<< Пред. стр.

стр. 10
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

?: Пусть p(x) = 0 при всех p ? M. Тогда (x, 0) ? V для любого
V ? UM и, стало быть, (x, 0) ? IX по условию. Следовательно,
x = 0.
5.2. Равномерность и топология 81

5.2.7. Для пространства X с равномерностью UX положим

? (x) := {U (x) : U ? UX } (x ? X).

Тогда ? (x) — фильтр для каждого x ? X. При этом
(1) ? (x) ? ?l {x};
(2) (? U ? ? (x)) (? V ? ? (x) & V ? U ) (? y ? V ) V ? ? (y).
Очевидно (ср. 4.1.8).
5.2.8. Определение. Отображение ? : x > ? (x) называют
топологией рассматриваемого мультинормированного пространства
(X, M), а элементы фильтра ? (x) — окрестностями точки x. Для
обозначения топологии используют также более детальные символы:
?X , ?M , ? (UM ) и т. п.
5.2.9. Для любого x ? X выполнено

?X (x) = sup{?p (x) : p ? MX }.

5.2.10. Пусть X — мультинормированное пространство. Тогда
для x ? X имеет место соотношение

U ? ? (x) ? U ? x ? ?X (0).

В силу 5.2.9 и 1.3.13 можно ограничиться случаем полунор-
мированного пространства (X, p). При этом для всякого ? > 0 спра-
ведливо представление {dp ? ?}(x) = ?Bp + x, где Bp := {p ? 1}. В
самом деле, если p(y?x) ? ?, то y = ?(??1 (y?x))+x и ??1 (y?x) ? Bp .
В свою очередь, если y ? ?Bp + x, то p(y ? x) = inf{t > 0 : y ? x ?
tBp } ? ?.
5.2.11. Замечание. Из доказательства 5.2.10 видно, сколь важ-
ную роль играет шар единичного радиуса с центром в нуле (полу)нор-
мированного пространства (X, p). В этой связи за ним закреплены
название «единичный шар пространства X» и обозначения Bp , BX
и т. п.
5.2.12. Мультинорма MX хаусдорфова в том и только в том
случае, если хаусдорфова топология ?X , т. е. если для любых раз-
личных x1 , x2 из X найдутся окрестности U1 ? ?X (x1 ) и U2 ? ?X (x2 )
такие, что U1 ? U2 = ?.
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
82

?: Пусть x1 = x2 и для p ? MX выполнено ? := p(x1 ? x2 ) > 0.
Положим U1 := x1 + ?/3 Bp , U2 := x2 + ?/3 Bp . По 5.2.10, Uk ? ?X (xk ).
Убедимся, что U1 ? U2 = ?. В самом деле, если y ? U1 ? U2 , то
p(x1 ? y) ? ?/3 и p(x2 ? y) ? ?/3. Отсюда p(x1 ? x2 ) ? 2?/3 < ? =
p(x1 ? x2 ), чего быть не может.
?: Если (x1 , x2 ) ? ?{V : V ? UX }, то x2 ? ?{V (x1 ) : V ? UX }.
Поэтому x1 = x2 и, стало быть, на основании 5.2.6 мультинорма MX
хаусдорфова.
5.2.13. Замечание. Наличие в мультинормированном прост-
ранстве равномерности и соответствующей топологии позволяет, оче-
видно, использовать такие понятия, как равномерная непрерывность,
полнота, непрерывность, открытость и замкнутость и т. п.
5.2.14. Пусть (X, p) — полунормированное пространство и X0
— подпространство в X. Фактор-пространство (X/X0 , pX/X0 ) хау-
сдорфово в том и только в том случае, если X0 — замкнутое множе-
ство.
?: Пусть x ? X0 . Тогда ?(x) = 0, где, как обычно, ? : X >
X/X0 — каноническое отображение. По условию будет 0 = ? :=
pX/X0 (?(x)) = p??1 (?(x)) = inf{p(x + x0 ) : x0 ? X0 }. Значит, шар
x + ?/2 Bp не пересекается с X0 , т. е. x — внешняя точка X0 . Итак,
X0 замкнуто.
?: Пусть x — ненулевая точка фактор-пространства X/X0 и
x = ?(x) для подходящего элемента x из пространства X. Если
pX/X0 (x) = 0, то 0 = inf{p(x ? x0 ) : x0 ? X0 }, т. е. имеется после-
довательность (xn ) в X0 , для которой xn > x. Следовательно, по
4.1.19, x ? X0 и x = 0. Получили противоречие.
5.2.15. Замыкание -множества — -множество.
Пусть U ? ( ) и U = ? (иначе все ясно). В силу 4.1.9 для
точек x, y ? cl U найдутся сети (x? ), (y? ) элементов U такие, что
x? > x, y? > y. Если (?, ?) ? , то ?x? +?y? ? U . Вновь привлекая
4.1.19, выводим ?x + ?y = lim(?x? + ?y? ) ? cl U .

5.3. Сравнение мультинорм
5.3.1. Определение. Пусть M и N — две мультинормы в век-
торном пространстве. Говорят, что M сильнее N, и пишут M N,
если UM ? UN . Если одновременно M NиN M, то говорят,
что M и N эквивалентны, и пишут M ? N.
5.3. Сравнение мультинорм 83

5.3.2. Теорема о сравнении мультинорм. Для мультинорм
M и N в векторном пространстве X эквивалентны утверждения:
(1) M N;
(2) для всякого x ? X выполнено ?M (x) ? ?N (x);
(3) ?M (0) ? ?N (0);
(4) (? q ? N) (? p1 , . . . , pn ? M)
(? ?1 , . . . , ?n ? R+ \ 0) Bq ? ?1 Bp1 ? . . . ? ?n Bpn ;
(5) (? q ? N) (? p1 , . . . , pn ? M) (? t > 0) q ? t(p1 ?. . .?pn )
(порядок взят из K-пространства RX ).
(1) ? (2) ? (3) ? (4): Очевидно.
(4) ? (5): Используя теорему о функционале Минковского (ср.
5.1.2), имеем
q ? pBp1 /?1 ? . . . ? pBpn /?n =
1 1 1 1
? ... ? ? ? ... ? p1 ? . . . ? p n .
p1 pn
=
?1 ?n ?1 ?n
(5) ? (1): Достаточно проверить, что M {q} для полунормы
q ? N. Если V ? Uq , то V ? {dq ? ?} для некоторого ? > 0. По
условию
? ?
{dq ? ?} ? dp1 ? ? . . . ? dpn ?
t t
для подходящих p1 , . . . , pn ? M и t > 0. Множество, стоящее в
правой части последнего включения, — элемент Up1 ? . . . ? Upn =
U{p1 ,...,pn } ? UM . Значит, V также входит в UM .
5.3.3. Определение. Пусть p, q : X > R — две полунормы
в X. Говорят, что p сильнее q, и пишут p q, если {p} {q}.
Аналогично трактуют эквивалентность полунорм p ? q.
5.3.4. p q ? (? t > 0) q ? tp ? (? t ? 0) Bq ? tBp ;

p ? q ? (? t1 , t2 > 0) t2 p ? q ? t1 p ? (? t1 , t2 > 0) t1 Bp ? Bq ? t2 Bp .

Следует из 5.3.2 и 5.1.2.
5.3.5. Теорема Рисса. Пусть p, q : FN > R — полунормы на
конечномерном пространстве FN . Тогда p q ? ker p ? ker q.
5.3.6. Следствие. Любые две нормы на конечномерном про-
странстве эквивалентны.
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
84

5.3.7. Пусть (X, M) и (Y, N) — мультинормированные про-
странства и T ? L (X, Y ) — линейный оператор. Следующие утвер-
ждения эквивалентны:
(1) N ? T ? M;
(2) T ? (UX ) ? UY , T ??1 (UY ) ? UX ;
(3) x ? X ? T (?X (x)) ? ?Y (T x);
(4) T (?X (0)) ? ?Y (0), ?X (0) ? T ?1 (?Y (0));
(5) (? q ? N) (? p1 , . . . , pn ? M) q ? T ? p1 ? . . . ? pn .
5.3.8. Пусть (X, · X ) и (Y, · Y ) — нормированные простран-
ства и T ? L (X, Y ) — линейный оператор. Следующие утвержде-
ния эквивалентны:
(1) T ограничен (т. е. T ? B(X, Y ));
(2) · X · Y ? T;
(3) T равномерно непрерывен;
(4) T непрерывен;
(5) T непрерывен в нуле.
Все сказанное — частный случай 5.3.7.
5.3.9. Замечание. Предложение 5.3.7 показывает, что бывает
удобно рассматривать вместо исходной мультинормы M какую-либо
эквивалентную ей фильтрованную по возрастанию (относительно от-
ношения ? или ) мультинорму. В качестве такой можно взять
мультинорму M := {sup M0 : M0 — непустое конечное подмножество
M}. В то же время при рассмотрении нефильтрованных мультинорм
необходима известная осторожность.
5.3.10. Контрпример. Пусть X := F и X0 состоит из посто-
янных отображений X0 := F1, где 1 : ? > 1 (? ? ). Положим
M := {p? : ? ? }, где p? (x) := |x(?)| (x ? F ). Ясно, что M —
мультинорма в X. Пусть теперь ? : X > X/X0 — каноническое
отображение. Несомненно, что M??1 состоит только из нуля. В то
же время мультинорма M??1 хаусдорфова.
5.3.11. Определение. Пусть (X, M) — мультинормированное
пространство и X0 — подпространство в X. Мультинорму M??1 ,
где ? : X > X/X0 — каноническое отображение, называют фактор-
мультинормой и обозначают MX/X0 . Пространство (X/X0 , MX/X0 )
5.4. Метризуемые и нормируемые пространства 85

называют фактор-пространством пространства X по подпростран-
ству X0 .
5.3.12. Фактор-пространство X/X0 хаусдорфово в том и только
в том случае, если X0 замкнуто.

5.4. Метризуемые и нормируемые
пространства
5.4.1. Определение. Пусть (X, M) — мультинормированное
пространство. Назовем (X, M) метризуемым, если существует та-
кая метрика d на X, что UM = Ud . Если на X существует норма,
эквивалентная исходной мультинорме M, то X называют нормируе-
мым. Если же на X существует счетная мультинорма, эквивалент-
ная исходной, то X называют счетнонормируемым.
5.4.2. Критерий метризуемости. Мультинормированное
пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно счетнонор-
мируемо и хаусдорфово.
?: Пусть UM = Ud . Переходя, если нужно, к мультинорме
M, будем считать, что для всякого n ? N можно указать такие полу-
норму pn ? M и число tn > 0, для которых {d ? 1/n} ? {dpn ? tn }.
Положим N := {pn : n ? N}. Несомненно, что M N. Если
V ? UM , то V ? {d ? 1/n} для некоторого n ? N по определению
метрической равномерности. Значит, по построению V ? Upn ? UM ,
т. е. M ? N. Следовательно, M ? N. Хаусдорфовость Ud отмечена
в 4.1.7. Привлекая 5.2.6, видим, что UM и UN хаусдорфовы.
?: Переходя, если нужно, к эквивалентной мультинорме, будем
считать, что пространство счетнонормировано и хаусдорфово: M :=
{pn : n ? N} и M — хаусдорфова мультинорма.
Для x1 , x2 ? X положим
?
1 pk (x1 ? x2 )
d(x1 , x2 ) :=
2k 1 + pk (x1 ? x2 )
k=1

(ряд в правой части этой формулы мажорируется сходящимся рядом
? k
k=1 1/2 , так что определение d корректно).
Проверим, что d — это метрика. Достаточно убедиться лишь
в справедливости неравенства треугольника. Прежде всего, поло-
жим ?(t) := t(1 + t)?1 (t ? R+ ). Ясно, что ? (t) = (1 + t)?2 > 0.
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
86

Стало быть, функция ? возрастает. При этом ? субаддитивна:
?(t1 + t2 ) = (t1 + t2 )(1 + t1 + t2 )?1 =
= t1 (1 + t1 + t2 )?1 + t2 (1 + t1 + t2 )?1 ? t1 (1 + t1 )?1 + t2 (1 + t2 )?1 =
= ?(t1 ) + ?(t2 ).
Значит, для x, y, z ? X выполнено
? ?
1 1
?(pk (x ? y)) ? ?(pk (x ? z) + pk (z ? y)) ?
d(x, y) =
2k 2k
k=1 k=1
?
1
? (?(pk (x ? z) + ?(pk (z ? y))) = d(x, z) + d(z, y).
2k
k=1

Осталось установить совпадение Ud и UM .
Проверим сначала, что Ud ? UM . Возьмем цилиндр {d ? ?},
и пусть (x, y) ? {dp1 ? t} ? . . . ? {dpn ? t}. Тогда с учетом монотон-
ности ? получаем
?
n
1 pk (x ? y) 1 pk (x ? y)
?
d(x, y) = +
2k 1 + pk (x ? y) 2k 1 + pk (x ? y)
k=1 k=n+1

?
n
t t
1 1 1
? ? + n.
+
2k k
1+t 1+t 2
2
k=1 k=n+1

Так как t(1 + t)?1 + 2?n стремится к нулю, когда n > ? и t > 0,
для подходящих t и n будет (x, y) ? {d ? ?}. Значит, {d ? ?} ? UM ,
что и нужно.
Установим теперь, что UM ? Ud . Для этого следует при данных
pn ? M и t > 0 подыскать ? > 0 так, чтобы {dpn ? t} ? {d ? ?}.
Очевидно, можно взять
1t
? := ,
2n 1 + t
поскольку из соотношений
1 pn (x ? y) 1t
? d(x, y) ? ? = n
2n 1 + pn (x ? y) 2 1+t
для любых x, y вытекает, что pn (x ? y) ? t.
5.5. Банаховы пространства 87

5.4.3. Определение. Множество V в мультинормированном
пространстве (X, M) называют ограниченным, если sup p(V ) < +?
при всех p ? M, т. е. если числовое множество p(V ) ограничено
сверху в R для каждой полунормы p из M.
5.4.4. Для множества V в (X, M) эквивалентны утверждения:
(1) V — ограничено;
(2) для любой последовательности (xn )n?N в V и после-
довательности (?n )n?N в F такой, что ?n > 0, вы-
полнено ?n xn > 0 (т. е. p(?n xn ) > 0 для всякой
полунормы p ? M);
(3) V поглощается каждой окрестностью нуля.
(1) ? (2): p(?n xn ) ? |?n |p(xn ) ? |?n | sup p(V ) > 0.
(2) ? (3): Пусть U ? ?X (0) и не верно, что U поглощает V . По
определению 3.4.9 это значит, что (? n ? N) (? xn ? V ) xn ? nU . Та-
ким образом, 1/n xn ? U для всех n ? N, т. е. (1/n xn ) не стремится
к нулю.
(3) ? (1): Пусть p ? M. Найдется n ? N, для которого V ? nBp .
Ясно, что sup p(V ) ? sup p(nBp ) = n < +?.
5.4.5. Критерий Колмогорова. Мультинормированное про-
странство нормируемо в том и только в том случае, если оно хау-
сдорфово и имеет ограниченную окрестность нуля.
?: Очевидно.
?: Пусть V — ограниченная окрестность нуля. Не нарушая
общности, можно считать, что V = Bp для некоторой полунормы p
из исходной мультинормы M. Несомненно, что p ? M. Если теперь
U ? ?M (0), то nU ? V для некоторого n ? N. Значит, U ? ?p (0).
M. Таким образом, p ?
Привлекая теорему 5.3.2, видим, что p
M и, стало быть, в силу 5.2.12, p также хаусдорфова полунорма.
Последнее означает, что p — норма.
5.4.6. Замечание. Попутно в 5.4.5 установлено, что наличие
ограниченной окрестности нуля в мультинормированном простран-
стве равносильно его полунормируемости.

5.5. Банаховы пространства
5.5.1. Определение. Полное нормированное пространство на-
зывают банаховым.
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
88

5.5.2. Замечание. Непосредственным расширением класса ба-
наховых пространств служат полные метризуемые мультинормиро-
ванные пространства — пространства Фреше. Можно сказать, что
пространства Фреше составляют наименьший класс, содержащий ба-
наховы пространства и замкнутый относительно образования счет-
ных произведений.
5.5.3. Нормированное пространство является банаховым в том
и только в том случае, если любой абсолютно (= нормально) сходя-
щийся ряд в нем сходится.
?
?: Пусть n=1 xn < +? для некоторой счетной последо-
вательности (xn ). Тогда последовательность частичных сумм sn :=
x1 + . . . + xn фундаментальна, ибо при m > k справедливы соотно-
шения
m m
sm ? sk = xn ? xn > 0.
n=k+1 n=k+1

?: Пусть (xn ) — счетная фундаментальная последовательность.
Выберем возрастающую последовательность (nk )k?N такую, чтобы
было xn ? xm ? 2?k при n, m ? nk . Тогда ряд xn1 + (xn2 ?
xn1 ) + (xn3 ? xn2 ) + . . . абсолютно сходится к некоторой сумме x,
т. е. xnk > x. Видно, что одновременно с этим xn > x.
5.5.4. Пусть X — банахово пространство и X0 — замкнутое под-
пространство в X. Тогда фактор-пространство X/X0 банахово.
Пусть ? : X > X := X/X0 — соответствующее канониче-
ское отображение. Несомненно, что для каждого элемента x ? X
существует элемент x ? ??1 (x) такой, что 2 x ? x ? x . Зна-
?
чит, для ряда n=1 xn , абсолютно сходящегося в X , можно выбрать
?
xn ? ??1 (xn ), обеспечив сходимость ряда норм n=1 xn . На осно-
?
вании 5.5.3 имеется сумма x := n=1 xn . Пусть x := ?(x). Тогда
n n
x? xk ? x ? xk > 0.
k=1 k=1

Вновь апеллируя к 5.5.3, выводим, что X банахово.
5.5.5. Замечание. Понятно, что 5.5.3 можно перенести на по-
лунормированные пространства. В частности, если (X, p) — полное
полунормированное пространство, то фактор-пространство X/ ker p
банахово.
5.5. Банаховы пространства 89

5.5.6. Теорема. Пусть X, Y — нормированные пространства и
X = 0. Пространство ограниченных операторов B(X, Y ) является
банаховым в том и только в том случае, если Y банахово.
?: Пусть (Tn ) — последовательность Коши в B(X, Y ). По
нормативному неравенству для всех x ? X выполнено Tm x?Tk x ?
Tm ? Tk x > 0, т. е. (Tn x) — фундаментальная последователь-
ность в Y . Таким образом, есть предел T x := lim Tn x. Бесспорно, что
возникающее отображение T — линейный оператор. В силу оценки
| Tm ? Tk | ? Tm ? Tk последовательность ( Tn ) фундамен-
тальна в R, потому и ограничена, т. е. supn Tn < +?. Отсюда,
переходя к пределу в неравенстве Tn x ? supn Tn x , получа-
ем: T < +?. Осталось проверить, что Tn ? T > 0. Возьмем
для заданного ? > 0 номер n0 так, чтобы было Tm ? Tn ? ?/2
при m, n ? n0 . Помимо этого, для x ? BX подберем m ? n0 , для
которого Tm x ? T x ? ?/2. Тогда Tn x ? T x ? Tn x ? Tm x +
Tm x ? T x ? Tn ? Tm + Tm x ? T x ? ? при n ? n0 . Значит,
Tn ? T = sup{ Tn x ? T x : x ? BX } ? ? при достаточно боль-
ших n.
?: Пусть (yn ) — последовательность Коши в Y . По условию
существует элемент x ? X с нормой x = 1. Привлекая 3.5.6 и 3.5.2
(1), подыщем элемент x ? |?|( · ), для которого (x, x ) = x = 1.
Очевидно, что одномерный оператор Tn := x ? yn : x > (x, x )yn
входит в B(X, Y ), ибо Tn = x yn . Значит, Tm ? Tk = x ?
(ym ?yk ) = x ym ?yk = ym ?yk , т. е. (Tn ) — фундаментальная
последовательность в B(X, Y ). Обозначим T := lim Tn . Тогда T x ?
Tn x = T x ? yn ? T ? Tn x > 0. Иначе говоря, T x — предел
(yn ) в Y .
5.5.7. Следствие. Сопряженное пространство (с сопряженной
нормой) банахово.
5.5.8. Следствие. Пусть X — нормированное пространство,
? : X > X — двойное штрихование, осуществляющее канониче-
ское вложение X во второе сопряженное пространство X . Тогда
замыкание cl ?(X) — пополнение X.
В силу 5.5.7, X — банахово пространство. По 5.1.10 (8) отоб-
ражение ? — это изометрия X в X . Осталось сослаться на 4.5.16.
5.5.9. Примеры.
(1) «Абстрактные» примеры: основное поле, замкнутое
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
90

подпространство банахова пространства, произведение банаховых
пространств, 5.5.4–5.5.8.
(2) Пусть E — непустое множество. Для x ? F E положим
x ? := sup |x(E )|. Пространство l? (E ) := l? (E , F) := dom · ?
называют пространством ограниченных функций на E . Используют
и такие обозначения: B(E ) или B(E , F). При E := N полагают
m := l? := l? (E ).
(3) Пусть F — фильтр в E . По определению считают
x ? c(E , F ) ? (x ? l? (E ) и x(F ) — фильтр Коши в F).
В случае, когда E := N и F — фильтр дополнений конечных мно-
жеств в N, пишут c := c(E , F ) и говорят о пространстве сходящихся
последовательностей. В c(E , F ) рассматривают подпространство
c0 (E , F ) := {x ? c(E , F ) : x(F ) > 0}.
Если F — фильтр дополнений конечных множеств в бесконеч-
ном E , то применяют сокращенную запись c0 (E ) := c0 (E , F ) и
говорят о пространстве функций, исчезающих на бесконечности.
При E := N пишут просто c0 := c0 (E ). Пространство c0 называют
пространством сходящихся к нулю последовательностей. Следует
помнить, что все эти пространства без особых оговорок наделяют
нормой, взятой из соответствующего пространства l? (E , F ).
(4) Пусть S := (E , X, ) — система с интегрированием.
Таким образом, X — векторная решетка в RE , причем решеточные
операции в X и RE совпадают, а : X > R — (пред)интеграл, т. е.
#

<< Пред. стр.

стр. 10
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>