<< Пред. стр.

стр. 13
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

? x1 + x2 ? 2y
2 2
x1 + x2 + 2y
= =
4 2 2
6.1. Эрмитовы формы и скалярные произведения 109
1 2 2
? (x1 ? x2 )/2 ? y
(x1 + x2 )/2 + y
= =
2
= 2 ((x1 + x2 )/2, y)R .
В частности, при x2 := 0 будет (x2 , y)R = 0, т. е. 1/2(x1 , y)R =
(1/2 x1 , y)R . Соответственно при x1 := 2x1 и x2 := 2x2 имеем

(x1 + x2 , y)R = (x1 , y)R + (x2 , y)R .

В силу очевидной непрерывности отображения (· , y)R можно сде-
лать вывод, что (· , y)R ? (HR )# . Положим

(x, y) := Re?1 ((· , y)R )(x),

где Re?1 — комплексификатор (см. 3.7.5).
В случае F := R ясно, что (x, y) = (x, y)R = (y, x) и (x, x) =
x , т. е. доказывать нечего. Если же F := C, то
2


(x, y) = (x, y)R ? i(ix, y)R .

Отсюда вытекает, что

(y, x) = (y, x)R ? i(iy, x)R = (x, y)R ? i(x, iy)R =

= (x, y)R + i(ix, y)R = (x, y)? ,
поскольку
1
? x ? iy
2 2
(x, iy)R = x + iy =
4
1
|i| y ? ix ? |?i| ix + y = ?(ix, y)R .
2 2
=
4
Помимо этого,

(x, x) = (x, x)R ? i(ix, x)R =

i
= x2 ? ix + x 2 ? ix ? x 2 =
4
i
1? |1 + i|2 ? |1 ? i|2
2
= x 2.
=x
4
Утверждение об единственности следует из 6.1.3.
Гл. 6. Гильбертовы пространства
110

6.1.10. Примеры.
(1) Примером гильбертова пространства служит прост-
ранство L2 (относительно какой-нибудь системы с интегрировани-
ем). При этом скалярное произведение вводят так: (f, g) := f g ?
?
для f, g ? L2 . В частности, для l2 (E ) получаем (x, y) := e?E xe ye
при x, y ? l2 (E ).
(2) Пусть H — предгильбертово пространство и (· , ·) :
H > F — скалярное произведение в H. Ясно, что вещественная
2

основа HR со скалярным произведением (· , ·)R : (x, y) > Re(x, y) яв-
ляется предгильбертовым пространством, причем норма элемента в
H не зависит от того, вычисляют ее в H или в HR . Предгильбертово
пространство (HR , (· , ·)R ) называют овеществлением пространства
(H, (· , ·)). В свою очередь, если вещественная основа некоторого
полунормированного пространства является предгильбертовым про-
странством, то процесс комплексификации приводит к естественной
предгильбертовой структуре в исходном пространстве.
(3) Пусть H — предгильбертово пространство и H? —
дуальное к H векторное пространство. Для x, y ? H? положим
(x, y)? := (x, y)? . Ясно, что (· , ·)? — скалярное произведение в H? .
Полученное предгильбертово пространство называют дуальным к H
и сохраняют за ним обозначение H? .
(4) Пусть H — предгильбертово пространство и H0 :=
ker · — ядро полунормы · в H. Привлекая неравенство Коши
— Буняковского, теорему 2.3.8 и 6.1.10 (3), видим, что в фактор-
пространстве H/H0 естественным образом возникает скалярное про-
изведение: если x1 := ?(x1 ) и x2 := ?(x2 ), где x1 , x2 ? H и ? : H >
H/H0 — каноническое отображение, то (x1 , x2 ) := (x1 , x2 ). При
этом предгильбертово пространство H/H0 можно рассматривать как
фактор-пространство полунормированного пространства (H, · )
по ядру полунормы · . Таким образом, H/H0 — хаусдорфово про-
странство, которое называют хаусдорфовым предгильбертовым про-
странством, ассоциированным с H. Пополняя нормированное про-
странство H/H0 , получаем гильбертово пространство (например, в
силу теоремы фон Неймана — Йордана). Построенное гильбертово
пространство называют ассоциированным с исходным предгильбер-
товым пространством.
(5) Пусть (He )e?E — некоторое семейство гильбертовых
пространств и H — сумма этого семейства по типу 2, т. е. h ? H в
6.2. Ортопроекторы 111

том и только в том случае, если h := (he )e?E , где he ? He для e ? E ,
и при этом
1/2
2
h := he < +?.
e?E

В силу 5.5.9 (6), H — банахово пространство. Для элементов f, g ?
H, применяя последовательно закон параллелограмма, имеем

1
+ f ?g
2 2
f +g =
2

1
fe ? ge
2 2
fe + ge
= + =
2
e?E e?E

1
+ fe ? ge
2 2
fe + ge
= =
2
e?E

2 2 2
+ g 2,
fe + ge =f
=
e?E

так что, по теореме фон Неймана — Йордана, H — это гильбертово
пространство. Пространство H называют гильбертовой суммой се-
мейства гильбертовых пространств (He )e?E и обозначают ?e?E He .
При E := N пишут также H := H1 ? H2 ? . . . .
(6) Пусть H — гильбертово пространство и S — неко-
торая система с интегрированием. Пространство L2 (S, H), состав-
ленное из H-значных функций, суммируемых с квадратом, является
гильбертовым.

6.2. Ортопроекторы
6.2.1. Пусть U — выпуклое подмножество некоторого шарового
слоя (r + ?)BH \ rBH , где 0 < ? ? r, в гильбертовом пространстве H.
v
Имеет место следующая оценка диаметра: diam U ? 12r?.
Для x, y ? U , учитывая, что 1/2(x + y) ? U , и привлекая
закон параллелограмма, выводим
2
x?y ? 4 (x + y)/2 ?
2 2 2
x +y
=2
Гл. 6. Гильбертовы пространства
112

? 4(r + ?)2 ? 4r2 = 8r? + 4?2 ? 12r?.

6.2.2. Теорема Леви о проекции. Пусть U — непустое вы-
пуклое замкнутое множество в гильбертовом пространстве H и x ?
H \ U . Тогда существует, и притом единственный, элемент u0 ? U
такой, что
x ? u0 = inf{ x ? u : u ? U }.

Положим U? := {u ? U : x ? u ? inf U ? x + ?}. В силу
6.2.1 семейство (U? )?>0 образует базис фильтра Коши в U .

6.2.3. Определение. Элемент u0 , фигурирующий в 6.2.2, на-
зывают наилучшим приближением x в множестве U или проекцией
x на множество U .

6.2.4. Пусть H0 — замкнутое подпространство в гильбертовом
пространстве H и x ? H \ H0 . Элемент x0 ? H0 является проекцией
x на H0 в том и только в том случае, если (x ? x0 , h0 ) = 0 для
каждого h0 ? H0 .
Достаточно рассмотреть овеществление (H0 )R пространства
H0 . На (H0 )R определена выпуклая функция f (h0 ) := (h0 ?x, h0 ?x).
При этом x0 ? H0 служит проекцией x на H0 тогда и только тогда,
когда 0 ? ?x0 (f ). В связи с 3.5.2 (4) последнее вхождение означает,
что (x ? x0 , h0 ) = 0 при любом h0 ? H0 , ибо f (x0 ) = 2(x0 ? x, ·).

6.2.5. Определение. Элементы x, y ? H называют ортого-
нальными и пишут x ? y, если (x, y) = 0. Символом U ? обознача-
ют совокупность элементов, ортогональных ко всем точкам данного
множества U , т. е. U ? := {y ? H : x ? U ? x ? y}. Множество U ?
называют ортогональным дополнением множества U .

6.2.6. Пусть H0 — замкнутое подпространство в гильбертовом
?
пространстве H. Тогда его ортогональное дополнение H0 — замкну-
?
тое подпространство, причем H = H0 ? H0 .
? ?
Замкнутость H0 в H очевидна. Ясно также, что H0 ? H0 =
? ? ?
H0 ? H0 = 0. Осталось проверить, что H0 ? H0 = H0 + H0 =
H. Возьмем элемент h ? H \ H0 . На основании 6.2.2 существует
?
проекция h0 ? H0 , а, в силу 6.2.4, h ? h0 ? H0 . Итак, h = h0 + (h ?
?
h 0 ) ? H0 + H 0 .
6.2. Ортопроекторы 113

6.2.7. Определение. Проектор на замкнутое подпространство
?
H0 параллельно H0 называют ортопроектором на H0 и обозначают
PH0 .
6.2.8. Лемма Пифагора. x ? y ? x + y 2 2
+ y 2.
=x
6.2.9. Следствие. Норма ортопроектора не превосходит еди-
ницы: H = 0, H0 = 0 ? PH0 = 1.
6.2.10. Теорема об ортопроекторе. Для каждого оператора
P ? L (H) такого, что P 2 = P , эквивалентны утверждения:
(1) P — ортопроектор на H0 := im P ;
(2) h ? 1 ? P h ? 1;
(3) (P x, P d y) = 0, где P d := IH ? P и x, y ? H;
(4) (P x, y) = (x, P y) при x, y ? H.
(1) ? (2): Отмечено в 6.2.9.
?
(2) ? (3): Пусть H1 := ker P = im P d . Возьмем x ? H1 . По-
скольку x = P x + P d x и x ? P d x, то x 2 ? P x 2 = (x ? P d x, x ?
P d x) = (x, x) ? 2 Re(x, P d x) + (P d x, P d x) = x 2 + P d x 2 . Отсюда
?
P d x = 0, т. е. x ? im P . Из соотношений H1 = ker P и H1 ? im P
?
с учетом 6.2.6 выводим: H1 = im P = H0 . Итак, (P x, P d y) = 0 для
любых x, y ? H, ибо P x ? H0 , а P d y ? H1 .
(3) ? (4): (P x, y) = (P x, P y + P d y) = (P x, P y) = (P x, P y) +
(P d x, P y) = (x, P y).
(4) ? (1): Проверим сначала, что H0 — замкнутое подпростран-
ство. Пусть h0 := lim hn и hn ? H0 , т. е. P hn = hn . При любом
x ? H из непрерывности функционалов (· , x) и (· , P x) последова-
тельно вытекает

(h0 , x) = lim (hn , x) = lim (P hn , x) = lim (hn , P x) = (P h0 , x).

Отсюда (h0 ? P h0 , h0 ? P h0 ) = 0, т. е. h0 ? im P .
Теперь для произвольных x ? H и h0 ? H0 выводим (x ?
P x, h0 ) = (x ? P x, P h0 ) = (P (x ? P x), h0 ) = (P x ? P 2 x, h0 ) =
(P x ? P x, h0 ) = 0. Таким образом, привлекая 6.2.4, получаем
P x = PH0 x.
6.2.11. Пусть P1 , P2 — ортопроекторы, причем P1 P2 = 0. Тогда
P2 P1 = 0.
P1 P2 = 0 ? im P2 ? ker P1 ? im P1 = (ker P1 )? ? (im P2 )? =
ker P2 ? P2 P1 = 0
Гл. 6. Гильбертовы пространства
114

6.2.12. Определение. Ортопроекторы P1 и P2 называют ор-
тогональными (и пишут P1 ? P2 или P2 ? P1 ), если P1 P2 = 0.
6.2.13. Теорема. Пусть P1 , . . . , Pn — ортопроекторы. Опера-
тор P := P1 + . . . + Pn является ортопроектором в том и только в том
случае, если Pl ? Pm при l = m.
?: Заметим прежде всего, что для каждого ортопроектора
P0 по теореме 6.2.10 выполнено P0 x 2 = (P0 x, P0 x) = (P0 x, x) =
2

(P0 x, x). Следовательно, при x ? H и l = m справедливо

?
2 2
Pl x + Pm x

n n
? ? x 2.
2 2
Pk x (Pk x, x) = (P x, x) = P x
=
k=1 k=1

В частности, полагая x := Pl x, получаем

? Pl x ? Pm Pl = 0.
2 2 2
Pl x + Pm Pl x

?: Прямой подсчет показывает, что P — идемпотентный опера-
тор. В самом деле,

2
n n n n
2 2
P= Pk Pl Pm = Pk = P.
=
l=1 m=1
k=1 k=1


Помимо этого, в силу 6.2.10 (4), (Pk x, y) = (x, Pk y) и, стало быть,
(P x, y) = (x, P y). Осталось вновь сослаться на 6.2.10 (4).
6.2.14. Замечание. Теорему 6.2.13 называют критерием ор-
тогональности конечного множества ортопроекторов.

6.3. Гильбертов базис
6.3.1. Определение. Семейство (xe )e?E элементов некоторого
гильбертова пространства H называют ортогональным, если e1 =
e2 ? xe1 ? xe2 . Соответственно множество E в гильбертовом про-
странстве H называют ортогональным, если ортогонально семей-
ство (e)e?E .
6.3. Гильбертов базис 115

6.3.2. Теорема Пифагора. Ортогональное семейство (xe )e?E
элементов гильбертова пространства (безусловно) суммируемо тогда
и только тогда, когда суммируемо числовое семейство ( xe 2 )e?E .
При этом
2

xe 2 .
xe =
e?E e?E

Пусть s? := e?E xe , где ? — конечное подмножество E . На
основании 6.2.8, s? 2 = e?? xe 2 . Значит, для конечного множе-
ства ? , содержащего ?, выполнено

s? ? s? 2 2
xe 2 .
= s? \? =
e?? \?

Иными словами, фундаментальность сети (s? ) равносильна фунда-
ментальности сети частичных сумм семейства ( xe 2 )e?E . Привле-
кая 5.5.3, получаем требуемое.
6.3.3. Теорема о суммировании ортопроекторов. Пусть
(Pe )e?E — семейство попарно ортогональных ортопроекторов в гиль-
бертовом пространстве H. Тогда для каждого x ? H (безусловно)
суммируемо семейство (Pe x)e?E . При этом оператор P x := e?E Pe x
является ортопроектором на подпространство


H := xe : xe ? He := im Pe , 2
xe < +? .
e?E e?E

Для конечного подмножества ? в E положим s? := e?? Pe .
По теореме 6.2.13, s? — это ортопроектор. Поэтому, с учетом 6.2.8,
Pe x 2 ? x 2 при каждом x ? H. Следователь-
s? x 2 = e??
но, семейство ( Pe x 2 )e?E суммируемо (сеть частичных сумм воз-
растает и ограничена). По теореме Пифагора имеется сумма P x :=
e?E Pe x, т. е. P x = lim? s? x.
Отсюда P 2 x = lim? s? P x = lim? s? lim? s? x = lim? lim? s? s? x =
lim? lim? s??? x= lim? s? x = P x. Окончательно P x = lim? s? x =
lim? s? x ? x и, кроме того, P 2 = P . Апеллируя к 6.2.10, заклю-
чаем, что P — ортопроектор на im P .
Если x ? im P , т. е. P x = x, то x = e?E Pe x и по теореме
Пифагора e?E Pe x = x = P x < +?. Поскольку Pe x ?
2 2 2
Гл. 6. Гильбертовы пространства
116

He (e ? E ), то x ? H . Если же xe ? He и 2
e?E xe < +? ,
то для x := e?E xe (существование следует из все той же теоремы
Пифагора) будет x = e?E xe = e?E Pe xe = P x, т. е. x ? im P .
Итак, im P = H .
6.3.4. Замечание. Приведенную теорему можно трактовать
как утверждение об изоморфизме H с гильбертовой суммой семей-
ства (He )e?E . Нужное отождествление при этом осуществляет, как
видно, интеграл Бохнера, представляющий в данном случае процесс
суммирования.
6.3.5. Замечание. Пусть h ? H — нормированный элемент:
h = 1. Пусть, далее, H0 := Fh — одномерное подпространство в
H, натянутое на h0 . Для каждого элемента x ? H и произвольного
скаляра ? ? F справедливо

(x ? (x, h)h, ?h) = ?? ((x, h) ? (x, h))(h, h) = 0.

Значит, по предложению 6.2.4, PH0 = (· , h) ? h. Для обозначения
этого ортопроектора удобно использовать символ h . Итак, h :
x > (x, h)h (x ? H).
6.3.6. Определение. Семейство элементов гильбертова про-
странства называют ортонормальным (или ортонормированным),
если, во-первых, это семейство ортогонально, а во-вторых, если нор-
мы входящих в него векторов равны единице. Аналогично опреде-
ляют ортонормальные множества.
6.3.7. Для любого ортонормального множества E в H и произ-
вольного элемента x ? H семейство ( e x)e?E (безусловно) суммиру-
емо. При этом имеет место неравенство Бесселя:

? |(x, e)|2 .
2
x
e?E


Достаточно сослаться на теорему о суммировании ортопроек-
торов, ибо
2 2
2
?
2
x ex (x, e)e (x, e)e .
= =
e?E e?E e?E
6.3. Гильбертов базис 117

<< Пред. стр.

стр. 13
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>