стр. 1
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА



Современная математика — студентам и аспирантам




C. C. КУТАТЕЛАДЗЕ




ОСНОВЫ
ФУНКЦИОНAЛЬНОГО АНАЛИЗА

4-е издание,
исправленное




НОВОСИБИРСК

Издательство Института математики

2001
УДК 517.98
ББК 22.16
К95




Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа.
— 4-е изд., испр. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001.
— xii+354 c. (Современная математика — студентам и аспирантам).

ISBN 5–86134–103–6.

В монографии изложены основные разделы современного функ-
ционального анализа. Особое внимание уделено теории банаховых
алгебр и функциональному исчислению, теории н?теровых операто-
е
ров, теории двойственности локально выпуклых пространств, вы-
пуклому анализу, принципам банаховых пространств, теории рас-
пределений и ряду смежных вопросов. Около двадцати лет книга
служит базой обязательного курса лекций для студентов-математи-
ков Новосибирского государственного университета.
Книга адресована читателю, интересующемуся методами функ-
ционального анализа и их приложениями.
Библиогр.: 347.

Ответственный редактор
В. В. Иванов
Редактор серии
Ю. Г. Решетняк

К 1602080000?10 Без объявл.
Я82(03)?2001




c Кутателадзе С. С., 2001
ISBN 5–86134–103–6
c Институт математики
им. С. Л. Соболева СО РАН, 2001
Содержание


Предисловие к первому изданию viii
Предисловие к четвертому изданию xii
Глава 1. Экскурс в теорию множеств 1
§ 1.1. Соответствия 1
.....................................
§ 1.2. Упорядоченные множества 3
.......................
§ 1.3. Фильтры 7
.........................................
10
............................................
Упражнения
Глава 2. Векторные пространства 12
§ 2.1. Пространства и подпространства 12
................
§ 2.2. Линейные операторы 15
.............................
§ 2.3. Уравнения в операторах 18
.........................
24
............................................
Упражнения
Глава 3. Выпуклый анализ 26
§ 3.1. Множества в векторных пространствах 26
..........
§ 3.2. Упорядоченные векторные пространства 29
........
§ 3.3. Продолжение положительных функционалов и опе-
32
раторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы 35
§ 3.5. Теорема Хана — Банаха 38
.........................
Содержание
iv

§ 3.6. Теорема Крейна — Мильмана
41
для субдифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3.7. Теорема Хана — Банаха для полунормы 44
.........
§ 3.8. Функционал Минковского и отделимость 46
........
51
............................................
Упражнения

Глава 4. Экскурс в метрические пространства 53
§ 4.1. Равномерность и топология метрического
53
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4.2. Непрерывность и равномерная непрерывность 56
...
§ 4.3. Полунепрерывность 59
..............................
§ 4.4. Компактность 60
....................................
§ 4.5. Полнота 62
..........................................
§ 4.6. Компактность и полнота 65
.........................
§ 4.7. Бэровские пространства 68
.........................
§ 4.8. Теорема Жордана и простые картины 71
...........
72
............................................
Упражнения

Глава 5. Мультинормированные и банаховы
пространства 74
§ 5.1. Полунормы и мультинормы 74
......................
§ 5.2. Равномерность и топология мультинормированного
79
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5.3. Сравнение мультинорм 82
...........................
§ 5.4. Метризуемые и нормируемые пространства 85
.....
§ 5.5. Банаховы пространства 87
..........................
§ 5.6. Алгебра ограниченных операторов 97
...............
104
............................................
Упражнения
Содержание v

Глава 6. Гильбертовы пространства 106
§ 6.1. Эрмитовы формы и скалярные произведения 106
....
§ 6.2. Ортопроекторы 111
..................................
§ 6.3. Гильбертов базис 114
................................
§ 6.4. Эрмитово сопряженный оператор 119
................
§ 6.5. Эрмитовы операторы 122
............................
§ 6.6. Компактные эрмитовы операторы 125
...............
129
............................................
Упражнения

Глава 7. Принципы банаховых пространств 131
§ 7.1. Основной принцип Банаха 131
.......................
§ 7.2. Принципы ограниченности 134
.......................
§ 7.3. Принцип идеального соответствия 138
...............
§ 7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике 141
.
§ 7.5. Принцип автоматической непрерывности 147
........
§ 7.6. Принципы штрихования 150
.........................
155
............................................
Упражнения

Глава 8. Операторы в банаховых пространствах 158
§ 8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы 158
.
§ 8.2. Голоморфное функциональное исчисление 165
.......
§ 8.3. Идеал компактных операторов и проблема аппрок-
172
симации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 8.4. Теория Рисса — Шаудера 175
........................
§ 8.5. Нетеровы и фредгольмовы операторы 179
...........
-
187
............................................
Упражнения
Содержание
vi

Глава 9. Экскурс в общую топологию 190
§ 9.1. Предтопологии и топологии 190
......................
§ 9.2. Непрерывность 193
...................................
§ 9.3. Типы топологических пространств 196
..............
§ 9.4. Компактность 201
....................................
§ 9.5. Равномерные и мультиметрические пространства 207
§ 9.6. Покрытия и разбиения единицы 213
.................
218
............................................
Упражнения

Глава 10. Двойственность и е? приложения
е 220
§ 10.1. Векторные топологии 220
...........................
§ 10.2. Локально выпуклые топологии 223
.................
§ 10.3. Двойственность векторных пространств 226
........
§ 10.4. Топологии, согласованные с двойственностью 228
..
§ 10.5. Поляры 230
.........................................
§ 10.6. Слабо компактные выпуклые множества 232
.......
§ 10.7. Рефлексивные пространства 234
....................
§ 10.8. Пространство C(Q, R) 236
..........................
§ 10.9. Меры Радона 243
...................................
§ 10.10. Пространства D и D 251
..........................
§ 10.11. Преобразование Фурье умеренных
260
распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
............................................
Упражнения
Содержание vii

Глава 11. Банаховы алгебры 274
§ 11.1. Каноническое операторное представление 274
......
§ 11.2. Спектр элемента алгебры 276
.......................
§ 11.3. Голоморфное функциональное исчисление в алгеб-
278
рах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 11.4. Идеалы в коммутативных алгебрах 280
.............
§ 11.5. Идеалы в алгебре C(Q, C) 281
......................
§ 11.6. Преобразование Гельфанда 283
.....................
§ 11.7. Спектр элемента C ? -алгебры 288
...................
§ 11.8. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймарка 290
§ 11.9. Операторные ?-представления C ? -алгебр 294
.......
300
............................................
Упражнения

Литература 303

Указатель обозначений 323

Глоссарий 327

Предметный указатель 345
Предисловие
к первому изданию


Как следует из названия, эта книга посвящена функциональному ана-
лизу. Термин «функциональный анализ» был изобретен в самом начале
текущего века Ж. Адамаром, известным всем математикам по форму-
ле для вычисления радиуса сходимости степенного ряда. Функциональ-
ным анализом стали называть новую ветвь вариационного исчисления,
которую интенсивно разрабатывали в то время В. Вольтерра, Ч. Арце-
ла, П. Леви, С. Пинкерле и ряд других представителей французской и
итальянской математических школ.
Вклад Ж. Адамара в создание новой дисциплины не сводится, разу-
меется, к изобретению слова функционал (точнее, к превращению соответ-
ствующего прилагательного в имя существительное). Ж. Адамар хорошо
понимал роль зарождающегося направления, интенсивно работал, посто-
янно пропагандировал вновь возникающие проблемы, идеи и методы. В
частности, он поставил перед своим учеником М. Фреше задачу построе-
ния того, что все теперь называют теорией метрических пространств. В
этой же связи уместно отметить, что окрестности, применяемые в функ-
циональном анализе в смысле Адамара — Вольтерра, послужили предте-
чей известных работ Ф. Хаусдорфа, ознаменовавших оформление общей
топологии. Для дальнейшего важно подчеркнуть, что одно из наиболее
интересных, трудных и важных направлений классического анализа —
вариационное исчисление — стало первым источником функционального
анализа.
Вторым источником функционального анализа были исследования,
направленные на создание алгебраической теории функциональных урав-
нений, точнее говоря, на упрощение и формализацию манипулирования
«уравнениями в функциях» и, в частности, линейными интегральными
уравнениями. Теория таких уравнений, восходящая к Н. Абелю и Ж. Лиу-
виллю, получила существенное развитие в работах И. Фредгольма, К. Ней-
мана, Ф. Н?тера, А. Пуанкаре и др. Труды этих математиков подготови-
е
Предисловие ix

ли почву знаменитым исследованиям Д. Гильберта по теории квадратич-
ных форм от бесконечного числа переменных. Идеи Д. Гильберта, разви-
тые Ф. Риссом, Э. Шмидтом и др., непосредственно предшествовали ак-
сиоматическому построению теории гильбертовых пространств, данному
Дж. фон Нейманом и М. Стоуном. Возникший раздел математики оказал
и продолжает оказывать сильнейшее воздействие на теоретическую физи-
ку и прежде всего на квантовую механику. Небезынтересно и поучительно
в этой связи отметить, что термин «квант» возник в том же 1900 г., что и
термин «функционал».
Третьим важнейшим источником функционального анализа послу-
жили геометрические идеи Г. Минковского. Развитый им аппарат конеч-
номерной геометрии выпуклых тел подготовил тот круг пространствен-
ных представлений, в котором осуществляется современное развитие ана-
лиза. Идея выпуклости, разработанная Э. Хелли, Г. Ханом, К. Каратео-
дори, И. Радоном и др., легла впоследствии в основу теории локально вы-
пуклых пространств. В свою очередь, эта теория способствовала распро-
странению метода обобщенных производных, открытого С. Л. Соболевым
и коренным образом изменившего аппарат математической физики. В
послевоенные годы геометрическая концепция выпуклости завоевала для
математики новую сферу приложений — социальные науки и особенно
экономику. Исключительную роль при этом сыграло линейное програм-
мирование, открытое Л. В. Канторовичем.
Приведенный перечень линий становления функционального
анализа схематичен, неполон и приблизителен (так, остались неотмечен-
ными линия принципа суперпозиции Д. Бернулли, линия функций мно-
жеств и теории интеграла, линия операционного исчисления, линия исчис-
ления конечных разностей и дробного дифференцирования, линия «обще-
го анализа» и многое другое). Несмотря на это, перечисленные три ис-
точника отражают основную, наиболее существенную закономерность —
в функциональном анализе осуществлены синтез и развитие идей, пред-
ставлений и методов классических разделов математики: геометрии, ал-
гебры и анализа. Таким образом, хотя в буквальном смысле слов функцио-
нальный анализ — это анализ функций и функционалов, даже поверх-
ностный взгляд на его историю дает основания сказать, что функцио-
нальный анализ — это алгебра, геометрия и анализ функций и функци-
оналов. Более глубокое и развернутое разъяснение понятия «функци-
ональный анализ» дает Советский Энциклопедический Словарь: «Функ-
циональный анализ, один из основных разделов современной математики.
Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и
методов многих разделов классического математического анализа. Харак-
теризуется использованием понятий, связанных с различными абстракт-
ными пространствами, такими, как векторное пространство и др. Находит
Предисловие
x

разнообразные применения в современной физике, особенно в квантовой
механике» (с. 1449).
Оформление функционального анализа как самостоятельного разде-
ла математики связано с книгой С. Банаха «Теория линейных операций»,
вышедшей в свет полвека назад. Влияние этой книги на развитие матема-
тики огромно — представленные в ней концепции С. Банаха пронизывают
всю математику.
Выдающийся вклад в развитие функционального анализа внесли со-
ветские ученые И. М. Гельфанд, Л. В. Канторович, М. В. Келдыш, А. Н. Кол-
могоров, М. Г. Крейн, Л. А. Люстерник, С. Л. Соболев. Для отечествен-
ной школы характерно развитие исследований в области функциональ-
ного анализа в связи с крупными прикладными проблемами. Эти иссле-
дования расширили роль функционального анализа — он стал основным
языком приложений математики. Показателен следующий факт. Хотя
в 1948 г. само название широко известной статьи Л. В. Канторовича
«Функциональный анализ и прикладная математика», заложившей осно-
вы современной теории приближенных методов, воспринималось как па-
радоксальное, уже в 1974 г., по словам С. Л. Соболева, теорию вычислений
стало «так же невозможно себе представить без банаховых пространств,
как и без электронных вычислительных машин».
Наряду с постоянным ростом потребностей в методах и представле-
ниях функционального анализа в последнее время наблюдается экспонен-
циальное накопление фактического материала в рамках самой этой дис-
циплины. Таким образом, разрыв между современным уровнем анализа и
уровнем, зафиксированным в доступной широкому читателю литературе,
постоянно увеличивается. Настоящая книга преследует цель преодоления
этой негативной тенденции.
Предисловие
ко второму изданию


В течение более десятка лет эта книга используется в качестве
основы обязательного курса лекций по функциональному анализу
в Новосибирском государственном университете. Время подтверди-
ло обоснованность принципов составления монографии. В настоя-

стр. 1
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>