<< Пред. стр.

стр. 22
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

? ?E

В этой связи часто говорят и о пересечении топологий (а не только
об их точной нижней границе).

9.2. Непрерывность
9.2.1. Замечание. Наличие топологии в пространстве, очевид-
но, позволяет говорить о таких вещах, как внутренность и замыка-
ние множеств, сходимость фильтров и обобщенных последовательно-
стей и т. п. Этим обстоятельством мы уже пользовались при знаком-
стве с мультинормированными пространствами. Отметим полноты
ради, что в топологическом пространстве справедливы следующие
аналоги 4.1.19 и 4.2.1.
9.2.2. Теорема Биркгофа. Для непустого множества и точки
топологического пространства эквивалентны утверждения:
(1) данная точка есть точка прикосновения множества;
(2) существует некоторый фильтр, содержащий множе-
ство и сходящийся к данной точке;
(3) существует обобщенная последовательность элемен-
тов множества, сходящаяся к данной точке.
9.2.3. Для отображения f одного топологического простран-
ства в другое эквивалентны утверждения:
(1) прообраз открытого множества открыт;
(2) прообраз замкнутого множества замкнут;
(3) образ фильтра окрестностей произвольной точки x
тоньше чем фильтр окрестностей точки f (x);
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
194

(4) для произвольной точки x каждый фильтр, сходя-
щийся к x, отображение f переводит в фильтр, схо-
дящийся к f (x);
(5) обобщенные последовательности, сходящиеся к про-
извольной точке x, отображение f переводит в обоб-
щенные последовательности, сходящиеся к f (x).
9.2.4. Определение. Отображение, действующее из одного то-
пологического пространства в другое, удовлетворяющее одному (а
значит, и любому) из эквивалентных условий 9.2.3 (1)–9.2.3 (5), на-
зывают непрерывным.
9.2.5. Замечание. Если f : (X, ?X ) > (Y, ?Y ) и 9.2.3 (5) вы-
полнено для фиксированной точки x ? X, то иногда говорят, что
f непрерывно в точке x (ср. 4.2.2). Нужно видеть, что отличие
понятия непрерывности в точке от общего понятия непрерывности
условно. Именно, если положить ?x (x) := ?X (x) и ?x (x) := ?l {x} для
x ? X, x = x, то непрерывность f в точке x (относительно топологии
?X в X) равносильна непрерывности f : (X, ?x ) > (Y, ?Y ) (в каждой
точке пространства X с топологией ?x ).
9.2.6. Пусть ?1 , ?2 ? T(X). Тогда ?1 ? ?2 в том и только в том
случае, если IX : (X, ?1 ) > (X, ?2 ) непрерывно.
9.2.7. Пусть f : (X, ? ) > (Y, ?) — непрерывное отображение
и ?1 ? T(X) и ?1 ? T(Y ) таковы, что ?1 ? ? и ? ? ?1 . Тогда
f : (X, ?1 ) > (Y, ?1 ) непрерывно.
Имеем коммутативную диаграмму
f
?>
(X, ? ) (Y, ?)
IX ^ v IY
f
?>
(X, ?1 ) (Y, ?1 )
Осталось отметить, что суперпозиция непрерывных отображений не-
прерывна.
9.2.8. Теорема о прообразе топологии. Пусть f : X > (Y, ?).
Положим

T0 := {? ? T(X) : f : (X, ? ) > (Y, ?) непрерывно}.

Тогда топология f ?1 (?) := inf T0 входит в T0 .
9.2. Непрерывность 195

Из 9.2.3 (1) вытекает

? ? T0 ? (x ? X ? f ?1 (?(f (x))) ? ? (x)).

Пусть ? (x) := f ?1 (?(f (x))). Несомненно, что t(? ) = ? . Помимо
этого, f (? (x)) = f (f ?1 (?(f (x)))) ? ?(f (x)), т. е. ? ? T0 по 9.2.3 (3).
Таким образом, выполнено: f ?1 (?) = ? .
9.2.9. Определение. Топологию f ?1 (?) называют прообразом
топологии ? при отображении f .
9.2.10. Замечание. Теорему 9.2.8 часто выражают словами:
«прообраз топологии при данном отображении — это слабейшая то-
пология в области определения, в которой отображение непрерыв-
но». При этом, как видно, например, из 9.1.14, открытые множе-
ства в прообразе топологии — это прообразы открытых множеств.
В частности, (x? > x в f ?1 (?)) ? (f (x? ) > f (x) в ?); аналогично
(F > x в f ?1 (?)) ? (f (F ) > f (x) в ?) для фильтра F .
9.2.11. Теорема об образе топологии. Пусть f : (X, ? ) > Y .
Положим 0 := {? ? T(Y ) : f : (X, ? ) > (Y, ?) непрерывно}. Тогда
топология f (? ) := sup 0 входит в 0 .
В силу 9.1.13 для y ? Y выполнено

= sup{?(y) : ? ? 0 }.
f (? )(y) = (supT(Y ) 0 )(y) = (supT (Y ) 0 )(y)

На основании 9.2.3 (3)

?? ? (x ? X ? f (? (x)) ? ?(f (x))).
0

Сопоставляя приведенные формулы, видим, что f (? ) ? 0.

9.2.12. Определение. Топологию f (? ) называют образом то-
пологии ? при отображении f .
9.2.13. Замечание. Теорему 9.2.11 часто выражают словами:
«образ топологии при данном отображении — это сильнейшая топо-
логия в области прибытия, в которой отображение непрерывно».
9.2.14. Теорема. Пусть (f? : X > (Y? , ?? ))?? — семейство
?1
отображений. Пусть, далее, ? := sup?? f? (?? ). Тогда ? — сла-
бейшая (= наименьшая) топология в X, в которой непрерывны все
отображения f? (? ? ).
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
196

Привлекая 9.2.8, имеем
?1
(f? : (X, ? ) > (Y? , ?? ) непрерывно) ? ? ? f? (?? ).
9.2.15. Теорема. Пусть (f? : (X? , ?? ) > Y )?? — семейство
отображений. Пусть, далее, ? := inf ?? f? (?? ). Тогда ? — силь-
нейшая (= наибольшая) топология в Y , в которой непрерывны все
отображения f? (? ? ).
Апеллируя к 9.2.11, заключаем:
(f? : (X? , ?? ) > (Y, ?) непрерывно) ? ? ? f? (?? ).
9.2.16. Замечание. Утверждения 9.2.14 и 9.2.15 часто назы-
вают теоремами о задании топологии требованием непрерывности
семейства отображений.
9.2.17. Примеры.
(1) Пусть (X, ? ) — топологическое пространство и X0
— подмножество в X. Обозначим ? : X0 > X вложение X0 в X.
Пусть ?0 := ??1 (? ). Топологию ?0 называют индуцированной (? в X0 ),
а пространство (X0 , ?0 ) — подпространством (X, ? ).
(2) Пусть (X? , ?? )?? — это семейство топологических
пространств. Пусть, далее, X := ?? X? — произведение семейства
множеств (X? )?? . Положим ? := sup?? Pr?1 (?? ), где Pr? : X >
?
X? — координатный проектор, Pr? x = x? (? ? ). Топологию ?
называют топологией произведения, или произведением топологий
(?? )?? , или тихоновской топологией. Пространство (X, ? ) называ-
ют тихоновским произведением рассматриваемых топологических
пространств. В частности, если X? := [0, 1] для всех ? ? , то
X := [0, 1] (с тихоновской топологией) называют тихоновским ку-
бом. При := N говорят о гильбертовом кирпиче.

9.3. Типы топологических пространств
9.3.1. Для топологического пространства эквивалентны следу-
ющие утверждения:
(1) одноточечные множества замкнуты;
(2) пересечение всех окрестностей каждой точки прост-
ранства состоит только из этой точки;
(3) у каждой из любых двух точек пространства есть
окрестность, не содержащая другой точки.
9.3. Типы топологических пространств 197

Для доказательства достаточно заметить, что

y ? cl{x} ? (? V ? ? (y)) x ? V ? x ? ?{V : V ? ? (y)},

где x, y — точки топологического пространства (X, ? ).
9.3.2. Определение. Топологическое пространство, удовлетво-
ряющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных условий 9.3.1
(1)–9.3.1 (3), называют отделимым или T1 -пространством. Тополо-
гию T1 -пространства называют отделимой (реже — T1 -топологией,
еще реже — достижимой топологией).
9.3.3. Замечание. Часто образно говорят: «T1 -пространство
— это пространство с замкнутыми точками».
9.3.4. Для топологического пространства эквивалентны следу-
ющие утверждения:
(1) каждый фильтр имеет не более одного предела;
(2) пересечение всех замкнутых окрестностей произволь-
ной точки пространства состоит только из этой точ-
ки;
(3) у любых двух точек пространства имеются непересе-
кающиеся окрестности.
(1) ? (2): Если y ? ?U ?? (x) cl U , то для всякого V ? ? (y) будет,
что U ? V = ?, как только U ? ? (x). Таким образом, есть точная
верхняя граница F := ? (x) ? ? (y). Несомненно, F > x и F > y. По
условию имеем x = y.
(2) ? (3): Пусть x, y ? X, x = y (если таких точек нет, то
либо X = ?, либо X состоит из одной точки и доказывать ничего не
надо). Найдется окрестность U ? ? (x) такая, что U = cl U и y = U .
Значит, дополнение V множества U до X открыто. Помимо этого,
U ? V = ?.
(3) ? (1): Пусть F — фильтр в X. Если F > x и F > y,
то F ? ? (x) и F ? ? (y). Стало быть, для U ? ? (x) и V ? ? (y)
выполнено U ? V = ?. Последнее означает, что x = y.
9.3.5. Определение. Топологическое пространство, удовлетво-
ряющее одному (а потому и любому) из эквивалентных условий 9.3.4
(1)–9.3.4 (3), называют хаусдорфовым или T2 -пространством. Есте-
ственный смысл вкладывают в термин «хаусдорфова топология».
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
198

9.3.6. Замечание. Часто образно говорят: «T2 -пространство
— это пространство, в котором предел единствен».
9.3.7. Определение. Пусть U , V — множества в топологиче-
ском пространстве. Говорят, что V — окрестность U , если int V ?
U.
9.3.8. Для топологического пространства эквивалентны следу-
ющие утверждения:
(1) пересечение всех замкнутых окрестностей произволь-
ного замкнутого множества состоит только из эле-
ментов этого множества;
(2) фильтр окрестностей произвольной точки имеет ба-
зис, состоящий из замкнутых множеств;
(3) у любой точки и у любого замкнутого множества, не
содержащего этой точки, имеются непересекающиеся
окрестности.
(1) ? (2): Если x ? X и U ? ? (x), то V := X \ int U замкнуто
и x ? V . По условию найдется множество F ? Cl(? ), для которого
/
x ? F и int F ? V . Положим G := X \ F . Ясно, что G ? ? (x). При
/
этом G ? X \ int F = cl(X \ int F ) ? X \ V ? int U ? U . Следователь-
но, cl G ? U .
(2) ? (3): Если x ? X и F ? Cl(? ), причем x ? F , то X \F ? ? (x).
/
Стало быть, имеется окрестность U = cl U ? ? (x), содержащаяся
в X \ F . Таким образом, X \ U — окрестность F , не пересекающаяся
с U.
(3) ? (1): Если F ? Cl(? ) и int G ? F ? y ? cl G, то для каждого
U ? ? (y) и всякой окрестности G множества F выполнено U ?G = ?.
Последнее означает, что y ? F .
9.3.9. Определение. Топологическое пространство, удовлетво-
ряющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных условий
9.3.8 (1)–9.3.8 (3), называют T3 -пространством. Отделимое T3 -про-
странство называют регулярным.
9.3.10. Малая лемма Урысона. Для топологического про-
странства эквивалентны утверждения:
(1) фильтр окрестностей каждого непустого замкнуто-
го множества имеет базис, состоящий из замкнутых
множеств;
9.3. Типы топологических пространств 199

(2) у произвольных двух непересекающихся замкнутых
множеств есть непересекающиеся окрестности.
(1) ? (2): Пусть F1 , F2 — замкнутые множества простран-
ства X, причем F1 ? F2 = ?. Пусть G := X \ F1 . Очевидно, G откры-
то и G ? F2 . Если F2 = ?, то доказывать ничего не надо. Значит,
можно считать, что F2 = ?. Тогда найдется замкнутое множество
V2 такое, что G ? V2 ? int V2 ? F2 . Положим V1 := X \ V2 . Ясно, что
V1 открыто, V1 ? V2 = ?. При этом V1 ? X \ G = X \ (X \ F1 ) = F1 .
(2) ? (1): Пусть F = cl F , G = int G и G ? F . Положим F1 := X \
G. Тогда F1 = cl F1 и, стало быть, имеются открытые множества U
и U1 , для которых U ? U1 = ?, причем F ? U и F1 ? U1 . Наконец,
cl U ? X \ U1 ? X \ F1 = G.
9.3.11. Определение. Топологическое пространство, удовле-
творяющее одному (а тогда и другому) из эквивалентных условий
9.3.10 (1), 9.3.10 (2), называют T4 -пространством. Отделимое T4 -
пространство называют нормальным.
9.3.12. Лемма о непрерывности функции, заданной ле-
беговыми множествами. Пусть множество T плотно в R и t > Ut
(t ? T ) — семейство подмножеств топологического пространства X.
Существует, и притом единственная, непрерывная функция f : X >
R такая, что
{f < t} ? Ut ? {f ? t} (t ? T )
в том и только в том случае, если
t, s ? T, t < s ? cl Ut ? int Us .
?: При t < s ввиду замкнутости {f ? t} и открытости {f < s}
справедливы включения
cl Ut ? {f ? t} ? {f < s} ? int Us .
?: Так как Ut ? cl Ut ? int Us ? Us при t < s, то семейство
t > Ut (t ? T ) возрастает. Поэтому существование f следует из 3.8.2
(а единственность — из 3.8.4). Рассмотрим семейства t > Vt := cl Ut и
t > Wt := int Ut . Эти семейства возрастают. Значит, вновь применяя
3.8.2, найдем функции g, h : X > R такие, что для всех t ? T
выполнено
{g < t} ? Vt ? {g ? t}, {h < t} ? Wt ? {h ? t}.
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
200

Если t, s ? T, t < s, то ввиду 3.8.3

Wt = int Ut ? Ut ? Us ? f ? h;
Vt = cl Ut ? int Us = Ws ? h ? g;
Ut ? Us ? cl Us = Vs ? g ? f.

Окончательно f = g = h. Учитывая 3.8.4 и 9.1.5, для t ? R имеем

{f < t} = {h < t} = ?{Ws : s < t, s ? T } ? Op(?X );
{f ? t} = {g ? t} = ?{Vs : t < s, s ? T } ? Cl(?X ).

Указанные вхождения очевидно обеспечивают непрерывность f .
9.3.13. Большая лемма Урысона. Пусть X — некоторое
T4 -пространство. Пусть, далее, F — замкнутое множество в X и
G — его окрестность. Тогда существует непрерывная функция f :
X > [0, 1] такая, что f (x) = 0 при x ? F и f (x) = 1 при x ? G.
/
Положим Ut := ? при t < 0 и Ut := X при t > 1. Следует
определить Ut для точек из множества T «двоично-рациональных
точек отрезка [0, 1]», т. е. T := ?n?N Tn , где Tn := {k2?n+1 : k :=
0, 1, . . . , 2n?1 }, так, чтобы для семейства t > Ut (t ? T := T ? (R \
[0, 1])) были выполнены условия 9.3.12. Соответствующее построе-
ние проведем по индукции.
Если t ? T1 , т. е. t ? {0, 1}, то полагаем U0 := F , U1 := G.
Допустим теперь, что для t ? Tn при n ? 1 множество Ut построено,
причем cl Ut ? int Us , как только t, s ? Tn и t < s. Возьмем t ? Tn+1
и найдем ближайшие к t точки в Tn , т. е.

tl := sup{s ? Tn : s ? t};
tr := inf{s ? Tn : t ? s}.

Если t = tl или t = tr , то Ut уже есть. Если же t = tl и t = tr , то
tl < t < tr и по предположению cl Utl ? int Utr . В силу 9.3.11 имеется
замкнутое множество Ut такое, что

cl Utl ? int Ut ? Ut = cl Ut ? int Utr .

Осталось показать, что возникающее семейство удовлетворяет тре-
буемым условиям.
9.4. Компактность 201

Итак, пусть t, s ? Tn+1 , причем t < s. Если tr = sl , то при s > sl
по построению
cl Ut ? cl Utr = cl Usl ? int Us .
Аналогично при t < tr = sl выполнено

cl Ut ? int Utr = inf Usl ? int Us .

Если же tr < sl , то, учитывая сделанное допущение, выводим

cl Ut ? cl Utr ? int Usl ? int Us ,

что и нужно.
9.3.14. Теорема Урысона. Топологическое пространство X
является T4 -пространством в том и только в том случае, если каковы
бы ни были непересекающиеся замкнутые множества F1 , F2 в X,
найдется непрерывная функция f : X > [0, 1] такая, что f (x) = 0
для x ? F1 и f (x) = 1 для x ? F2 .
?: Следует применить 9.3.13 при F := F1 и G := X \ F2 .
?: Если F1 ?F2 = ? и F1 , F2 замкнуты, то множества G1 := {f <
1/2} и G2 := {f > 1/2} для соответствующей функции f открыты и
не пересекаются; G1 ? F1 , G2 ? F2 .
9.3.15. Определение. Топологическое пространство X назы-
вают T3 1 -пространством, если для произвольной точки x ? X и
2
замкнутого множества F , не содержащего x, имеется непрерывная
функция f : X > [0, 1] такая, что f (x) = 1 и y ? F ? f (y) = 0.
Отделимое T3 1 -пространство называют тихоновским или вполне ре-
2
гулярным.
9.3.16. Нормальное пространство является тихоновским.
Следствие 9.3.1 и 9.3.14.

9.4. Компактность
9.4.1. Пусть B — базис фильтра в топологическом простран-
стве и cl B := ?{cl B : B ? B} — множество его точек прикоснове-
ния. Тогда
(1) cl B = cl ?l B;
(2) B > x ? x ? cl B;
(3) (B — ультрафильтр, x ? cl B) ? B > x.
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
202

Следует проверить только (3), так как справедливость (1)
и (2) ясна. Для U ? ? (x) и B ? B выполнено U ? B = ?. Иначе
говоря, есть фильтр F := ? (x)?B. Ясно, что F > x. Помимо этого,
F = B, ибо B — ультрафильтр.
9.4.2. Определение. Множество принято называть компакт-
ным, если из любого его открытого покрытия можно выделить ко-
нечное подпокрытие (ср. 4.4.1).
9.4.3. Теорема. Пусть X — топологическое пространство и C
— множество в X. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) множество C компактно;
(2) если базис фильтра B не имеет в C точек прикосно-
вения, то найдется B ? B, для которого B ? C = ?;
(3) каждый базис фильтра, содержащий C, имеет в C
точку прикосновения;
(4) каждый ультрафильтр, содержащий C, имеет в C
предел.
(1) ? (2): Раз cl B ? C = ?, то C ? X \ cl B. Итак,

C ? X \ ?{cl B : B ? B} = ?{X \ cl B : B ? B}.

Значит, можно выделить конечное множество B0 в B, для которого

C ? ?{X \ cl B0 : B0 ? B0 } = X \ ?{cl B0 : B0 ? B0 }.

Пусть B ? B таково, что B ? ?{B0 : B0 ? B0 } ? ?{cl B0 : B0 ?
B0 }. Тогда

C ? B ? C ? (?{cl B0 : B0 ? B0 }) = ?.

(2) ? (3): Если C = ?, то доказывать ничего не надо. Если же
C = ?, то для B ? B по условию B ? C = ?, ибо C ? B. Таким
образом, cl B ? C = ?.
(3) ? (4): Следует привлечь 9.4.1.
(4) ? (1): Можно считать, что C = ? (иначе нечего доказывать).
Допустим, что C некомпактно. Тогда найдется множество E
открытых множеств такое, что C ? ?{G : G ? E }, и в то же время
9.4. Компактность 203

для любого конечного подмножества E0 в E не верно, что C ? ?{G :
G ? E0 }. Положим

B := X \ G : E0 — конечное подмножество E .
G?E0

Ясно, что B — базис фильтра. Помимо этого,
cl B = ?{cl B : B ? B} = ?{X \ G : G ? E } =
= X \ ?{G : G ? E } ? X \ C.
Пусть теперь F — ультрафильтр, содержащий B (его существование
гарантировано 1.3.10). Так как по допущению каждое множество из
B содержит некоторые точки из C, можно обеспечить, что C ? F .
Тогда F > x для некоторого x ? C и, стало быть, по 9.4.1 (2),
cl F ?C = ?. В то же время cl F ? cl B. Получили противоречие.
9.4.4. Замечание. Эквивалентность (1) ? (4) в теореме 9.4.3
называют критерием Бурбаки и выражают при X = C словами:
«пространство компактно в том и только в том случае, если каждый
ультрафильтр в нем сходится» (ср. 4.4.7).
Ультрасетью называют сеть, фильтр хвостов которой является

<< Пред. стр.

стр. 22
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>