СВ 119
— регрессионная 199 Полигон частот 157
Медиана 62 Поправки Шеппарда 188
Метод максимального Порядковая статистика 153
правдоподобия 170 — экстремальная 153
— моментов 172 Правило « k сигм» 82
— наименьших квадратов 199, 202 Пространство выборочное 152
— статистических испытаний — элементарных событий 13
(Монте-Карло) 205 Прямая среднеквадратической
Многоугольник распределения 55 регрессии 204
Моменты случайной величины Разряд 156
начальные 59 Распределение Бернулли 70
— — — — выборочные 157 — Вейбулла 82
— — — центральные 59 — Коши 163
— — — — выборочные 157 — Пуассона 71
Неравенство Рао-Крамера 168 — Стьюдента 162
— Чебышева 134 — Фишера 164
Область доверительная 183 — биномиальное 68
— критическая 183 — логнормальное 83
Опыт 13 — нормальное (гауссовское) 79
— сводящийся к схеме случаев 19 — равномерное 76
Отклик 198 — треугольное (Симпсона) 99
Оценка интервальная 174 — хи-квадрат 161
— максимального правдоподобия — экспоненциальное 78
169 Реализация выборки 152
— метода моментов 172 — случайной величины 53
— — наименьших квадратов 199, 202 Регрессия 109
— несмещенная 165 — параболическая 200
— робастная 203 — простая линейная 201
— состоятельная 166 Регрессор 198
— — сильно 166 Решающее правило 183
Ряд вариационный 153 — элементарное 13
— распределения 54 Событий произведение 14
— статистический 156 — разность 14
Свойство счетной аддитивности — сумма 14
вероятности 32 События независимые 30
— устойчивости частоты 13, 16 — — в совокупности 30
Система уравнений метода моментов — — попарно 30
172 — несовместные 14
—— — правдоподобия 170 — равные 14
Случай 19 Среднее выборочное 157
— благоприятствующий событию 19 — значение СВ 58
Случайная величина 53 — квадратическое отклонение СВ 59
— — абсолютно непрерывная 56 Статистика 153
— — двумерная 93 — порядковая 153
— — — дискретная 95 — — экстремальная 153
— — — непрерывная 96 — центральная 174
— — дискретная 54 Статистическая гипотеза 183
— — непрерывная 56 — — альтернативная 183
— — нормальная (гауссовская) 79 — — основная 183
— — — стандартная 80 — — простая 183
— — нормированная 59 — — сложная 183
— — сингулярная 56 Статистическая модель 153
— — центрированная 59 — — параметрическая 153
— — n-мерная 119 — — — регулярная 167
— — — нормально распределенная Статистический критерий 183
122 Схема Бернулли 33
Случайная последовательность 135 — Гаусса-Маркова 199
— — независимых СВ 131 Сходимость случайной
Случайные величины последовательности в среднем
коррелированные 111 квадратическом 134
— — —отрицательно 112 — — — по вероятности 133
— — — положительно 112 — — — — распределению 132
— — независимые 95, 120 — — — почти наверное 133
— — некоррелированные 111 Теорема Бернулли 137
— — — попарно 120 — Гаусса-Маркова 199
Случайный вектор 93 — Гливенко-Кантелли 155
Событие 13, 16 — Колмогорова 137
— достоверное 14 — Ляпунова 142
— невозможное 13 — Муавра-Лапласа 144
— почти никогда не происходящее — — интегральная 145
17 — — локальная 145
— происходящее почти наверное 17 — Пуассона 72
— противоположное 14 — Фишера 176
— случайное 13, 16 — Чебышева 136
— о нормальной корреляции 114 Функция Лапласа 80
— центральная предельная 141 — единичная ступенчатая
Уровень доверия 174 (Хевисайда) 55
— значимости 184 — правдоподобия 166
— надежности 174 — — логарифмическая 167
Условие Ляпунова 141 — распределения
— независимости 72 — — выборочная (эмпирическая) 155
— нормировки 55, 56, 95 — — двумерной СВ 93
— ординарности 72 — — случайной величины 53
— стационарности 72 — — условная 105
Условная плотность распределения — — n -мерной СВ 119
(вероятности) 107 — теоретической регрессии 198
— функция распределения 105 — характеристическая 61
Формула Байеса 34 Центральная предельная теорема 141
— Бернулли 34 Частота события 15
— классическая вычисления — «успехов» 137, 144
вероятности 20 Число испытаний гарантирующее
— полного математического 206
ожидания 110 — перестановок 23
— полной вероятности 33 — сочетаний 28
?-алгебра 16
— свертки плотностей 98
— сложения вероятностей 32
— умножения вероятностей 30



ОГЛАВЛЕНИЕ