<< Пред. стр.

стр. 12
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Иными словами, хвост ряда мажорирован сходящимся
рядом. Учитывая полноту B(X) и критерий 5.5.3, заключаем, что
?
ряд k=0 T k сходится в пространстве B(X).
? n
Пусть теперь S := k=0 T k и Sn := k=0 T k . Тогда

S(1 ? T ) = lim Sn (1 ? T ) = lim (1 + T + . . . + T n ) (1 ? T ) =

= lim(1 ? T n+1 ) = 1;

(1 ? T )S = lim(1 ? T )Sn = lim(1 ? T )(1 + T + . . . + T n ) =

= lim 1 ? T n+1 = 1,

ибо T n > 0. Итак, в силу 2.2.7, S = (1 ? T )?1 .
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
100

5.6.10. Следствие. Если T < 1, то оператор (1 ? T ) (непре-
рывно) обратим (= имеет ограниченный обратный), т. е. обрат-
ное соответствие — ограниченный линейный оператор. При этом
(1 ? T )?1 ? (1 ? T )?1 .
Ряд Неймана сходится, причем
? ?
?1
= (1 ? T )?1 .
(1 ? T ) ? ?
k k
T T
k=0 k=0

5.6.11. Следствие. Если 1 ? T < 1, то T обратим и

1?T
1 ? T ?1 ? .
1? 1?T

По теореме 5.6.9,
? ?
(1 ? T )k = (1 ? (1 ? T ))?1 = T ?1 .
(1 ? T ) = k
1+
k=1 k=0

Отсюда выводим:
? ? ?
?1
?1 = (1 ? T ) ? (1 ? T ) ? 1?T
k k k
T .
k=1 k=1 k=1

5.6.12. Теорема Банаха об обратимых операторах. Пусть
X и Y — банаховы пространства. Множество (непрерывно) обрати-
мых операторов открыто. При этом операция обращения оператора
T > T ?1 является непрерывным отображением.
Пусть операторы S, T ? B(X, Y ) таковы, что T ?1 ? B(Y, X)
и, кроме того, T ?1 S ? T ? 1/2. Рассмотрим оператор T ?1 S ?
B(X). Имеем
1
1 ? T ?1 S = T ?1 T ? T ?1 S ? T ?1 T ?S ? < 1.
2
В силу 5.6.11, (T ?1 S)?1 — это элемент B(X).
Положим R := (T ?1 S)?1 T ?1 . Ясно, что R ? B(Y, X) и, кроме
того,
R = S ?1 (T ?1 )?1 T ?1 = S ?1 .
5.6. Алгебра ограниченных операторов 101

Помимо этого,

S ?1 ? T ?1 ? S ?1 ? T ?1 =

1 ?1
= S ?1 (T ? S)T ?1 ? S ?1 T ?1 ?
T ?S S .
2
Отсюда S ?1 ? 2 T ?1 . Окончательно

S ?1 ? T ?1 ? S ?1 T ?1 ? 2 T ?1
T ?S T ?S .
2



5.6.13. Определение. Пусть X — банахово пространство над F
и T ? B(X). Скаляр ? ? F называют регулярным или резольвент-
ным значением T , если (? ? T )?1 ? B(X). При этом полагают
R(T, ?) := (? ? T )?1 и называют оператор R(T, ?) резольвентой
(оператора T в точке ?). Множество резольвентных значений обо-
значают res(T ). Отображение ? > R(T, ?) из res(T ) в B(X) также
называют резольвентой оператора T . Множество F \ res(T ) назы-
вают спектром T и обозначают Sp(T ) или ?(T ). Элементы спектра
называют спектральными значениями.
5.6.14. Замечание. Если X = 0, то спектр единственного опе-
ратора T = 0 ? B(X) равен пустому множеству. В этой связи в спек-
тральном анализе молчаливо предполагают, что X = 0. В случае
X = 0 при F := R спектр также бывает пустым, а при F := C — не
бывает (ср. 8.1.11).
5.6.15. Множество res(T ) открыто, причем если ?0 ? res(T ), то
в некоторой окрестности ?0 выполнено
?
(?1)k (? ? ?0 )k R(T, ?0 )k+1 .
R(T, ?) =
k=0


Если |?| > T , то ? ? res(T ) и имеет место разложение
?
Tk
1
R(T, ?) = ,
?k
?
k=0


причем R(T, ?) > 0 при |?| > +?.
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
102

Поскольку (? ? T ) ? (?0 ? T ) = |? ? ?0 |, то открытость
множества res(T ) следует из 5.6.12. Кроме того,

? ? T = (? ? ?0 ) + (?0 ? T ) = (?0 ? T )R(T, ?0 )(? ? ?0 ) + (?0 ? T ) =

= (?0 ?T )((???0 )R(T, ?0 )+1) = (?0 ?T )(1?((?1)(???0 )R(T, ?0 ))).
Значит, в подходящей окрестности точки ?0 в силу 5.6.9 будет

R(T, ?) = (? ? T )?1 =

= (1 ? ((?1)(? ? ?0 )R(T, ?0 )))?1 (?0 ? T )?1 =
?
(?1)k (? ? ?0 )k R(T, ?0 )k+1 .
=
k=0
?1
На основании 5.6.9 при |?| > T имеется оператор (1 ? T /?) ,
представляющий собой сумму ряда Неймана, т. е.
?
?1
Tk
T
1 1
1?
R(T, ?) = .
=
?k
? ? ?
k=0

Очевидно
1 1
R(T, ?) ? · .
|?| 1 ? T /|?|
5.6.16. Спектр любого ограниченного оператора T компактен.
5.6.17. Замечание. Полезно помнить, что неравенство |?| >
r(T ) представляет собой необходимое и достаточное условие сходи-
?
мости ряда Лорана R(T, ?)= k=0 T k /?k+1 , дающего разложение
резольвенты в окрестности бесконечно удаленной точки (см. также
8.1.12).
5.6.18. Оператор S коммутирует с оператором T в том и только
в том случае, если S коммутирует с резольвентой T .
?: ST = T S ? S(? ? T ) = ?S ? ST = ?S ? T S = (? ? T )S ?
R(T, ?)S(? ? T ) = S ? R(T, ?)S = S R(T, ?) (? ? res(T )).
?: SR(T, ?0 ) = R(T, ?0 )S ? S = R(T, ?0 )S(?0 ? T ) ? (?0 ?
T )S = S(?0 ? T ) ? T S = ST .
5.6. Алгебра ограниченных операторов 103

5.6.19. Если ?, µ ? res(T ), то имеет место первое резольвентное
уравнение (= тождество Гильберта)

R(T, ?) ? R(T, µ) = (µ ? ?)R(T, µ)R(T, ?).

«Умножая тождество µ ? ? = (µ ? T ) ? (? ? T ) сначала на
R(T, ?) справа, а затем на R(T, µ) слева», последовательно прихо-
дим к требуемому.

5.6.20. Если ?, µ ? res(T ), то R(T, ?)R(T, µ) = R(T, µ) ?
R(T, ?).

5.6.21. Для ? ? res(T ) выполнено

dk
R(T, ?) = (?1)k k! R(T, ?)k+1 .
k
d?

5.6.22. Теорема о спектре произведения. Спектры Sp(ST )
и Sp(T S) могут отличаться лишь нулем.
Достаточно установить, что 1 ? Sp(ST ) ? 1 ? Sp(T S). В са-
мом деле, тогда при ? ? Sp(ST ) и ? = 0 будет

1 1 1
1? Sp(ST ) ? 1 ? Sp ? 1 ? Sp ? ? ? Sp(T S).
ST TS
? ? ?

Итак, рассмотрим случай 1 ? Sp(ST ). Формальные разложения
типа ряда Неймана —

(1 ? ST )?1 ? 1 + ST + (ST )(ST ) + (ST )(ST )(ST ) + . . . ,


T (1 ? ST )?1 S ? T S + T ST S + T ST ST S + . . . ? (1 ? T S)?1 ? 1

— наводят на мысль, что справедливо представление

(1 ? T S)?1 = 1 + T (1 ? ST )?1 S
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
104

(которое обеспечит соотношение 1 ? Sp(T S)). Следующие прямые
выкладки:

(1 + T (1 ? ST )?1 S)(1 ? T S) =
= 1 + T (1 ? ST )?1 S ? T S + T (1 ? ST )?1 (?ST )S =
= 1 + T (1 ? ST )?1 S ? T S + T (1 ? ST )?1 (1 ? ST ? 1)S =
= 1 + T (1 ? ST )?1 S ? T S + T S ? T (1 ? ST )?1 S = 1;


(1 ? T S)(1 + T (1 ? ST )?1 S) =
= 1 ? T S + T (1 ? ST )?1 S + T (?ST )(1 ? ST )?1 S =
= 1 ? T S + T (1 ? ST )?1 S + T (1 ? ST ? 1)(1 ? ST )?1 S =
= 1 ? T S + T (1 ? ST )?1 S + T S ? T (1 ? ST )?1 S = 1

доказывают искомое представление, а вместе с тем и теорему.

Упражнения
5.1. Доказать, что нормированное пространство конечномерно в том и толь-
ко в том случае, если любой линейный функционал на нем ограничен.
5.2. Проверить, что в каждом векторном пространстве можно определить
норму.
5.3. Установить, что векторное пространство конечномерно в том и только
в том случае, если все нормы в нем эквивалентны.
5.4. Доказать, что отделимые мультиметрики задают одну и ту же топо-
логию конечномерного пространства.
5.5. Каждую ли норму в RN можно использовать для нормировки произ-
ведения N нормированных пространств?
5.6. Выяснить условия непрерывности конечномерного оператора, действу-
ющего в мультинормированных пространствах.
5.7. Описать операторные нормы в пространстве квадратных матриц. Ко-
гда такие нормы сравнимы?
5.8. Найти расстояние между гиперплоскостями в нормированном прост-
ранстве.
5.9. Выяснить общий вид непрерывных линейных функционалов в класси-
ческих пространствах.
5.10. Изучить вопрос о рефлексивности классических банаховых прост-
ранств.
Упражнения 105

5.11. Выяснить взаиморасположение пространств lp и lq , Lp и Lq . Когда
дополнение одного из элементов каждой пары плотно в оставшемся?
5.12. Найти спектр и резольвенту оператора Вольтерра, проектора, одно-
мерного оператора.
5.13. Построить оператор, спектр которого — наперед заданный непустой
компакт в C.
5.14. Доказать, что тождественный оператор (в ненулевом пространстве)
не может быть коммутатором двух эндоморфизмов.
5.15. Как определить спектр оператора в мультинормированном простран-
стве?
5.16. Каждое ли банахово пространство над F допускает изометрическое
вложение в пространство C(Q, F), где Q — компактное пространство?
5.17. Выяснить, в каких случаях Lp (X) = Lp (X ), где X — банахово
пространство.
5.18. Пусть (Xn ) — последовательность нормированных пространств и


x? >0
X0 := Xn : x n Xn
n?N


— их сумма по типу c0 (с нормой x := sup{ xn : n ? N}, взятой из суммы по
типу l? ). Доказать, что X0 сепарабельно в том и только в том случае, когда
сепарабельно каждое из пространств Xn .
5.19. Доказать, что пространство C (p) [0, 1] представляет собой сумму ко-
нечномерного подпространства и пространства, изоморфного C[0, 1].
Глава 6
Гильбертовы пространства


6.1. Эрмитовы формы и скалярные
произведения
6.1.1. Определение. Пусть H — векторное пространство над
основным полем F. Отображение f : H 2 > F называют эрмитовой
формой, если
(1) отображение f (· , y) : x > f (x, y) лежит в H # для
всех y ? Y ;
(2) f (x, y) = f (y, x)? при любых x, y ? H, где ? > ?? —
естественная инволюция в F, т. е. переход к комплексно сопряжен-
ному числу.
6.1.2. Замечание. Как видно, для эрмитовой формы f при
#
каждом x ? H отображение f (x, · ) : y > (x, y) лежит в H? , где H?
— дуальное к H векторное пространство (см. 2.1.4 (2)).
Таким образом, при F := R эрмитова форма билинейна, т. е.
линейна по каждому аргументу, а при F := C — полуторалинейна,
т. е. линейна по первому аргументу и ?-линейна по второму.
6.1.3. Для каждой эрмитовой формы f выполнено поляризаци-
онное тождество:
f (x + y, x + y) ? f (x ? y, x ? y) = 4 Re f (x, y) (x, y ? H).


f (x + y, x + y) = f (x, x) + f (x, y) + f (y, x) + f (y, y)
?
f (x ? y, x ? y) = f (x, x) ? f (x, y) ? f (y, x) + f (y, y)
2(f (x, y) + f (y, x))
6.1. Эрмитовы формы и скалярные произведения 107

6.1.4. Определение. Эрмитову форму f называют положи-
тельной, или скалярным произведением, если f (x, x) ? 0 для лю-
бого x ? H. При этом пишут: (x, y) := x | y := f (x, y) (x, y ? H).
Скалярное произведение называют невырожденным, если (x, x) =
0 ? x = 0 (x ? H).
6.1.5. Имеет место неравенство Коши — Буняковского

|(x, y)|2 ? (x, x)(y, y) (x, y ? H).

Если (x, x) = (y, y) = 0, то 0 ? (x + ty, x + ty) = t(x, y)? +
t? (x, y). Выбирая t := ?(x, y), получаем ?2|(x, y)|2 ? 0, т. е. в этом
случае нужное установлено.
Если, к примеру, (y, y) = 0, то ввиду оценки

0 ? (x + ty, x + ty) = (x, x) + 2t Re(x, y) + t2 (y, y) (t ? R)

заключаем: Re(x, y)2 ? (x, x)(y, y).
Если (x, y) = 0, то доказывать нечего. Если же (x, y) = 0, то
положим ? := |(x, y)| (x, y)?1 и x := ?x. Тогда |?| = 1 и, кроме того,

(x, x) = (?x, ?x) = ??? (x, x) = |?|2 (x, x) = (x, x);

|(x, y)| = ?(x, y) = (?x, y) = (x, y) = Re(x, y).
Таким образом, |(x, y)|2 = Re(x, y)2 ? (x, x)(y, y).
6.1.6. Если ( · , · ) — скалярное произведение на H, то отобра-
жение · : x > (x, x)1/2 — полунорма на H.
Следует проверить только неравенство треугольника. Приме-
няя неравенство Коши — Буняковского, имеем

= (x, x) + (y, y) + 2 Re(x, y) ?
2
x+y

? (x, x) + (y, y) + 2 x y = ( x + y )2 .
6.1.7. Определение. Пространство H со скалярным произве-
дением (· , ·) и соответствующей полунормой · называют предгиль-
бертовым. Предгильбертово пространство H называют гильберто-
вым, если полунормированное пространство (H, · ) банахово.
Гл. 6. Гильбертовы пространства
108

6.1.8. В предгильбертовом пространстве H справедлив закон
параллелограмма

+ x?y + y 2 ) (x, y ? H)
2 2 2
x+y = 2( x

— сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов длин всех его сторон.
2 2
+ 2 Re(x, y) + y 2 ;
x+y = (x + y, x + y) = x
x?y = (x ? y, x ? y) = x ? 2 Re(x, y) + y
2 2 2


6.1.9. Теорема фон Неймана — Йордана. Если в полунор-
мированном пространстве (H, · ) справедлив закон параллело-
грамма, то H — предгильбертово пространство, т. е. найдется, и
притом единственное, скалярное произведение (· , ·) в H такое, что
x = (x, x)1/2 для всех x ? H.
Рассмотрим вещественную основу HR пространства H и для
x, y ? HR положим

1
? x?y
2 2
(x, y)R := x+y .
4

Применяя закон параллелограмма, для отображения (· , y)R после-
довательно выводим

(x1 , y)R + (x2 , y)R =

1
? x1 ? y ? x2 ? y
2 2 2 2
x1 + y + x2 + y
= =
4
1
? x1 ? y + x2 ? y
2 2 2 2
x1 + y + x2 + y
= =
4
1 1
+ x1 ? x2 ?
2 2
( (x1 + y) + (x2 + y)
=
4 2
1
? (x1 ? y) + (x2 ? y) + x1 ? x2 2 ) =
2
2
1 1 1

<< Пред. стр.

стр. 12
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>