<< Пред. стр.

стр. 21
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

?: Пусть S — почти обратный к T , т. е. ST = 1 + KX и T S =
1 + KY для подходящих компактных операторов KX и KY . Значит,
ker T ? ker(1+KX ), т. е. ker T конечномерно в силу конечномерности
ker(1 + KX ), обеспеченной 8.5.8. Помимо этого, im T ? im(1 + KY ),
т. е. из-за фредгольмовости 1 + KY образ T имеет конечную кораз-
мерность.
8.5.15. Следствие. Если T ? N (X, Y ) и S ? B(Y, X) — почти
обратный для T , то S ? N (Y, X).
8.5.16. Следствие. Произведение н?теровых операторов — это
е
н?теров оператор.
е
Суперпозиция почти обратных операторов (в должном поряд-
ке) — почти обратный оператор к суперпозиции.
8.5.17. Пусть задана точная последовательность

0 > X1 > X2 > . . . > Xn?1 > Xn > 0

конечномерных векторных пространств. Тогда имеет место тожде-
ство Эйлера
n
(?1)k dim Xk = 0.
k=1

При n = 1 точность последовательности 0 > X1 > 0 означает,
что X1 = 0, а при n = 2 точность 0 > X1 > X2 > 0 эквивалентна
изоморфности X1 и X2 (см. 2.3.5 (4)). Таким образом, тождество
Эйлера при n := 1, 2 несомненно.
Допустим теперь, что для m ? n ? 1, где n > 2, требуемое уже
установлено. Точную последовательность
Tn?2 Tn?1
0 > X1 > X2 > . . . > Xn?2 ? ? > Xn?1 ? ? > Xn > 0
?? ??
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
184

можно сузить до точной последовательности
Tn?2
0 > X1 > X2 > . . . > Xn?2 ? ? ker Tn?1 > 0.
?>

По допущению выполнено
n?2
(?1)k dim Xk + (?1)n?1 dim ker Tn?1 = 0.
k=1

Помимо этого, поскольку Tn?1 является эпиморфизмом, имеем

dim Xn?1 = dim ker Tn?1 + dim Xn .

Окончательно получаем
n?2
(?1)k dim Xk + (?1)n?1 (dim Xn?1 ? dim Xn ) =
0=
k=1

n
(?1)k dim Xk .
=
k=1

8.5.18. Теорема Аткинсона. Индекс произведения н?теровых
е
операторов равен сумме индексов сомножителей.
Пусть T ? N (X, Y ) и S ? N (Y, Z). В силу 8.5.16, ST ?
N (X, Z). Привлекая лемму о снежинке 2.3.16, имеем точную по-
следовательность конечномерных пространств

0 > ker T > ker ST > ker S > coker T > coker ST > coker S > 0.

На основании 8.5.17

?(T ) ? ?(ST ) + ?(S) ? ?(T ) + ?(ST ) ? ?(S) = 0,

откуда ind (ST ) = ind S + ind T .
8.5.19. Следствие. Пусть T — н?теров и S — почти обратный
е
к T . Тогда ind T = ? ind S.
ind (ST ) = ind (1 + K) для некоторого компактного оператора
K. По теореме 8.5.8, 1 + K — фредгольмов оператор.
8.5. Н?теровы и фредгольмовы операторы
е 185

8.5.20. Теорема о компактных возмущениях. Н?теровость
е
и индекс сохраняются при компактных возмущениях: если даны T ?
N (X, Y ) и K ? K (X, Y ), то T + K ? N (X, Y ) и ind (T + K) =
ind T .
Пусть S — почти обратный к T , т. е. для KX ? K (X) и
KY ? K (Y ) выполнено

ST = 1 + KX ; T S = 1 + KY

(существование S обеспечивает 8.5.14). Ясно, что

S(T + K) = ST + SK = 1 + KX + SK ? 1 + K (X);

(T + K)S = T S + KS = 1 + KY + KS ? 1 + K (Y ),
т. е. S — почти обратный к T + K. В силу 8.5.14, T + K ? N (X, Y ).
При этом из 8.5.19 следуют равенства ind (T +K) = ? ind S и ind T =
? ind S.
8.5.21. Теорема об ограниченных возмущениях. Н?теро- е
вость и индекс сохраняются при достаточно малых ограниченных
возмущениях: множество N (X, Y ) открыто в пространстве огра-
ниченных операторов, причем индекс ind : N (X, Y ) > Z — непре-
рывная функция.
Пусть T ? N (X, Y ). По 8.5.14 найдутся операторы S ?
B(Y, X), KX ? K (X) и KY ? K (Y ) такие, что

ST = 1 + KX ; T S = 1 + KY .

Если S = 0, то пространства X и Y конечномерны по критерию
Рисса 8.4.2, т. е. доказывать нечего — достаточно сослаться на 8.5.7
(2). Если же S = 0, то при всех V ? B(X, Y ), для которых V <
1/ S , из неравенства 5.6.1 вытекает: SV < 1 и V S < 1. Значит,
в силу 5.6.10 операторы 1 + SV и 1 + V S обратимы в B(X) и в B(Y )
соответственно.
Имеем

(1 + SV )?1 S(T + V ) = (1 + SV )?1 (1 + KX + SV ) =

= 1 + (1 + SV )?1 KX ? 1 + K (X),
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
186

т. е. (1 + SV )?1 S — левый регуляризатор T + V . Аналогично про-
веряется, что S(1 + V S)?1 — правый регуляризатор T + V . В самом
деле,

(T + V )S(1 + V S)?1 = (1 + KY + V S)(1 + V S)?1 =

= 1 + KY (1 + V S)?1 ? 1 + K (Y ).
По 8.5.12, T + V почти обратим. На основании 8.5.14, T + V ?
N (X, Y ). Этим доказана открытость N (X, Y ). Учитывая, что ре-
гуляризаторы н?терова оператора почти обратны к нему (ср. 8.5.12),
е
из 8.5.19 и 8.5.18 получаем

ind (T + V ) = ? ind ((1 + SV )?1 S) =

= ? ind (1 + SV )?1 ? ind S = ? ind S = ind T
(ибо (1 + SV )?1 фредгольмов по 8.5.7 (1)). Последнее и означает
непрерывность индекса.
8.5.22. Критерий Никольского. Оператор фредгольмов в том
и только в том случае, если он представляет собой сумму обратимого
и компактного операторов.
?: Пусть T ? N (X, Y ) и ind T = 0. Рассмотрим разло-
жения в прямые суммы банаховых пространств X = X1 ? ker T и
Y = im T ? Y1 . Несомненно, что оператор T1 — след оператора T на
X1 — осуществляет изоморфизм X1 и im T . Помимо этого, в силу
8.5.5, dim Y1 = ?(T ) = ?(T ), т. е. существует естественный изо-
морфизм Id : ker T > Y1 . Таким образом, T допускает матричное
представление

T1 T1
0 0 0 0
T? .
= +
0 ? Id
0 0 0 Id

?: Если T := S + K, где K ? K (X, Y ) и S ?1 ? B(Y, X), то, по
8.5.20 и 8.5.7 (1), ind T = ind (S + K) = ind S = 0.
8.5.23. Замечание. Пусть Inv(X, Y ) — множество обратимых
операторов из X в Y (это множество открыто по теореме Банаха
об обратимых операторах 5.6.12). Обозначим F (X, Y ) множество
Упражнения 187

всех фредгольмовых операторов, действующих из X в Y . Критерий
Никольского теперь можно переписать в следующей форме:

F (X, Y ) = Inv(X, Y ) + K (X, Y ).

Как видно из доказательства 8.5.22, можно утверждать также, что

F (X, Y ) = Inv(X, Y ) + F (X, Y ),

где, как обычно, F (X, Y ) — подпространство конечномерных опе-
раторов в пространстве B(X, Y ).

Упражнения
8.1. Изучить интеграл Рисса — Данфорда в конечномерном пространстве.

8.2. Описать ядро интеграла Рисса — Данфорда.

8.3. Пусть (fn ) — функции, голоморфные в окрестности U спектра опера-
тора T . Доказать, что из равномерной сходимости (fn ) к нулю на U вытекает
сходимость (fn (T )) к нулю в операторной норме.

8.4. Пусть ? — изолированная часть спектра оператора T . Допустим, что
часть ? := Sp(T ) \ ? отделяется от ? окружностью с центром в a и радиусом r
таким образом, что ? ? {z ? C : |z ? a| < r}. Доказать, что для проектора Рисса
P? выполнено
P? = lim (1 ? z ?n (T ? a)n )?1 ;
n

1
x ? im(P? ) ? lim sup (a ? T )n x < r.
n
n

8.5. Выяснить, при каких условиях компактен проектор.

8.6. Доказать, что каждое замкнутое подпространство, содержащееся в об-
ласти значения компактного оператора в банаховом пространстве, конечномер-
но.

8.7. Доказать, что линейный оператор переводит каждое замкнутое линей-
ное подпространство в замкнутое множество в том и только в том случае, если
этот оператор нормально разрешим и его ядро конечномерно или коконечномер-
но (имеет конечномерное алгебраическое дополнение).

8.8. Пусть 1 ? p < r < +?. Доказать, что каждый ограниченный опера-
тор из lr в lp и из c0 в lp является компактным.
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
188

8.9. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Для оператора
T из B(H) и гильбертова базиса (en ) норму Гильберта — Шмидта определяют
соотношением
1/2
?
2
T T en .
2 :=
n=1
(Проверить корректность!) Операторы с конечной нормой Гильберта — Шмидта
называют операторами Гильберта — Шмидта. Установить, что оператор T
является оператором Гильберта — Шмидта в том и только в том случае, если он
?
?2 < +?, где (?n ) — собственные числа оператора
компактен и при этом n=1 n
(T ? T )1/2 .
8.10. Пусть T — некоторый эндоморфизм. Тогда
im(T 0 ) ? im(T 1 ) ? im(T 2 ) ? . . . .
Если существует номер n такой, что im(T n ) = im(T n+1 ), то говорят, что T имеет
конечный спуск. Наименьший номер n начала стабилизации называют спуском
T и обозначают d(T ). Аналогично для ядер
ker(T 0 ) ? ker(T 1 ) ? ker(T 2 ) ? . . .
вводят понятие подъема и обозначение a(T ). Установить, что у оператора T с
конечными спуском и подъемом величины a(T ) и d(T ) совпадают.
8.11. Оператор T называют оператором Рисса — Шаудера, если T н?теров
е
и имеет конечные спуск и подъем. Доказать, что оператор T является операто-
ром Рисса — Шаудера в том и только в том случае, если его можно представить в
виде T = U + V , где U обратим, V конечномерен (или компактен) и коммутирует
с U.
8.12. Пусть T — ограниченный эндоморфизм банахова пространства X с
конечными спуском и подъемом r := a(T ) = d(T ). Доказать, что подпростран-
ства im(T r ) и ker(T r ) замкнуты, разложение
X = ker(T r ) ? im(T r )
приводит T и след оператора T на im(T r ) обратим.
8.13. Пусть T — нормально разрешимый оператор. Если конечна одна из
величин
?(T ) := dim ker T, ?(T ) := dim coker T,
то T называют полуфредгольмовым (реже полун?теровым). Положим
е
{T ? B(X) : im T ? Cl(X), ?(T ) < +?};
+ (X) :=

{T ? B(X) : im T ? Cl(X), ?(T ) < +?}.
? (X) :=
Доказать, что
T? ?T ?
+ (X) ? (X );
T? ?T ?
? (X) + (X ).
8.14. Пусть T — ограниченный эндоморфизм. Доказать, что T входит в
(X) в том и только в том случае, если для любого ограниченного, но не вполне
+
ограниченного множества U его образ T (U ) не будет вполне ограниченным мно-
жеством в X.
Упражнения 189

8.15. Ограниченный эндоморфизм T банахова пространства называют опе-
ратором Рисса, если для каждого комплексного ненулевого ? оператор (? ? T )
н?теров. Доказать, что T является оператором Рисса в том и только в том слу-
е
чае, если для любого ? ? C, ? = 0 выполнено:
(а) оператор (? ? T ) имеет конечные спуск и подъем;
(б) ядро (? ? T )k конечномерно для каждого k ? N;
(в) образ (? ? T )k имеет конечный дефект при k ? N,
и, кроме того, ненулевые точки спектра T являются собственными числами,
а нуль служит единственно возможной точкой накопления спектра T (= вне
каждого круга с центром в нуле лежит конечное число точек спектра).
Y ? и X /Y ?
8.16. Установить изометрические изоморфизмы: (X/Y )
Y для таких банаховых пространств X и Y , что Y вложено в X.
8.17. Доказать, что для нормального оператора T в гильбертовом про-
странстве и голоморфной функции f ? H(Sp(T )) оператор f (T ) нормален.
8.18. Убедиться, что непрерывный эндоморфизм гильбертова простран-
ства является оператором Рисса в том и только в том случае, если он пред-
ставляет собой сумму компактного и квазинильпотентного операторов (квази-
нильпотентность означает тривиальность спектрального радиуса).
8.19. Пусть A, B — два н?терова оператора в B(X, Y ). Если ind A = ind B,
е
то имеется жорданова дуга, соединяющая A и B в пространстве B(X, Y ).
Глава 9
Экскурс в общую топологию


9.1. Предтопологии и топологии
9.1.1. Определение. Пусть X — некоторое множество. Отоб-
ражение ? : X > P(P(X)) называют предтопологией на X, если
(1) x ? X ? ? (x) — фильтр в X;
(2) x ? X ? ? (x) ? ?l{x}.
Элементы ? (x) называют (пред )окрестностями x. Пару (X, ? )
(а часто и множество X) называют предтопологическим простран-
ством.
9.1.2. Определение. Пусть T (X) — совокупность всех пред-
топологий на X. Если ?1 , ?2 ? T (X), то говорят, что ?1 сильнее ?2
(и пишут ?1 ? ?2 ) при выполнении условия: x ? X ? ?1 (x) ? ?2 (x).
9.1.3. Множество T (X) с отношением «сильнее» представляет
собой полную решетку.
Если X = ?, то T (X) = {?} и доказывать ничего не надо.
Если же X = ?, то следует сослаться на 1.3.13.
9.1.4. Определение. Множество G в X называют открытым,
если оно является (пред)окрестностью каждой своей точки (симво-
лически: G ? Op(? ) ? (? x ? G)(G ? ? (x))). Множество F в X
называют замкнутым, если его дополнение открыто (символически:
F ? Cl(? ) ? X \ F ? Op(? )).
9.1.5. Объединение любого семейства и пересечение конечного
семейства открытых множеств суть множества открытые. Пересече-
9.1. Предтопологии и топологии 191

ние любого семейства и объединение конечного семейства замкнутых
множеств суть множества замкнутые.
9.1.6. Пусть (X, ? ) — предтопологическое пространство. Если
x ? X, то положим

U ? t(? )(x) ? (? V ? Op(? )) x ? V & U ? V.

Отображение t(? ) : x > t(? )(x) — предтопология на X.
9.1.7. Определение. Предтопологию ? на X называют топо-
логией, если ? = t(? ). Пару (X, ? ) (а часто и множество X) в этом
случае называют топологическим пространством. Множество всех
топологий на X обозначают символом T(X).
9.1.8. Примеры.
(1) Метрическая топология.
(2) Топология мультинормированного пространства.
(3) Пусть ?? := inf T (X). Ясно, что ?? (x) = {X} для
x ? X. Значит, Op(?? ) = {?, X} и, следовательно, ?? = t(?? ),
т. е. ?? — топология. Эту топологию называют тривиальной или
антидискретной.
(4) Пусть ? ? := sup T (X). Ясно, что ? ? (x) = ?l {x} для
x ? X. Значит, Op(? ? ) = 2X и, следовательно, ? ? = t(? ? ), т. е. ? ? —
топология. Эту топологию называют дискретной.
(5) Пусть Op — совокупность подмножеств в X, выдер-
живающая образование объединения любого и пересечения конечно-
го семейств. Тогда существует, и притом единственная, топология ?
на X такая, что Op(? ) = Op.
Положим ? (x) := ?l {V ? Op : x ? V } для x ? X (в случае
X = ? доказывать нечего). Отметим, что ? (x) = ? в силу того, что
пересечение пустого семейства совпадает с X (ср.: inf ? = +?). Из
построения выводим, что t(? ) = ? и при этом Op ? Op(? ). Если же
G ? Op(? ), то G = ?{V : V ? Op, V ? G} и, стало быть, G ? Op по
условию. Утверждение об единственности не вызывает сомнений.
9.1.9. Пусть отображение t : T (X) > T (X) определено прави-
лом t : ? > t(? ). Тогда
(1) im t = T(X), т. е. ? ? T (X) ? t(? ) ? T(X);
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
192

(2) ?1 ? ?2 ? t(?1 ) ? t(?2 ) (?1 , ?2 ? T (X));
(3) t ? t = t;
(4) ? ? T (X) ? t(? ) ? ? ;
(5) Op(? ) = Op(t(? )) (? ? T (X)).
Включение Op(? ) ? Op(t(? )) справедливо потому, что быть
открытым множеством относительно ? легче. Обратное включение
Op(? ) ? Op(t(? )) следует из определения t(? ). Равенство Op(? ) =
Op(t(? )) делает все очевидным.
9.1.10. Предтопология ? является топологией в X в том и толь-
ко в том случае, если для x ? X выполнено
(? U ? ? (x))(? V ? ? (x) & V ? U ) (? y)(y ? V ? V ? ? (y)).
Вытекает из 9.1.9 (5).
9.1.11. Пусть ?1 , ?2 ? T(X). Следующие утверждения эквива-
лентны:
(1) ?1 ? ?2 ;
(2) Op(?1 ) ? Op(?2 );
(3) Cl(?1 ) ? Cl(?2 ).
9.1.12. Замечание. Как видно из 9.1.8 (5) и 9.1.11, тополо-
гия пространства однозначно определена совокупностью всех своих
открытых множеств. Поэтому множество Op(? ) также называют
топологией пространства X. В частности, совокупность открытых
множеств предтопологического пространства (X, ? ) определяет в X
структуру топологического пространства (X, t(? )) с тем же запасом
открытых множеств. В этой связи топологию t(? ) обычно называют
топологией, ассоциированной с предтопологией ? .
9.1.13. Теорема. Множество T(X) топологий на X с отноше-
нием «сильнее» представляет собой полную решетку. При этом для
любого множества E в T(X) выполнено
supT(X) E = supT (X) E .
Имеем
t(supT (X) E ) ? supT (X) t(E ) ? supT (X) E ? t(supT (X) E ).
Таким образом, ? := supT (X) E входит в T(X). Ясно, что ? ? E .
Помимо этого, если ?0 ? E и ?0 ? T(X), то ?0 ? ? и, стало быть,
? = supT(X) E . Осталось сослаться на 1.2.14.
9.2. Непрерывность 193

9.1.14. Замечание. Для точной нижней границы явная фор-
мула сложнее:
inf T(X) E = t(inf T (X) E ).
В то же время, если в соответствии с 9.1.12 топологии заданы ука-
занием систем открытых множеств, то ситуация упрощается:

U ? Op(inf T(X) E ) ? (? ? ? E ) U ? Op(? ).

Иными словами,

Op(inf T(X) E ) = Op(? ).

<< Пред. стр.

стр. 21
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>