<< Пред. стр.

стр. 17
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

146

IX
)
(X, · (X, · 2)
1

6
I
@
@ X
IX @
(X, · 1)

По теореме Филлипса некоторый непрерывный оператор X превра-
щает эту диаграмму в коммутативную. Но такой оператор единствен
— это IX .
7.4.18. Принцип нормы графика. Пусть X, Y — банаховы
пространства и оператор T ? L (X, Y ) замкнут. Определим норму
графика x gr T := x X + T x Y для x ? X. Тогда выполнено ·
gr T ? · X .
Следует заметить, что (X, · gr T ) — полное пространство.
Помимо этого, · gr T ? · X . Осталось сослаться на принцип двух
норм.
7.4.19. Определение. Нормированное пространство X назы-
вают банаховым образом, если X служит образом некоторого огра-
ниченного оператора, определенного на каком-либо банаховом про-
странстве.
7.4.20. Критерий Като. Пусть X — банахово пространство
и X = X1 ? X2 , где X1 , X2 ? Lat(X). Подпространства X1 и X2
замкнуты в том и только в том случае, если каждое из них является
банаховым образом.
?: Следствие принципа дополняемости.
?: Пусть Z — какой-либо банахов образ, т. е. для некоторого
банахова пространства Y и T ? B(Y, Z) выполнено: Z = T (Y ). Пере-
ходя, если нужно, к снижению на кообраз, можно считать, что T —
изоморфизм. Обозначим z 0 := T ?1 z Y . Ясно, что (Z, · 0 ) —
банахово пространство и z = T T ?1 z ? T T ?1 z = T z 0 ,
т. е. · 0 · Z . Применяя описанную конструкцию к X1 и X2 ,
приходим к банаховым пространствам (X1 , · 1 ) и (X2 , · 2 ). При
этом · k · X на Xk при k := 1, 2.
Для x1 ? X1 и x2 ? X2 положим x1 + x2 0 := x1 1 + x2 2 .
Тем самым в X возникает норма · более сильная, чем исходная
· X . По построению (X, · 0 ) — банахово пространство. Осталось
сослаться на 7.4.17.
7.5. Принцип автоматической непрерывности 147

7.5. Принцип автоматической непрерывности
7.5.1. Критерий непрерывности выпуклой функции. Рас-
смотрим выпуклую функцию f : X > R· в (мульти)нормированном
пространстве X. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) U := int dom f = ? и f |U — непрерывная функция;
(2) существует непустое открытое множество V такое,
что выполнено sup f (V ) < +?.
(1) ? (2): Очевидно.
(2) ? (1): Ясно, что U = ?. Привлекая 7.1.1, легко убеждаемся
в том, что у каждой точки u ? U имеется окрестность W , в которой f
ограничена сверху, т. е. t := sup f (W ) < +?. Не нарушая общности,
можно считать, что u := 0, f (u) := 0 и что W — это абсолютно
выпуклое множество. В силу выпуклости f для всякого ? ? R+
такого, что ? ? 1, и произвольного v ? W справедливы соотношения:

f (?v) = f (?v + (1 ? ?)0) ? ?f (v) + (1 ? ?)f (0) = ?f (v);

f (?v) + ?f (?v) ? f (?v) + f (?(?v)) =
1 1
? 2f (0) = 0.
f (?v) + f (??v)
=2
2 2
Таким образом, выполнено |f (?W )| ? ?t, откуда и вытекает непре-
рывность f в точке u := 0.
7.5.2. Следствие. Если x ? int dom f и f непрерывна в точке
x, то субдифференциал ?x (f ) содержит только непрерывные функ-
ционалы.
Если l ? ?x (f ), то (? x ? X) l(x) ? l(x) + f (x) ? f (x) и,
стало быть, l ограничен сверху на некоторой окрестности точки x.
Следовательно, l непрерывен в этой точке по 7.5.1. Привлекая 5.3.7,
убеждаемся, что l непрерывен.
7.5.3. Следствие. Каждая выпуклая функция в конечномер-
ном пространстве непрерывна во внутренности своей эффективной
области определения.
7.5.4. Определение. Функцию f : X > R· называют идеально
выпуклой, если ее надграфик epi f — идеальное соответствие.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
148

7.5.5. Принцип автоматической непрерывности. Каждая
идеально выпуклая функция в банаховом пространстве непрерывна
на ядре своей эффективной области определения.
Пусть f — такая функция. Если core dom f = ?, то дока-
зывать нечего. Если же x ? core dom f , то положим t := f (x) и
F := (epi f )?1 ? R ? X. Применяя принцип идеального соответ-
ствия, найдем ? > 0 из условия F (t + BR ) ? x + ?BX . Отсюда, в
частности, вытекает оценка f (x + ?BX ) ? t + 1. На основании 7.5.1,
f непрерывна на int dom f . Поскольку к тому же x ? int dom f , то,
по лемме 7.1.1, core dom f = int dom f .
7.5.6. Замечание. Используя 7.3.6, можно показать, что иде-
ально выпуклая функция f , определенная на множестве с непустым
ядром в банаховом пространстве, является локально липшицевой на
int dom f . Иными словами, для всякой точки x0 ? int dom f найдут-
ся, во-первых, число L > 0, а во-вторых, окрестность U этой точки,
для которых f (x) ? f (x0 ) ? L x ? x0 , как только x ? U .
7.5.7. Следствие. Пусть f : X > R· — идеально выпуклая
функция в банаховом пространстве X и x ? core dom f . Тогда про-
изводная по направлениям f (x) — непрерывный сублинейный функ-
ционал и ?x (f ) ? X .
Нужно дважды воспользоваться принципом автоматической
непрерывности.
7.5.8. Замечание. В связи с 7.5.7 при изучении банаховых про-
странств в субдифференциал любой функции f : X > R· в точке x
включают только подходящие непрерывные функционалы на X, т.
е. полагают
?x (f ) := ?x (f ) ? X .
Аналогичным образом поступают и в (мульти)нормированных про-
странствах. Если необходимо отличить «старый» (более широкий)
субдифференциал, лежащий в X # , от «нового» (более узкого) суб-
дифференциала в X , первый называют алгебраическим, а второй
— топологическим. Указанные в 7.5.2 и 7.5.7 факты в этом смыс-
ле часто называют принцип совпадения алгебраического и тополо-
гического субдифференциалов. Отметим, наконец, что по подобным
же причинам в случае, когда f := p — полунорма в X, считают:
|?|(p) := |?|(p) ? X .
7.5. Принцип автоматической непрерывности 149

7.5.9. Теорема Хана — Банаха для банаховых прост-
ранств. Пусть f : Y > R· — идеально выпуклая функция на бана-
ховом пространстве Y . Пусть, далее, X — нормированное простран-
ство и T ? B(X, Y ). Если точка x ? X такова, что T x ? core dom f ,
то
?x (f ? T ) = ?T x (f ) ? T.

Правая часть доказываемой формулы включена в ее левую
часть по очевидным обстоятельствам. Если же l из X лежит в ?x (f ?
T ), то по теореме Хана — Банаха 3.5.3 можно подыскать элемент l1 из
алгебраического субдифференциала f в точке T x, удовлетворяющий
соотношению l = l1 ? T . Осталось заметить, что, в силу 7.5.7, l1
является элементом Y и, стало быть, элементом топологического
субдифференциала ?T x (f ).
7.5.10. Теорема Хана — Банаха для непрерывной полу-
нормы. Пусть X, Y — нормированные пространства, T ? B(X, Y )
и p : Y > R — непрерывная полунорма. Тогда

|?|(p ? T ) = |?|(p) ? T.

Если l ? |?| (p ? T ), то l = l1 ? T для некоторого l1 из алгеб-
раического субдифференциала полунормы p (см. 3.7.11). Из 7.5.2
вытекает, что l1 непрерывен. Итак, |?|(p ? T ) ? |?| (p) ? T . Обратное
включение бесспорно.
7.5.11. Принцип непрерывного продолжения. Пусть X0 —
подпространство в X и l0 — непрерывный линейный функционал на
X0 . Тогда существует непрерывный линейный функционал l на X,
продолжающий l0 . (При этом можно считать,что l = l0 .)
· , и пусть ? : X0 > X — тождествен-
Возьмем p := l0
ное вложение. С учетом 7.5.10 будет l0 ? |?| (p ? ?) = |?| (p) ? ? =
l0 |?|( · ) ? ?. Осталось заметить, что |?| ( · X ) = BX .
7.5.12. Теорема отделимости в топологическом вариан-
те. Пусть U — выпуклое множество с непустой внутренностью в про-
странстве X. Если L — аффинное многообразие в X и L ? int U = ?,
то существует замкнутая гиперплоскость H в X, для которой H ? L
и H ? int U = ?.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
150

7.5.13. Замечание. При применении 7.5.12 полезно иметь в ви-
ду, что замкнутые гиперплоскости суть в точности множества уров-
ня ненулевых непрерывных линейных функционалов.
7.5.14. Следствие. Пусть X0 — подпространство в X. Тогда

cl X0 = ? {ker f : f ? X , ker f ? X0 }.

Ясно, что (f ? X , ker f ? X0 ) ? ker f ? cl X0 . Если же
x0 ? cl X0 , то найдется открытая выпуклая окрестность x0 , не со-
/
держащая точек cl X0 . На основании 7.5.12 и 7.5.13 имеется функ-
ционал f0 ? (XR ) такой, что ker f0 ? cl X0 и f0 (x0 ) = 1. Из свойств
комплексификатора выводим, что функционал Re?1 f0 обращается в
нуль на X0 и не равен нулю в точке x0 . Несомненно также, что этот
функционал непрерывен.

7.6. Принципы штрихования
7.6.1. Пусть X, Y — (мульти)нормированные векторные про-
странства (над одним и тем же основным полем F) и X , Y — со-
пряженные пространства. Пусть, далее, T — непрерывный линейный
оператор из X в Y . Для y ? Y выполнено y ?T ? X и отображение
y > y ? T — линейный оператор.
7.6.2. Определение. Оператор T : Y > X , построенный
в 7.6.1, называют сопряженным к оператору T : X > Y .
7.6.3. Теорема. Отображение штрихования T > T осуществ-
ляет линейную изометрию пространства B(X, Y ) в пространство
B(Y , X ).
То, что отображение штрихования — линейный оператор из
B(X, Y ) в L (Y , X ), очевидно. Помимо этого, раз y = sup{|l(y) :
l ? |?|( · )}, то

? 1} =
T = sup{ T y y
:

? 1, x ? 1} =
= sup{|y (T x)| : y
x ? 1} = T ,
= sup{ T x :
что и нужно.
7.6. Принципы штрихования 151

7.6.4. Примеры.
(1) Пусть X, Y — гильбертовы пространства, и задан
T ? B(X, Y ). Отметим прежде всего, что в очевидном смысле T ?
B(X, Y ) ? T ? B(X? , Y? ). Обозначим теперь через (·)X : X? >
X штрихование в X, т. е. x > x := ( · , x) и (·)Y : Y? > Y —
штрихование в Y , т. е. y > y := ( · , y).
Связь эрмитово сопряженного оператора T ? ? B(Y, X) и сопря-
женного T ? B(Y , X ) задается коммутативной диаграммой:
T?
X? <?Y?
(·)X v v (·)Y
T
X <?Y
В самом деле, надо убедиться, что для y ? Y выполнено
T y = (T ? y) . Для x ? X по определению имеем

T y (x) = y (T x) = (T x, y) = (x, T ? y) = (T ? y) (x).

В силу произвольности x получаем требуемое.
(2) Пусть ? : X0 > X — вложение X0 в X. Тогда ? :
X > X0 , причем ? (x )(x0 ) = x (x0 ) для всех x0 ? X0 и x ? X и ? —
?
эпиморфизм, т. е. X ?> X0 > 0 — точная последовательность.
7.6.5. Определение. Пусть дана некоторая элементарная диа-
T T
грамма X > Y . Диаграмму Y ?> X называют полученной штри-
хованием исходной диаграммы или сопряженной диаграммой. Если
в произвольной диаграмме, составленной из ограниченных линей-
ных отображений банаховых пространств, произведено штрихование
всех элементарных поддиаграмм, то возникшую диаграмму называ-
ют сопряженной к исходной или полученной из исходной с помощью
штрихования.
T
7.6.6. Лемма о двойном штриховании. Пусть X ?> Y —
T
диаграмма, полученная двойным штрихованием диаграммы X ?>
Y . Тогда коммутативна диаграмма
T
X ?>Y
v v
T
X ?>Y
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
152

где : X > X и : Y > Y — соответствующие двойные штрихо-
вания — канонические вложения X в X и Y в Y (см. 5.1.10 (8)).
Пусть x ? X. Нужно показать, что T x = (T x) . Возьмем
y ? Y . Тогда

T x (y ) = x (T y ) = T y (x) = y (T x) = (T x) (y ).

В силу произвольности y ? Y имеем требуемое.
7.6.7. Принцип штрихования диаграмм. Диаграмма ком-
мутативна в том и только в том случае, если коммутативна сопря-
женная диаграмма.
Достаточно убедиться, что треугольники
T T
X ?> Y X <? Y
R S R S
Z Z
коммутативны или нет одновременно. Так как R = ST ? R =
(ST ) = T S , то коммутативность левого треугольника влечет ком-
мутативность правого. Если же правый треугольник коммутати-
вен, то по уже доказанному R = S T . Привлекая 7.6.6, имеем
(Rx) = R x = S T x = S (T x ) = S (T x) = (ST x) для всех
x ? X. Значит, R = ST .
7.6.8. Определение. Пусть X0 — подпространство в X, а X0
— подпространство в X . Положим

?
X0 := {f ? X : ker f ? X0 } = |?|(?(X0 ));

?
X0 := {x ? X : f ? X0 ? f (x) = 0} = ? {ker f : f ? X0 }.
?
Подпространство X0 называют (прямой) полярой X0 , а подпрост-
ранство ? X0 — (обратной) полярой X0 . Используют также менее
точный термин «аннулятор».
7.6.9. Определение. Пусть X, Y — банаховы пространства.
Оператор T ? B(X, Y ) называют нормально разрешимым, если im T
— замкнутое подпространство.
7.6. Принципы штрихования 153

7.6.10. Оператор T ? B(X, Y ) нормально разрешим в том и
только в том случае, если T , рассматриваемый как оператор из X
в im T , является гомоморфизмом.
?: Теорема Банаха о гомоморфизме.
?: Следует сослаться на 7.4.2.
7.6.11. Лемма о полярах. Пусть T ? B(X, Y ). Тогда
(1) (im T )? = ker(T );
(2) если T нормально разрешим, то

im T = ? ker(T ), (ker T )? = im(T ).

(1) y ? ker(T ) ? T y = 0 ? (? x ? X) T y (x) = 0 ? (? x ?
X) y (T x) = 0 ? y ? (im T )? .
(2) Равенство cl im T = ? ker(T ) составляет содержание 7.5.13.
Помимо этого, по условию im T замкнуто.
Если x = T y и T x = 0, то x (x) = T y (x) = y (T x) = 0, т. е.
x ? (ker T )? . Значит, im(T ) ? (ker T )? . Пусть теперь x ? (ker T )? .
Считая, что оператор T действует в im T , по теореме Сарда, приме-
ненной к левой части диаграммы
T
X ?> im T ?> Y
v y0
x y
F

найдем y 0 ? (im T ) , для которого y 0 ? T = x . По принципу непре-
рывного продолжения существует y ? Y такой, что y ? y 0 . Стало
быть, x = T y , т. е. x ? im(T ).
7.6.12. Теорема Хаусдорфа. Пусть X, Y — банаховы про-
странства. Тогда оператор T ? B(X, Y ) нормально разрешим в том
и только в том случае, если нормально разрешим оператор T ?
B(Y , X ).
?: В силу 7.6.11 (2), im(T ) = (ker T )? . Подпространство
(ker T )? , очевидно, является замкнутым.
?: Пусть сначала cl im T = Y . Ясно, что 0 = Y ? = (cl im T )? =
(im T )? = ker(T ) в силу 7.6.11. По теореме Банаха об изоморфиз-
ме можно подыскать S ? B(im(T ), Y ), для которого ST = IY .
Случай r := S = 0 тривиален. Поэтому можно считать, что
T y ? 1/r q y при всех y ? Y .
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
154

Убедимся в том, что cl T (BX ) ? 1/2r BY . Если это проделано, то
ввиду идеальной выпуклости T (BX ) выполнено включение T (BX ) ?
1/4r BY . Следовательно, T — гомоморфизм.
Пусть y ? cl T (BX ). Можно утверждать, что y не лежит и в неко-
/
тором открытом выпуклом множестве, содержащем T (BX ). Перехо-
дя, если нужно, к вещественным основам пространств X и Y , будем
считать, что F := R. Применим теорему отделимости 7.5.12 и найдем
ненулевой y ? Y такой, что

1
y ? y (y) ? sup y (T x) = T y ?
y y.
r
x ?1


Отсюда y ? 1/r > 1/2r. Таким образом, требуемое включение
установлено и оператор T в наших предположениях нормально раз-
решим.
Рассмотрим теперь общий случай. Положим Y0 := cl im T , и
пусть ? : Y0 > Y — тождественное вложение. Тогда T = ?T , где
T : X > Y0 — оператор, действующий по правилу T x = T x для x ?
X. Кроме того, im(T ) = im(T ? ) = T (im(? )) = T (Y0 ), ибо ? (Y ) =
Y0 (см. 7.6.4 (2)). Итак, T — нормально разрешимый оператор.
Стало быть, по уже доказанному T нормально разрешим. Осталось
заметить, что im T = im T .
7.6.13. Принцип штрихования последовательностей. По-
следовательность

Tk+1
T
k
. . . ?> Xk?1 ?> Xk ?> Xk+1 ?> . . .

точна в том и только в том случае, если точна сопряженная после-
довательность

Tk+1
T
k
. . . <? Xk?1 <? Xk <? Xk+1 <? . . . .

?: Так как im Tk+1 = ker Tk+2 , то Tk+1 нормально разрешим.
Привлекая лемму о полярах, имеем

ker(Tk ) = (im Tk )? = (ker Tk+1 )? = im(Tk+1 ).
Упражнения 155

?: По теореме Хаусдорфа Tk+1 нормально разрешим. Вновь
апеллируя к 7.6.11 (2), выводим

(im Tk )? = ker(Tk ) = im(Tk+1 ) = (ker Tk+1 )? .

Поскольку Tk нормально разрешим по теореме 7.6.12, то im Tk —
замкнутое подпространство. Привлекая 7.5.14, получаем

im T k = ? ((im Tk )? ) = ? ((ker Tk+1 )? ) = ker Tk+1 .

Здесь учтено, что ker Tk+1 — это тоже замкнутое подпространство.
7.6.14. Следствие. Для каждого нормально разрешимого опе-
ратора T имеют место следующие изоморфизмы (ker T ) coker(T )
и (coker T ) ker(T ).
В силу 2.3.5 (6) последовательность

T
0 > ker T > X > Y > coker T > 0

точна. Из 7.6.13 выводим, что последовательность

T
0 > (coker T ) > Y > X > (ker T ) > 0

точна.
7.6.15. Следствие. T — изоморфизм ? T — изоморфизм.
7.6.16. Следствие. Sp(T ) = Sp(T ).

<< Пред. стр.

стр. 17
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>