<< Пред. стр.

стр. 11
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

? X+ и xn v 0, как только xn ? X и xn (e) v 0 для e ? E . Пусть,
далее, f ? F E — измеримое (относительно S) отображение (можно,
как это обычно и принято, говорить о почти везде конечных почти
везде определенных измеримых функциях).
Положим Np (f ) := ( |f |p )1/p для p ? 1, где — соответству-
ющее лебегово расширение исходного интеграла (использование
единого символа — традиционная вольность).
Элементы dom N1 называют интегрируемыми или суммируе-
мыми функциями.
Интегрируемость f ? F E равносильна интегрируемости ее веще-
ственной и мнимой частей Re f, Im f ? RE . Для полноты напомним,
что N1 (f ) = N (f ), где
N (g) :=
5.5. Банаховы пространства 91

xn : (xn ) ? X, xn ? xn+1 , (? e ? E ) |g(e)| = lim xn (e)
:= inf sup
n

для произвольной g ? F E . При F = R ясно, что dom N1 представляет
замыкание X в полунормированном пространстве (dom N, N ).
Имеет место неравенство Г?льдера
е
1 1
N1 (f g) ? Np (f )Np (g) = 1, p > 1 .
+
pp
Это неравенство есть следствие неравенства Юнга:
xp yp
xy ? ? (x, y ? R+ ),
p p
примененного к |f |/Np (f ) и |g|/Np (g) в случае, когда Np (f ) и Np (g)
не равны нулю одновременно. При Np (f )Np (g) = 0 неравенство
Г?льдера несомненно.
е
Множество Lp := dom Np является векторным пространством.
|f +g|p ? (|f |+|g|)p ? 2p (|f |?|g|)p = 2p (|f |p ?|g|p ) ? 2p (|f |p +|g|p )
Функция Np — полунорма, ибо для нее справедливо неравенство
Минковского
Np (f + g) ? Np (f ) + Np (g).
При p = 1 неравенство Минковского несомненно. При p > 1
неравенство Минковского следует из представления
Np (f ) = sup{N1 (f g)/Np (g) : 0 < Np (g) < +?} (f ? Lp ),
в правой части которого стоит верхняя огибающая семейства полу-
норм.
Для доказательства нужного представления в силу неравенства
Г?льдера достаточно заметить, что при Np (f ) > 0 для g := |f |p/p
е
выполнено g ? Lp и, кроме того, Np (f ) = N1 (f g)/Np (g).
В самом деле, N1 (f g) = |f |p/p +1 = Np (f )p , ибо p/p + 1 =
p (1 ? 1/p) + 1 = p. Помимо этого, Np (g)p = |g|p = |f |p =
Np (f )p , так что Np (g) = Np (f )p/p . Окончательно получаем

N1 (f g)/Np (g) = Np (f )p /Np (f )p/p =
= Np (f )p?p/p = Np (f )p(1?1/p ) = Np (f ),
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
92

что и завершает доказательство.
Элементы dom N1 называют интегрируемыми или суммируе-
мыми функциями. Интегрируемость f ? F E равносильна интегри-
руемости вещественной и мнимой частей Re f, Im f ? RE . Ради
полноты, напомним, что

N (g) :=

xn : (xn ) ? X, xn ? xn+1 , (? e ? E ) |g(e)| ? lim xn (e)
:= inf sup
n
n


для произвольного g ? F E . Если F := R, то dom N1 , очевидно,
представляет собой замыкание X в нормированном пространстве
(dom N, N ).
Фактор-пространство Lp / ker Np , наделенное соответствующей
фактор-нормой · p , называют пространством функций, суммируе-
мых (вместе) с p-той степенью, или пространством p-суммируемых
функций и обозначают Lp . Конечно, используют и более разверну-
тые символы типа Lp (S), Lp (E , X, ) и т. п.
Наконец, если система с интегрируемостью S возникает из рас-
смотрения ступенчатых измеримых функций на пространстве с ме-
рой ( , A , µ), то пишут Lp ( , A , µ), Lp ( , µ) и даже Lp (µ), где
остальные параметры рассматриваемой ситуации ясны из контекста.
Теорема Рисса — Фишера. Пространство Lp является бана-
ховым.
Наметим доказательство. Возьмем какой-либо абсолютно схо-
? n
дящийся ряд t := k=1 Np (fk ), где fk ? Lp . Положим ?n := k=1 fk
n
k=1 |fk |. Видно, что последовательность (sn ) состоит из
и sn :=
положительных функций и является возрастающей. Это же вер-
но для последовательности (sp ). Более того, sp ? tp < +?. По
n n
теореме Леви о монотонной сходимости почти для каждого e ? E
предел g(e) := lim sp (e) конечен и можно считать, что возникаю-
n
щая функция g лежит в L1 . Полагая h(e) := g 1/p (e), видим, что
h ? Lp и sn (e) > h(e) почти при всех e ? E . Из неравенств
|?n | ? sn ? h вытекает, что почти для любого e ? E сходится
?
k=1 fk (e). Для суммы f0 (e) будет |f0 (e)| ? h(e), и, стало
ряд
быть, можно считать, что f0 ? Lp . Применяя теорему Лебега об
ограниченной сходимости (= о предельном переходе), заключаем:
5.5. Банаховы пространства 93
1/p
Np (?n ? f0 ) = |?n ? f0 |p > 0. Итак, абсолютно сходящийся
ряд в полунормированном пространстве (Lp , Np ) сходится. Остает-
ся сослаться на 5.5.3–5.5.5.
Если система S — это «обычное суммирование» на E , т. е. в слу-
чае, когда X := e?E R — прямая сумма основных полей R и x :=
e?E x(e), пространство Lp состоит из семейств, суммируемых с
p-той степенью. Это пространство обозначают lp (E ). При этом
1/p
e?E |x(e)| . При E := N пишут просто lp и говорят о
p
x p :=
пространстве последовательностей, суммируемых с p-той степе-
нью.
(5) Пространство L? определяют на основе следующей
конструкции. Пусть X — упорядоченное векторное пространство и
e ? X+ — положительный элемент. Полунормой pe , ассоциированной
с e, называют функционал Минковского промежутка [?e, e], т. е.

pe (x) := inf{t > 0 : ?te ? x ? te}.

Пространство Xe , совпадающее с эффективной областью определе-
ния dom pe , называют пространством ограниченных по отношению
к e элементов, а сам элемент e — сильной единицей в Xe . Элементы
ядра ker pe называют неархимедовыми (по отношению к e).
Фактор-пространство Xe / ker pe наделяют фактор-полунормой
и называют нормированным пространством ограниченных элемен-
тов, порожденным e (в X). Так, пространство C(Q, R) непрерыв-
ных вещественных функций на непустом компакте Q есть нормиро-
ванное пространство ограниченных элементов, порожденное функ-
цией 1 := 1Q : q > 1 (q ? Q) (в себе). В пространстве RE та же
функция 1 порождает пространство l? (E ).
Для системы с интегрированием S := E , X, в предположе-
нии измеримости 1 рассматривают пространство таких измеримых
функций из E в F, что

N? (f ) := inf{t > 0 : |f | ? t1} < +?,

где ? означает «меньше почти везде». Это пространство называют
пространством существенно ограниченных функций и обозначают
L? .
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
94

Фактор-пространство L? / ker N? обозначают L? , а норму в
нем — · ? . Элементы L? , допуская вольность речи, называ-
ют (как и элементы L? ) существенно ограниченными функциями.
Пространство L? является банаховым.
Пространству L? , так же, как и пространствам C(Q, F), lp (E ),
c0 (E ), c, lp , Lp (p ? 1), присвоено название «классическое банахо-
во пространство». В последнее время к числу классических относят
также пространства Линденштраусса, т. е. пространства, сопря-
женные к которым изометричны L1 (относительно какой-нибудь си-
стемы с интегрированием). Можно показать, что банахово простран-
ство X является классическим в том и только в том случае, если
сопряженное пространство X изометрично одному из пространств
Lp при p ? 1.
(6) Пусть S := E , X, — система с интегрированием и
p ? 1. Допустим, что для каждого e ? E имеется банахово простран-
ство (Ye , · Ye ). Возьмем любой элемент f ? e?E Ye и положим
|||f ||| : e > f (e) Ye . Пусть, далее, Np (f ) := inf{Np (g) : g ? Lp , g ?
|||f |||}. Ясно, что dom Np — векторное пространство с полунормой Np .
Фактор-пространство dom Np / ker Np с соответствующей нормой |||·|||p
называют суммой семейства (Ye )e?E по типу p (точнее, по типу Lp
в системе с интегрированием S).
Сумма по типу p семейства пространств — банахово простран-
ство.
?
Пусть k=1 Np (fk ) < +?. Тогда последовательность частич-
n
ных сумм (sn := k=1 |||fk |||) сходится к некоторой почти везде конеч-
ной положительной функции g и Np (g) < +?. Отсюда видно, что
почти для каждого e ? E сходится последовательность (sn (e)), т. е.
? ?
ряд k=1 fk (e) Ye . Из-за полноты Ye получаем, что ряд k=1 fk (e)
сходится к некоторой сумме f0 (e) в Ye почти при любом e ? E . По-
скольку f0 (e) Ye ? g(e) почти при всех e ? E , можно считать, что
?
n
f0 ? dom Np . Наконец, Np ( k=1 fk ? f0 ) ? k=n+1 Np (fk ) > 0.
В случае E := N и «обычного суммирования» сумму Y последо-
вательности банаховых пространств (Yn )n?N часто обозначают

Y := (Y1 ? Y2 ? . . . )p ,

где p — тип суммирования. Элемент y пространства Y — это после-
5.5. Банаховы пространства 95

довательность (yn )n?N такая, что yn ? Yn и

1/p
?
p
|||y|||p := yn < +?.
Yn
k=1


В случае, когда Ye := X при любом e ? E , где X — некото-
рое банахово пространство над F, полагают Fp := dom Np и Fp :=
Fp / ker Np . Элементы полученных пространств называют вектор-
ными полями или X-значными функциями на E (с нормами, сумми-
руемыми с p-той степенью). Несомненно, что пространство Fp явля-
ется банаховым. В то же время если в исходной системе с интегриро-
ванием есть неизмеримое множество, то пространство Fp содержит
чересчур много элементов (так, для обычной лебеговой системы с ин-
тегрированием Fp = Lp ). В этой связи в пространстве Fp выделяют
функции с конечными множествами значений, каждое из которых
принимается на измеримом множестве. Такие элементы, р?вно как
а
и отвечающие им классы в Fp , называют простыми, конечнознач-
ными, ступенчатыми или размещенными функциями. Замыкание
множества простых функций в Fp обозначают Lp (более развернуто:
Lp (X), Lp (S, X), Lp ( , A , µ), Lp ( , µ) и т. п.) и называют про-
странством X-значных функций, суммируемых с p-той степенью,
или же пространством p-суммируемых X-значных функций. Ясно,
что Lp (X) — банахово пространство.
Проиллюстрируем одно из достоинств этих пространств в слу-
чае p = 1. Заметим прежде всего, что простую функцию f можно
записать в виде «конечной комбинации характеристических функ-
ций»:
f= ?f ?1 (x) x,
x?imf

где множество f ?1 (x) измеримо при x ? im f . Более того,

|||f ||| = ?f ?1 (x) x =
x?imf



?f ?1 (x) x = x ?f ?1 (x) < +?.
=
x?imf x?imf
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
96

Каждой простой функции f сопоставим элемент в X по правилу:

f := ?f ?1 (x) x.
x?imf

Проверка показывает, что возникающий интеграл , определенный
на подпространстве простых функций, линеен. Более того, он огра-
ничен, ибо

?f ?1 (x) x ?
f= ?f ?1 (x) x =
x?imf x?imf


|||f |||.
x ?f ?1 (x) =
=
x?imf

В силу 4.5.10 и 5.3.8 оператор допускает единственное продолже-
ние до элемента пространства B(L1 (X), X). Этот элемент обозна-
чают тем же символом (или E и т. п.) и называют интегралом
Бохнера.
(7) В случае «обычного суммирования» приняты те же
соглашения, что и в скалярной теории. Именно, вместо интегралов
суммируемых функций говорят о суммах суммируемых семейств и
используют соответствующие стандартные знаки. При этом беско-
нечномерность порождает свои проблемы.
Пусть (xn ) — семейство элементов банахова пространства. Его
суммируемость означает суммируемость (в смысле интеграла Бох-
нера) числового семейства ( xn ), т. е. абсолютную сходимость ряда
(xn ). Тем самым среди (xn ) лишь счетное число ненулевых элемен-
тов и (xn ) можно считать (счетной) последовательностью. При этом
?
n=1 xn < +? (= ряд x1 + x2 + . . . абсолютно сходится). С уче-
?
том 5.5.3 для суммы ряда x = n=1 xn выполнено: x = lim? s? ,
где s? := n?? xn — (соответствующая ?) частичная сумма, а ?
пробегает направление конечных подмножеств N. В последней си-
туации x изредка называют неупорядоченной суммой ряда (xn ), а
последовательность (xn ) — неупорядоченно суммируемой к x (пи-
шут: x = n?N xn ). В этих терминах заключаем: суммируемость
влечет неупорядоченную суммируемость (к той же сумме). При
dim X < +? верно и обратное утверждение (= теорема Римана о
рядах). Общий случай разъясняет следующий глубокий факт.
5.6. Алгебра ограниченных операторов 97

Теорема Дворецкого — Роджерса. В каждом бесконечно-
мерном банаховом пространстве X для любой последовательности
?
положительных чисел (tn ) такой, что n=1 tn < +?, существует
2

неупорядоченно суммируемая последовательность элементов (xn ), у
которой xn = tn при всех n ? N.
В этой связи для семейства элементов произвольного мульти-
нормированного пространства (X, M) принимают следующую тер-
минологию. Говорят, что семейство (xe )e?E суммируемо или без-
условно суммируемо (к сумме x) и пишут x := e?E xe при условии,
что x является пределом в (X, M) соответствующей сети частич-
ных сумм (s? ), где ? — конечное подмножество E , т. е. s? > x
в (X, M). Если для каждого p существует сумма e?E p(xe ), то
говорят, что семейство (xe )e?E абсолютно суммируемо (или, что бо-
лее правильно, фундаментально суммируемо, или даже абсолютно
фундаментально).
Пусть в заключение Y — еще одно банахово пространство и
T ? B(X, Y). Оператор T естественным способом распространя-
ют до оператора из L1 (X) в L1 (Y), полагая для простой X-значной
функции f , что T f : e > T f (e) при e ? E . Тогда для f ? L1 (X)
будет T f ? L1 (Y) и E T f = T E f . Последний факт выражают
словами: «интеграл Бохнера коммутирует с ограниченными опера-
торами».

5.6. Алгебра ограниченных операторов
5.6.1. Пусть X, Y , Z — нормированные пространства, а T ?
L (X, Y ) и S ? L (Y, Z) — линейные операторы. Тогда ST ?
S T , т. е. операторная норма является субмультипликативной.
В силу нормативных неравенств для x ? X выполнено

ST x ? S Tx ? S T x.

5.6.2. Замечание. В алгебре, в частности, изучают (ассоциа-
тивные) алгебры над F. Так называют векторное пространство A
над F, в котором имеется (ассоциативное) умножение элементов ? :
(a, b) > ab (a, b ? A). Предполагается, что умножение ? дистрибу-
тивно относительно сложения (т. е. (A, +, ?) — это (ассоциативное)
кольцо) и, кроме того, что операция ? согласована с умножением на
скаляр в том смысле, что ?(ab) = (?a)b = a(?b) при всех a, b ? A
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
98

и ? ? F. Иными словами, в более развернутом виде алгебра — это
набор (A, F, +, · , ?). В то же время, как и в других аналогичных
ситуациях, говорят просто об алгебре A.
5.6.3. Определение. Нормированная алгебра (над основным
полем) — это ассоциативная алгебра (над этим полем), наделенная
субмультипликативной нормой. Банахова алгебра — это полная нор-
мированная алгебра.
5.6.4. Пусть B(X) := B(X, X) — пространство ограниченных
эндоморфизмов нормированного пространства X. С операцией су-
перпозиции операторов в качестве умножения и с операторной нор-
мой пространство B(X) представляет собой нормированную алгебру.
При X = 0 в B(X) есть единичный элемент IX и IX = 1. Алгебра
B(X) является банаховой в том и только в том случае, если X —
банахово пространство.
Если X = 0, то все очевидно. Если же X = 0, то нужно
воспользоваться 5.5.6.
5.6.5. Замечание. В связи с 5.6.4 за элементом ?IX , где ? ? F,
удобно закрепить тот же самый символ ?. (В частности, 1 = I0 = 0!)
При X = 0 описанную процедуру можно мыслить как отождествле-
ние основного поля F и одномерного подпространства FIX .
5.6.6. Определение. Пусть X — нормированное пространство
и T ? B(X). Число r(T ) := inf T n 1/n : n ? N называют спек-
тральным радиусом T . (Естественность этого термина станет ясной
несколько позже (ср. 8.1.12).)
5.6.7. r(T ) ? T .
Действительно, в силу 5.6.1, T n ? T n
.
5.6.8. Справедлива формула Гельфанда
n
Tn .
r(T ) = lim

Пусть ? > 0 и s ? N таковы, что T s ? (r(T ) + ?)s . Для
каждого n ? N в случае n ? s имеется представление n = k(n)s+l(n),
где k(n), l(n) ? N и 0 ? l(n) ? s ? 1. Значит,

T n = T k(n)s T l(n) ? T s T l(n) ?
k(n)
5.6. Алгебра ограниченных операторов 99

? 1 ? T ? . . . ? T s?1 Ts k(n)
= M Ts k(n)
.

Следовательно,

r(T ) ? T n ? M 1/n T s ?
k(n)/n
1/n



? M 1/n (r(T ) + ?)k(n)s/n = M 1/n (r(T ) + ?)(n?l(n))/n .

Так как M 1/n > 1 и (n ? l(n))/n > 1, то r(T ) ? lim sup T n 1/n ?
r(T ) + ?. Соотношение lim inf T n 1/n ? r(T ) очевидно. В силу
произвольности ? получаем требуемое.
5.6.9. Теорема о сходимости ряда Неймана. Пусть X —
банахово пространство и T ? B(X). Эквивалентны утверждения:
(1) ряд Неймана 1 + T + T 2 + . . . сходится в операторной
норме пространства B(X);
(2) T k < 1 для некоторого k из N;
(3) r(T ) < 1.
?
При выполнении одного из условий (1)–(3) будет k
k=0 T =
?1
(1 ? T ) .
(1) ? (2): Если ряд Неймана сходится, то общий член (T k )
стремится к нулю.
(2) ? (3): Очевидно.
(3) ? (1): На основании 5.6.8 при подходящем ? > 0 для всех
достаточно больших k ? N будет r(T ) ? T k 1/k ? r(T ) + ? < 1.
? k
k=0 T

<< Пред. стр.

стр. 11
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>