<< Пред. стр.

стр. 15
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

где оператор T? — часть T в H? — эрмитов и компактен, причем
Sp(T? ) = Sp(T ) \ {?}.
Подпространство H? конечномерно ввиду компактности T .
Помимо этого, H? инвариантно относительно T . Значит, ортого-
?
нальное дополнение H? подпространства H? — инвариантное под-
пространство T ? (= T ), ибо выполнено (? x ? H? )(x, h) = 0 ? (? x ?
H? )(T ? h, x) = (h, T x) = 0.
Часть оператора T в H? — это явно ?. Компактность и эрмито-
?
вость части T? оператора T в H? несомненны. Столь же очевидно,
что при µ = ? оператор

µ?? 0
µ?T ?
µ ? T?
0

обратим в том и только в том случае, если обратим µ ? T? . Ясно
также, что ? не является собственным числом T? .
6.6.7. Теорема Гильберта — Шмидта. Пусть H — гильбер-
тово пространство и T — компактный эрмитов оператор в H. Пусть,
далее, P? — ортопроектор на ker(? ? T ) для ? ? Sp(T ). Тогда вы-
полнено
T= ?P? .
??Sp(T )

Привлекая нужное число раз 6.5.6 и 6.6.6, для любого конеч-
ного подмножества ? в Sp(T ) получаем


T? ?P? = sup{|?| : ? ? (Sp(T ) ? 0) \ ?}.
???


Остается сослаться на 6.6.5.
6.6. Компактные эрмитовы операторы 127

6.6.8. Замечание. Теорема Гильберта — Шмидта содержит
новую информацию по сравнению с конечномерным случаем по сути
дела лишь тогда, когда оператор T «бесконечномерен», т. е. имеет
?
бесконечномерный образ или, что то же самое, если H0 — бесконеч-
номерное пространство (H0 := ker T ). Действительно, если оператор
T конечномерен, т. е. имеет конечномерный образ, то подпростран-
?
ство H0 изоморфно этому образу и, стало быть,
n n
?k ek ? ek ,
T= ?k ek =
k=1 k=1

где ?1 , . . . , ?n — ненулевые точки спектра T , «взятые с учетом крат-
?
ности», а {e1 , . . . , en } — ортонормальный базис в H0 , выбранный
должным образом.
Теорема Гильберта — Шмидта показывает, что с точностью до
замены суммы рядом бесконечномерные компактные эрмитовы опе-
раторы устроены так же, как и конечномерные. В самом деле, при
? = µ, где ?, µ — ненулевые точки спектра T , собственные подпро-
странства H? и Hµ конечномерны и ортогональны. При этом гиль-
бертова сумма ???Sp(T )\0 H? равна H0 = cl im T , ибо H0 = (im T )? .
?

Строя «по порядку» базисы в конечномерных пространствах H? (пе-
ренумеровывая собственные числа «в порядке убывания модулей и
с учетом кратности», т. е. полагая ?1 := ?2 := . . . := ?dim H?1 :=
?1 ; ?dim H?1 +1 := . . . := ?dim H?1 +dim H?2 := ?2 и т. д.), получаем раз-
ложение H = H0 ? H?1 ? H?2 ? . . . и представление
? ?
?k ek ? ek ,
T= ?k ek =
k=1 k=1

где ряд суммируется в операторной норме.
6.6.9. Теорема об общем виде компактного оператора.
Пусть T ? K (H1 , H2 ) — бесконечномерный компактный оператор,
действующий из гильбертова пространства H1 в гильбертово про-
странство H2 . Существуют ортонормальные семейства (ek )k?N в H1 ,
(fk )k?N в H2 и семейство чисел (µk )k?N в R+ \ 0, µk v 0, для которых
справедливо представление
?
µk ek ? fk .
T=
k=1
Гл. 6. Гильбертовы пространства
128

Положим S := T ? T . Понятно, что S ? B(H1 ) и S компактен.
Помимо этого, (Sx, x) = (T ? T x, x) = (T x, T x) = T x 2 . Значит,
в силу 6.4.6, S эрмитов и H0 := ker S = ker T . Отметим также, что
Sp(S) ? R+ по теореме 6.5.5.
?
Пусть (ek )k?N — ортонормальный базис в H0 из собственных
векторов S и (?k )k?N — соответствующая убывающая последова-
тельность положительных собственных значений ?k > 0, k ? N (ср.
6.6.8). Тогда элемент x ? H1 можно разложить в ряд Фурье
?
x ? PH0 x = (x, ek )ek .
k=1

v
Таким образом, учитывая, что T PH0 = 0, и полагая µk := ?k и
fk := µ?1 T ek , получаем
k

? ? ?
µk
Tx = (x, ek )T ek = (x, ek ) T ek = µk (x, ek )fk .
µk
k=1 k=1 k=1


Семейство (fk )k?N ортонормально, ибо

T en T em 1
(fn , fm ) = , (T en , T em ) =
=
µn µm µn µm

1 1
(T ? T en , em ) = (Sen , em ) =
=
µn µm µn µm
µn
1
(?n en , em ) = (en , em ).
=
µn , µm µm
Привлекая теперь последовательно теорему Пифагора и неравенство
Бесселя, выводим:
2 2
?
n
T? µk ek ? fk x µk (x, ek )fk
= =
k=1 k=n+1

? ?
µ2 |(x, ek )| ? ?n+1 |(x, ek )|2 ? ?n+1 x 2 .
2
= k
k=n+1 k=n+1
Упражнения 129

Окончательно, учитывая соотношение ?k v 0, имеем
n
T? µk ek ? fk ? µn+1 > 0.
k=1

6.6.10. Замечание. Теорема 6.6.9 означает, в частности, что
компактные операторы (и только они) суть точки прикосновения
множества конечномерных операторов. Этот факт выражают еще
и так: «гильбертово пространство обладает свойством аппроксима-
ции».

Упражнения
6.1. Найти крайние точки шара гильбертова пространства.
6.2. Выяснить, какие из классических банаховых пространств гильберто-
вы, а какие — нет.
6.3. Будет ли гильбертовым фактор-пространство гильбертова простран-
ства?
6.4. Каждое ли банахово пространство вкладывается в гильбертово про-
странство?
6.5. Может ли быть гильбертовым пространство ограниченных эндомор-
физмов гильбертова пространства?
6.6. Описать второе ортогональное дополнение к множеству.
6.7. Доказать, что ни один гильбертов базис бесконечномерного гильбер-
това пространства не является базисом Гамеля.
6.8. Построить на отрезке наилучшее приближение в метрике L2 полинома
степени n + 1 полиномами степени не выше n.
2
6.9. Доказать, что x ? y в том и только в том случае, если x+y =
2 + y 2 и x + iy 2 = x 2 + y 2 .
x
6.10. Для ограниченного оператора T установить соотношения

(ker T )? = cl im T ? , (im T )? = ker T ? .

6.11. Выяснить связи между эрмитовыми формами и эрмитовыми опера-
торами.
6.12. Найти эрмитово сопряженные операторы к операторам сдвига, умно-
жения, к конечномерному оператору.
6.13. Доказать, что оператор в гильбертовом пространстве компактен в
том и только в том случае, если компактен эрмитово сопряженный к нему опе-
ратор. Как связаны соответствующие канонические представления этих опера-
торов?
Гл. 6. Гильбертовы пространства
130

6.14. Пусть известно, что оператор T — изометрия. Будет ли изометрией
оператор T ? ?
6.15. Частичная изометрия — это оператор, являющийся изометрией на
ортогональном дополнении своего ядра. Как устроен эрмитово сопряженный к
частичной изометрии оператор?
6.16. Каковы крайние точки единичного шара в пространстве эндоморфиз-
мов гильбертова пространства?
6.17. Доказать, что при сужении на шар слабая топология сепарабельного
гильбертова пространства становится метризуемой.
6.18. Доказать, что идемпотентный оператор P в гильбертовом простран-
стве является ортопроектором в том и только в том случае, если P коммутиру-
ет с P ? .
6.19. Пусть (akl )k,l?N — бесконечная матрица такая, что akl ? 0 для всех
k, l и, кроме того, имеются также pk и ?, ? > 0 такие, что

? ?

akl pk ? ?pl ; akl pl ? ?pk (k, l ? N).
k=1 l=1


Тогда существует оператор T ? B(l2 ) такой, что (ek , el ) = akl и T = ?? (где
ek — канонический базис в l2 , составленный характеристическими функциями
точек из N).
Глава 7
Принципы банаховых
пространств


7.1. Основной принцип Банаха
7.1.1. Лемма о топологическом строении выпуклого мно-
жества. Пусть U — выпуклое множество с непустой внутренностью
в (мульти)нормированном пространстве: int U = ?. Тогда
(1) 0 ? ? < 1 ? ? cl U + (1 ? ?) int U ? int U ;
(2) core U = int U ;
(3) cl U = cl int U ;
(4) int cl U = int U .
(1) Для u0 ? int U в силу 5.2.10 множество int U ? u0 — от-
крытая окрестность нуля. Отсюда при 0 ? ? < 1 получаем

? cl U ? cl ?U ? ?U + (1 ? ?)(int U ? u0 ) =

= ?U + (1 ? ?) int U ? (1 ? ?)u0 ?
? ?U + (1 ? ?)U ? (1 ? ?)u0 ? U ? (1 ? ?)u0 .
Таким образом, (1 ? ?)u0 + ? cl U ? U и, стало быть, U содер-
жит (1 ? ?) int U + ? cl U . Последнее множество открыто, ибо пред-
ставляет собой результат сложения ? cl U с открытым множеством
(1 ? ?) int U .
(2) Несомненно, что int U ? core U . Если же u0 ? int U и u ?
core U , то для некоторых u1 ? U и 0 < ? < 1 будет u = ?u0 +(1??)u1 .
Поскольку u1 ? cl U , на основании (1) заключаем: u ? int U .
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
132

(3) Понятно, что cl int U ? cl U , ибо int U ? U . Если, в свою
очередь, u ? cl U , то, выбрав u0 ? int U и положив u? := ?u0 +(1??)u,
видим: u? > u при ? > 0 и u? ? int U , когда 0 < ? < 1. Итак, по
построению u ? cl int U .
(4) Из включений int U ? U ? cl U вытекает, что int U ? int cl U .
Если теперь u ? int cl U , то, в силу (2), u ? core cl U . Значит, вновь
выделяя u0 ? int U , подыщем u1 ? cl U и 0 < ? < 1, для которых u =
?u0 + (1 ? ?)u1 . Привлекая (1), окончательно выводим: u ? int U .
7.1.2. Замечание. В случае конечномерноcти рассматривае-
мого пространства условие int U = ? в пунктах 7.1.1 (2) и 7.1.1 (4)
можно опустить. В бесконечномерной ситуации наличие внутренней
точки, как показывают многочисленные примеры, — это существен-
ное требование. В частности, так обстоит дело при U := Bc0 ? X, где
c0 — пространство сходящихся к нулю последовательностей, а X —
подпространство финитных последовательностей в c0 , т. е. прямая
сумма счетного числа экземпляров основного поля. В самом деле,
бесспорно, core U = ? и в то же время cl U = Bc0 .
7.1.3. Определение. Множество U в (мульти)нормированном
пространстве X называют идеально выпуклым, если U выдержива-
ет образование счетных выпуклых комбинаций. Точнее говоря, U
идеально выпукло, если, каковы бы ни были последовательности
?
(?n )n?N и (un )n?N , где ?n ? R+ , n=1 ?n = 1 и un ? U , для ко-
?
торых ряд n=1 ?n un сходится в X к элементу u, выполнено u ? U .
7.1.4. Примеры.
(1) Параллельный (на вектор u0 ) перенос x > x + u0
«сохраняет» идеальную выпуклость.
(2) Замкнутое выпуклое множество идеально выпукло.
(3) Открытое выпуклое множество идеально выпукло.
В самом деле, пусть U открыто и выпукло. Если U = ?, то
доказывать нечего. Если же U = ?, то по 7.1.4 (1) можно счи-
тать, что 0 ? U и, значит, U = {pU < 1}, где pU — функцио-
нал Минковского множества U . Пусть (un )n?N и (?n )n?N — по-
?
следовательности в U и в R+ такие, что n=1 ?n = 1 и элемент
?
u := n=1 ?n un не попал в U . В силу 7.1.4 (2), u лежит в cl U =
{pU ? 1} и, стало быть, pU (u) = 1. С другой стороны, ясно, что
? ?
pU (u) ? n=1 ?n pU (un ) ? 1 = n=1 ?n (ср. 7.2.1). Итак, 0 =
7.1. Основной принцип Банаха 133
? ?
? ?n pU (un )) = n=1 ?n (1 ? pU (un )). Отсюда ?n = 0 для
n=1 (?n
всех n ? N. Получили противоречие.
(4) Пересечение произвольного семейства идеально вы-
пуклых множеств идеально выпукло.
(5) Выпуклое подмножество конечномерного пространст-
ва идеально выпукло.
7.1.5. Основной принцип Банаха. В банаховом простран-
стве идеально выпуклое множество с поглощающим замыканием яв-
ляется окрестностью нуля.
Пусть U — такое множество. По условию для рассматриваемо-
го банахова пространства X выполнено X = ?n?N n cl U . По теореме
Бэра X — нетощее множество и, стало быть, найдется n ? N, для
которого int n cl U = ?. Таким образом, int cl U = 1/n int n cl U = ?.
Нам известно, что 0 ? core cl U . Значит, на основании 7.1.1 заклю-
чаем: 0 ? int cl U . Иными словами, существует ? > 0 такое, что
cl U ? ?BX . Следовательно, имеет место соотношение:
?
1
? > 0 ? cl U ? BX .
? ?
С помощью приведенной импликации проверим, что U ? ?/2 BX .
Пусть x0 ? ?/2 BX . Полагая ? := 2, выберем y1 ? 1/? U из усло-
вия y1 ? x0 ? 1/2? ?. Получаем элемент u1 ? U , для которого
1/2 u1 ? x0 ? 1/2? ? = 1/4 ?. Полагая теперь x0 := ?1/2 u1 + x0 и
? := 4 и применяя предыдущие рассуждения, обнаруживаем элемент
u2 ? U такой, что 1/4 u2 + 1/2 u1 ? x0 ? 1/2? ? = 1/8 ?. Продол-
жая приведенный процесс по индукции, строим последовательность
?
(un )n?N в U , обладающую тем свойством, что ряд n=1 1/2n un схо-
? n
дится к x0 . Поскольку = 1 и множество U идеально
n=1 1/2
выпукло, выводим: x0 ? U.
7.1.6. В банаховом пространстве у идеально выпуклого множе-
ства совпадают ядро, внутренность, ядро замыкания и внутренность
замыкания.
Ясно, что int U ? core U ? core cl U . Если u ? core cl U , то
cl(U ? u) = cl U ? u — поглощающее множество. При параллельном
переносе идеально выпуклое множество перейдет в идеально выпук-
лое множество (см. 7.1.4 (1)). Значит, U ? u — окрестность ну-
ля по основному принципу Банаха 7.1.5. В силу 5.2.10, u входит
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
134

в int U . Итак, int U = core U = core cl U . Привлекая 7.1.1, имеем
int cl U = int U.
7.1.7. Ядро и внутренность замкнутого выпуклого множества
в банаховом пространстве совпадают.
Замкнутое выпуклое множество идеально выпукло.
7.1.8. Замечание. Анализ 7.1.5 показывает, что условие бана-
ховости в 7.1.7 использовано не в полной мере. Существуют примеры
неполных нормированных пространств, в которых ядро и внутрен-
ность у любого замкнутого выпуклого множества совпадают. Про-
странства, обладающие указанным свойством, называют бочечными.
Понятие бочечности, как видно, имеет смысл и в мультинормиро-
ванных пространствах. Известны широкие классы бочечных муль-
тинормированных пространств. В частности, таковы пространства
Фреше.
7.1.9. Контрпример. В каждом бесконечномерном банаховом
пространстве существуют абсолютно выпуклые поглощающие, но не
идеально выпуклые множества.
Используя, например, базис Гамеля, возьмем разрывный ли-
нейный функционал f . Тогда множество {|f | ? 1} — искомое.

7.2. Принципы ограниченности
7.2.1. Пусть p : X > R — сублинейный функционал на норми-
рованном пространстве (X, · ). Следующие утверждения эквива-
лентны:
(1) p равномерно непрерывен;
(2) p непрерывен;
(3) p непрерывен в нуле;
(4) {p ? 1} — окрестность нуля;
(5) p := sup{|p(x)| : x ? 1} < +?, т. е. p ограничен.
Импликации (1) ? (2) ? (3) ? (4) очевидны.
(4) ? (5): Найдется t > 0, для которого t?1 BX ? {p ? 1}.
Поэтому при x ? 1 будет p(x) ? t. Кроме того, из неравенства
?p(?x) ? p(x) вытекает, что и ?p(x) ? t при x ? BX . Окончательно
p ? t < +?.
(5) ? (1): Из субаддитивности p для x, y ? X получаем
p(x) ? p(y) ? p(x ? y); p(y) ? p(x) ? p(y ? x).
7.2. Принципы ограниченности 135

Отсюда |p(x) ? p(y)| ? p(x ? y) ? p(y ? x) ? p x?y .
7.2.2. Теорема Гельфанда. Полунепрерывный снизу субли-
нейный функционал, определенный на банаховом пространстве, не-
прерывен.
Пусть p — такой функционал. Тогда множество {p ? 1} за-
мкнуто (см. 4.3.8). Поскольку dom p — это все пространство, то, по
3.8.8, {p ? 1} — поглощающее множество. По основному принципу
Банаха {p ? 1} — окрестность нуля. Осталось применить 7.2.1.
7.2.3. Замечание. Теорему Гельфанда можно более разверну-
то формулировать следующим образом: «если X — банахово про-
странство, то эквивалентные условия 7.2.1 (1)–7.2.1 (5) равносильны
высказыванию: p полунепрерывен снизу». Отметим здесь же, что
требование dom p = X можно несколько ослабить и считать, что
dom p — нетощее линейное множество, не предполагая при этом пол-
ноты X.
7.2.4. Принцип равностепенной непрерывности. Пусть X
— банахово пространство и Y — (полу)нормированное пространство.
Для любого непустого множества E непрерывных линейных опера-
торов из X в Y эквивалентны утверждения:
(1) E поточечно ограничено, т. е. для всякого x ? X
ограничено в Y множество {T x : T ? E };
(2) E равностепенно непрерывно.
(1) ? (2): Положим q(x) := sup{p(T x) : T ? E }, где p
— полунорма в Y . Несомненно, что q — полунепрерывный сни-
зу сублинейный функционал и, стало быть, по теореме Гельфанда
q < +?, т. е. p(T (x ? y)) ? q x ? y при всех T ? E . Значит,
T ??1 ({dp ? ?}) ? {d · ? ?/ q } для каждого T ? E , где ? > 0 —
произвольное число. Последнее означает равностепенную непрерыв-
ность E .
(2) ? (1): Очевидно.
7.2.5. Принцип равномерной ограниченности. Пусть X —
банахово пространство и Y — нормированное пространство. Для
любого непустого семейства (T? )?? ограниченных операторов экви-
валентны утверждения:
(1) x ? X ? sup?? T? x < +?;
(2) sup?? T? < +?.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
136

Достаточно заметить, что 7.2.5 (2) — это другая запись 7.2.4

<< Пред. стр.

стр. 15
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>