<< Пред. стр.

стр. 2
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

щее издание внесены разделы, трактующие основы теории распре-
делений, добавлены упражнения теоретического характера и суще-
ственно обновлен список литературы. Устранены также неточности,
указанные мне коллегами.
Пользуюсь случаем поблагодарить всех, кто помог мне в под-
готовке этой книги. Мой приятный долг особо отметить финансо-
вую поддержку во время подготовки издания со стороны Института
математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской
академии наук, Российского фонда фундаментальных исследований,
Международного научного фонда и Американского математическо-
го общества.
Предисловие
к третьему изданию


Настоящее третье издание содержит указатель основных обо-
значений. В нем исправлены некоторые мелкие неточности, выжив-
шие в двух предыдущих русских вариантах и английском переводе,
осуществленном издательством Kluwer Academic Publishers в 1996 г.
Надеюсь, что число дефектов, возникших при подготовке нового из-
дания, невелико.



Предисловие
к четвертому изданию


Настоящее четвертое издание отличается от предыдущего глос-
сарием английских терминов, а также отсутствием некоторых мел-
ких неточностей и опечаток, борьба с которыми продолжается.
C. Кутателадзе
Глава 1
Экскурс в теорию множеств


1.1. Соответствия
1.1.1. Определение. Пусть A и B — множества и F — под-
множество произведения A ? B. Тогда F называют соответствием
с областью отправления A и областью прибытия B или, короче,
соответствием из A в B.
1.1.2. Определение. Для соответствия F ? A ? B множество

dom F := D(F ) := {a ? A : (? b ? B) (a, b) ? F }

называют областью определения F , а множество

im F := R(F ) := {b ? B : (? a ? A) (a, b) ? F }

— областью значений или образом F .
1.1.3. Примеры.
(1) Если F — соответствие из A в B, то

F ?1 := {(b, a) ? B ? A : (a, b) ? F }

— соответствие из B в A, называемое обратным к F . Ясно, что F
обратно к соответствию F ?1 .
(2) Отношение F в A — это соответствие F ? A ? A.
(3) Пусть F ? A ? B. Тогда F называют однозначным
соответствием, если для каждого a ? A из условий (a, b1 ) ? F и
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
2

(a, b2 ) ? F вытекает, что b1 = b2 . В частности, если U ? A и
IU := {(a, a) ? A2 : a ? U }, то IU — однозначное соответствие
из A в A, о котором говорят и как о тождественном отношении
или тождестве на U . Отношение U 2 называют промискуитетом
на U . Соответствие F ? A ? B называют отображением множества
A в множество B, если F однозначно и dom F = A. Соответствие
IU является отображением только при A = U . В этом случае IU
называют тождественным отображением. Отображение F ? A ?
B обозначают символом F : A > B. Стоит подчеркнуть, что при
этом непременно dom F = A и в то же время образ im F может
отличаться от B. Равенство im F = B выделяют словами: «F —
отображение A на B».
Наконец, если соответствие F ?1 ? B ? A оказывается однознач-
ным, то исходное отображение F : A > B называют взаимно одно-
значным.
(4) Вместо отображений иногда говорят о семействах.
Точнее, отображение F : A > B при желании называют семейством
элементов B и обозначают просто (ba )a?A , или a > ba (a ? A), или
даже (ba ). Имеется в виду, что (a, b) ? F в том и только в том
случае, если b = ba . Допуская вольность, не различают семейство и
его область значений.
(5) Пусть F ? A ? B — соответствие и U ? A. Соответ-
ствие F ? (U ? B) ? U ? B называют сужением F на U или следом
F на U и обозначают F |U . Множество F (U ) := im F |U называют об-
разом множества U при соответствии F . Применяют естественные
сокращения. Так, если F — отображение, то для элемента a пишут
F (a) = b, подразумевая F ({a}) = {b}. Скобки в символе F (a) часто
опускают или изображают в ином начертании. Отметьте, наконец,
что образ при обратном отображении называют прообразом. Точ-
нее говоря, образ F ?1 (U ) множества U в B при соответствии F ?1
называют прообразом множества U при соответствии F .
1.1.4. Определение. Для F ? A ? B и G ? C ? D множество

G ? F := {(a, d) ? A ? D : (? b) (a, b) ? F & (b, d) ? G}

называют композицией или суперпозицией соответствий F и G. При
этом G ? F рассматривают как соответствие из A в D.
1.2. Упорядоченные множества 3

1.1.5. Замечание. Объем понятия суперпозиции, по существу,
не уменьшится, если в 1.1.4 заранее считать, что B = C.

1.1.6. Пусть F — соответствие. Тогда F ? F ?1 ? I imF . Более
того, F ? F ?1 = I imF в том и только в том случае, если F |dom F —
это отображение.

1.1.7. Пусть F ? A ? B, G ? B ? C и U ? A. Тогда для
соответствия G ? F ? A ? C будет G ? F (U ) = G(F (U )).

1.1.8. Пусть F ? A ? B, G ? B ? C, H ? C ? D. Тогда соответ-
ствия H ? (G ? F ) ? A ? D и (H ? G) ? F ? A ? D совпадают.

1.1.9. Замечание. В силу 1.1.8 разумно определен символ H ?
G ? F и ему подобные выражения.

1.1.10. Пусть F, G, H — три соответствия. Тогда

F ?1 (b) ? H(c).
H ?G?F =
(b,c)?G


(a, d) ? H ? G ? F ? (? (b, c) ? G) (c, d) ? H & (a, b) ? F ?
(? (b, c) ? G) a ? F ?1 (b) & d ? H(c)

1.1.11. Замечание. Предложение 1.1.10 и выкладка, приве-
денная в качестве его доказательства, с формальной точки зрения
вопиюще некорректны, поскольку основываются на неоговоренной
явно или на двусмысленной информации (в частности, на определе-
нии 1.1.1). Опыт позволяет считать указанную критику поверхност-
ной. Поэтому в дальнейшем аналогичного рода удобные (а на самом
деле и неизбежные) некорректности будут, как правило, использо-
ваться без специальных оговорок и сожалений.

1.1.12. Для соответствий G и F выполнено

F ?1 (b) ? G(b).
G?F =
b? imF


В 1.1.10 полагаем: H := G, G := I imF и F := F .
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
4

1.2. Упорядоченные множества
1.2.1. Определение. Пусть ? — отношение в множестве X, т. е.
? ? X 2 . Рефлексивность ? означает включение ? ? IX , транзитив-
ность — включение ? ? ? ? ?, антисимметричность — включение
? ? ? ?1 ? IX и, наконец, симметричность ? означает равенство
? = ? ?1 .
1.2.2. Определение. Рефлексивное и транзитивное отношение
называют отношением предпорядка. Симметричный предпорядок
называют эквивалентностью. Антисимметричный предпорядок на-
зывают порядком.
Если X — множество, а ? — порядок в X, то пару (X, ?) назы-
вают упорядоченным множеством и пишут x ?? y вместо y ? ?(x).
Допускают обычные вольности словоупотребления и написания: са-
мо X называют упорядоченным множеством, пишут x ? y и говорят
«x меньше y» или «y больше x» и т. п. Аналогичные соглашения
действуют и для предупорядоченных множеств, т. е. множеств с
отношениями предпорядка. При этом в случае отношения эквива-
лентности используют знаки типа ?? или просто ?.
1.2.3. Примеры.
(1) Тождественное отношение; подмножество X0 в X с
отношением ?0 := ? ? X0 ? X0 .
(2) Если ? — (пред)порядок на X, то ? ?1 также (пред)по-
рядок на X. При этом отношение ? ?1 называют противоположным
к ? (пред)порядком.
(3) Пусть f : X > Y и ? — отношение в Y . Рассмотрим
в X следующее отношение: f ?1 ? ? ? f . В силу 1.1.10

f ?1 ? ? ? f = f ?1 (y1 ) ? f ?1 (y2 ).
(y1 ,y2 )??

Значит, выполнено

(x1 , x2 ) ? f ?1 ? ? ? f ? (f (x1 ), f (x2 )) ? ?.

Таким образом, если ? — это предпорядок, то f ?1 ?? ?f тоже предпо-
рядок, называемый прообразом ? при отображении f . Ясно, что про-
образ эквивалентности является эквивалентностью. В то же время
1.2. Упорядоченные множества 5

прообраз порядка не обязан быть антисимметричным отношением.
В частности, так, как правило, бывает для следующего отношения
эквивалентности: f ?1 ? f = f ?1 ? IY ? f .
(4) Пусть X — произвольное множество и ? — эквива-
лентность в X. Определим отображение ? : X > 2X правилом
?(x) := ?(x) (здесь 2X — это множество подмножеств X, обо-
значаемое также и P(X)). Пусть X := X/? := im ? — фактор-
множество. Отображение ?, как известно, называют каноническим
(канонической проекцией, факторным отображением и т. п.). Заме-
тим, что ? считают действующим на X. Множество ?(x) называют
классом эквивалентности или комножеством элемента x. Отме-
тим еще, что

? = ??1 ? ? = ??1 (x) ? ??1 (x).
x?X


Пусть теперь f : X > Y — отображение. Тогда f допускает сни-
жение f на X, т. е. существует отображение f : X > Y такое, что
f ? ? = f в том и только в том случае, если ? ? f ?1 ? f .
(5) Пусть (X, ?) и (Y, ? ) — два предупорядоченных мно-
жества. Отображение f : X > Y возрастает (т. е. x ?? y ?
f (x) ?? f (y)) в том и только в том случае, если ? ? f ?1 ? ? ? f .
1.2.4. Определение. Пусть (X, ?) — упорядоченное множе-
ство и U — подмножество в X. Элемент x ? X называют верхней
границей U , если U ? ? ?1 (x). Коротко пишут: x ? U . В частности,
x ? ?. Элемент x ? X называют нижней границей U , если x явля-
ется верхней границей U в противоположном порядке ? ?1 . Коротко
пишут: x ? U . В частности, x ? ?.
1.2.5. Замечание. В дальнейшем мы будем допускать вольно-
сти при введении понятий, получающихся из данных путем перехода
к противоположному (пред)порядку. Отметим также, что определе-
ние верхней и нижней границ осмыслено и в предупорядоченных
множествах.
1.2.6. Определение. Элемент x называют наибольшим в мно-
жестве U , если x ? U и x ? U . Аналогично определяют наименьший
элемент U .
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
6

1.2.7. Пусть ?? (U ) — совокупность всех верхних границ под-
множества U в упорядоченном множестве (X, ?). Пусть, далее,
x ? X — наибольший элемент U . Тогда, во-первых, x — наименьший
элемент ?? (U ), а во-вторых, ?(x) ? U = {x}.
1.2.8. Замечание. Предложение 1.2.7 является основой двух
обобщений понятия наибольшего элемента.
1.2.9. Определение. Элемент x из X называют точной верх-
ней границей множества U в X, если x — наименьший элемент мно-
жества всех верхних границ U . При этом пишут x = supX U или,
короче, x = sup U . Аналогично (при переходе к противоположно-
му порядку) определяют точную нижнюю границу множества U —
элемент inf U или, более полно, inf X U .
1.2.10. Определение. Элемент x упорядоченного множества
(X, ?) называют максимальным в подмножестве U множества X,
если ?(x)?U = {x}. Аналогично определяют минимальный элемент
множества U .
1.2.11. Замечание. Необходимо отчетливо представлять себе
различия и общие черты понятий наибольшего и максимального эле-
ментов и точной верхней границы множества. В частности, стоит
«экспериментально» удостовериться, что у «типичного» множества
нет наибольшего элемента, однако максимальные элементы встреча-
ются.
1.2.12. Определение. Упорядоченное множество X называют
решеткой, если для любых двух элементов x1 , x2 из X существуют
их точная верхняя граница x1 ? x2 := sup{x1 , x2 } и точная нижняя
граница x1 ? x2 := inf{x1 , x2 }.
1.2.13. Определение. Упорядоченное множество X называют
полной решеткой, если любое подмножество X имеет точную верх-
нюю и точную нижнюю границы.
1.2.14. Упорядоченное множество является полной решеткой в
том и только в том случае, если любое его подмножество имеет точ-
ную верхнюю границу.
1.2.15. Определение. Упорядоченное множество (X, ?) такое,
что X 2 = ? ?1 ? ?, называют фильтрованным по возрастанию. Ана-
1.3. Фильтры 7

логично определяют фильтрованное по убыванию множество. Непу-
стое фильтрованное по возрастанию множество называют направ-
ленным или, короче, направлением.

1.2.16. Определение. Отображение направленного множества
в данное множество X называют (обобщенной) последовательно-
стью или сетью в X. Отображения (естественным образом) на-
правленного множества натуральных чисел N в X называют (счет-
ными) последовательностями. (Следуя одной из традиций, полага-
ют N := {1, 2, 3 . . . }.)

1.2.17. Решетка является полной в том и только в том случае,
если любое фильтрованное по возрастанию множество в ней имеет
точную верхнюю границу.

1.2.18. Замечание. Смысл 1.2.17 состоит в том, что для нахо-
ждения точной верхней границы любого подмножества в X следу-
ет научиться находить такие границы для двухэлементных подмно-
жеств в X и для возрастающих сетей элементов X.

1.2.19. Определение. Пусть (X, ?) — упорядоченное множе-
ство и X 2 = ? ? ? ?1 . Тогда X называют линейно упорядоченным
множеством. Если X0 — непустое линейно упорядоченное подмно-
жество X, то X0 называют цепью в X. Непустое упорядоченное
множество называют индуктивным, если любая цепь в нем ограни-
чена сверху (т. е. имеет верхнюю границу).

1.2.20. Лемма Куратовского — Цорна. Индуктивное мно-
жество имеет максимальный элемент.

1.2.21. Замечание. Лемма Куратовского — Цорна служит эк-
вивалентом аксиомы выбора, принимаемой в теории множеств.

1.3. Фильтры

1.3.1. Определение. Пусть X — множество и B — непустое
подмножество непустых элементов 2X . Множество B называют ба-
зисом фильтра (в X), если B фильтровано по убыванию при введе-
нии в множество 2X подмножеств X отношения порядка по включе-
нию.
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
8

1.3.2. Подмножество B в 2X является базисом фильтра в том
и только в том случае, если
(1) B = ?, ? ? B;
(2) B1 , B2 ? B ? (? B ? B) B ? B1 ? B2 .
1.3.3. Определение. Подмножество F в 2X называют филь-
тром (в X), если F представляет собой совокупность надмножеств
некоторого базиса фильтра B (в X), т. е.
F = ?l B := {C ? 2X : (? B ? B) B ? C}.
При этом говорят, что B — базис F или что F имеет B своим
базисом и т. п.
1.3.4. Подмножество F в 2X является фильтром в том и только
в том случае, если
(1) F = ?, ? ? F ;
(2) A ? F , A ? B ? X ? B ? F ;
(3) A1 , A2 ? F ? A1 ? A2 ? F .
1.3.5. Примеры.
(1) Пусть F ? X ? Y — соответствие и B — фильтро-
ванное по убыванию подмножество 2X . Положим F (B) := {F (B) :
B ? B}. Видно, что F (B) фильтровано по убыванию. Допускают
некоторую вольность в обозначениях, считая F (B) := ?l F (B). Если
F — фильтр в X и B ? dom F = ? для всякого B ? F , то F (F ) —
фильтр в Y . Этот фильтр называют образом фильтра F при соот-
ветствии F . В частности, если F : X > Y — отображение и B —
базис фильтра в X, то F (F ) — фильтр в Y .
(2) Пусть (X, ?) — направление. Несомненно, что B :=
{?(x) : x ? X} — это базис фильтра. Если F : X > Y — некото-
рая обобщенная последовательность, то фильтр ?l F (B) называют
фильтром хвостов F .
Пусть (X, ?) и F : X > Y — другие направление и сеть эле-
ментов Y . Если фильтр хвостов F содержит фильтр хвостов F , то
F называют подсетью (в широком смысле) сети F . Если же су-
ществует подсеть (в широком смысле) G : X > X тождественной
сети (x)x?X элементов направления (X, ?) такая, что F = F ? G, то
F называют подсетью F (иногда говорят: F — подсеть Мура или
строгая подсеть F ). Каждая подсеть служит подсетью в широком
смысле.
1.3. Фильтры 9

1.3.6. Определение. Пусть F (X) — совокупность всех филь-
тров в множестве X. Если F1 , F2 ? F (X) и F1 ? F2 , то говорят,
что F1 тоньше F2 или F1 мажорирует F2 (соответственно F2
грубее F1 или F2 минорирует F1 ).
1.3.7. Множество F (X) с отношением «тоньше» является упо-
рядоченным.
1.3.8. Пусть N — направление в F (X). Тогда у N есть точная
верхняя граница F0 := sup N . При этом

F0 = ?{F : F ? N }.

Нужно убедиться только, что F0 — это фильтр. Ясно, что
? ? F0 и, в силу непустоты N , F0 = ?. Если A ? F0 и B ? A,
/
то, подбирая F из N , для которого A ? F , заключаем: B ? F ?
F0 . Если же A1 , A2 ? F0 , то можно найти элемент F в N такой,
что A1 , A2 ? F , ибо N — это направление. На основании 1.3.4,
A1 ? A2 ? F ? F0 .
1.3.9. Определение. Максимальные элементы в упорядочен-
ном множестве F (X) всех фильтров в X называют ультрафиль-
трами.
1.3.10. Каждый фильтр грубее некоторого ультрафильтра.
Ввиду 1.3.8 множество фильтров, содержащих данный, явля-
ется индуктивным. Остается сослаться на лемму Куратовского —
Цорна 1.2.20.
1.3.11. Фильтр F является ультрафильтром в том и только
в том случае, если для каждого A ? X либо A ? F , либо X \ A ? F .
?: Пусть A ? F и B := X \ A ? F . Отметим, что A = ? и
B = ?. Положим F1 := {C ? 2X : A ? C ? F }. Тогда A ? F ?
? ? F1 и B ? F1 ? F1 = ?. Столь же просто проверить 1.3.4 (2)
и 1.3.4 (3). Итак, F1 — фильтр. По построению F1 ? F . Раз F
— ультрафильтр, то F1 = F . Получилось противоречие: B ? F и
B ? F.
?: Пусть F1 ? F (X) и F1 ? F . Если A ? F1 и A ? F , то
X \A ? F по условию. Отсюда X \A ? F1 , т. е. ? = A?(X \A) ? F1 ,
чего быть не может.
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
10

1.3.12. Если f — отображение из X в Y и F — ультрафильтр
в X, то f (F ) — ультрафильтр в Y .
1.3.13. Пусть X := XF0 := {F ? F (X) : F ? F0 } для неко-
торого F0 ? F (X). Тогда X — полная решетка.
Понятно, что F0 — наибольший, а {X} — наименьший эле-
менты в X . Стало быть, пустое множество в X имеет точную
верхнюю и точную нижнюю границы: sup ? = inf X = {X} и
inf ? = sup X = F0 . В силу 1.2.17 и 1.3.8 достаточно устано-
вить существование F1 ? F2 для любых F1 , F2 ? X . Рассмотрим
F := {A1 ? A2 : A1 ? F1 , A2 ? F2 }. Нет сомнений, что F ? F0 и
F ? F1 , F ? F2 . Поэтому для проверки равенства F = F1 ? F2
нужно доказать, что F — фильтр.
Соотношения F = ? и ? ? F очевидны. Ясно также, что (B1 ,
B2 ? F ? B1 ? B2 ? F ). Помимо этого, если C ? A1 ? A2 , где
A1 ? F1 и A2 ? F2 , то C = {A1 ? A2 } ? C = (A1 ? C) ? (A2 ? C).
Поскольку A1 ?C ? F1 , а A2 ?C ? F2 , выводим: C ? F . Апелляция
к 1.3.4 дает требуемое.

Упражнения
1.1. Привести примеры множеств и не множеств, теоретико-множествен-
ных свойств и не теоретико-множественных свойств.
1.2. Может ли отрезок [0, 1] быть элементом отрезка [0, 1]? А отрезок
[0, 2]?
1.3. Найти композиции простейших соответствий и отношений: квадратов,
кругов и окружностей с общими и с несовпадающими центрами, шаров в RM ?
RN при различных допустимых наборах M, N .
1.4. Для соответствий R, S, T установить соотношения:

<< Пред. стр.

стр. 2
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>