<< . .

. 53
( : 58)



. . >>

2 2 2 2 2

= cos(2p0,1 )(’2q 1 ,2 q 1 ,4 u ’ 2q 1 ,1 q 1 ,4 w1 ’ 4q 1 ,1 q 1 ,3 u + 2ψ1 q 1 ,4
Y 3 ,3
2 2 2 2 2 2 2
2
+ 2•1 q 1 ,3 + 2ψq 1 ,4 p1 ’ 2ψq 1 ,2 p1,1 ’ 2ψq 1 ,2 p1,3 ’ 4ψq 1 ,1 q 1 ,2 q 1 ,3
2 2 2 2 2 2 2
+ 2ψq 1 ,1 p1,2 + 2ψq 1 ,1 p1,4 ’ 2•q 1 ,4 w + p1,1 u
2 2 2

+ p1,2 w1 + p1,3 u + p1,4 w1 )
+ sin(2p0,1 )(’2q 1 ,2 q 1 ,3 u + 4q 1 ,1 q 1 ,4 u ’ 2q 1 ,1 q 1 ,3 w1 + 2ψ1 q 1 ,3
2 2 2 2 2 2 2
’ 2•1 q 1 ,4 + 2ψq 1 ,3 p1 + 2ψq 1 ,2 p1,2 + 2ψq 1 ,2 p1,4
2 2 2 2
+ 4ψq 1 ,1 q 1 ,2 q 1 ,4 + 2ψq 1 ,1 p1,1 + 2ψq 1 ,1 p1,3 ’ 2•q 1 ,3 w + p1,1 w1
2 2 2 2 2 2

’ p1,2 u + p1,3 w1 ’ p1,4 u)
’ 4q 1 ,3 q 1 ,4 u ’ q 1 ,1 q 1 ,2 u ’ ψ1 q 1 ,1 ’ 4ψq 1 ,4 p1,2 ’ 4ψq 1 ,4 p1,4
2 2 2 2 2 2 2
’ 4ψq 1 ,3 p1,1 ’ 4ψq 1 ,3 p1,3 ’ ψq 1 ,1 p1 + •q 1 ,1 w ’ •ψ + 2uw ’ w2 ,
2 2 2 2
ψ
= cos(2p0,1 )(’2q 1 ,2 q 1 ,4 w1 ’ 2q 1 ,1 q 1 ,4 u ’ 2ψ1 q 1 ,3 + 2•1 q 1 ,4
Y 3 ,3
2 2 2 2 2 2
2
+ 2ψq 1 ,4 w ’ 2•q 1 ,4 p1 + 4•q 1 ,3 w + 2•q 1 ,2 p1,1 + 2•q 1 ,2 p1,3
2 2 2 2 2
+ 4•q 1 ,1 q 1 ,2 q 1 ,3 ’ 2•q 1 ,1 p1,2 ’ 2•q 1 ,1 p1,4 ’ p1,1 w1 + p1,2 u
2 2 2 2 2

’ p1,3 w1 + p1,4 u)
344 7. DEFORMATIONS OF SUPERSYMMETRIC EQUATIONS

+ sin(2p0,1 )(’2q 1 ,2 q 1 ,3 w1 ’ 2q 1 ,1 q 1 ,3 u + 2ψ1 q 1 ,4 + 2•1 q 1 ,3
2 2 2 2 2 2
+ 2ψq 1 ,3 w ’ 4•q 1 ,4 w ’ 2•q 1 ,3 p1 ’ 2•q 1 ,2 p1,2 ’ 2•q 1 ,2 p1,4
2 2 2 2 2
’ 4•q 1 ,1 q 1 ,2 q 1 ,4 ’ 2•q 1 ,1 p1,1 ’ 2•q 1 ,1 p1,3 + p1,1 u
2 2 2 2 2

+ p1,2 w1 + p1,3 u + p1,4 w1 )
’ 4q 1 ,3 q 1 ,4 w1 ’ q 1 ,1 q 1 ,2 w1 ’ 2ψ1 q 1 ,2 ’ •1 q 1 ,1 ’ ψq 1 ,1 w
2 2 2 2 2 2 2
+ 4•q 1 ,4 p1,2 + 4•q 1 ,4 p1,4 + 4•q 1 ,3 p1,1 + 4•q 1 ,3 p1,3 + 2•q 1 ,2 w
2 2 2 2 2

+ •q 1 ,1 p1 ’ p1 u + u1 + ww1 , (7.81)
2


together with
u
Y 3 ,4 = cos(2p0,1 )(2q 1 ,4 u1 + 4q 1 ,4 ww1 + 4q 1 ,3 uw ’ 2q 1 ,3 w2 ’ 4ψ1 q 1 ,2 q 1 ,4
2 2 2 2 2 2
2
’ 2ψ1 q 1 ,1 q 1 ,3 + ψ1 p1,1 ’ 2•1 q 1 ,2 q 1 ,3 ’ •1 p1,2 ’ 4ψq 1 ,2 q 1 ,3 w
2 2 2 2 2 2

’ 2ψp1,2 w + 4•q 1 ,2 q 1 ,4 w ’ 2•p1,1 w)
2 2

+ sin(2p0,1 )(’4q 1 ,4 uw + 2q 1 ,4 w2 + 2q 1 ,3 u1 + 4q 1 ,3 ww1 ’ 4ψ1 q 1 ,2 q 1 ,3
2 2 2 2 2 2
+ 2ψ1 q 1 ,1 q 1 ,4 ’ ψ1 p1,2 + 2•1 q 1 ,2 q 1 ,4 ’ •1 p1,1 + 4ψq 1 ,2 q 1 ,4 w
2 2 2 2 2 2

’ 2ψp1,1 w + 4•q 1 ,2 q 1 ,3 w + 2•p1,2 w)
2 2
+ 2q 1 ,2 uw ’ q 1 ,2 w2 ’ 2q 1 ,1 u1 ’ 2q 1 ,1 ww1 + •2 ’ 4ψ1 q 1 ,3 q 1 ,4
2 2 2 2 2 2
’ 2ψ1 q 1 ,1 q 1 ,2 + 2ψ1 w + •1 p1 + ψp1 w + ψw1 + 2•q 1 ,1 q 1 ,2 w
2 2 2 2
2
’ •u ’ •w ,
w
Y 3 ,4 = cos(2p0,1 )(’2q 1 ,4 w1 ’ 2q 1 ,3 u + 2ψq 1 ,2 q 1 ,3 + ψp1,2
2 2 2 2
2

+ 2•q 1 ,1 q 1 ,3 + •p1,1 )
2 2

+ sin(2p0,1 )(2q 1 ,4 u ’ 2q 1 ,3 w1 ’ 2ψq 1 ,2 q 1 ,4 + ψp1,1
2 2 2 2

’ 2•q 1 ,1 q 1 ,4 ’ •p1,2 )
2 2
’ q 1 ,2 u + ψ1 + 4•q 1 ,3 q 1 ,4 ’ •w,
2 2 2

= cos(2p0,1 )(’2q 1 ,2 q 1 ,3 u + 2q 1 ,1 q 1 ,3 w1 + 2ψ1 q 1 ,3 ’ 2•1 q 1 ,4
Y 3 ,4
2 2 2 2 2 2
2
’ 4ψq 1 ,4 w ’ 2ψq 1 ,3 p1 + 2ψq 1 ,2 p1,2 + 2ψq 1 ,1 p1,1 ’ 2•q 1 ,3 w
2 2 2 2 2

+ p1,1 w1 ’ p1,2 u)
+ sin(2p0,1 )(2q 1 ,2 q 1 ,4 u ’ 2q 1 ,1 q 1 ,4 w1 ’ 2ψ1 q 1 ,4 ’ 2•1 q 1 ,3 + 2ψq 1 ,4 p1
2 2 2 2 2 2 2

’ 4ψq 1 ,3 w + 2ψq 1 ,2 p1,1 ’ 2ψq 1 ,1 p1,2 + 2•q 1 ,4 w ’ p1,1 u ’ p1,2 w1 )
2 2 2 2
+ 4q 1 ,3 q 1 ,4 w1 + ψ1 q 1 ,2 + 2•1 q 1 ,1 ’ 4ψq 1 ,4 p1,1 + 4ψq 1 ,3 p1,2 ’ ψq 1 ,2 p1
2 2 2 2 2 2 2
+ 2ψq 1 ,1 w ’ •q 1 ,2 w + p1 u ’ u1 ’ ww1 ,
2 2
ψ
= cos(2p0,1 )(’4q 1 ,2 q 1 ,4 u + 2q 1 ,2 q 1 ,3 w1 ’ 2q 1 ,1 q 1 ,3 u + 2ψ1 q 1 ,4
Y 3 ,4
2 2 2 2 2 2 2
2
+ 2•1 q 1 ,3 + 2ψq 1 ,3 w + 2•q 1 ,3 p1 ’ 2•q 1 ,2 p1,2 ’ 2•q 1 ,1 p1,1
2 2 2 2 2
4. SUPERSYMMETRIC EXTENSIONS OF THE KDV EQUATION, N = 2 345

+ p1,1 u + p1,2 w1 )
+ sin(2p0,1 )(’2q 1 ,2 q 1 ,4 w1 ’ 4q 1 ,2 q 1 ,3 u + 2q 1 ,1 q 1 ,4 u + 2ψ1 q 1 ,3
2 2 2 2 2 2 2
’ 2•1 q 1 ,4 ’ 2ψq 1 ,4 w ’ 2•q 1 ,4 p1 ’ 2•q 1 ,2 p1,1 + 2•q 1 ,1 p1,2
2 2 2 2 2

+ p1,1 w1 ’ p1,2 u)
’ 4q 1 ,3 q 1 ,4 u ’ 2q 1 ,1 q 1 ,2 u + •1 q 1 ,2 + ψq 1 ,2 w + 4•q 1 ,4 p1,1
2 2 2 2 2 2 2

’ 4•q 1 ,3 p1,2 + •q 1 ,2 p1 ’ •ψ + 2uw ’ w2 . (7.82)
2 2


Even symmetries are
u
Y1,1 = u1 ,
w
Y1,1 = w1 ,

Y1,1 = •1 ,
ψ
Y1,1 = ψ1 ;
u
Y1,2 = cos(2p0,1 )(’ψ1 q 1 ,1 ’ •1 q 1 ,2 + 2•q 1 ,1 w ’ 2uw + w2 )
2 2 2

+ sin(2p0,1 )(2•1 q 1 ,1 + 2ψq 1 ,1 w ’ u1 ’ 2ww1 ) ’ 2•1 q 1 ,3 ,
2 2 2
w
= cos(2p0,1 )(’ψq 1 ,2 ’ •q 1 ,1 + u)
Y1,2
2 2

+ sin(2p0,1 )w1 ’ 2ψq 1 ,3 ,
2

= cos(2p0,1 )(q 1 ,2 u + q 1 ,1 w1 ’ ψ1 ’ ψp1 + •w)
Y1,2
2 2

+ sin(2p0,1 )(’2q 1 ,1 u + •1 ’ 2ψq 1 ,1 q 1 ,2 ) + 2(q 1 ,3 u + ψp1,2 + ψp1,4 ),
2 2 2 2
ψ
= cos(2p0,1 )(q 1 ,2 w1 + q 1 ,1 u ’ •1 ’ ψw + •p1 )
Y1,2
2 2

+ sin(2p0,1 )(’ψ1 + 2•q 1 ,1 q 1 ,2 + 2•w) + 2(q 1 ,3 w1 ’ •p1,2 ’ •p1,4 );
2 2 2

u
Y1,3 = cos(2p0,1 )(2•1 q 1 ,1 + 2ψq 1 w ’ u1 ’ 2ww1 )
2 2

+ sin(2p0,1 )(ψ1 q 1 ,1 + •1 q 1 ,2 ’ 2•q 1 ,1 w + 2uw ’ w2 ) ’ 2•1 q 1 ,4 ,
2 2 2 2
w
Y1,3 = cos(2p0,1 )w1
+ sin(2p0,1 )(ψq 1 + •q 1 ,1 ’ u) ’ 2ψq 1 ,4 ,
2 2 2

= cos(2p0,1 )(’2q 1 ,1 u + •1 ’ 2ψq 1 ,1 q 1 ,2 )
Y1,3
2 2 2

+ sin(2p0,1 )(’q 1 ,2 u ’ q 1 ,1 w1 + ψ1 + ψp1 ’ •w)
2 2

+ 2(q 1 ,4 u ’ ψp1,1 ’ ψp1,3 ),
2
ψ
Y1,3 = cos(2p0,1 )(’ψ1 + 2•q 1 ,1 q 1 ,2 + 2•w)
2 2

+ sin(2p0,1 )(’q 1 ,2 w1 ’ q 1 ,1 u + •1 + ψw ’ •p1 )
2 2

+ 2(q 1 ,4 w1 + •p1,1 + •p1,3 ); (7.83)
2

u
Y1,4 = cos(2p0,1 )(’2ψ1 q 1 ,2 + 2•q 1 ,2 w + u1 + 2ww1 )
2 2
346 7. DEFORMATIONS OF SUPERSYMMETRIC EQUATIONS

+ sin(2p0,1 )(ψ1 q 1 ,1 + •1 q 1 ,2 + 2ψq 1 ,2 w ’ 2uw + w2 ) ’ 2ψ1 q 1 ,3 ,
2 2 2 2
w
= ’ cos(2p0,1 )w1
Y1,4
+ sin(2p0,1 )(’ψq 1 ,2 ’ •q 1 ,1 + u) + 2•q 1 ,3 ,
2 2 2

Y1,4 = cos(2p0,1 )(•1 + 2ψw)
+ sin(2p0,1 )(’q 1 ,2 u + q 1 ,1 w1 + ψ1 ’ ψp1 ’ •w)
2 2

+ 2(’q 1 ,3 w1 + ψp1,1 ),
2
ψ
Y1,4 = cos(2p0,1 )(2q 1 ,2 u ’ ψ1 )
2

+ sin(2p0,1 )(q 1 ,2 w1 ’ q 1 ,1 u + •1 + ψw + •p1 ) + 2(q 1 ,3 u ’ •p1,1 ).
2 2 2
(7.84)

Finally, we got

u
Y1,5 = cos(2p0,1 )(ψ1 q 1 ,1 + •1 q 1 ,2 + 2ψq 1 ,2 w ’ 2uw + w2 )
2 2 2

+ sin(2p0,1 )(2ψ1 q 1 ,2 ’ 2•q 1 ,2 w ’ u1 ’ 2ww1 ) ’ 2ψ1 q 1 ,4 ,
2 2 2
w
= cos(2p0,1 )(’ψq 1 ,2 ’ •q 1 ,1 + u)
Y1,5
2 2

+ sin(2p0,1 )w1 + 2•q 1 ,4 ,
2

= cos(2p0,1 )(’q 1 ,2 u + q 1 ,1 w1 + ψ1 ’ ψp1 ’ •w)
Y1,5
2 2

+ sin(2p0,1 )(’•1 ’ 2ψw) + 2(’q 1 ,4 w1 + ψp1,2 ),
2
ψ
= cos(2p0,1 )(q 1 ,2 w1 ’ q 1 ,1 u + •1 + ψw + •p1 )
Y1,5
2 2

+ sin(2p0,1 )(’2q 1 ,2 u + ψ1 ) + 2(q 1 ,4 u ’ •)p1,2 );
2 2

u
Y1,6 = cos(2p0,1 )(’ψ1 q 1 ,3 + •1 q 1 ,4 + 2ψq 1 ,4 w + 2•q 1 ,3 w)
2 2 2 2

+ sin(2p0,1 )(ψ1 q 1 ,4 + •1 q 1 ,3 + 2ψq 1 ,3 w ’ 2•q 1 ,4 w)
2 2 2 2
’ ψ1 q 1 ,2 ’ •1 q 1 ,1 ’ ψq 1 ,1 w + •q 1 ,2 w,
2 2 2 2
w
= ’ cos(2p0,1 )(ψq 1 ,4 + •q 1 ,3 )
Y1,6
2 2

+ sin(2p0,1 )(’ψq 1 ,3 + •q 1 ,4 ),
2 2

Y1,6 = cos(2p0,1 )(’q 1 ,4 u + q 1 ,3 w1 + 2ψq 1 ,2 q 1 ,4 + 2ψq 1 ,1 q 1 ,3 )
2 2 2 2 2 2

+ sin(2p0,1 )(’q 1 ,4 w1 ’ q 1 ,3 u + 2ψq 1 ,2 q 1 ,3 ’ 2ψq 1 ,1 q 1 ,4 )
2 2 2 2 2 2
+ q 1 ,1 u ’ •1 + 4ψq 1 ,3 q 1 ,4 + ψq 1 ,1 q 1 ,2 ’ ψw,
2 2 2 2 2
ψ
Y1,6 = cos(2p0,1 )(q 1 ,4 w1 + q 1 ,3 u ’ 2•q 1 ,2 q 1 ,4 ’ 2•q 1 ,1 q 1 ,3 )
2 2 2 2 2 2

+ sin(2p0,1 )(’q 1 ,4 u + q 1 ,3 w1 ’ 2•q 1 ,2 q 1 ,3 + 2•q 1 ,1 q 1 ,4 )
2 2 2 2 2 2

+ q 1 ,2 u ’ ψ1 ’ 4•q 1 ,3 q 1 ,4 ’ •q 1 ,1 q 1 ,2 + •w. (7.85)
2 2 2 2 2
4. SUPERSYMMETRIC EXTENSIONS OF THE KDV EQUATION, N = 2 347

4.3.3. Recursion operator. Here we shall discuss brie¬‚y the recursion
properties of the nonlocal symmetries Y1,2 , Y1,3 , Y1,4 , Y1,5 , Y1,6 given in
(7.83) and (7.85).
We shall discuss their action on the supersymmetry Y 1 ,1 of degree 1/2.
2
In order to compute the Lie bracket of these symmetries, we have to
derive the nonlocal components, just for the vector ¬eld Y 1 ,1 .
2
Due to the invariance of the equations, de¬ning the nonlocal variables
p0,1 , p1 , q 1 ,1 , q 1 ,2 , q 1 ,3 , q 1 ,4 and p1,1 , p1,2 , p1,3 , p1,4 , the nonlocal components
2 2 2 2
can be obtained.
The prolongation of the vector ¬eld Y 1 ,1 is then given as
2


‚ ‚ ‚ ‚
Y 1 ,1 = ’ψ1 ’u
+• + w1
‚u ‚w ‚• ‚ψ
2

‚ ‚ ‚ ‚
’ p1 ’ (p1,1 + p1,3 )
+w + (p1,2 + p1,4 )
‚q 1 ,1 ‚q 1 ,2 ‚q 1 ,3 ‚q 1 ,4
2 2 2 2
‚ ‚
’ψ
+ q 1 ,1
‚p0,1 ‚p1
2


+ (cos(2p0,1 )(2q 1 ,1 p1 + q 1 ,2 w) + sin(2p0,1 )(2q 1 ,2 p1 ) ’ 2q 3 ,1 )
‚p1,1
2 2 2 2


+ (cos(2p0,1 )(2q 1 ,2 p1 ) ’ sin(2p0,1 )(2q 1 ,1 p1 + q 1 ,2 w) + 2q 3 ,2 )
‚p1,2
2 2 2 2

+ (’ cos(2p0,1 )(2q 1 ,1 p1 + 2q 1 ,2 w) + sin(2p0,1 (q 1 ,1 w ’ q 1 ,2 p1 )
2 2 2 2

+ 2q 3 ,1 )
‚p1,3
2

+ (cos(2p0,1 )(q 1 ,1 w ’ q 1 ,2 p1 ) + sin(2p0,1 )(2q 1 ,1 p1 + 2q 1 ,2 w)
2 2 2 2

’ 2q 3 ,1 ) . (7.86)
‚p1,4
2


For the vector ¬elds Y1,i , i = 2, . . . , 6, prolongation is not required due to
the locality of Y 1 ,1 .
2
We obtain the following commutators:

[Y1,2 , Y 1 ,1 ] = 0,
2

[Y1,3 , Y 1 ,1 ] = 0,
2

[Y1,4 , Y 1 ,1 ] = 2Y 3 ,1 ,
2 2

[Y1,5 , Y 1 ,1 ] = ’2Y 3 ,2 ,
2 2

[Y1,6 , Y 1 ,1 ] = ’2Y 3 ,3 , (7.87)
2 2


meaning that Y1,i , i = 2, . . . , 6, take symmetry Y 1 ,1 higher into the hierarchy.
2
Similar results are obtained for the local symmetry Y 1 ,4 .
2
348 7. DEFORMATIONS OF SUPERSYMMETRIC EQUATIONS

In order to compute the Lie brackets for Y 1 ,2 and Y 1 ,3 , leading to similar
2 2
results too, prolongations of these vector ¬elds are required.
The results are related to a similar action of the recursion symmetry for
the n = 1 supersymmetric KdV equation, discussed in Section 1.
The work on the contruction of the recursion operator as obtained for
the cases a = ’2 by (7.56) and a = 4 by (7.70), is still in progress and will
be published elsewhere.
CHAPTER 8


Symbolic computations in di¬erential geometry

To introduce this subject, it is nice to tell the story how NN computed
the tenth conservation law of the classical KdV equation at the end of the
sixties.
From previous results one had obtained nine conservation laws for the
KdV equation and the idea was that if one would be able to compute the
tenth then people would be convinced that there existed an in¬nite hierarchy
of conservation laws for the KdV equation. At that time, the notion of
recursion operators (the ¬rst one obtained by Lenard) was not yet known.
Then NN took the decision to retire for two weeks to a nice cabin some-
where high up in the mountains and to try to ¬gure out whether he would be
able to ¬nd number ten. After two weeks he returned from his exile position
having found the next one in the hierarchy, thus “proving” the existence of
an in¬nite hierarchy.
With nowadays modern facilities it is possible to construct the ¬rst ten
or twenty in few seconds. This is just one of the examples demonstrating
the need for computer programs to do in principle simple, but in e¬ect huge
algebraic computations to get to ¬nal results.
Towards the end of the seventies the ¬rst computer programs were con-
structed. Among them Gragert [22], Schr¨fer [90], Schwarz [91], Kersten
u

<< . .

. 53
( : 58)



. . >>