<< Пред. стр.

стр. 14
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

6.3.8. Определение. Ортонормальное множество E в гильбер-
товом пространстве H называют гильбертовым базисом (в H), если
для всякого x ? H выполнено x = e?E e x. Ортонормальное се-
мейство элементов гильбертова пространства называют гильберто-
вым базисом, если область значений этого семейства является гиль-
бертовым базисом.
6.3.9. Ортонормальное множество E является гильбертовым ба-
зисом в H в том и только в том случае, если линейная оболочка L (E )
плотна в H.
6.3.10. Определение. Говорят, что множество E удовлетворя-
ет условию Стеклова, если E ? = 0.
6.3.11. Теорема Стеклова. Ортонормальное множество явля-
ется гильбертовым базисом в том и только в том случае, если оно
удовлетворяет условию Стеклова.
?: Пусть h ? E ? . Тогда h = e?E e h = e?E (h, e)e =
e?E 0 = 0.
?: Для x ? H, в силу 6.3.3 и 6.2.4, x ? e?E e x ? E ? .
6.3.12. Теорема. В каждом гильбертовом пространстве есть
гильбертов базис.
По лемме Куратовского — Цорна в гильбертовом простран-
стве H имеется максимальное по включению ортонормальное мно-
жество E . Если есть h ? H \ H0 , где H0 := cl L (E ), то элемент
h1 := h ? PH0 h ортогонален любому элементу из E и, значит, при
H = 0 будет E ? { h1 ?1 h1 } = E . Получили противоречие. В случае
H = 0 доказывать нечего.
6.3.13. Замечание. Можно показать, что у двух гильбертовых
базисов одного и того же гильбертова пространства H одна и та же
мощность. Эту мощность называют гильбертовой размерностью H.
6.3.14. Замечание. Пусть (xn )n?N — счетная последователь-
ность линейно независимых элементов гильбертова пространства H.
Положим еще x0 := 0, e0 := 0, и пусть

n?1
yn
yn := xn ? (n ? N).
ek xn , en :=
yn
k=0
Гл. 6. Гильбертовы пространства
118

Видно, что (yn , ek ) = 0 для 0 ? k ? n ? 1 (например, из 6.2.13).
Столь же несомненно, что yn = 0, ввиду бесконечномерности H. Про
ортонормальную последовательность (en )n?N говорят, что она полу-
чена процессом ортогонализации, или процессом Грама — Шмид-
та, из последовательности (xn )n?N . Привлекая процесс ортогона-
лизации, нетрудно показать, что в гильбертовом пространстве есть
счетный гильбертов базис в том и только в том случае, если в нем
имеется счетное всюду плотное множество, т. е. если это простран-
ство сепарабельно.
6.3.15. Определение. Пусть E — гильбертов базис в простран-
стве H и x ? H. Числовое семейство x := (xe )e?E в F E , заданное со-
отношением xe := (x, e), называют преобразованием Фурье элемента
x (относительно гильбертова базиса E ).
6.3.16. Теорема Рисса — Фишера об изоморфизме. Пусть
E — гильбертов базис в H. Преобразование Фурье F : x > x (от-
носительно базиса E ) есть изометрический изоморфизм H на l2 (E ).
Обратное преобразование — суммирование Фурье F ?1 : l2 (E ) > H
— действует по правилу F ?1 (x) := e?E xe e для x := (xe )e?E ? l2 (E ).
При этом для любых x, y ? H имеет место равенство Парсеваля
?
(x, y) = xe ye .
e?E

По теореме Пифагора преобразование Фурье действует в l2 (E ).
По теореме 6.3.3, — это эпиморфизм. По теореме Стеклова, —
?1
мономорфизм. То, что F x = x для x ? H и F ?1 (x) = x для
x ? l2 (E ), несомненно. Равенство

(x ? H)
2 2 2
x xe =x
= 2
e?E

следует из теоремы Пифагора. При этом

? ?
(x, y) = xe e, ye e xe ye (e, e ) = xe ye .
=
e,e ?E
e?E e?E e?E

6.3.17. Замечание. Равенства Парсеваля показывают, что пре-
образование Фурье сохраняет скалярные произведения. Таким об-
разом, это преобразование — унитарный оператор или гильбертов
6.4. Эрмитово сопряженный оператор 119

изоморфизм, т. е. изоморфизм, сохраняющий скалярные произве-
дения. В этой связи теорему Рисса — Фишера иногда называют
теоремой о «гильбертовом изоморфизме гильбертовых пространств
(одной гильбертовой размерности)».

6.4. Эрмитово сопряженный оператор
6.4.1. Теорема Рисса о штриховании. Пусть H — гильбер-
тово пространство. Для x ? H положим x := (· , x). Тогда отобра-
жение штрихования x > x осуществляет изометрический изомор-
физм H? на H .
Ясно, что x = 0 ? x = 0. Если же x = 0, то

= sup |(y, x)| ? sup x ? x;
x y
H
y ?1 y ?1


= sup |(y, x)| ? |(x/ x , x)| = x .
x H
y ?1

Таким образом, x > x — изометрия H? в H . Проверим, что это
отображение является эпиморфизмом.
Пусть l ? H и H0 := ker l = H (если таких l нет, то доказывать
?
нечего). Выберем элемент e = 1 такой, что e ? H0 , и положим
grad l := l(e)? e. Если x ? H0 , то

(grad l) (x) = (x, grad l) = (x, l(e)? e) = l(e)?? (x, e) = 0.

Следовательно, для некоторого ? ? F и всех x ? H в силу 2.3.12
выполнено (grad l) (x) = ?l(x). В частности, при x := e получаем

(grad l) (e) = (e, grad l) = l(e)(e, e) = ?l(e),

т. е. ? = 1.
6.4.2. Замечание. Из теоремы Рисса следует, что сопряжен-
ное пространство H обладает естественной структурой гильберто-
ва пространства и отображение штрихования x > x осуществляет
гильбертов изоморфизм H? на H . Обратным отображением при
этом служит построенное в доказательстве градиентное отображе-
ние l > grad l. В этой связи 6.4.1 называют теоремой «об общем
виде линейного функционала в гильбертовом пространстве».
Гл. 6. Гильбертовы пространства
120

6.4.3. Гильбертово пространство рефлексивно.
Пусть ? : H > H — двойное штрихование, т. е. каноническое
вложение H во второе сопряженное пространство H , определенное
соотношением x (l) = ?(x)(l) = l(x), где x ? H и l ? H (см. 5.1.10
(8)). Проверим, что ? — эпиморфизм. Пусть f ? H . Рассмотрим
отображение y > f (y ) для y ? H. Ясно, что это отображение
— линейный функционал над H? и, стало быть, по теореме Рисса
найдется элемент x ? H = H?? такой, что (y, x)? = (x, y) = f (y )
для каждого y ? H. Имеем ?(x)(y ) = y (x) = (x, y) = f (y ) при
всех y ? H. Так как по теореме Рисса y > y — отображение на H ,
получаем ?(x) = f.
6.4.4. Пусть H1 , H2 — произвольные гильбертовы простран-
ства и T ? B(H1 , H2 ). Тогда существует, и притом единственное,
отображение T ? : H2 > H1 такое, что для любых x ? H1 , y ? H2
выполнено
(T x, y) = (x, T ? y).
При этом T ? ? B(H2 , H1 ) и T ? = T .
Пусть y ? H2 . Отображение x > (T x, y) есть композиция
y ? T , т. е. представляет собой непрерывный линейный функци-
онал на H1 . По теореме Рисса имеется в точности один элемент
x ? H1 , для которого x = y ? T . Полагаем T ? y := x. Ясно, что
T ? ? L (H2 , H1 ). Помимо этого, привлекая неравенство Коши —
Буняковского и нормативное неравенство, выводим

|(T ? y, T ? y)| = |(T T ? y, y)| ? T T ? y T ?y
y?T y.

Значит, T ? y ? T y для всех y ? H2 , т. е. T ? ? T . В то же
время T = T ?? := (T ? )? , т. е. T = T ?? ? T ? .
6.4.5. Определение. Оператор T ? ? B(H2 , H1 ), построенный
в 6.4.4, называют эрмитово сопряженным к T ? B(H1 , H2 ).
6.4.6. Пусть H1 , H2 — гильбертовы пространства и, кроме того,
S, T ? B(H1 , H2 ) и ? ? F. Тогда
(1) T ?? = T ;
(2) (S + T )? = S ? + T ? ;
(3) (?T )? = ?? T ? ;
(4) T ? T = T 2 .
6.4. Эрмитово сопряженный оператор 121

(1)–(3) — очевидные свойства. Если же x ? 1, то

= (T x, T x) = |(T x, T x)| = |(T ? T x, x)| ?
2
Tx

? T ?T x x ? T ?T .
Кроме того, в силу субмультипликативности операторной нормы и
предложения 6.4.4, T ? T ? T ? T = T 2 , что доказывает (4).
6.4.7. Пусть H1 , H2 , H3 — три гильбертовых пространства, и
заданы T ? B(H1 , H2 ) и S ? B(H2 , H3 ). Тогда (ST )? = T ? S ? .
(ST x, z) = (T x, S ? z) = (x, T ? S ? z) (x ? H1 , z ? H3 )
6.4.8. Определение. Рассмотрим простейшую — элементар-
T?
T
ную — диаграмму H1 > H2 . Диаграмму H1 <? H2 называют эр-
митово сопряженной к исходной. Если в произвольной диаграмме,
составленной из ограниченных линейных отображений гильберто-
вых пространств, каждая элементарная поддиаграмма заменена на
эрмитово сопряженную, то возникшую диаграмму называют эрми-
тово сопряженной к исходной.
6.4.9. Принцип эрмитова сопряжения диаграмм. Диаг-
рамма коммутативна в том и только в том случае, если коммута-
тивна эрмитово сопряженная к ней диаграмма.
Следует из 6.4.7 и 6.4.6 (1).
6.4.10. Следствие. Пусть T ? B(H1 , H2 ) и T ? ? B(H2 , H1 ).
Оператор T обратим в том и только в том случае, если обратим T ? .
При этом T ??1 = T ?1? .
6.4.11. Следствие. Для T ? B(H) верно ? ? Sp(T ) ? ?? ?
Sp(T ? ).
6.4.12. Принцип эрмитова сопряжения последователь-
ностей (ср. 7.6.13). Последовательность
Tk+1
T
k
. . . ?> Hk?1 ?> Hk ?> Hk+1 ?> . . .

точна в том и только в том случае, если точна эрмитово сопряженная
последовательность
?
T? Tk+1
k
. . . <? Hk?1 <? Hk <? Hk+1 <? . . . .
Гл. 6. Гильбертовы пространства
122

6.4.13. Определение. Инволютивной алгеброй или ?-алгеброй
(над основным полем F) называют алгебру A с инволюцией ?, т. е.
с отображением a > a? в A таким, что
(1) a?? = a (a ? A);
(2) (a + b)? = a? + b? (a, b ? A);
(3) (?a)? = ?? a? (? ? F, a ? A);
(4) (ab)? = b? a? (a, b ? A).
Банахову алгебру A с инволюцией ?, для которой a? a = a 2 при
всех a ? A, называют C ? -алгеброй.
6.4.14. Пространство B(H) эндоморфизмов гильбертова прост-
ранства H представляет собой C ? -алгебру (относительно операций
произведения операторов и перехода к эрмитово сопряженному опе-
ратору в качестве инволюции).

6.5. Эрмитовы операторы
6.5.1. Определение. Пусть H — гильбертово пространство над
полем F и T ? B(H). Оператор T называют эрмитовым (или само-
сопряженным), если T = T ? .
6.5.2. Теорема Рэлея. Для эрмитова оператора T имеет место
равенство
T = sup |(T x, x)|.
x ?1

Пусть t := sup{|(T x, x)| : x ? 1}. Ясно, что |(T x, x)| ?
T x x ? T , как только x ? 1. Стало быть, t ? T .
Так как T = T ? , то (T x, y) = (x, T y) = (T y, x)? = (y, T x)? ,
т. е. (x, y) > (T x, y) — эрмитова форма. Значит, в силу 6.1.3 и 6.1.8
4 Re(T x, y) = (T (x + y), x + y) ? (T (x ? y), x ? y) ?
? t( x + y + x ? y 2 ) = 2t( x
2 2
+ y 2 ).
Если T x = 0, то явно T x ? t. Пусть T x = 0. Тогда при x ? 1
для y := T x ?1 T x будет
Tx Tx
Tx = Tx , =
Tx Tx
1 2
= (T x, y) = Re(T x, y) ? ? t,
2
tx + T x/ T x
2
x ? 1} ? t.
т. е. T = sup{ T x :
6.5. Эрмитовы операторы 123

6.5.3. Замечание. Как отмечено в доказательстве 6.5.2, каж-
дый эрмитов оператор T в гильбертовом пространстве H порождает
эрмитову форму fT (x, y) := (T x, y). Пусть, в свою очередь, f —
эрмитова форма, причем для каждого y ? H функционал f (· , y)
непрерывен. Тогда в силу теоремы Рисса найдется элемент T y из
H такой, что f (·, y) = (T y) . Очевидно, T ? L (H) и (x, T y) =
f (x, y) = f (y, x)? = (y, T x)? = (T x, y). Можно убедиться, что
в этом случае T ? B(H) и T = T ? . Кроме того, f = fT . Таким
образом, в определении 6.5.1 условие T ? B(H) можно заменить
условием T ? L (H) (теорема Хеллингера — Т?плица, см. 7.4.7).
е

6.5.4. Критерий Вейля. Число ? лежит в спектре эрмитова
оператора T в том и только в том случае, если

?x ? T x = 0.
inf
x =1


?: Пусть t := inf{ ?x?T x : x ? H, x = 1} > 0. Установим,
что ? ? Sp(T ). Для каждого x ? H выполнено ?x ? T x ? t x .
/
Стало быть, во-первых, (? ? T ) — мономорфизм, во-вторых, H0 :=
im(??T ) — замкнутое подпространство (ибо (??T )xm ?(??T )xk ?
t xm ? xk , т. е. «прообраз последовательности Коши фундамента-
лен») и, наконец, в-третьих, (? ? T )?1 ? B(H), как только H = H0
(в такой ситуации R(T, ?) ? t?1 ). Допустим, вопреки доказы-
?
ваемому, что H = H0 . Тогда существует y ? H0 , для которого
y = 1. При всех x ? H будет 0 = (?x ? T x, y) = (x, ?? y ? T y), т. е.
?? y = T y. Далее, ?? = (T y, y)/(y, y) и из эрмитовости T выводим
?? ? R. Отсюда ?? = ? и y ? ker(? ? T ). Получили противоречие:
1 = y = 0 = 0.
?: Если ? ? Sp(T ), то имеется резольвента R(T, ?) ? B(H).
/
Поэтому inf{ ?x ? T x : x = 1} ? R(T, ?) ?1 .

6.5.5. Теорема о границах спектра. Пусть T — эрмитов опе-
ратор в гильбертовом пространстве. Положим

mT := inf (T x, x), MT := sup (T x, x).
x =1 x =1


Тогда Sp(T ) ? [mT , MT ] и mT , MT ? Sp(T ).
Гл. 6. Гильбертовы пространства
124

Учитывая эрмитовость оператора T ?Re ? в рассматриваемом
пространстве H, из тождества
?x ? T x = | Im ?|2 x + T x ? Re ?x
2 2 2


на основании 6.5.4 получаем включение Sp(T ) ? R. Если ? < mT ,
то для элемента x ? H с единичной нормой x = 1 по неравенству
Коши — Буняковского 6.1.5
?x ? T x = ?x ? T x x ? |(?x ? T x, x)| =
= |? ? (T x, x)| = (T x, x) ? ? ? mT ? ? > 0.
Апелляция к 6.5.4 дает: ? ? res(T ). Если же ? > MT , то аналогич-
ным образом
?x?T x ? |(?x?T x, x)| = |??(T x, x)| = ??(T x, x) ? ??MT > 0.
Вновь ? ? res(T ). Окончательно Sp(T ) ? [mT , MT ].
Поскольку (T x, x) ? R при x ? H, то в силу 6.5.2
x ? 1} =
T = sup{|(T x, x)| :
= sup{(T x, x) ? (?(T x, x)) : x ? 1} = MT ? (?mT ).
Допустим сначала, что ? := T = MT . Если x = 1, то
?x ? T x = ?2 ? 2?(T x, x) + T x ?2 T ? 2 T (T x, x).
2 2 2


Иначе говоря, справедлива оценка
?x ? T x ?2 T inf ( T ? (T x, x)) = 0.
2
inf
x =1 x =1

Привлекая 6.5.4, заключаем: ? ? Sp(T ).
Рассмотрим теперь оператор S := T ? mT . Ясно, что MS =
MT ? mT ? 0 и mS = mT ? mT = 0. Таким образом, S = MS и
по уже доказанному MS ? Sp(S). Отсюда следует, что MT входит в
Sp(T ), ибо T = S + mT , а MT = MS + mT . Осталось заметить, что
mT = ?M?T и Sp(T ) = ? Sp(?T ).
6.5.6. Следствие. Норма эрмитова оператора равна радиусу
его спектра (и спектральному радиусу).
6.5.7. Следствие. Эрмитов оператор является нулевым в том
и только в том случае, если у него нулевой спектр.
6.6. Компактные эрмитовы операторы 125

6.6. Компактные эрмитовы операторы
6.6.1. Определение. Пусть X и Y — банаховы пространства.
Оператор T ? L (X, Y ) называют компактным (при этом пишут
T ? K (X, Y )), если образ T (BX ) единичного шара BX в X относи-
тельно компактен в Y .
6.6.2. Замечание. Подробное исследование компактных опе-
раторов в банаховых пространствах составляет содержание теории
Рисса — Шаудера. Эта теория рассмотрена в гл. 8.
6.6.3. Пусть T — компактный эрмитов оператор. Если 0 = ? ?
Sp(T ), то ? — собственное число T , т. е. ker(? ? T ) = 0.
По критерию Вейля для некоторой последовательности (xn )
такой, что xn = 1, выполнено ?xn ? T xn > 0. Не нарушая
общности, будем считать, что последовательность (T xn ) сходится
к y := lim T xn . Тогда из тождества ?xn = (?xn ? T xn ) + T xn полу-
чаем, что существует предел (?xn ) и y = lim ?xn . Следовательно,
T y = T (lim ?xn ) = ? lim T xn = ?y. Так как y = |?|, заключаем,
что y — собственный вектор T .
6.6.4. Пусть ?1 , ?2 — различные собственные числа эрмитова
оператора T , а x1 , x2 — отвечающие ?1 и ?2 соответственно соб-
ственные векторы (т. е. xs ? ker(?s ? T ), s := 1, 2). Тогда x1 и x2
ортогональны.

?2
1 1
(x1 , x2 ) = (T x1 , x2 ) = (x1 , T x2 ) = (x1 , x2 )
?1 ?1 ?1
6.6.5. Для всякого ? > 0 вне промежутка [??, ?] может лежать
лишь конечное число собственных чисел компактного эрмитова опе-
ратора.
Пусть (?n )n?N — последовательность попарно различных соб-
ственных чисел T , причем |?n | > ?. Пусть, далее, xn — собственный
вектор, отвечающий ?n и такой, что xn = 1. В силу 6.6.4 имеем
(xk , xm ) = 0 при m = k. Значит,

T xm ? T xk = ?2 + ?2 ? 2?2 ,
2 2 2
= T xm + T xk m k

т. е. последовательность (T xn )n?N не является относительно ком-
пактной. Получили противоречие с компактностью T.
Гл. 6. Гильбертовы пространства
126

6.6.6. Лемма о разбиении спектра. Пусть T — компактный
эрмитов оператор в гильбертовом пространстве H и 0 = ? ? Sp(T ).
Положим H? := ker(? ? T ). Тогда H? конечномерно и разложение
?
H = H? ? H? приводит T . При этом имеет место матричное пред-
ставление
?0
T? ,
0 T?
?

<< Пред. стр.

стр. 14
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>