<< Пред. стр.

стр. 20
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

в теории операторов должна играть алгебра B(X)/K (X), называе-
мая алгеброй Калкина (в X). Эту роль отчасти можно видеть в 8.5.
8.3.6. Определение. Оператор T ? L (X, Y ) называют конеч-
номерным, если T ? B(X, Y ) и im T — конечномерное подпростран-
ство. При этом пишут T ? F (X, Y ).
8.3.7. Конечномерные операторы составляют линейную оболоч-
ку множества ограниченных одномерных операторов:

T ? F (X, Y ) ?
n
? (? x1 , . . . , xn ? X , y1 , . . . , yn ? Y ) T = xk ? yk .
k=1

8.3.8. Определение. Пусть Q — (непустой) компакт в X. Для
T ? B(X, Y ) положим

T sup T (Q) .
Q :=
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
174

Совокупность всех полунорм вида · Q в B(X, Y ) называют муль-
тинормой Аренса в B(X, Y ) и обозначают ?B(X,Y ) . Соответствую-
щую топологию называют топологией равномерной сходимости на
компактах.
8.3.9. Теорема Гротендика. Пусть X — банахово простран-
ство. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) для каждых ? > 0 и компактного множества Q в X
найдется оператор T ? F (X) := F (X, X) такой, что
T x ? x ? ? для всех x ? Q;
(2) для любого банахова пространства W подпростран-
ство F (W, X) плотно в B(W, X) относительно муль-
тинормы Аренса ?B(W,X) ;
(3) для любого банахова пространства Y подпростран-
ство F (X, Y ) плотно в B(X, Y ) относительно муль-
тинормы Аренса ?B(X, Y ) .
Ясно, что (2) ? (1) и (3) ? (1). Поэтому установим, что (1)
? (2) и (1) ? (3).
(1) ? (2): Если T ? B(W, X) и ? = Q ? W — компакт в W , то,
по теореме Вейерштрасса 4.4.5, T (Q) — компакт в X и, стало быть,
для ? > 0 по условию существует оператор T0 ? F (X) такой, что
T0 ? IX T (Q) = T0 T ? T Q ? ?. Несомненно, что T0 T ? F (W, X).
(1) ? (3): Пусть T ? B(X, Y ). Если T = 0, то доказывать
ничего не надо. Пусть T = 0, ? > 0 и Q — непустой компакт в X.
По условию существует оператор T0 ? F (X) такой, что T0 ? IX Q ?
? T ?1 . Тогда T T0 ? T Q ? T T0 ? IX Q ? ?. Кроме того,
T T0 ? F (X, Y ).
8.3.10. Определение. Банахово пространство, удовлетворяю-
щее одному (а значит, и любому) из эквивалентных условий 8.3.9
(1)–8.3.9 (3), называют обладающим свойством аппроксимации.
8.3.11. Критерий Гротендика. Банахово пространство X об-
ладает свойством аппроксимации в том и только в том случае, ес-
ли для каждого банахова пространства W выполнено cl F (W, X) =
K (W, X), где замыкание вычислено относительно операторной нор-
мы.
8.3.12. Замечание. Долго считали (и, разумеется, не могли
доказать), что все банаховы пространства обладают свойством ап-
8.4. Теория Рисса — Шаудера 175

проксимации. Поэтому найденный П. Энфло на основе тонких рас-
суждений пример банахова пространства без свойства аппроксима-
ции был воспринят в конце 70-х годов как сенсационный. В настоя-
щее время известны многие контрпримеры такого рода.
8.3.13. Контрпример Шанковского. Пространство B(l2 ) не
обладает свойством аппроксимации.
8.3.14. Контрпримеры Дэви — Фигеля — Шанковско-
го. Пространства lp при p = 2 и c0 имеют замкнутые подпростран-
ства, не обладающие свойством аппроксимации.

8.4. Теория Рисса — Шаудера
8.4.1. Лемма об ?-перпендикуляре. Пусть X0 — замкнутое
подпространство банахова пространства X и X = X0 . Для любого
? > 0 в X имеется ?-перпендикуляр к X0 , т. е. такой элемент x? ? X,
что x? = 1 и d(x? , X0 ) := inf d · ({x? } ? X0 ) ? 1 ? ?.
Пусть 1 > ? и x ? X \ X0 . Понятно, что d := d(x, X0 ) > 0.
В подпространстве X0 подыщем x , для которого x ? x ? d/(1 ? ?)
(это возможно, ибо d/(1 ? ?) > d). Положим x? := (x ? x ) x ? x ?1 .
Тогда x? = 1. Наконец, для x0 ? X0 выполнено
x?x
x0 ? x? = x0 ? =
x?x
d(x, X0 )
1
( x ? x x0 + x ) ? x ? ? 1 ? ?.
=
x ?x x ?x
8.4.2. Критерий Рисса. Пусть X — банахово пространство.
Тождественный оператор в X компактен в том и только в том случае,
если X конечномерно.
Нуждается в проверке лишь стрелка ?. Если известно, что X
не является конечномерным пространством, то в X можно указать
последовательность конечномерных подпространств X1 ? X2 ? . . .
такую, что Xn+1 = Xn при всех n ? N. На основании 8.4.1 существу-
ет последовательность (xn ), для которой xn+1 ? Xn+1 , xn+1 = 1
и d(xn+1 , Xn ) ? 1/2, т. е. последовательность 1/2-перпендикуляров
к Xn в Xn+1 . Ясно, что d(xm , xk ) ? 1/2 для m = k. Иными сло-
вами, последовательность (xn ) не содержит фундаментальной под-
последовательности. Значит, по 8.3.1 оператор IX не является ком-
пактным.
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
176

8.4.3. Пусть T ? K (X, Y ), где X, Y — банаховы пространства.
Оператор T нормально разрешим в том и только в том случае, если
T конечномерен.
Нуждается в проверке лишь импликация ?.
Пусть Y0 := im T — замкнутое подпространство в Y . По теоре-
ме Банаха о гомоморфизме 7.4.4 образ единичного шара T (BX ) —
окрестность нуля в Y0 . Кроме того, в силу компактности T множе-
ство T (BX ) относительно компактно в Y0 . Остается применить 8.4.2
к Y0 .
8.4.4. Пусть X — банахово пространство и K ? K (X). Тогда
оператор 1 ? K нормально разрешим.
Положим T := 1 ? K. Пусть X1 := ker T . Несомненно,
что X1 конечномерно по 8.4.2. В соответствии с 7.4.11 (1) конеч-
номерное подпространство дополняемо. Обозначим X2 топологиче-
ское дополнение X1 . Учитывая, что X2 — банахово пространство
и равенство T (X) = T (X2 ), следует установить, что для некото-
рого t > 0 выполнено T x ? t x для всех x ? X2 . В против-
ном случае найдется последовательность (xn ) таких элементов, что
xn = 1, xn ? X2 и T xn > 0. Используя компактность K, можно
считать, что (Kxn ) сходится. Положим y := lim Kxn . Тогда после-
довательность (xn ) сходится к y, ибо y = lim(T xn + Kxn ) = lim xn .
При этом T y = lim T xn = 0, т. е. y ? X1 . Кроме того, несомненно,
y ? X2 . Итак, y ? X1 ? X2 , т. е. y = 0. Получили противоречие
( y = lim xn = 1).
8.4.5. Для всякого ? > 0 вне круга радиуса ? с центром в нуле
может лежать лишь конечное множество собственных чисел ком-
пактного оператора.
Допустим, что вопреки утверждаемому есть последователь-
ность (?n )n?N различных собственных чисел оператора K, таких
что |?n | ? ? для всех n ? N. Пусть, далее, 0 = xn ? ker(?n ? K)
— собственный вектор, отвечающий собственному числу ?n . Уста-
новим прежде всего, что множество {xn : n ? N} линейно незави-
симо. В самом деле, пусть уже известно, что линейно независимо
n
множество {x1 , . . . , xn }. Предположим, что xn+1 = k=1 ?k xk . То-
n
гда 0 = (?n+1 ? K)xn+1 = k=1 ?k (?n+1 ? ?k )xk . Следовательно,
?k = 0 для k := 1, . . . , n. Отсюда вытекает заведомо ложное равен-
ство xn+1 = 0.
8.4. Теория Рисса — Шаудера 177

Положим Xn := L ({x1 , . . . , xn }). По определению X1 ? X2 ?
. . . , причем, как уже доказано, Xn+1 = Xn для n ? N. В силу 8.4.1
имеется последовательность (xn ) такая, что xn+1 ? Xn+1 , xn+1 =
1 и d(xn+1 , Xn ) ? 1/2. При m > k прямой подсчет показывает, что
z := (?m+1 ? K)xm+1 ? Xm и z + Kxk ? Xm + Xk ? Xm . Значит,

Kxm+1 ? Kxk = ? ?m+1 xm+1 + Kxm+1 + ?m+1 xm+1 ? Kxk =
?
= ?m+1 xm+1 ? (z + Kxk ) ? |?m+1 |d(xm+1 , Xm ) ? .
2
Иными словами, последовательность (Kxn ) не содержит фундамен-
тальной подпоследовательности.
8.4.6. Теорема Шаудера. Пусть X, Y — банаховы простран-
ства (над одним и тем же основным полем F). Тогда

K ? K (X, Y ) ? K ? K (Y , X ).

?: Заметим прежде всего, что отображение сужения x >
x |BX осуществляет изометрию X в l? (BX ). Поэтому для установ-
ления относительной компактности K (BY ) следует доказать отно-
сительную компактность множества V := {K y |BX : y ? BY }.
Ввиду того, что для x ? BX и y ? BY выполнено K y |BX (x) =
y ? K|BX (x) = y (Kx), рассмотрим компакт Q := cl K(BX ) и отобра-
? ?
жение K : C(Q, F) > l? (BX ), определенное соотношением Kg : x >
?
g(Kx). Несомненно, что оператор K ограничен, а следовательно, и
непрерывен. Пусть теперь S := {y |Q : y ? BY }. Ясно, что S —
равностепенно непрерывное и в то же время ограниченное подмно-
жество C(Q, F). Значит, по теореме Асколи — Арцела 4.6.10, S от-
носительно компактно. По теореме Вейерштрасса 4.4.5 заключаем,
?
что относительно компактно множество K(S). Осталось заметить,
? ?
что для y ? BY выполнено Ky |Q = K y |BX , т. е. K(S) = V .
?: Если K ? K (Y , X ), то по уже доказанному выполняется
K ? K (X , Y ). В силу леммы о двойном штриховании 7.6.6,
K |X = K. Отсюда вытекает, что оператор K компактный.
8.4.7. Ненулевые точки спектра компактного оператора изоли-
рованы (т. е. всякая такая точка составляет спектральное множе-
ство).
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
178

Учитывая 8.4.4 и принцип штрихования последовательностей
7.6.13, видим, что любая ненулевая точка спектра компактного опе-
ратора является либо его собственным числом, либо собственным
числом сопряженного оператора. Привлекая 8.4.5 и 8.4.6, заключа-
ем, что вне круга ненулевого радиуса может лежать лишь конечное
число точек спектра рассматриваемого оператора.
8.4.8. Теорема Рисса — Шаудера. Спектр компактного опе-
ратора, заданного в бесконечномерном пространстве, содержит нуль.
Ненулевые точки спектра — собственные числа, каждому из которых
отвечает конечномерное собственное подпространство. При этом вне
любого круга ненулевого радиуса с центром в нуле лежит конечное
множество точек спектра рассматриваемого оператора.
Для оператора K ? K (X) следует установить только импли-
кацию
0 = ? ? Sp(K) ? ker(? ? K) = 0.

Разберем сначала случай F := C. Отметим, что {?} — спек-
тральное множество. Полагая g(z) := 1/z в некоторой окрестно-
сти ? и g(z) := 0 для z в подходящей окрестности {?} , видим:
?{?} = gIC . Стало быть, на основании 8.2.3 и 8.2.10, P{?} = g(K)K.
В силу 8.3.2 (2), P{?} ? K (X). Из 8.4.3 вытекает, что im P{?} — ко-
нечномерное пространство. Осталось привлечь теорему о разбиении
спектра 8.2.12.
В случае F := R следует провести процесс «комплексификации».
Именно, нужно рассмотреть в пространстве X 2 умножение на эле-
мент C, порожденное правилом i(x, y) := (?y, x). Полученное ком-
плексное векторное пространство обозначают X ? iX. В простран-
стве X ? iX следует ввести оператор K(x, y) := (Kx, Ky). Наделяя
X ? iX подходящей нормой (ср. 7.3.2), видим, что оператор K ком-
пактен, причем ? ? Sp(K). Значит, ? — собственное число K по уже
доказанному. Отсюда вытекает, что ? — собственное число операто-
ра K.
8.4.9. Теорема. Пусть X — комплексное банахово простран-
ство, а f : C > C — голоморфная функция, обращающаяся в нуль
лишь в нуле и такая, что для некоторого T ? B(X) выполнено
f (T ) ? K (X). Тогда любая отличная от нуля точка ? спектра T
изолирована и проектор Рисса P{?} компактен.
8.5. Н?теровы и фредгольмовы операторы
е 179

Допустим противное, т. е. пусть найдется последовательность
(?n )n?N различных точек Sp(T ) такая, что ?n > ? = 0 (в частно-
сти, X бесконечномерно). Тогда f (?n ) > f (?), причем f (?) = 0
по условию. По теореме об отображении спектра 8.2.5, Sp(f (T )) =
f (Sp(T )). Таким образом, по 8.4.8 для всех достаточно больших n
выполнено f (?n ) = f (?). Отсюда вытекает, что f (z) = f (?) для всех
z ? C и, стало быть, f (T ) = f (?). По критерию 8.4.2 в этом слу-
чае X конечномерно. Получили противоречие, означающее, что ?
— изолированная точка Sp(T ). Полагая g(z) := f (z)?1 в некоторой
не содержащей нуля окрестности ?, имеем, что g f = ?{?} . Следова-
тельно, по теореме Гельфанда — Данфорда 8.2.3, P{?} = g(T )f (T ),
т. е. в силу 8.3.2 (2) проектор Рисса P{?} компактен.
8.4.10. Замечание. Теорему 8.4.9 иногда называют «обобщен-
ной теоремой Рисса — Шаудера».

8.5. Н?теровы и фредгольмовы операторы
е
8.5.1. Определение. Пусть X, Y — банаховы пространства
(над одним и тем же основным полем F). Оператор T ? B(X, Y )
называют н?теровым и пишут T ? N (X, Y ), если его ядро ker T :=
е
?1
T (0) и коядро coker T := Y / im T конечномерны, т. е. если конечны
величины
?(T ) := dim ker T ; ?(T ) := dim coker T.
Целое число ind T := ?(T ) ? ?(T ) называют индексом оператора T .
8.5.2. Определение. Н?теров оператор нулевого индекса на-
е
зывают фредгольмовым.
8.5.3. Каждый н?теров оператор нормально разрешим.
е
Следует из критерия Като 7.4.20.
8.5.4. Для оператора T ? B(X, Y ) выполнено

T ? N (X, Y ) ? T ? N (Y , X ).

При этом ind T = ? ind T .
В силу 2.3.5 (6), 8.5.3, 5.5.4 и принципа штрихования 7.6.13
следующие пары сопряженных последовательностей:
T
0 > ker T > X > Y > coker T > 0;
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
180
T
0 < (ker T ) < X < Y < (coker T ) < 0;

T
0 > ker(T ) > Y > X > coker(T ) > 0;
T
0 < (ker(T )) < Y < X < (coker(T )) < 0

одновременно точны. При этом ?(T ) = ?(T ) и ?(T ) = ?(T ) (ср.
7.6.14).
8.5.5. Оператор фредгольмов в том и только в том случае, если
фредгольмов сопряженный к нему оператор.
Это частный случай 8.5.4.
8.5.6. Альтернатива Фредгольма. Для фредгольмова опе-
ратора T имеет место одна из следующих двух взаимоисключающих
возможностей.
(1) Однородное уравнение T x = 0 имеет только нулевое
решение. Однородное сопряженное уравнение T y =
0 имеет только нулевое решение. Неоднородное урав-
нение T x = y имеет, и притом единственное, решение
при любой правой части. Неоднородное сопряженное
уравнение T y = x имеет, и притом единственное,
решение при любой правой части.
(2) Однородное уравнение T x = 0 имеет ненулевое ре-
шение. Однородное сопряженное уравнение T y =
0 имеет ненулевое решение. Однородное уравнение
T x = 0 имеет конечное число линейно независимых
решений x1 , . . . , xn . Однородное сопряженное урав-
нение T y = 0 имеет конечное число линейно незави-
симых решений y 1 , . . . , y n . Неоднородное уравнение
T x = y разрешимо в том и только в том случае, если
y 1 (y) = . . . = y n (y) = 0. При этом общее решение x
есть сумма частного решения x0 неоднородного урав-
нения и общего решения однородного уравнения, т. е.
имеет вид

n
(?k ? F ).
x = x0 + ?k xk
k=1
8.5. Н?теровы и фредгольмовы операторы
е 181

Неоднородное сопряженное уравнение T y = x раз-
решимо в том и только в том случае, если x (x1 ) =
. . . = x (xn ) = 0. При этом общее решение y есть
сумма частного решения y 0 неоднородного сопряжен-
ного уравнения и общего решения однородного сопря-
женного уравнения, т. е. имеет вид
n
(µk ? F ).
y = y0 + µk y k
k=1

Переформулировка 8.5.5 с учетом леммы о полярах 7.6.11.
8.5.7. Примеры.
(1) Если T обратим, то T фредгольмов.
(2) Пусть T ? L (F n , F m ). Пусть rank T := dim im T —
ранг T . Тогда ?(T ) = n ? rank T ; ?(T ) = m ? rank T . Следовательно,
T ? N (F n , F m ) и ind T = n ? m.
(3) Пусть X = X1 ? X2 и T ? B(X). Допустим, что
указанное разложение X в прямую сумму приводит T к матричному
виду
T1 0
T? .
0 T2
Несомненно, что T н?теров тогда и только тогда, когда н?теровы
е е
его части. При этом ?(T ) = ?(T1 ) + ?(T2 ), ?(T ) = ?(T1 ) + ?(T2 ), т. е.
ind T = ind T1 + ind T2 .
8.5.8. Теорема Фредгольма. Пусть K ? K (X). Оператор
1 ? K фредгольмов.
В самом деле, разберем сначала случай F := C. Если 1 ?
/
Sp(K), то 1 ? K обратим и ind (1 ? K) = 0. Если же 1 ? Sp(K),
то в силу теоремы Рисса — Шаудера 8.4.8 и теоремы о разбиении
спектра 8.2.12 найдется разложение X = X1 ? X2 такое, что X1
конечномерно, 1 ? Sp(K2 ), где K2 — часть K в X2 , при этом
/

1 ? K1 0
1?K ? .
1 ? K2
0

По 8.5.7 (2), ind (1 ? K1 ) = 0. По 8.5.7 (3) выполнено ind (1 ? K) =
ind (1 ? K1 ) + ind (1 ? K2 ) = 0.
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
182

В случае F := R проведем процесс «комплексификации» так же,
как и в доказательстве 8.4.8. Именно, в пространстве X ? iX рас-
смотрим оператор K(x, y) := (Kx, Ky). По уже установленному
ind (1 ? K) = 0. Остается заметить, что с учетом различия R и C
выполнено ?(1?K) = ?(1?K) и ?(1?K) = ?(1?K). Окончательно
ind (1 ? K) = 0.
8.5.9. Определение. Пусть задан T ? B(X, Y ). Оператор L ?
B(Y, X) называют левым регуляризатором T , если LT ? 1 ? K (X).
Оператор R ? B(Y, X) называют правым регуляризатором T , если
T R ? 1 ? K (Y ). Оператор S ? B(Y, X) называют почти обратным
к T ? B(X, Y ), если S является одновременно левым и правым
регуляризатором T . Если у оператора T есть почти обратный, то T
называют почти обратимым.
8.5.10. Пусть L и R — соответственно левый и правый регуля-
ризаторы T . Тогда L ? R ? K (Y, X).

LT = 1 + KX (KX ? K (X)) ? LT R = R + KX R;
T R = 1 + KY (KY ? K (Y )) ? LT R = L + LKY

8.5.11. Если L — левый регуляризатор T и K ? K (Y, X), то
L + K также левый регуляризатор T .

(L + K)T ? 1 = (LT ? 1) + KT ? K (X)

8.5.12. Оператор почти обратим в том и только в том случае,
если у него есть правый и левый регуляризаторы.
Нуждается в проверке лишь импликация ?. Пусть L, R
— соответственно левый и правый регуляризаторы T . По 8.5.10,
K := L ? R ? K (Y, X). Значит, по 8.5.11, R = L ? K — левый
регуляризатор T . Итак, R — почти обратный к T .
8.5.13. Замечание. Из приведенного видно, что при X = Y
оператор S является почти обратным для T в том и только в том
случае, если ?(S)?(T ) = ?(T )?(S) = 1, где ? : B(X) > B(X)/K (X)
— каноническое отображение в алгебру Калкина. Иными словами,
левые регуляризаторы — это прообразы левых обратных в алгебре
Калкина и т. п.
8.5. Н?теровы и фредгольмовы операторы
е 183

8.5.14. Критерий Н?тера. Оператор является н?теровым в
е е
том и только в том случае, если он почти обратим.
?: Пусть T ? N (X, Y ). Привлекая принцип дополняемости
7.4.10, рассмотрим разложения X = ker T ? X1 и Y = im T ? Y1
и конечномерные проекторы P ? B(X) на ker T параллельно X1
и Q ? B(Y ) на Y1 параллельно im T . Ясно, что сужение T1 := T |X1
?1
— обратимый оператор T1 : X1 > im T . Положим S := T1 (1 ? Q).
Оператор S можно считать элементом пространства B(Y, X). При
этом несомненно, что ST + P = 1 и T S + Q = 1.

<< Пред. стр.

стр. 20
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>