<< . .

. 52
( : 58)



. . >>

(7.74)
For the odd conservation laws and the associated odd nonlocal variables
we derived the following results.
1. At degree 1/2 we have the variables q 1 ,1 , q 1 ,2 , q 1 ,3 , and q 1 ,4 , de¬ned
2 2 2 2
by the relations
(q 1 ,1 )x = •,
2

(q 1 ,1 )t = ’•2 ’ 3ψ1 w + 3•u + 3•w 2 ;
2


(q 1 ,2 )x = ψ,
2

(q 1 ,2 )t = ’ψ2 + 3•1 w + 3ψu + 3ψw 2 ;
2


(q 1 ,3 )x = cos(2p0,1 )q 1 ,1 w + sin(2p0,1 )q 1 ,2 w,
2 2 2

(q 1 ,3 )t = cos(2p0,1 )(3q 1 ,1 uw + q 1 ,1 w ’ q 1 ,1 w2 ’ •1 w ’ ψw2 + •w1 )
3
2 2 2 2
4. SUPERSYMMETRIC EXTENSIONS OF THE KDV EQUATION, N = 2 339

+ sin(2p0,1 )(3q 1 ,2 uw + q 1 ,2 w3 ’ q 1 ,2 w2 ’ ψ1 w + ψw1 + •w2 );
2 2 2


(q 1 ,4 )x = cos(2p0,1 )q 1 ,2 w ’ sin(2p0,1 )q 1 ,1 w,
2 2 2

(q 1 ,4 )t = cos(2p0,1 )(3q 1 ,2 uw + q 1 ,2 w ’ q 1 ,2 w2 ’ ψ1 w + ψw1 + •w2 ) 3
2 2 2 2

+ sin(2p0,1 )(’3q 1 ,1 uw ’ q 1 ,1 w + q 1 ,1 w2 + •1 w + ψw2 ’ •w1 ) 3
2 2 2
(7.75)

2. At degree 3/2, we have q 3 ,1 and q 3 ,2 :
2 2


(q 3 ,1 )x = cos(2p0,1 )(q 1 ,2 p1 w + q 1 ,1 u ’ q 1 ,1 w2 + ψq 1 ,1 q 1 ,2 + ψw)
2 2 2 2 2 2
2
+ sin(2p0,1 )(q 1 ,2 u ’ q 1 ,2 w ’ q 1 ,1 p1 w ’ •q 1 ,1 q 1 ,2 ’ •w),
2 2 2 2 2

(q 3 ,1 )t = cos(2p0,1 )(3q 1 ,2 p1 uw + q 1 ,2 p1 w3 ’ q 1 ,2 p1 w2 ’ q 1 ,2 uw1
2 2 2 2 2

+ q 1 ,2 u1 w + q 1 ,2 w2 w1 + 3q 1 ,1 u2 ’ q 1 ,1 uw2 ’ q 1 ,1 u2 ’ q 1 ,1 w4
2 2 2 2 2 2
2
’ q 1 ,1 ww2 ’ q 1 ,1 w1 ’ ψ2 q 1 ,1 q 1 ,2 ’ ψ2 w ’ ψ1 p1 w + ψ1 w1
2 2 2 2

+ •1 q 1 ,1 q 1 ,2 w ’ •1 u + 2•1 w2 + 3ψq 1 ,1 q 1 ,2 u + ψq 1 ,1 q 1 ,2 w2
2 2 2 2 2 2
3
’ ψψ1 q 1 ,1 ’ ψ•1 q 1 ,2 + ψp1 w1 + 3ψuw + 2ψw ’ ψw2
2 2

+ 2•q 1 ,1 q 1 ,2 w1 ’ •ψ1 q 1 ,2 ’ 3••1 q 1 ,1 ’ 4•ψq 1 ,1 w + •p1 w2
2 2 2 2 2

+ •u1 + •ww1 )
+ sin(2p0,1 )(3q 1 ,2 u2 ’ q 1 ,2 uw2 ’ q 1 ,2 u2 ’ q 1 ,2 w4 ’ q 1 ,2 ww2
2 2 2 2 2
2 3
’ ’ 3q 1 ,1 p1 uw ’ q 1 ,1 p1 w + q 1 ,1 p1 w2 + q 1 ,1 uw1
q 1 ,2 w1
2 2 2 2 2
2
’ q 1 ,1 u1 w ’ q 1 ,1 w w1 + •2 q 1 ,1 q 1 ,2 + •2 w + ψ1 q 1 ,1 q 1 ,2 w ’ ψ1 u
2 2 2 2 2 2
2
+ 2ψ1 w + •1 p1 w ’ •1 w1 + 2ψq 1 ,1 q 1 ,2 w1 ’ 3ψψ1 q 1 ,2
2 2 2

’ ψ•1 q 1 ,1 + ψp1 w + ψu1 + ψww1 ’ 3•q 1 ,1 q 1 ,2 u ’ •q 1 ,1 q 1 ,2 w2
2
2 2 2 2 2
’ •ψ1 q 1 ,1 ’ ••1 q 1 ,2 ’ 4•ψq 1 ,2 w ’ •p1 w1 ’ 3•uw
2 2 2
3
’ 2•w + •w2 );

(q 3 ,2 )x = cos(2p0,1 )(’q 1 ,2 u + q 1 ,2 w2 + q 1 ,1 p1 w + •q 1 ,1 q 1 ,2 + •w)
2 2 2 2 2 2
2
+ sin(2p0,1 )(q 1 ,2 p1 w + q 1 ,1 u ’ q 1 ,1 w + ψq 1 ,1 q 1 ,2 + ψw),
2 2 2 2 2

(q 3 ,2 )t = cos(2p0,1 )(’3q 1 ,2 u + q 1 ,2 uw + q 1 ,2 u2 + q 1 ,2 w4 + q 1 ,2 ww2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 3
+ 3q 1 ,1 p1 uw + q 1 ,1 p1 w ’ q 1 ,1 p1 w2 ’ q 1 ,1 uw1 + q 1 ,1 u1 w
+ q 1 ,2 w1
2 2 2 2 2 2

+ q 1 ,1 w w1 ’ •2 q 1 ,1 q 1 ,2 ’ •2 w ’ ψ1 q 1 ,1 q 1 ,2 w + ψ1 u ’ 2ψ1 w2
2
2 2 2 2 2
’ •1 p1 w + •1 w1 ’ 2ψq 1 ,1 q 1 ,2 w1 + 3ψψ1 q 1 ,2 + ψ•1 q 1 ,1
2 2 2 2
2 2
’ ψp1 w ’ ψu1 ’ ψww1 + 3•q 1 ,1 q 1 ,2 u + •q 1 ,1 q 1 ,2 w + •ψ1 q 1 ,1
2 2 2 2 2
340 7. DEFORMATIONS OF SUPERSYMMETRIC EQUATIONS

+ ••1 q 1 ,2 + 4•ψq 1 ,2 w + •p1 w1 + 3•uw + 2•w 3 ’ •w2 )
2 2

+ sin(2p0,1 )(3q 1 ,2 p1 uw + q 1 ,2 p1 w3 ’ q 1 ,2 p1 w2 ’ q 1 ,2 uw1
2 2 2 2

+ q 1 ,2 u1 w + q 1 ,2 w w1 + 3q 1 ,1 u ’ q 1 ,1 uw ’ q 1 ,1 u2 ’ q 1 ,1 w4
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
’ q 1 ,1 ww2 ’ ’ ψ2 q 1 ,1 q 1 ,2 ’ ψ2 w ’ ψ1 p1 w + ψ1 w1
q 1 ,1 w1
2 2 2 2

+ •1 q 1 ,1 q 1 ,2 w ’ •1 u + 2•1 w + 3ψq 1 ,1 q 1 ,2 u + ψq 1 ,1 q 1 ,2 w2 2
2 2 2 2 2 2
3
’ ψψ1 q 1 ,1 ’ ψ•1 q 1 ,2 + ψp1 w1 + 3ψuw + 2ψw ’ ψw2
2 2

+ 2•q 1 ,1 q 1 ,2 w1 ’ •ψ1 q 1 ,2 ’ 3••1 q 1 ,1 ’ 4•ψq 1 ,1 w + •p1 w2
2 2 2 2 2

+ •u1 + •ww1 ). (7.76)

3. At level 1 and 3/2 there exist three more higher nonlocal conservation
laws, of which we only shall present here the x-components:
(p1,5 )x = cos(2p0,1 )(wq 1 ,1 q 1 ,3 + wq 1 ,2 q 1 ,4 + p1,3 w)
2 2 2 2

+ sin(2p0,1 )(wq 1 ,2 q 1 ,3 ’ wq 1 ,1 q 1 ,4 ’ p1,4 w)
2 2 2 2
+ 2wq 1 ,1 q 1 ,2 + •q 1 ,1 ;
2 2 2


(q 3 ,3 )x = cos(2p0,1 )(q 1 ,4 (’2p1 w + w1 ) + q 1 ,3 (u + 2w 2 ) + q 1 ,2 (’2p1,1 w)
2 2 2 2

+ q 1 ,1 (2p1,2 w + 2p1,4 w) + ψp1,4 )
2

+ sin(2p0,1 )(q 1 ,4 (’u ’ 2w 2 ) + q 1 ,3 (’2p1 w + w1 ) + q 1 ,2 (2p1,2 w)
2 2 2

+ q 1 ,1 (2p1,1 w + 2p1,3 w + ψp1,3 )
2
’ q 1 ,1 w1 + q 1 ,2 u;
2 2


(q 3 ,4 )x = cos(2p0,1 )(q 1 ,4 (’u ’ 2w 2 ) + q 1 ,3 (’2p1 w + w1 ) + q 1 ,2 (’2p1,2 w)
2 2 2 2

+ q 1 ,1 (’2p1,1 w))
2

+ sin(2p0,1 )(q 1 ,4 (2p1 w ’ w1 ) + q 1 ,3 (’u ’ 2w 2 ) + q 1 ,2 (’2p1,1 w)
2 2 2

+ q 1 ,1 (2p1,2 w))
2

+ q 1 ,1 u + q 1 ,2 w1 + ψq 1 ,1 q 1 ,2 . (7.77)
2 2 2 2

Thus, we obtained the following 16 nonlocal variables:
p0,1 , p0,2 of degree 0,
p1 , p1,1 , p1,2 , p1,3 , p1,4 , p1,5 of degree 1,
p3,1 of degree 3,
1
q 1 ,1 , q 1 ,2 , q 1 ,3 , q 1 ,4 of degree ,
2
2 2 2 2

1
q 3 ,1 , q 3 ,2 , q 3 ,3 , q 3 ,4 of degree . (7.78)
2
2 2 2 2
4. SUPERSYMMETRIC EXTENSIONS OF THE KDV EQUATION, N = 2 341

In the next subsections the augmented system of equations associated to
the local and the nonlocal variables denoted above will be considered in
computing higher and nonlocal symmetries and the recursion operator.
4.3.2. Higher and nonlocal symmetries. In this subsection, we present
results for higher and nonlocal symmetries for the N = 2 supersymmetric
extension of KdV equation (7.71) in the case a = ’1,
‚ ‚ ‚ ‚
Y =Yu +Yw +Y• +Yψ + ...
‚u ‚w ‚• ‚ψ
We obtained the following odd symmetries whose generating functions are:
u
Y 1 ,1 = ’ψ1 ,
2
w
Y 1 ,1 = •,
2

Y 1 ,1 = w1 ,
2
ψ
Y 1 ,1 = ’u;
2

u
Y 1 ,2 = cos(2p0,1 )(ψ1 ’ 2•w) + sin(2p0,1 )(’•1 ’ 2ψw),
2
w
Y 1 ,2 = cos(2p0,1 )• + sin(2p0,1 )ψ,
2

Y 1 ,2 = cos(2p0,1 )(2ψq 1 ,1 + w1 ) + sin(2p0,1 )(2ψq 1 ,2 ’ u) ’ 4ψq 1 ,4 ,
2 2 2
2
ψ
Y 1 ,2 = cos(2p0,1 )(’2•q 1 ,1 + u) + sin(2p0,1 )(’2•q 1 ,2 + w1 ) + 4•q 1 ,4 ;
2 2 2
2

u
Y 1 ,3 = cos(2p0,1 )(’•1 ’ 2ψw) + sin(2p0,1 )(’ψ1 + 2•w),
2
w
Y 1 ,3 = cos(2p0,1 )ψ ’ sin(2p0,1 )•),
2

Y 1 ,3 = cos(2p0,1 )(2ψq 1 ,2 ’ u) + sin(2p0,1 )(’2ψq 1 ,1 ’ w1 ) + 4ψq 1 ,3 ,
2 2 2
2
ψ
Y 1 ,3 = cos(2p0,1 )(’2•q 1 ,2 + w1 ) + sin(2p0,1 )(2•q 1 ,1 ’ u) ’ 4•q 1 ,3 ;
2 2 2
2

u
Y 1 ,4 = •1 ,
2
w
Y 1 ,4 = ψ,
2

Y 1 ,4 = u,
2
ψ
Y 1 ,4 = w1 ;
2

u
Y 3 ,1 = cos(2p0,1 )(’2q 1 ,2 u1 ’ 2q 1 ,2 ww1 + 2q 1 ,1 uw ’ q 1 ,1 w2
2 2 2 2
2
+ ψ2 + ψ1 p1 + •1 q 1 ,1 q 1 ,2 ’ 2•1 w + 2ψq 1 ,1 q 1 ,2 w ’ ψu
2 2 2 2
2
’ ψw ’ •p1 w ’ •w1 )
+ sin(2p0,1 )(2q 1 ,2 uw ’ q 1 ,2 w2 + 2q 1 ,1 u1 + 2q 1 ,1 ww1 ’ •2
2 2 2 2
+ 2ψ1 q 1 ,1 q 1 ,2 ’ 2ψ1 w ’ •1 p1 ’ ψp1 w ’ ψw1 ’ 2•q 1 ,1 q 1 ,2 w
2 2 2 2
342 7. DEFORMATIONS OF SUPERSYMMETRIC EQUATIONS

+ •u + •w 2 ) ’ 2q 1 ,3 u1 ’ ψ1 p1,2 ’ ψ1 p1,4 + •1 p1,1 ,
2
w
= cos(2p0,1 )(’q 1 ,1 u + •1 ’ ψq 1 ,1 q 1 ,2 + ψw)
Y 3 ,1
2 2 2
2

+ sin(2p0,1 )(’q 1 ,2 u + ψ1 ’ •w) ’ 2q 1 ,3 w1 + ψp1,1 + •p1,2 + •p1,4 ,
2 2

= cos(2p0,1 )(q 1 ,1 q 1 ,2 u + ψ1 q 1 ,1 + ψq 1 ,1 p1 ’ •q 1 ,1 w
Y 3 ,1
2 2 2 2 2
2

’ •ψ + 2uw ’ w2 )
+ sin(2p0,1 )(’ψ1 q 1 ,2 ’ 2•1 q 1 ,1 + ψq 1 ,2 p1 ’ 2ψq 1 w + •q 1 ,2 w
2 2 2 2 2

’ p1 u + u1 + ww1 ) + 2•1 q 1 ,3 ’ 2ψq 3 ,1 + p1,1 u + p1,2 w1 + p1,4 w1 ,
2 2
ψ
Y 3 ,1 = cos(2p0,1 )(’q 1 ,1 q 1 ,2 w1 + 2ψ1 q 1 ,2 + •1 q 1 ,1 + ψq 1 ,1 w
2 2 2 2 2
2

’ 2•q 1 ,2 w ’ •q 1 ,1 p1 + p1 u ’ u1 ’ ww1 )
2 2

+ sin(2p0,1 )(2q 1 ,1 q 1 ,2 u ’ •1 q 1 ,2 ’ ψq 1 ,2 w ’ •q 1 ,2 p1 ’ •ψ + 2uw ’ w2 )
2 2 2 2 2

+ 2ψ1 q 1 ,3 + 2•q 3 ,1 + p1,1 w1 ’ p1,2 u ’ p1,4 u. (7.79)
2 2


We also have
u
Y 3 ,2 = cos(2p0,1 )(’2q 1 ,2 uw + q 1 ,2 w2 ’ 2q 1 ,1 u1 ’ 2q 1 ,1 ww1 + •2
2 2 2 2
2
’ 2ψ1 q 1 ,1 q 1 ,2 + 2ψ1 w + •1 p1 + ψp1 w + ψw1 + 2•q 1 ,1 q 1 ,2 w
2 2 2 2
2
’ •u ’ •w )
+ sin(2p0,1 )(’2q 1 ,2 u1 ’ 2q 1 ,2 ww1 + 2q 1 ,1 uw ’ q 1 ,1 w2 + ψ2 + ψ1 p1
2 2 2 2
2
+ •1 q 1 ,1 q 1 ,2 ’ 2•1 w + 2ψq 1 ,1 q 1 ,2 w ’ ψu ’ ψw ’ •p1 w ’ •w1 )
2 2 2 2
+ 2q 1 ,4 u1 ’ ψ1 p1,1 ’ ψ1 p1,3 ’ •1 p1,2 ,
2
w
= cos(2p0,1 )(q 1 ,2 u ’ ψ1 + •w)
Y 3 ,2
2
2

+ sin(2p0,1 )(’q 1 ,1 u + •1 ’ ψq 1 ,1 q 1 ,2 + ψw)
2 2 2
+ 2q 1 ,4 w1 ’ ψp1,2 + •p1,1 + •p1,3 ,
2

= cos(2p0,1 )(ψ1 q 1 ,2 + 2•1 q 1 ,1 ’ ψq 1 ,2 p1 + 2ψq 1 ,1 w ’ •q 1 ,2 w
Y 3 ,2
2 2 2 2 2
2

+ p1 u ’ u1 ’ ww1 )
+ sin(2p0,1 )(q 1 ,1 q 1 ,2 u + ψ1 q 1 ,1 + ψq 1 ,1 p1 ’ •q 1 ,1 w ’ •ψ + 2uw ’ w2 )
2 2 2 2 2
’ 2•1 q 1 ,4 ’ 2ψq 3 ,2 + p1,1 w1 ’ p1,2 u + p1,3 w1 ,
2 2
ψ
Y 3 ,2 = cos(2p0,1 )(’2q 1 ,1 q 1 ,2 u + •1 q 1 ,2 + ψq 1 ,2 w + •q 1 ,2 p1
2 2 2 2 2
2

+ •ψ ’ 2uw + w2 )
+ sin(2p0,1 )(’q 1 ,1 q 1 ,2 w1 + 2ψ1 q 1 ,2 + •1 q 1 ,1 + ψq 1 ,1 w ’ 2•q 1 ,2 w
2 2 2 2 2 2

’ •q 1 ,1 p1 + p1 u ’ u1 ’ ww1 )
2

’ 2ψ1 q 1 ,4 + 2•q 3 ,2 ’ p1,1 u ’ p1,2 w1 ’ p1,3 u (7.80)
2 2
4. SUPERSYMMETRIC EXTENSIONS OF THE KDV EQUATION, N = 2 343

and

u
Y 3 ,3 = cos(2p0,1 )(’4q 1 ,4 uw + 2q 1 ,4 w2 + 2q 1 ,3 u1 + 4q 1 ,3 ww1
2 2 2 2
2
’ 2ψ1 q 1 ,1 q 1 ,4 + ψ1 p1,2 + ψ1 p1,4 ’ 2•1 q 1 ,2 q 1 ,4 ’ 4•1 q 1 ,1 q 1 ,3 + •1 p1,1
2 2 2 2 2 2
+ •1 p1,3 ’ 4ψq 1 ,1 q 1 ,3 w + 2ψp1,1 w + 2ψp1,3 w + 4•q 1 ,1 q 1 ,4 w
2 2 2 2

’ 2•p1,2 w ’ 2•p1,4 w)
+ sin(2p0,1 )(’2q 1 ,4 u1 ’ 4q 1 ,4 ww1 ’ 4q 1 ,3 uw + 2q 1 ,3 w2
2 2 2 2
’ 2ψ1 q 1 ,1 q 1 ,3 + ψ1 p1,1 + ψ1 p1,3 ’ 2•1 q 1 ,2 q 1 ,3 + 4•1 q 1 ,1 q 1 ,4
2 2 2 2 2 2
’ •1 p1,2 ’ •1 p1,4 + 4ψq 1 ,1 q 1 ,4 w ’ 2ψp1,2 w ’ 2ψp1,4 w
2 2

+ 4•q 1 ,1 q 1 ,3 w ’ 2•p1,1 w ’ 2•p1,3 w)
2 2
+ 2q 1 ,2 u1 + 2q 1 ,2 ww1
2 2
+ 2q 1 ,1 uw ’ q 1 ,1 w2 ’ ψ2 ’ ψ1 p1 ’ 4•1 q 1 ,3 q 1 ,4
2 2 2 2
2
’ •1 q 1 ,1 q 1 ,2 + 2•1 w + ψu + ψw + •p1 w + •w1 ,
2 2
w
= cos(2p0,1 )(2q 1 ,4 u ’ 2q 1 ,3 w1 ’ 2ψq 1 ,2 q 1 ,4 ’ ψp1,1 ’ ψp1,3
Y 3 ,3
2 2 2 2
2

’ 2•q 1 ,1 q 1 ,4 + •p1,2 + •p1,4 )
2 2

+ sin(2p0,1 )(2q 1 ,4 w1 + 2q 1 ,3 u ’ 2ψq 1 ,2 q 1 ,3 + ψp1,2 + ψp1,4
2 2 2 2

’ 2•q 1 ,1 q 1 ,3 + •p1,1 + •p1,3 )
2 2
’ q 1 ,1 u + •1 ’ 4ψq 1 ,3 q 1 ,4 ’ ψq 1 ,1 q 1 ,2 + ψw,

<< . .

. 52
( : 58)



. . >>