<< Пред. стр.

стр. 16
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

(2).
7.2.6. Пусть X — банахово пространство и U — множество в
X . Тогда эквивалентны утверждения:
(1) множество U ограничено в X ;
(2) для каждого x ? X числовое множество { x | x :
x ? U } ограничено в F.
Это частный случай 7.2.5.
7.2.7. Пусть X — нормированное пространство и U — множе-
ство в X. Тогда эквивалентны утверждения:
(1) множество U ограничено в пространстве X;
(2) для каждого x ? X числовое множество { x | x :
x ? U } ограничено в F.
Следует проверить только (2) ? (1). Поскольку X — бана-
хово пространство (см. 5.5.7), а X изометрически вложено в X с
помощью двойного штрихования (см. 5.1.10 (8)), то требуемое выте-
кает из 7.2.6.
7.2.8. Замечание. Высказывание 7.2.7 (2) можно переформу-
лировать таким образом: «множество U ограничено в пространстве
(X, ?(X, X ))» или же, в связи с 5.1.10 (4), так: «множество U
слабо ограничено». Двойственность предложений 7.2.6 и 7.2.7 будет
полностью вскрыта в 10.4.6.
7.2.9. Теорема Банаха — Штейнгауза. Пусть X, Y — бана-
ховы пространства и (Tn )n?N , Tn ? B(X, Y ), — последовательность
ограниченных операторов. Положим E := {x ? X : ? lim Tn x}. Сле-
дующие утверждения эквивалентны:
(1) E = X;
(2) supn?N Tn < +? и E плотно в X.
При выполнении эквивалентных условий (1), (2) отображение T0 :
X > Y , определенное соотношением T0 x := lim Tn x, представляет
собой ограниченный линейный оператор и T0 ? lim inf Tn .
Если E = X, то, конечно же, cl E = X. Кроме того, для
каждого x ? X последовательность (Tn x)n?N ограничена в Y (ибо
она сходится). Значит, по принципу равномерной ограниченности
supn?N Tn < +? и (1) ? (2) доказано.
7.2. Принципы ограниченности 137

Если выполнено (2) и x ? X, то для x ? E и m, k ? N справед-
ливы соотношения

Tm x ? Tk x = Tm x ? Tm x + Tm x ? Tk x + Tk x ? Tk x ?

? Tm x ? Tm x + Tm x ? Tk x + Tk x ? Tk x ?

? Tm x ? x + Tm x ? Tk x + Tk x?x ?

? 2 sup Tn x ? x + Tm x ? Tk x .
n?N

Возьмем ? > 0 и подберем, во-первых, элемент x ? E, для которого
2 supn Tn x ? x ? ?/2, а во-вторых, n ? N такой, что Tm x ?
Tk x ? ?/2 при m, k ? n. В силу уже установленного Tm x ?
Tk x ? ?, т. е. (Tn x)n?N — фундаментальная последовательность в
Y . Поскольку Y — банахово пространство, заключаем: x ? E. Итак,
(2) ? (1) доказано.
Осталось отметить, что для каждого x ? X верно

T0 x = lim Tn x ? lim inf Tn x,

ибо норма — непрерывная функция.
7.2.10. Замечание. В условиях теоремы Банаха — Штейнгау-
за из справедливости одного из эквивалентных утверждений 7.2.9 (1)
и 7.2.9 (2) можно сделать вывод, что последовательность (Tn ) схо-
дится к T0 равномерно на компактных подмножествах X. Иными
словами, для всякого (непустого) компакта Q в X выполнено

Tn x ? T0 x > 0.
sup
x?Q


В самом деле, по теореме Гельфанда сублинейный функци-
онал pn (x) := sup{ Tm x ? T0 x : m ? n} непрерывен. При этом
pn (x) ? pn+1 (x) и pn (x) > 0 для каждого x ? X. Значит, тре-
буемое вытекает из теоремы Дини: «убывающая последователь-
ность непрерывных вещественных функций, поточечно сходящаяся
на компакте к непрерывной функции, сходится к этой функции рав-
номерно».
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
138

7.2.11. Принцип фиксации особенности. Пусть X — бана-
хово пространство и Y — нормированное пространство. Если (Tn )n?N
— последовательность операторов из B(X, Y ) и supn Tn = +?,
то найдется точка x ? X, для которой выполнено supn Tn x = +?.
Множество таких «фиксирующих особенность» точек — вычет.
Первая часть утверждения содержится в принципе равномер-
ной ограниченности. Вторая часть требует ссылок на 7.2.3 и 4.7.4.
7.2.12. Принцип сгущения особенностей. Пусть X — бана-
хово пространство и Y — нормированное пространство. Если дано
семейство (Tn,m )n,m?N семейство в B(X, Y ) такое, что supn Tn,m =
+? для каждого m ? N, то существует точка x ? X, для которой
supn Tn,m x = +? при всех m ? N.

7.3. Принцип идеального соответствия
7.3.1. Пусть X и Y — векторные пространства. Соответствие
F ? X ?Y выпукло в том и только в том случае, если для x1 , x2 ? X
и ?1 , ?2 ? R+ таких, что ?1 + ?2 = 1, имеет место включение

F (?1 x1 + ?2 x2 ) ? ?1 F (x1 ) + ?2 F (x2 ).

?: Если (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ? F и ?1 , ?2 ? 0, ?1 + ?2 = 1, то
?1 y + ?2 y2 ? F (?1 x1 + ?2 x2 ), поскольку y1 ? F (x1 ) и y2 ? F (x2 ).
?: Если x1 или x2 не входит в dom F , то доказывать нечего.
Если же x1 , x2 ? dom F и y1 ? F (x1 ), y2 ? F (x2 ), то ?1 (x1 , y1 ) +
?2 (x2 , y2 ) ? F при ?1 , ?2 ? 0, ?1 + ?2 = 1 (см. 3.1.2 (8)).
7.3.2. Замечание. Пусть X, Y — банаховы пространства. Яс-
но, что в пространстве X ? Y удается многими способами задать
норму так, чтобы соответствующая топология совпадала с произве-
дением топологий ?X и ?Y . Например, можно положить (x, y) :=
x X + y Y , т. е. ввести в X ? Y норму как в сумму пространств
X и Y по типу 1. Отметим здесь же, что понятие «идеально вы-
пуклое множество» имеет линейно топологический характер, т. е.
выделяемый этим понятием класс объектов не зависит от способа
задания топологии (в частности, не меняется при переходе к экви-
валентной (мульти)норме). В этой связи корректным является сле-
дующее определение.
7.3. Принцип идеального соответствия 139

7.3.3. Определение. Соответствие F ? X ? Y , где X и Y —
банаховы пространства, называют идеально выпуклым, или, короче,
идеальным, если F — идеально выпуклое множество.
7.3.4. Лемма об идеальном соответствии. Образ ограни-
ченного идеально выпуклого множества при идеальном соответствии
— идеально выпуклое множество.
Пусть F ? X ? Y — рассматриваемое соответствие и U —
ограниченное идеально выпуклое множество в X. Если U ? dom F =
?, то F (U ) = ? и доказывать ничего не надо. Предположим теперь,
что (yn )n?N ? F (U ), т. е. yn ? F (xn ), где xn ? U и n ? N. Пусть,
наконец, (?n ) — последовательность положительных чисел такая,
?
n=1 ?n = 1 и, кроме того, в Y существует сумма ряда y :=
что
?
n=1 ?n yn . Несомненно, что

? ? ?
?n xn ?
?n xn = ?n sup U = sup U < +?
n=1 n=1 n=1


ввиду ограниченности U . Поскольку X полно, то на основании 5.5.3
?
в X есть элемент x := n=1 ?n xn . Следовательно, в пространстве
X ? Y выполнено
?
(x, y) = ?n (xn , yn ).
n=1

Используя последовательно идеальную выпуклость F и U , выводим:
(x, y) ? F и x ? U . Стало быть, y ? F (U ).
7.3.5. Принцип идеального соответствия. Пусть X и Y —
банаховы пространства, F ? X ? Y — идеальное соответствие и
(x, y) ? F . Соответствие F отображает окрестности точки x на
окрестности точки y в том и только в том случае, если y ? core F (X).
?: Очевидно.
?: С учетом 7.1.4 можно считать: x = 0 и y = 0. Поскольку
каждая окрестность нуля U содержит ?BX для некоторого ? > 0,
достаточно рассмотреть случай U := BX . Так как U — ограниченное
множество, на основании 7.3.4, F (U ) идеально выпукло. Для завер-
шения доказательства можно проверить, что F (U ) — поглощающее
множество и сослаться на 7.1.6.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
140

Возьмем произвольный элемент y ? Y . Раз известно, что 0 ?
core F (X), то найдется ? ? R+ , для которого ?y ? F (X). Иначе
говоря, для подходящего x ? X справедливо ?y ? F (X). Если x ?
1, то доказывать нечего. Если же x > 1, то ? := x ?1 < 1.
Отсюда, привлекая 7.3.1, выводим:

??y = (1 ? ?)0 + ??y ? (1 ? ?)F (0) + ?F (x) ?
? F ((1 ? ?)0 + ?x) = F (?x) ? F (BX ) = F (U ).
Здесь мы учли, что ?x = 1, т. е. ?x ? BX .
7.3.6. Замечание. Свойство F , описываемое в 7.3.5, именуют
открытостью F в точке (x, y).
7.3.7. Замечание. Говоря формально, принцип идеального со-
ответствия слабее основного принципа Банаха 7.1.5. Тем не менее
соответствующий зазор невелик и легко устраним. Именно заклю-
чение 7.3.5 останется верным, если считать, что y ? core cl F (X),
потребовав дополнительно идеальной выпуклости F (X). Последнее
требование не слишком обременительно и в силу 7.3.4 заведомо вы-
полнено, если эффективное множество dom F ограничено. Указан-
ная незначительная модификация 7.3.5 содержит 7.1.5 в качестве
частного случая. В этой связи 7.3.5 обычно называют основным
принципом Банаха для соответствий.
7.3.8. Определение. Пусть X и Y — банаховы пространства и
F ? X ? Y — соответствие. Соответствие F называют замкнутым,
если F — замкнутое множество.
7.3.9. Замечание. По понятным причинам о замкнутом соот-
ветствии часто говорят как о соответствии с «замкнутым графиком».
7.3.10. Соответствие F замкнуто в том и только в том случае,
если для любых последовательностей (xn ) в X и (yn ) в Y таких, что
xn ? dom F, yn ? F (xn ) и xn > x, yn > y, выполнено x ? dom F
и y ? F (x).
7.3.11. Пусть X и Y — банаховы пространства и F ? X ? Y
— замкнутое выпуклое соответствие. Пусть, далее, (x, y) ? F и
y ? core im F . Соответствие F отображает окрестности точки x на
окрестности точки y.
Замкнутое выпуклое множество идеально выпукло, так что
вс? содержится в 7.3.5.
е
7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике 141

7.3.12. Определение. Соответствие F ? X ? Y называют от-
крытым, если образ открытого множества в X — открытое множе-
ство в Y .
7.3.13. Принцип открытости. Пусть X, Y — банаховы про-
странства и F ? X ? Y — идеальное соответствие, причем im F —
открытое множество. Тогда F — открытое соответствие.
Пусть U — открытое множество в X. Если y ? F (U ), то
найдется x ? U , для которого (x, y) ? F . Ясно, что y ? core im F .
Поскольку выполнены условия 7.3.5, то F (U ) — окрестность y, ибо
U — окрестность x. Последнее означает, что F (U ) — открытое мно-
жество.

7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом
графике
7.4.1. Определение. Оператор T из L (X, Y ) называют гомо-
морфизмом, если T ? B(X, Y ) и T — открытое соответствие.
7.4.2. Пусть X — банахово пространство, Y — нормированное
пространство и T — гомоморфизм из X в Y . Тогда im T = Y и Y —
банахово пространство.
То, что im T = Y , очевидно. Если заранее известно, что T —
мономорфизм, то выполнено T ?1 ? L (Y, X). Из-за открытости T
оператор T ?1 входит в B(Y, X), что обеспечивает полноту Y (прооб-
раз последовательности Коши — последовательность Коши в прооб-
разе). В общем случае рассмотрим кообраз coim T := X/ ker T , наде-
ленный фактор-нормой. На основании 5.5.4, coim T — банахово про-
странство. Кроме того, в силу 2.3.11 имеется единственное снижение
T оператора T на coim T . Учитывая определение фактор-нормы и
5.1.3, заключаем, что оператор T — гомоморфизм. Мономорфиз-
мом этот оператор является по построению. Осталось заметить, что
im T = im T = Y.
7.4.3. Замечание. Относительно снижения T : coim T > Y
оператора T можно утверждать, что T = T .
7.4.4. Теорема Банаха о гомоморфизме. Ограниченный эпи-
морфизм одного банахова пространства на другое является гомомор-
физмом.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
142

Пусть T ? B(X, Y ) и im T = Y . Применяя принцип откры-
тости к соответствию T , получаем требуемое.
7.4.5. Теорема Банаха об изоморфизме. Пусть X, Y — ба-
наховы пространства и T ? B(X, Y ). Если T — изоморфизм вектор-
ных пространств X и Y , т. е. ker T = 0 и im T = Y , то T ?1 ? B(Y, X).
Частный случай 7.4.4.
7.4.6. Замечание. Коротко теорему 7.4.5 формулируют так:
«непрерывный изоморфизм банаховых пространств является топо-
логическим изоморфизмом». Отметим здесь же, что эту теорему
иногда называют «принципом корректности» и выражают словами:
«если уравнение T x = y, где T ? B(X, Y ), а X, Y — банаховы
пространства, однозначно разрешимо при любой правой части, то
решение x непрерывно зависит от правой части y».
7.4.7. Теорема Банаха о замкнутом графике. Пусть X, Y
— банаховы пространства и T ? L (X, Y ) — замкнутый линейный
оператор. Тогда T непрерывен.
Соответствие T ?1 идеально, и T ?1 (Y ) = X.
7.4.8. Следствие. Пусть X, Y — банаховы пространства и за-
дан T ? L (X, Y ). Следующие утверждения эквивалентны:
(1) T ? B(X, Y );
(2) для любой последовательности (xn )n?N в X и x ? X
таких, что xn > x и T xn > y, где y ? Y , выполнено
y = T x.
(2) есть переформулировка замкнутости T .
7.4.9. Определение. Подпространство X1 банахова простран-
ства X называют дополняемым (реже — топологически дополняе-
мым), если X1 замкнуто и, кроме того, найдется замкнутое подпро-
странство X2 такое, что X = X1 ?X2 (т. е. X1 ?X2 = 0, X1 ?X2 = X).
7.4.10. Принцип дополняемости. Для подпространства X1
банахова пространства X эквивалентны утверждения:
(1) X1 дополняемо;
(2) X1 есть область значений ограниченного проектора,
т. е. найдется оператор P ? B(X) такой, что P 2 = P
и im P = X1 .
7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике 143

(1) ? (2): Пусть P — проектор X на X1 параллельно X2 (см.
2.2.9 (4)). Пусть (xn )n?N — последовательность в X и xn > x, а
P xn > y. Ясно, что P xn ? X1 для n ? N. В силу замкнутости X1 ,
по 4.1.19, y ? X1 . Аналогично из условия (xn ? P xn ? X2 для n ? N)
вытекает, что x ? y ? X2 . Значит, P (x ? y) = 0. Помимо этого,
y = P y, т. е. y = P x. Остается сослаться на 7.4.8.
(2) ? (1): Следует проверить только, что X1 = im P замкнуто.
Возьмем последовательность (xn )n?N в X1 такую, что xn > x в X.
Тогда P xn > P x ввиду ограниченности P . Имеем P xn = xn , ибо
xn ? im P , а P идемпотентен. Окончательно x = P x, т. е. x ? X1 ,
что и нужно.
7.4.11. Примеры.
(1) Конечномерное подпространство дополняемо.
(2) Пространство c0 не дополняемо в l? .
Для простоты будем работать с X := l? (Q) и Y := c0 (Q), где
Q — множество рациональных чисел. Для t ? R подберем последо-
вательность попарно различных отличных от t рациональных чисел
(tn ) такую, что tn > t. Пусть Qt := {tn : n ? N}. Подчеркнем, что
Qt ? Qt — конечное множество при t = t .
Пусть ?t — класс, содержащий характеристическую функцию
Qt в фактор-пространстве X/Y и V := {?t : t ? R}. Поскольку
?t = ?t при t = t , множество V несчетно.
Возьмем f ? (X/Y ) и положим Vf := {v ? V : f (v) = 0}. Видно,
что Vf = ?n?N Vf (n), где Vf (n) := {v ? V : |f (v)| ? 1/n}. Если
m ? N, v1 , . . . , vm ? Vf (n) попарно различные, v1 , . . . , vm ? Vf (n) и
n
?k := |f (vk )|/f (vk ), то для x = k=1 ?k vk будет x ? 1 и f ?
m m
|f (x)| = | k=1 ?k f (vk )| = | k=1 |f (vk )|| ? m/n. Таким образом,
Vf (n) — конечное множество.
Следовательно, Vf счетно. Отсюда следует, что для каждого
счетного множества F ? (X/Y ) существует элемент v ? V , для
которого (? f ? F ) f (v) = 0.
В то же время счетный набор координатных проекций ?q : x >
x(q) (q ? Q) тотален на l? (Q), т. е. (? q ? Q) ?q (x) = 0 ? x = 0
при x ? l? (Q). Осталось сопоставить сделанные наблюдения.
(3) Каждое замкнутое подпространство гильбертова про-
странства дополняемо (по 6.2.6). Оказывается, что если в некотором
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
144

банаховом пространстве X таком, что dim X ? 3, каждое замкну-
тое подпространство — область значений некоторого проектора P и
P ? 1, то X изометрично гильбертову пространству (= теорема
Какутани). Более глубок следующий факт:
Теорема Линденштраусса — Цафрири. Каждое банахово
пространство, в котором любое замкнутое подпространство допол-
няемо, (линейно и топологически) изоморфно гильбертову простран-
ству.
7.4.12. Теорема Сарда об уравнении XA = B. Пусть
X, Y, Z — банаховы пространства; A ? B(X, Y ), B ? B(Y, Z).
Пусть, далее, im A — дополняемое подпространство в Y. Диаграмма

A
-Y
X
@
@
X
B@
@
@?
R
Z

коммутативна для некоторого X ? B(Y, Z) в том и только в том
случае, если ker A ? ker B.
Следует проверить только ?. При этом в случае im A =
Y единственный оператор X0 ? L (Y, Z) такой, что X0 A = B,
непрерывен. В самом деле, для открытого множества U в Z имеем
X0?1 (U ) = A(B ?1 (U )). Множество B ?1 (U ) открыто в силу ограни-
ченности B, и A(B ?1 (U )) открыто по теореме Банаха о гомоморфиз-
ме. В общем случае следует построить X0 ? B(im A, Z) и в качестве
X взять X0 P , где P — какой-нибудь непрерывный проектор Y на
im A. Существование этого проектора обеспечивает принцип допол-
няемости.
7.4.13. Замечание. Полнота Z в доказательстве теоремы Сар-
да не использована.
7.4.14. Теорема Филлипса об уравнении AX = B. Пусть
X, Y, Z — банаховы пространства, A ? B(Y, X), B ? B(Z, X).
Пусть, далее, ker A — дополняемое подпространство в Y .
Диаграмма
7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике 145

A
X Y
6
@
I
@
X
B@
@
Z

коммутативна для некоторого X ? B(Z, Y ) в том и только в том
случае, если im A ? im B.

Вновь следует проверить только ?. Воспользуемся определе-
нием дополняемости и представим Y в виде прямой суммы ker A и
Y0 , где Y0 — замкнутое подпространство. По 5.5.9 (1), Y0 представ-
ляет собой банахово пространство. Рассмотрим след A0 оператора
A на Y0 . Несомненно, что im A0 = im A ? im B. Значит, по 2.3.13 и
2.3.14 уравнение A0 X0 = B имеет, и притом единственное, решение
X0 := A?1 B. Нам достаточно доказать, что оператор X0 , являю-
0
щийся элементом пространства L (Z, Y0 ), ограничен.
Оператор X0 замкнут. В самом деле (ср. 7.4.8), если zn >
z и A?1 Bzn > y, то Bzn > Bz, поскольку B ограничен. Кроме
0
того, в силу непрерывности A0 соответствие A?1 ? X ? Y0 замкнуто,
0
и, стало быть, по 7.3.10 справедливо равенство y = A?1 Bz.
0


7.4.15. Замечание. Полнота X в доказательстве теоремы Фил-
липса не использована.

7.4.16. Замечание. Теоремы Сарда и Филлипса находятся в
«формальной двойственности», т. е. могут быть получены одна из
другой с помощью обращения стрелок и включений и замены ядер
образами (ср. 2.3.15).

7.4.17. Принцип двух норм. Пусть векторное пространство
полно относительно каждой из двух сравнимых между собой норм.
Тогда эти нормы эквивалентны.

· · в пространстве X.
Пусть для определенности 2 1
Рассмотрим диаграмму
Гл. 7. Принципы банаховых пространств

<< Пред. стр.

стр. 16
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>