<< Пред. стр.

стр. 18
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Упражнения
7.1. Выяснить, какие линейные операторы идеальны.
7.2. Установить, что раздельно непрерывная билинейная форма на бана-
ховом пространстве непрерывна по совокупности переменных.
7.3. Будет ли равномерно ограниченным на шаре семейство полунепрерыв-
ных снизу сублинейных функционалов на банаховом пространстве?
7.4. Пусть X, Y — банаховы пространства и T : X > Y . Доказать, что
для некоторого t ? R будет T x Y ? t x X в том и только в том случае, если
ker T = 0 и im T — полное множество.
7.5. Выяснить условия нормальной разрешимости оператора умножения
на функцию в пространстве непрерывных на компакте функций.
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
156

7.6. Пусть T — ограниченный эпиморфизм банахова пространства X на
l1 (E). Установить дополняемость ker T .
7.7. Установить, что равномерно замкнутое подпространство в C([a, b]), со-
ставленное из непрерывно дифференцируемых функций — элементов C (1) ([a, b]),
конечномерно.
7.8. Пусть X и Y — различные банаховы пространства, причем X непре-
рывно вложено в Y . Установить, что X является тощим множеством в Y .
7.9. Пусть X1 , X2 — ненулевые замкнутые подпространства банахова про-
странства, причем X1 ? X2 = 0. Доказать, что сумма X1 + X2 замкнута в том и
только в том случае, если следующая величина

inf { x1 ? x2 / x1 : x1 = 0, x1 ? X1 , x2 ? X2 }

строго положительна.
7.10. Пусть (amn ) — счетная двойная последовательность, обладающая
тем свойством, что имеется последовательность (x(m) ) элементов l1 , для которой
? (m)
ax
ряды не сходятся (абсолютно). Доказать, что найдется после-
n=1 mn n
?
довательность x из l1 , для которой ряды a x не сходятся (абсолютно)
n=1 mn n
при всех m ? N.
7.11. Пусть T — оператор в гильбертовом пространстве H такой, что ра-
венство T x | y = x | T y имеет место для всех x, y ? H. Установить ограничен-
ность T .
7.12. Пусть замкнутый конус X + в банаховом пространстве X является
воспроизводящим: X = X + ? X + . Доказать, что найдется константа t > 0
такая, что для любого x ? X и представления x = x1 ? x2 , где x1 , x2 ? X + ,
выполнено: x1 ? t x , x2 ? t x .
7.13. Пусть полунепрерывные снизу сублинейные функционалы p, q в ба-
наховом пространстве X таковы, что конусы dom p и dom q замкнуты и подпро-
странство dom p ? dom q = dom q ? dom p дополняемо в X. Доказать, что для
топологических субдифференциалов выполнено (ср. упражнение 3.10)

?(p + q) = ?p + ?q.

7.14. Пусть p — непрерывный сублинейный функционал, определенный на
нормированном пространстве X, и T — непрерывный эндоморфизм X. До-
пустим, что сопряженный оператор T переводит в себя субдифференциал ?p.
Установить, что ?p содержит неподвижную точку T .
7.15. Для функции f : X > R· на нормированном пространстве X поло-
жим
f ? (x ) := sup{ x | x ? f (x) : x ? dom f } (x ? X );
f ?? (x) := sup{ x | x ? f ? (x ) : x ? dom(f ? )} (x ? X).
Выяснить, при каких условиях на f выполнено f = f ?? .
Упражнения 157

7.16. Установить, что l? дополняемо в любом содержащем его банаховом
пространстве.
7.17. Банахово пространство X называют примарным, если любое его бес-
конечномерное дополняемое подпространство изоморфно X. Убедиться, что c0
и lp (1 ? p ? +?) примарны.
7.18. Пусть X и Y — банаховы пространства и оператор T ? B(X, Y )
таков, что im T — нетощее множество. Тогда T нормально разрешим.
7.19. Пусть X0 — замкнутое подпространство нормированного простран-
ства X, причем X0 и X/X0 — банаховы пространства. Тогда X также банахово
пространство.
Глава 8
Операторы в банаховых
пространствах


8.1. Голоморфные функции и контурные
интегралы
8.1.1. Определение. Пусть X — банахово пространство. Под-
шара BX в сопряженном пространстве X называют
множество
нормирующим (для X), если для каждого элемента x из X выпол-
нено x = sup{|l(x)| : l ? }. Если, помимо этого, для всякого U
в X такого, что sup{|l(u)| : u ? U } < +? при l ? , справедливо
sup U < +?, то называют вполне нормирующим множеством.
8.1.2. Примеры.
(1) Шар BX — вполне нормирующее множество в силу
5.1.10 (8) и 7.2.7.
(2) Если 0 — (вполне) нормирующее множество и 0 ?
1 ? BX , то 1 также (вполне) нормирующее множество.
(3) Множество крайних точек ext(BX ) является норми-
рующим по теореме Крейна — Мильмана для субдифференциалов
3.6.5 и несомненного равенства BX = |?|( · X ), которое уже неодно-
кратно было использовано. Однако вполне нормирующим это мно-
жество быть не обязано (так, в частности, обстоит дело в простран-
стве C([0, 1], R)).
(4) Пусть X, Y — банаховы пространства (над одним и
тем же полем F) и Y — нормирующее множество для Y . Положим

{?(y, x) : y ? , x ? BX },
B := Y
8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы 159

где ?(y, x) (T ) := y (T x) для y ? Y, x ? X и T ? B(X, Y ). Ясно, что

|?(y, x) (T )| = |y (T x)| ? y Tx ? y T x,

т. е. ?(y, x) ? B(X, Y ) . Помимо этого, для T ? B(X, Y ) выполнено

x ? 1} = sup{|y (T x)| : y ? , x ? 1} =
T = sup{ T x : Y


= sup{|?(y, x) (T )| : ?(y, x) ? B }.

Таким образом, B — нормирующее множество (для B(X, Y )). Если
при этом Y — вполне нормирующее множество, то B также вполне
нормирующее множество. В самом деле, если U таково, что числовое
множество {|y (T x)| : T ? U } ограничено при любых x ? BX и
y ? Y , то по условию множество {T x : T ? U } ограничено в Y
для всякого x ? X. В силу принципа равномерной ограниченности
7.2.5 это означает, что sup U < +?.
8.1.3. Теорема Данфорда — Хилле. Пусть X — комплексное
банахово пространство и — вполне нормирующее множество для
X. Пусть, далее, f : D > X — отображение подмножества D в
C в пространство X, причем D открыто (в C R R2 ). Следующие
утверждения эквивалентны:
(1) для каждого z0 ? D существует предел

f (z) ? f (z0 )
lim ;
z ? z0
z>z0


(2) для каждых z0 ? D и l ? существует предел

l ? f (z) ? l ? f (z0 )
,
lim
z ? z0
z>z0


т. е. функция l ? f : D > C голоморфна при l ? .
(1) ? (2): Очевидно.
(2) ? (1): Простоты ради будем считать, что z0 = 0 и f (z0 ) = 0.
Рассмотрим шар радиуса 2?, целиком лежащий в D, т. е. 2?D ? D,
где D := BC . Как принято в комплексном анализе, будем считать
круг ?D (ориентированным) компактным многообразием с краем ?T,
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
160

где T — (должным образом ориентированная) единичная окруж-
ность T := {z ? C : |z| = 1}. При z1 , z2 ? ?D \ 0 для голоморфной
функции l ? f (функционал l лежит в ) имеют место представления
интегралом Коши:

l ? f (zk ) l ? f (z)
1
dz
= (k := 1, 2).
z(z ? zk )
zk 2?i
2?T


Значит, при z1 = z2 , учитывая, что для z ? 2?T выполнено
|z ? zk | ? ? (k := 1, 2), а также что функция l ? f непрерывна в D,
получаем
f (z1 ) f (z2 )
1
?
l =
z1 ? z2 z1 z2

1 1 1 1
· l ? f (z) ? dz =
=
z1 ? z2 2?i z(z ? z1 ) z(z ? z2 )
2?T


1 1
l ? f (z) dz ?
=
z(z ? z1 )(z ? z2 )
2?
2?T


? M sup |l ? f (z)| < +?
z?2?T

для подходящего M > 0. Поскольку — вполне нормирующее мно-
жество, заключаем:

f (z1 ) f (z2 )
1
? < +?.
sup
z1 =z2 ;z1 ,z2 =0 |z1 ? z2 | z1 z2
|z1 |??,|z2 |??


Последнее неравенство обеспечивает существование нужного преде-
ла.

8.1.4. Определение. Отображение f : D > X, удовлетворяю-
щее 8.1.3 (1) (или, что то же самое, 8.1.3 (2) для какого-либо вполне
нормирующего множества ), называют голоморфным.
8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы 161

8.1.5. Замечание. Иногда используют излишне детальную тер-
минологию. Именно, если f удовлетворяет 8.1.3 (1), то f называют
сильно голоморфной функцией. В случае, если для f выполнено 8.1.3
(2) при := BX , говорят о слабой голоморфности f . В условиях
8.1.3 (2) и 8.1.2 (4), т. е. при f : D > B(X, Y ), Y := BY и соответ-
ствующем := B , говорят о слабо операторно голоморфных функ-
циях. Учитывая приведенную терминологию, теорему Данфорда —
Хилле часто называют теоремой о голоморфности и выражают сло-
вами: «слабо голоморфная функция сильно голоморфна».
8.1.6. Замечание. В дальнейшем удобно использовать инте-
гралы простейших гладких X-значных форм f (z)dz по простейшим
ориентированным многообразиям — по краям элементарных ком-
пактов в плоскости (см. 4.8.5), составленным из конечного числа
непересекающихся простых петель. В такие интегралы вкладыва-
ют очевидный смысл. Именно, для петли ? выбирают подходящую
: T > ? (с учетом ориентации) и по-
(гладкую) параметризацию
лагают
f? d ,
f (z)dz :=
T
?

где последний интеграл понимают, например, как подходящий инте-
грал Бохнера (см. 5.5.9 (6)). Несомненна корректность этого опре-
деления, т. е. существование нужного интеграла Бохнера и его неза-
висимость от выбора параметризации .
8.1.7. Теорема Коши — Винера. Пусть D — непустое откры-
тое подмножество плоскости и f : D > X — голоморфное отображе-
ние в банахово пространство X. Пусть, далее, F — простая картина
для пары (?, D). Тогда


f (z)dz = 0.
?F


При этом для z0 ? int F выполнено

f (z)
1
f (z0 ) = dz.
z ? z0
2?i
?F
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
162

В силу 8.1.3 необходимые интегралы Бохнера существуют.
Требуемые равенства, очевидно, следуют из справедливости их ска-
лярных версий, составляющих содержание классической теоремы
Коши, сказанного в 8.1.2 (1) и отмеченной в 5.5.9 (6) перестановоч-
ности интегралов Бохнера с ограниченными функционалами.
8.1.8. Замечание. Теорема Коши — Винера позволяет по хо-
рошо известным образцам выводить для X-значных голоморфных
функций аналоги теорем классического комплексного анализа.
8.1.9. Теорема о разложении Тейлора. Пусть f : D > X
— голоморфная функция и z0 ? D. В любом круге U := {z ? C :
|z ? z0 | < ?} таком, что cl U лежит в D, имеет место разложение
Тейлора (в равномерно сходящийся степенной ряд)
?
cn (z ? z0 )n ,
f (z) =
n=0

где коэффициенты cn вычисляют по формулам

1 dn f
f (z)
1
cn = dz = (z0 ).
(z ? z0 )n+1 n! dz n
2?i
?U

Доказательство основано на стандартном разложении ядра
u > (u ? z)?1 в формуле

f (u)
1
(z ? cl U )
f (z) = du
u?z
2?i
?U

по степеням z ? z0 , т. е.
1 1
= =
u?z (u ? z0 ) 1 ? z?z0
u?z0

?
(z ? z0 )n
.
=
(u ? z0 )n+1
n=0

Последний ряд сходится равномерно по u ? ?U . (Здесь U = U + qD
для какого-либо q > 0, такого что cl U ? D.) Учитывая, что
8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы 163

sup f (?U ) < +?, и производя интегрирование, приходим к требу-
емому представлению f (z) при z ? cl U . Применяя доказанное к U
и привлекая 8.1.7, видим, что исследуемый степенной ряд сходится
в каждой точке U . Отсюда вытекает его равномерная сходимость
на компактных подмножествах U , а потому и на U .
8.1.10. Теорема Лиувилля. Если функция f : C > X голо-
морфна и sup f (C) < +?, то f — постоянное отображение.
Для ? > 0, рассматривая диск ?D и учитывая 8.1.9, имеем

cn ? sup f (z) · ??n ? sup f (C) · ??n
z??T

при всех n ? N и ? > 0. Таким образом, cn = 0 для n ? N.
8.1.11. Каждый ограниченный эндоморфизм ненулевого комп-
лексного банахова пространства имеет непустой спектр.
Пусть T — такой эндоморфизм. Если Sp(T ) = ?, то резоль-
вента R(T, · ) голоморфна во всей плоскости C, например, по 5.6.21.
Кроме того, на основании 5.6.15, R(T, ?) > 0 при |?| > +?. В
силу 8.1.10 заключаем, что R(T, · ) = 0. В то же время, привлекая
5.6.15, видим, что при |?| > T выполнено R(T, ?)(? ? T ) = 1.
Получается противоречие.
8.1.12. Имеет место формула Б?рлинга — Гельфанда:
е

r(T ) = sup{|?| : ? ? Sp(T )}

для любого оператора T ? B(X), где X — комплексное банахово
пространство, т. е. спектральный радиус оператора совпадает с ра-
диусом его спектра.
То, что спектральный радиус r(T ) больше радиуса спектра,
отмечено в 5.6.16. Таким образом, при r(T ) = 0 доказывать ничего
не надо. Пусть теперь r(T ) > 0. Возьмем ? ? C так, что |?| >
sup{|µ| : µ ? Sp(T )}. Тогда круг радиуса |?|?1 целиком лежит в
области голоморфности функции (см. 5.6.15)
R (T, z ?1 ), z = 0, z ?1 ? res(T ),
f (z) :=
0, z = 0.
Привлекая 8.1.9 и 5.6.17, заключаем, что |?|?1 < r(T )?1 . Следова-
тельно, |?| > r(T ).
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
164

8.1.13. Пусть K — непустой компакт в C и H(K) — множество
голоморфных в окрестности K функций, т. е. (f ? H(K) ? f :
dom f > C — голоморфная функция, dom f ? K). Для f1 , f2 ?
H(K) положим f1 ? f2 , если существует открытое подмножество D
в dom f1 ? dom f2 такое, что K ? D и f1 |D = f2 |D . Тогда ? является
отношением эквивалентности в H(K).
8.1.14. Определение. В условиях 8.1.13 положим H (K) :=
H(K)/?. Элемент f ? H (K), содержащий функцию f ? H(K),
называют ростком f на компакте K.
8.1.15. Пусть f , g ? H (K). Пусть, кроме того, выделены
f1 , f2 ? f , g1 , g2 ? g. Положим

x ? dom f1 ? dom g1 ? ?1 (x) := f1 (x) + g1 (x),

x ? dom f2 ? dom g2 ? ?2 (x) := f2 (x) + g2 (x).

Тогда ?1 , ?2 ? H(K), причем ?1 = ?2 .
Выбрав открытые множества K ? D1 ? dom f1 ?dom f2 и K ?
D2 ? dom g1 ? dom g2 , в которых совпадают f1 и f2 и соответственно
g1 и g2 , видим, что в D1 ? D2 совпадают ?1 и ?2 .
8.1.16. Определение. Класс, введенный в 8.1.15, называют
суммой ростков f1 и f2 и обозначают f1 + f2 . Аналогично вводят
произведение ростков и умножение ростка на комплексное число.
8.1.17. H (K) с операциями, введенными в 8.1.16, является ал-
геброй.
8.1.18. Определение. Возникающую алгебру H (K) называ-
ют алгеброй ростков голоморфных функций на компакте K.
8.1.19. Пусть K — компакт в C, а R : C\K > X — голоморфная
функция со значениями в банаховом пространстве X. Пусть, далее,
f ? H (K) и f1 , f2 ? f . Если F1 — простая картина для пары
(K, dom f1 ), а F2 — простая картина для пары (K, dom f2 ), то


f1 (z)R(z)dz = f2 (z)R(z)dz.
?F1 ?F2
8.2. Голоморфное функциональное исчисление 165

Пусть K ? D ? int F1 ? int F2 , где D открыто и f1 |D = f2 |D .
Возьмем простую картину K ? F ? D. Учитывая голоморфность
функции f1 R на dom f1 \ K и голоморфность f2 R на dom f2 \ K,
выводим равенства

f1 (z)R(z)dz = f1 (z)R(z)dz,
?F ?F1


f2 (z)R(z)dz = f2 (z)R(z)dz
?F ?F2

(из нетривиального факта справедливости их скалярных аналогов).

<< Пред. стр.

стр. 18
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>