<< Пред. стр.

стр. 19
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Ввиду совпадения f1 и f2 на D имеем требуемое.
8.1.20. Определение. Фиксируя h ? H (K), в условиях 8.1.19
контурным интегралом h с ядром R называют элемент

h(z)R(z)dz := f (z)R(z)dz,
?F


где h = f и F — простая картина для пары (K, dom f ).
8.1.21. Замечание. Обозначение h(z) в 8.1.20 неслучайно. Оно
объясняется тем, что для каждой точки z ? K и любых двух пред-
ставителей f1 , f2 ростка h выполнено w := f1 (z) = f2 (z). В этой
связи об элементе w говорят как о значении ростка h в точке z и
пишут h(z) = w. Отметим здесь же, что в 8.1.20 функцию R можно
считать заданной лишь в U \ K, где int U ? K.

8.2. Голоморфное функциональное исчисление
8.2.1. Определение. Пусть X — (ненулевое) комплексное ба-
нахово пространство и T — ограниченный эндоморфизм X, т. е.
T ? B(X). Для h ? H (Sp(T )) контурный интеграл с ядром R(T, · )
— резольвентой оператора T — обозначают

1
RT h := h(z)R(T, z)dz
2?i
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
166

и называют интегралом Рисса — Данфорда (ростка h). Если f —
функция, голоморфная в окрестности Sp(T ), то полагают f (T ) :=
RT f := RT f . Используют также более образные обозначения типа
f (z)
1
f (T ) = dz.
z?T
2?i
8.2.2. Замечание. В алгебре, в частности, изучают различные
представления математических объектов. Нам удобно пользоваться
некоторыми элементарными понятиями теории представлений наи-
более «алгебраических» объектов — алгебр. Вспомним простейшие
из них.
Пусть A1 , A2 — две алгебры (над одним и тем же полем). Мор-
физмом A1 в A2 или представлением алгебры A1 в алгебре A2 (ре-
же говорят «в алгебру A2 ») называют мультипликативный линей-
ный оператор R, т. е. отображение R ? L (A1 , A2 ) такое, что
R(ab) = R(a)R(b) для всех a, b ? A1 . Представление R назы-
вают точным, если ker R = 0. Наличие точного представления
R : A1 > A2 позволяет рассматривать A1 как подалгебру A2 .
Если A2 является (под)алгеброй эндоморфизмов L (X) некото-
рого векторного пространства X (над тем же полем), то о морфизме
A1 в A2 говорят как о (линейном) представлении A1 в простран-
стве X или об операторном представлении A1 . Пространство X
называют в этом случае пространством представления алгебры A1 .
Если в пространстве X представления R алгебры A есть подпро-
странство X1 , инвариантное относительно всех операторов R(a) при
a ? A, то естественным образом возникает представление R1 : A >
L (X1 ), действующее по правилу R1 (a)x1 = R(a)x1 для x1 ? X1 и
a ? A, называемое подпредставлением R (порожденным X1 ). Если
X = X1 ? X2 и это разложение приводит каждый оператор R(a) для
a ? A, то говорят, что представление R приведено к прямой сумме
(под)представлений R1 и R2 (порожденных X1 и X2 соответствен-
но). Отметим важность задачи изучения произвольных неприводи-
мых представлений (= представлений, не содержащих нетривиаль-
ных подпредставлений).
8.2.3. Теорема Гельфанда — Данфорда. Интеграл Рисса —
Данфорда RT служит представлением алгебры ростков голоморф-
ных функций на спектре оператора T в пространстве X — обла-
?
сти определения оператора T . При этом если f (z) = n
n=0 cn z
8.2. Голоморфное функциональное исчисление 167
?
(в окрестности Sp(T )), то f (T ) = n=0 cn T n (суммирование ведется
относительно операторной нормы в B(X)).
То, что RT — линейный оператор, несомненно. Установим
мультипликативность RT . Для этого возьмем f1 , f2 ? H (Sp(T ))
и выберем простые картины F1 , F2 такие, что Sp(T ) ? int F1 ?
F1 ? int F2 ? F2 ? D, причем функции f1 ? f1 , f2 ? f2 являются
голоморфными на D.
Привлекая очевидные свойства интеграла Бохнера, классиче-
скую теорему Коши и тождество Гильберта 5.6.19, последовательно
получаем

f1 (z1 ) f2 (z2 )
11
RT f1 ? RT f2 = f1 (T )f2 (T ) = dz1 ? dz2 =
z1 ? T z2 ? T
2?i 2?i
?F1 ?F2

? ?
11 ? f1 (z1 )R(T, z1 )dz1 ? f2 (z2 )R(T, z2 )dz2 =
=
2?i 2?i
?F2 ?F1

11
f1 (z1 )f2 (z2 )R(T, z1 )R(T, z2 )dz2 dz1 =
=
2?i 2?i
?F1 ?F2

R(T, z1 ) ? R(T, z2 )
11
f1 (z1 )f2 (z2 ) dz2 dz1 =
=
z2 ? z1
2?i 2?i
?F1 ?F2
? ?
f2 (z2 )
1 1
f1 (z1 ) ? dz2 ? R(T, z1 )dz1 ?
=
z2 ? z1
2?i 2?i
?F1 ?F2
? ?
f1 (z1 )
1 1
f2 (z2 ) ? dz1 ? R(T, z2 )dz2 =
?
z2 ? z1
2?i 2?i
?F2 ?F1

1
f1 (z1 )f2 (z1 )R(T, z1 )dz1 ? 0 = f1 f2 (T ) = RT (f1 f2 ).
=
2?i
?

Выберем окружность ? := ?T, лежащую как в res(T ), так и внут-
?
ри круга сходимости ряда f (z) = n=0 cn z n . Учитывая 5.6.16 и 5.5.9
(6), имеем
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
168

?
1
z ?n?1 T n dz =
f (T ) = f (z)
2?i n=0
?
?
1
f (z)z ?n?1 T n dz =
=
2?i n=0
?
? ?
? ?
f (z) ? n
?1 cn T n
dz T =
= n+1
z
2?i
n=0 n=0
?

в силу 8.1.9.
8.2.4. Замечание. Теорему 8.2.3 часто называют основной те-
оремой голоморфного функционального исчисления.
8.2.5. Теорема об отображении спектра. Для любой функ-
ции f ? H(Sp(T )), голоморфной в окрестности спектра оператора T
из B(X), выполнено

f (Sp(T )) = Sp(f (T )).

Пусть сначала дано, что ? ? Sp(f (T )) и f ?1 (?) ? Sp(T ) = ?.
Для точки z ? (C \ f ?1 (?)) ? dom f положим g(z) := (? ? f (z))?1 .
Тогда g — голоморфная функция в окрестности Sp(T ), причем g(? ?
f ) = (? ? f )g = 1C . Привлекая 8.2.3, видим, что ? ? res(f (T )).
Последнее противоречит условию. Значит, f ?1 (?) ? Sp(T ) = ?, т. е.
Sp(f (T )) ? f (Sp(T )).
Пусть теперь ? ? Sp(T ). Положим

f (?) ? f (z)
? = z ? g(z) := g(?) := f (?).
;
??z
Понятно, что g — голоморфная функция (особенность «устранена»).
Из 8.2.3 получаем

g(T )(? ? T ) = (? ? T )g(T ) = f (?) ? f (T ).

Значит, если f (?) ? res(f (T )), то оператор R(f (T ), f (?))g(T ) явля-
ется обратным к ? ? T . Иными словами, ? ? res(T ), что неверно.
Итак, f (?) ? C \ res(f (T )) = Sp(f (T )), т. е. f (Sp(T )) ? Sp(f (T )).
8.2. Голоморфное функциональное исчисление 169

8.2.6. Пусть K — непустой компакт; g : dom g > C — голо-
морфная функция, причем dom g ? K. Для f ? H(g(K)) положим
? ?
g(f ) := f ? g. Тогда g — представление алгебры H (g(K)) в алгебре
H (K).
8.2.7. Теорема Данфорда. Для всякой функции g : dom g >
C, голоморфной в окрестности dom g спектра Sp(T ) оператора T ?
B(X), коммутативна следующая диаграмма представлений:

?
g
H (Sp(T ))  H (Sp(g(T )))
@
@
Rg(T )
@
RT @
@?
R
B(X)

Пусть f ? H (g(Sp(T ))) и f : D > C таковы, что f ? f
и D ? g(Sp(T )) = Sp(g(T )). Пусть F1 — простая картина для пары
(Sp(g(T )), D) и F2 — простая картина для пары (Sp(T ), g ?1 (int F1 )).
Ясно, что при этом g(?F2 ) ? int F1 и, кроме того, функция z2 >
(z1 ? g(z2 ))?1 определена и голоморфна в int F2 для z1 ? ?F1 . Таким
образом, по 8.2.3
R(T, z2 )
1
(z1 ? ?F1 ).
R(g(T ), z1 ) = dz2
z1 ? g(z2 )
2?i
?F2

Учитывая это соотношение, последовательно имеем
f (z1 )
1
Rg(T ) f = dz1 =
z1 ? g(T )
2?i
?F1
? ?
R(T, z2 )
11
f (z1 ) ? dz2 ? dz1 =
=
z1 ? g(z2 )
2?i 2?i
?F1 ?F2
? ?
f (z1 )
11 ? dz1 ? R(T, z2 )dz2 =
=
z1 ? g(z2 )
2?i 2?i
?F2 ?F1
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
170
1 ?
f (g(z2 ))R(T, z2 )dz2 = RT g(f )
=
2?i
?F2

(так как g(z2 ) ? int F1 для z2 ? ?F2 по построению, то на основании
классической теоремы Коши
f (z1 )
1
f (g(z2 )) = dz1 .
z1 ? g(z2 )
2?i
?F1

8.2.8. Замечание. Теорему Данфорда весьма часто называют
теоремой о сложной функции и символически записывают так: f ?
g(T ) = f (g(T )) для f ? H(g(Sp(T ))).
8.2.9. Определение. Подмножество ? в Sp(T ) называют спек-
тральным множеством или изолированной частью спектра T , ес-
ли как ?, так и его дополнение ? := Sp (T )\? являются замкнутыми
множествами.
8.2.10. Пусть ? — спектральное множество и ?? — это (какая-
нибудь) функция, равная единице в некоторой открытой окрестно-
сти ? и нулю в некоторой открытой окрестности ? . Пусть, далее,
?? (z)
1
P? := ?? (T ) := dz.
z?T
2?i
Тогда P? — проектор в X и (замкнутое) подпространство X? := im P?
инвариантно относительно T .
Поскольку ?? = ?? , то, по 8.2.3, ?? (T )2 = ?? (T ). Помимо
2

этого, T = RT IC , где IC : z > z, откуда T P? = P? T (ибо IC ?? =
?? IC ). Значит, в силу 2.2.9 (4), X? инвариантно относительно T .
8.2.11. Определение. Оператор P? из 8.2.10 называют проек-
тором Рисса или же спектральным проектором, отвечающим спек-
тральному множеству ?.
8.2.12. Теорема о разбиении спектра. Пусть ? — спектраль-
ное множество оператора T из B(X). Тогда имеет место разложение
X в прямую сумму инвариантных подпространств X = X? ? X? ,
приводящее T к матричному виду
T? 0
T? ,
T?
0
8.2. Голоморфное функциональное исчисление 171

где часть T? оператора T в X? и часть T? оператора T в X? таковы,
что
Sp(T? ) = ?, Sp(T? ) = ? .
Поскольку ?? + ?? = ?Sp(T ) = 1C , то ввиду 8.2.3 и 8.2.10
следует установить только утверждение о спектре T? .
Из 8.2.5 и 8.2.3 получаем
? ? 0 = ?? IC (Sp(T )) = Sp (?? IC (T )) = Sp (RT (?? IC )) =
= Sp(RT ?? ? RT IC ) = Sp(P? T ).
При этом в матричном виде

T? 0
P? T ? .
0 0
Пусть ? — ненулевое комплексное число. Тогда

? ? T? 0
? ? P? T ? ,
?
0
т. е. оператор ? ? P? T необратим в том и только в том случае,
если необратим оператор ? ? T? . Итак, Sp(T? ) \ 0 ? Sp(P? T ) \ 0 =
(? ? 0) \ 0 ? ?.
Допустим, что 0 ? Sp(T? ) и 0 ? ?. Выберем открытые непересе-
/
кающиеся множества D? и D? так, что ? ? D? , 0 ? D? и ? ? D? ,
/
и положим
1
z ? D? ? h(z) := ;
z
z ? D? ? h(z) := 0.
По 8.2.3, h(T )T = T h(T ) = P? . Более того, раз h ?? = ?? h, то раз-
ложение X = X? ? X? приводит h(T ) и для части h(T )? оператора
h(T ) в X? верно h(T )? T? = T? h(T )? = 1. Таким образом, T? об-
ратим, т. е. 0 ? Sp(T? ). Получили противоречие, означающее, что
/
0 ? ?. Иными словами, выполнено Sp(T? ) ? ?.
Заметим теперь, что res(T ) = res(T? ) ? res(T? ). Значит, по уже
доказанному
Sp(T ) = C \ res(T ) = C \ (res(T? ) ? res(T? )) =
= (C \ res(T? )) ? (C \ res(T? )) = Sp(T? ) ? Sp(T? ) ? ? ? ? = Sp(T ).
Учитывая, что ? ? ? = ?, получаем требуемое.
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
172

8.2.13. Теорема о разложении интеграла Рисса — Дан-
форда. Пусть ? — спектральное множество оператора T ? B(X).
Разложение X = X? ? X? приводит представление RT алгебры
H (Sp(T )) в X к прямой сумме представлений R? и R? . При этом
коммутативны следующие диаграммы представлений:

??- ?? -
H (Sp(T )) H (?) H (Sp(T )) H (? )
@ @
@ @
RT?
RT?
@ @
R? @ R? @
R
@? R
@?
B(X? ) B(X? )

Здесь ?? (f ) := ?? f , ?? (f ) := ?? f для f ? H(Sp(T )) — представле-
ния, порожденные сужениями f на ? и ? соответственно.

8.3. Идеал компактных операторов и проблема
аппроксимации
8.3.1. Пусть X, Y — банаховы пространства. Для линейного
оператора K ? L (X, Y ) эквивалентны следующие утверждения:
(1) оператор K компактен: K ? K (X, Y );
(2) существуют окрестность нуля U в X и компактное
множество V в Y такие, что K(U ) ? V ;
(3) образ при отображении K любого ограниченного мно-
жества в X относительно компактен в Y ;
(4) образ любого ограниченного в X множества (при ото-
бражении K) вполне ограничен в Y ;
(5) для каждой последовательности (xn )n?N точек еди-
ничного шара BX последовательность (Kxn )n?N со-
держит некоторую фундаментальную подпоследова-
тельность.
8.3.2. Теорема. Пусть X, Y — банаховы пространства. Тогда
(1) K (X, Y ) — замкнутое подпространство B(X, Y );
(2) для любых банаховых пространств W и Z выполнено

B(Y, Z) ? K (X, Y ) ? B(W, X) ? K (W, Z),
8.3. Идеал компактных операторов и проблема аппроксимации 173

т. е. если S ? B(W, X), T ? B(Y, Z), а K ?
K (X, Y ), то T KS ? K (W, Z);
(3) IF ? K (F) := K (F, F) для основного поля F.
То, что K (X, Y ) — подпространство B(X, Y ), следует из
8.3.1. Если Kn ? K (X, Y ) и Kn > K, то для ? > 0 при достаточ-
но больших n имеем Kx ? Kn x ? K ? Kn x ? ?, как только
x ? BX . Таким образом, Kn (BX ) служит ?-сетью (= B? -сетью) для
K(BX ). Остается сослаться на 4.6.4, чтобы закончить доказатель-
ство замкнутости K (X, Y ). Прочие утверждения теоремы ясны.
8.3.3. Замечание. Теорему 8.3.2 часто выражают следующи-
ми словами: «класс всех компактных операторов представляет собой
операторный идеал». При этом имеют в виду очевидную аналогию
тому, что K (X) := K (X, X) представляет собой (двусторонний за-
мкнутый) идеал в алгебре B(X), т. е. K (X) ? B(X) ? K (X) и
B(X) ? K (X) ? K (X).
8.3.4. Теорема Калкина. Идеалы 0, K (l2 ), B(l2 ) составляют
полный перечень замкнутых двусторонних идеалов алгебры B(l2 )
ограниченных эндоморфизмов гильбертова пространства l2 .
8.3.5. Замечание. В связи с 8.3.4 ясно, что определенную роль

<< Пред. стр.

стр. 19
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>