<< Пред. стр.

стр. 23
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

ультрафильтром. Критерий Бурбаки можно высказать так: «ком-
пактность равносильна сходимости ультрасетей». На языке сетей
можно получить и иные полезные признаки компактности. Напри-
мер, «пространство компактно в том и только в том случае, если
любая сеть его имеет сходящуюся подсеть».
9.4.5. Теорема Вейерштрасса. Образ компактного множе-
ства при непрерывном отображении компактен (ср. 4.4.5).
9.4.6. Пусть X0 — подпространство топологического простран-
ства X и C — подмножество X0 . Тогда C компактно в X0 в том
и только в том случае, если C компактно в X.
?: Следует из 9.4.5 и 9.2.17 (1).
?: Пусть B — базис фильтра в X0 . Пусть, далее, V := clX0 B —
множество точек прикосновения B, найденное в X0 . Допустим, что
V ? C = ?. Так как B — это базис фильтра и в X, то имеет смысл
говорить о множестве точек прикосновения W := clX B, найденном
в X. Ясно, что V = W ? X0 и, значит, W ? C = ?. Из-за компакт-
ности C в X на основании 9.4.3 можно найти B ? B, для которого
B ? C = ?. Вновь привлекая 9.4.3, видим, что C компактно в X0 .
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
204

9.4.7. Замечание. Предложение 9.4.6 часто выражают слова-
ми: «компактность — это абсолютное понятие», т. е. свойство мно-
жества быть компактным зависит только от индуцированной в него
топологии, а не от объемлющего пространства. В этой связи обыч-
но ограничиваются рассмотрением компактных пространств, т. е.
множеств, «компактных в себе».
9.4.8. Теорема Тихонова. Тихоновское произведение компа-
ктных пространств компактно.
Пусть X := ?? X? — произведение рассматриваемого семей-
ства. Если хотя бы одно из X? пусто, то X = ? и доказывать нечего.
Пусть X = ? и F — ультрафильтр в X. По 1.3.12 при каждом ? ?
для координатного проектора Pr? : X > X? выполнено, что Pr? (F )
— ультрафильтр в X? . Значит, в силу 9.4.3 найдется x? ? X? , для
которого Pr? (F ) > x? . Пусть x : ? > x? . Понятно, что F > x
(ср. 9.2.10). Еще раз апеллируя к 9.4.3, выводим, что X компакт-
но.
9.4.9. Замкнутое подмножества компактного пространства ком-
пактно.
Пусть X компактно и C ? Cl(X). Пусть, далее, F — ультра-
фильтр в X и C ? F . По теореме 9.4.3 в X имеется предел: F > x.
По теореме Биркгофа 9.2.2, x ? cl C = C. Вновь привлекая 9.4.3,
заключаем, что C компактно.
9.4.10. Компактное подмножество хаусдорфова топологическо-
го пространства замкнуто.
Пусть C компактно в хаусдорфовом X. Если C = ?, то до-
казывать нечего. Пусть C = ? и x ? cl C. В силу 9.2.2 найдется
фильтр F0 такой, что C ? F0 и F0 > x. Пусть F — ультрафильтр,
содержащий F0 . Тогда F > x и C ? F . На основании 9.4.3 у F
есть предел в C. Но по 9.3.4 этот предел единствен. Значит, x ? C.
9.4.11. Пусть f : (X, ? ) > (Y, ?) — непрерывное взаимно од-
нозначное отображение, причем f (X) = Y . Если ? — компактная
топология, а ? — хаусдорфова топология, то f — гомеоморфизм.
Следует установить, что f ?1 непрерывно. Для этого необхо-
димо убедиться, что F ? Cl(? ) ? f (F ) ? Cl(?). Возьмем F ? Cl(? ).
Тогда F компактно в силу 9.4.9. Применяя последовательно 9.4.5
и 9.4.10, видим, что f (F ) замкнуто.
9.4. Компактность 205

9.4.12. Пусть ?1 и ?2 — две топологии на одном множестве X.
Если пространство (X, ?1 ) компактно, а (X, ?2 ) хаусдорфово и ?1 ?
?2 , то ?1 = ?2 .
9.4.13. Замечание. Утверждение 9.4.12 часто выражают сло-
вами «компактная топология минимальна».
9.4.14. Теорема. Хаусдорфово компактное пространство нор-
мально.
Пусть X — рассматриваемое пространство и B — какой-нибудь
базис фильтра в X. Пусть, далее, U — окрестность cl B. Ясно, что
X \ int U компактно (см. 9.4.9), причем cl B ? (X \ int U ) = ?. По тео-
реме 9.4.3 найдется B ? B такое, что B ?(X \int U ) = ?, т. е. B ? U .
Полагая, если нужно, B := {cl B : B ? B}, можно утверждать, что
cl B ? U .
Пусть для начала x ? X и B := ? (x). В силу 9.3.4, cl B =
{x} и, значит, фильтр ? (x) имеет базис, состоящий из замкнутых
множеств. Стало быть, X регулярно.
Пусть теперь F — непустое замкнутое множество в X. В каче-
стве B возьмем фильтр окрестностей F . По 9.3.8, cl B = F , и по уже
установленному B имеет базис, состоящий из замкнутых множеств.
В соответствии с 9.3.9, X — нормальное пространство.
9.4.15. Следствие. С точностью до гомеоморфизма хаусдор-
фовы компактные пространства суть замкнутые подмножества ти-
хоновских кубов.
То, что замкнутое подмножество тихоновского куба компакт-
но, следует из 9.4.8 и 9.4.9. Хаусдорфовость куба, а потому и его
подпространств бесспорна.
Пусть X — некоторое компактное хаусдорфово пространство.
Пусть еще Q — совокупность непрерывных функций из X в [0, 1].
Определим отображение : X > [0, 1]Q правилом (x)(f ) := f (x),
где x ? X и f ? Q. Из 9.4.14 и 9.3.14 выводим, что взаимно
однозначно отображает X на (X). Помимо этого, непрерывно.
Осталось применить 9.4.11.
9.4.16. Замечание. Следствие 9.4.15 представляет собой часть
более общего утверждения. Именно, тихоновские пространства суть
(с точностью до гомеоморфизма) подпространства тихоновских ку-
бов.
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
206

9.4.17. Замечание. Хаусдорфовы компактные пространства,
как правило, называют более коротко — компактами (ср. 4.5 и 4.6).
9.4.18. Лемма Дьедонне. Пусть F — это замкнутое подмно-
жество, а G1 , . . . , Gn — открытые подмножества нормального топо-
логического пространства, причем F ? G1 ? . . . ? Gn . Найдутся за-
мкнутые множества F1 , . . . , Fn такие, что F = F1 ? . . . ? Fn и Fk ? Gk
(k := 1, . . . , n).
Достаточно рассмотреть случай n := 2. При k := 1, 2 множе-
ство Uk := F \ Gk замкнуто и U1 ? U2 = ?. С учетом 9.3.10 имеются
открытые V1 и V2 , для которых U1 ? V1 , U2 ? V2 и V1 ?V2 = ?. Поло-
жим Fk := F \Vk . Ясно, что Fk замкнуто и Fk ? F \Uk = F \(F \Gk ) ?
Gk для k := 1, 2. При этом F1 ? F2 = F \ (V1 ? V2 ) = F .
9.4.19. Замечание. По 9.3.14 заключаем, что в условиях 9.4.18
для рассматриваемого пространства X найдутся непрерывные функ-
n
ции h1 , . . . , hn : X > [0, 1] такие, что hk |Gk = 0 и k=1 hk (x) = 1 для
точек x из некоторой окрестности F . (Как обычно, Gk := X \ Gk .)
9.4.20. Определение. Топологию, в которой каждая точка об-
ладает компактной окрестностью, называют локально компактной.
Локально компактным пространством называют множество, снаб-
женное локально компактной хаусдорфовой топологией.
9.4.21. Топологическое пространство локально компактно в том
и только в том случае, если оно гомеоморфно проколотому компакту
(= компакту с выколотой точкой), т. е. дополнению одноточечного
подмножества компакта.
?: С учетом теоремы Вейерштрасса 9.4.5 достаточно заме-
тить, что каждая точка проколотого компакта обладает замкнутой
(в силу регулярности компакта) окрестностью. Осталось привлечь
утверждения 9.4.9 и 9.4.6.
?: Поместим исходное пространство X в X · := X ? {?}, при-
соединив к X взятую со стороны точку ?. Базис окрестностей ?
составим из дополнений в X · компактных подмножеств в X. Окрест-
ностями точки из X в X · объявим надмножества ее окрестностей
в X. Если A — ультрафильтр в X · и K — компакт в X, то A сходит-
ся к точке из K, как только K ? A. Если же в A лежит дополнение
любого компакта K ? X, то A сходится к ?.
9.5. Равномерные и мультиметрические пространства 207

9.4.22. Замечание. Если локально компактное пространство
X не компактно, то пространство X · , фигурирующее в 9.4.20, назы-
вают одноточечной или александровской компактификацией X.

9.5. Равномерные и мультиметрические
пространства
9.5.1. Определение. Пусть X — непустое множество и UX —
фильтр в X 2 . Фильтр UX называют равномерностью в X, если
(1) UX ? ?l {IX };
(2) U ? UX ? U ?1 ? UX ;
(3) (? U ? UX )(? V ? UX ) V ? V ? U .
Равномерностью пустого множества X называют UX := {?}. Пару
(X, UX ) (а часто и множество X) называют равномерным простран-
ством.
9.5.2. Для равномерного пространства (X, UX ) положим

x ? X ? ? (x) := {U (x) : U ? UX }.

Отображение ? : x > ? (x) — топология на X.
То, что ? — это предтопология, ясно. Если W ? ? (x), то
W = U (x) для некоторого U ? UX . Выберем V ? UX так, чтобы
V ? V ? U . Если y ? V (x), то V (y) ? V (V (x)) = V ? V (x) ? U (x)
? W . Иными словами, множество W является окрестностью y для
всякого y ? V (x). Следовательно, множество V (x) лежит во внут-
ренности int W . Значит, int W — окрестность x. Осталось привлечь
9.1.6.
9.5.3. Определение. Топологию ? , фигурирующую в 9.5.2, на-
зывают топологией равномерного пространства (X, UX ) или равно-
мерной топологией и обозначают ? (UX ), ?X и т. п.
9.5.4. Определение. Топологическое пространство (X, ? ) на-
зывают равномеризуемым, если существует равномерность U в X
такая, что ? совпадает с равномерной топологией ? (U ).
9.5.5. Примеры.
(1) Метрические пространства (со своими топологиями)
равномеризуемы (своими равномерностями).
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
208

(2) Мультинормированные пространства (со своими то-
пологиями) равномеризуемы (своими равномерностями).
(3) Пусть f : X > (Y, UY ) и f ?1 (UY ) := f ??1 (UY ), где,
как обычно, f ? (x1 , x2 ) := (f (x1 ), f (x2 )) для (x1 , x2 ) ? X 2 . Ясно,
что f ?1 (UY ) — равномерность в X. При этом

? (f ?1 (UY )) = f ?1 (? (UY )).

Равномерность f ?1 (UY ) называют прообразом равномерности UY
при отображении f . Таким образом, прообраз равномерной топо-
логии равномеризуем.
(4) Пусть (X? , U? )?? — это некоторое семейство рав-
номерных пространств. Пусть, далее, X := ?? X? — произведе-
ние этого семейства. Положим UX := sup?? Pr?1 (U? ). Равномер-
?
ность UX называют тихоновской. Нет сомнений, что равномер-
ная топология ? (UX ) — это тихоновская топология произведения
(X? , ? (U? ))?? .
(5) Хаусдорфово компактное пространство равномеризу-
емо, и притом единственным образом.
В силу 9.4.15 такое пространство X можно рассматривать как
подпространство тихоновского куба. Из 9.5.5 (3) и 9.5.5 (4) следу-
ет равномеризуемость X. Поскольку, как видно, каждое окружение
диагонали в равномерном пространстве содержит замкнутое окру-
жение, то из компактности множества IX вытекает, что всякая его
окрестность входит в UX . С другой стороны, любое окружение все-
гда окрестность диагонали.
(6) Пусть X, Y — непустые множества, UY — равномер-
ность в Y и B — фильтрованное по возрастанию подмножество 2X .
Для B ? B и ? ? UY положим

UB,? := {(f, g) ? Y X ? Y X : g ? IB ? f ?1 ? ?}.

Тогда U := ?l {UB,? : B ? B, ? ? UY } — равномерность в Y X , име-
ющая неизящное (но точное) название: «равномерность равномер-
ной сходимости на множествах из B». Такова, например, равно-
мерность мультинормы Аренса (см. 8.3.8). В случае, если B есть
совокупность конечных подмножеств X, то U совпадает с тихонов-
ской равномерностью в Y X . Эту равномерность в данной ситуации
9.5. Равномерные и мультиметрические пространства 209

называют слабой, а соответствующую топологию — топологией по-
точечной сходимости (реже — простой сходимости). Если же B
состоит из единственного элемента — из {X}, то равномерность U
называют сильной, а соответствующую топологию ? (U ) в Y X — то-
пологией равномерной сходимости.
9.5.6. Замечание. Ясно, что в равномерных (и равномеризуе-
мых) пространствах имеют смысл такие понятия, как равномерная
непрерывность, малость данного порядка, полнота и т. п. В этих
пространствах, как видно, сохранены аналоги 4.2.4–4.2.9, 4.5.8, 4.5.9,
4.6.1–4.6.7. Полезными упражнениями являются осмысливание воз-
можности пополнения равномерного пространства, доказательство
критерия Хаусдорфа, анализ доказательства теоремы Асколи — Ар-
цела и т. п.
9.5.7. Определение. Пусть X — множество, R· := {x ? R· :
+
x ? 0}. Отображение d : X 2 > R+ называют полуметрикой или
отклонением на X, если
(1) d(x, x) = 0 (x ? X);
(2) d(x, y) = d(y, x) (x, y ? X);
(3) d(x, y) ? d(x, z) + d(z, y) (x, y, z ? X).
Пару (X, d) называют полуметрическим пространством.
9.5.8. Для полуметрического пространства (X, d) положим

Ud := ?l {{d ? ?} : ? > 0}.

Тогда Ud — равномерность.
9.5.9. Определение. Пусть M — (непустое) множество полу-
метрик на X. Тогда пару (X, M) называют мультиметрическим
пространством, а множество M — мультиметрикой. Равномер-
ность мультиметрического пространства определяют соотноше-
нием
UM := sup{Ud : d ? M}.
9.5.10. Определение. Равномерное пространство принято на-
зывать мультиметризуемым, если его равномерность совпадает с
равномерностью некоторого мультиметрического пространства. По
аналогии определяют и мультиметризуемые топологические прост-
ранства.
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
210

9.5.11. Пусть X, Y , Z — множества, T — плотное подмножество
R и (Ut )t?T , (Vt )t?T — возрастающие семейства множеств, лежащих
соответственно в X ? Z и в Z ? Y . Тогда существуют, и притом
единственные, функции

f : X ? Z > R, g : Z ? Y > R, h:X ?Y >R

такие, что

{f < t} ? Ut ? {f ? t}, {g < t} ? Vt ? {g ? t},
{h < t} ? Ut ? Vt ? {h ? t} (t ? T ).

При этом имеет место представление

h(x, y) = inf{f (x, z) ? g(z, y) : z ? Z}.

Существование требуемых функций обеспечено 3.8.2. Един-
ственность — 3.8.4. Представление функции h через f и g бесспор-
но.
9.5.12. Определение. Пусть f : X ? Z > R, g : Z ? Y > R.
Функцию h, заданную с помощью 9.5.11, называют ?-конволюцией
f и g и обозначают

g(x, y) := inf{f (x, z) ? g(z, y) : z ? Z}.
f ?


Аналогично определяют +-конволюцию f и g по правилу

g(x, y) := inf{f (x, z) + g(z, y) : z ? Z}.
f +

·
9.5.13. Определение. Отображение f : X 2 > R+ называют
K-ультраметрикой (K ? R, K ? 1), если
(1) f (x, x) = 0 (x ? X);
(2) f (x, y) = f (y, x) (x, y ? X);
(3) K f (x, u) ? f (x, y) ? f (y, z) ? f (z, u) (x, y, z, u ? X).
1


9.5.14. Замечание. Условие 9.5.13 (3) иногда называют (силь-
ным) ультраметрическим неравенством. Это неравенство можно
в силу 9.5.12 переписать в виде K ?1 f ? f ? f ? f .
9.5. Равномерные и мультиметрические пространства 211

9.5.15. Лемма о 2-ультраметрике. Для каждой 2-ультрамет-
рики f : X 2 > R· существует полуметрика d такая, что 1/2f ? d ?
+
f.
Пусть f1 := f ; fn+1 := fn + f (n ? N). Тогда

fn+1 (x, y) ? fn (x, y) + f (y, y) = fn (x, y) (x, y ? X).

Таким образом, (fn ) — убывающая последовательность. Положим

d(x, y) := lim fn (x, y) = inf fn (x, y).
n?N

Поскольку для n ? N выполнено

d(x, y) ? f2n (x, y) = fn y) ? fn (x, z) + fn (z, y),
+ fn (x,


то d(x, y) ? d(x, z) + d(z, y). Справедливость 9.5.7 (1) и 9.5.7 (2)
несомненна.
Осталось установить, что 1/2 f ? d. Для этого убедимся, что
fn ? 1/2 f для n ? N.
При n := 1, 2 требуемые неравенства очевидны. Допустим те-
перь, что f ? f1 ? . . . ? fn ? 1/2 f и в то же время fn+1 (x, y) <
1/2 f (x, y) для некоторых (x, y) ? X 2 и n ? 2. По построению при
подходящих z1 , . . . , zn ? X будет

t := f (x, z1 ) + f (z1 , z2 ) + . . . + f (zn?1 , zn )+
1
+f (zn , y) < f (x, y).
2
Если f (x, z1 ) ? t/2, то t/2 ? f (z1 , z2 ) + . . . + f (zn , y) ? 1/2 f (z1 , y).
Получаем, что t ? f (x, z1 ) и t ? f (z1 , y). На основании 9.5.13
(3), 1/2 f (x, y) ? f (x, z1 ) ? f (z1 , y) ? t. Отсюда вытекает ложное
соотношение: 1/2 f (x, y) > t ? 1/2 f (x, y).
Итак, f (x, z1 ) < t/2. Найдем m ? N, m < n, для которого

t
f (x, z1 ) + . . . + f (zm?1 , zm ) < ;
2
t
f (x, z1 ) + . . . + f (zm , zm+1 ) ? .
2
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
212

Это осуществимо, ибо гипотеза m = n влечет неверное неравенство
f (zn , y) ? t/2. (В самом деле, было бы t/2 ? f (x, z1 ) + . . . +
f (zn?1 , zn ) ? 1/2 f (x, zn ) и поэтому 1/2 f (x, y) > t ? f (x, z n ) ?
f (zn , y) ? 1/2 f (x, y).)
Имеем

t
f (zm+1 , zm+2 ) + . . . + f (zn?1 , zn ) + f (zn , y) < .
2

Привлекая индукционное предположение, заключаем:

f (x, zm ) ? 2(f (x, z1 ) + . . . + f (zm?1 , zm )) ? t;
f (zm , zm+1 ) ? t;
f (zm+1 , y) ? 2(f (zm+1 , zm+2 ) + . . . + f (zn , y)) ? t.

Следовательно, в силу определения 2-ультраметрики

1 1
f (x, y) ? f (x, zm ) ? f (zm , zm+1 ) ? f (zm+1 , y) ? t < f (x, y).
2 2

Получили противоречие, завершающее доказательство.
9.5.16. Теорема. Каждое равномерное пространство мульти-
метризуемо.
Пусть (X, UX ) — рассматриваемое равномерное простран-
ство. Возьмем V ? UX . Положим V1 := V ? V ?1 . Если теперь
?1
Vn ? UX , то найдем симметричное окружение V = V , V ? UX
такое, что V ? V ? V ? Vn . Полагаем Vn+1 := V . Так как по построе-
нию Vn ? Vn+1 ? Vn+1 ? Vn+1 ? Vn+1 ? IX ? IX ? Vn+1 , то (Vn )n?N —
убывающее семейство.
Для t ? R зададим множество Ut соотношением
?
? ?, t < 0,
?
?
? IX ,
? t = 0,
?
V ?n , 0 < t < 1,
Ut :=
? inf{n?N : t?2 }
?
? V1 ,
? t = 1,
?
?2
X, t > 1.
9.6. Покрытия и разбиения единицы 213

По определению t > Ut (t ? R) — возрастающее семейство. Рас-
смотрим единственную функцию f : X 2 > R, удовлетворяющую
соотношениям (ср. 3.8.2, 3.8.4)

{f < t} ? Ut ? {f ? t} (t ? R).

Если Wt := U2t для t ? R, то при s < t будет

Us ? Us ? Us ? Wt .

Следовательно, в силу 3.8.3 и 9.2.1 отображение f является 2-ультра-

<< Пред. стр.

стр. 23
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>