<< Пред. стр.

стр. 24
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

метрикой.
Привлекая 9.5.15, найдем полуметрику dV такую, что 1/2 f ?
dV ? f . Ясно, что UdV = ?l {Vn : n ? N}. Несомненно также, что
для мультиметрики M := {dV : V ? UX } выполнено UM = UX .
9.5.17. Следствие. Пространство является равномеризуемым
в том и только в том случае, если оно T3 1 -пространство.
2

9.5.18. Следствие. Тихоновские пространства суть отделимые
мультиметрические пространства.

9.6. Покрытия и разбиения единицы
9.6.1. Определение. Пусть E , F — два покрытия множества
U в X, т. е. E , F ? 2X и U ? (?E ) ? (?F ). Говорят, что E вписано
в F или E измельчает F , если каждое множество из E попадает в
один из элементов F , т. е. (? E ? E ) (? F ? F ) E ? F .
9.6.2. Определение. Покрытие E множества X называют ло-
кально конечным (относительно топологии ? в X), если у каждой
точки из X имеется окрестность (в смысле ? ), пересекающаяся лишь
с конечным числом элементов E . Такое покрытие в случае дис-
кретной топологии называют точечно конечным. Наконец, если X
рассматривают с предварительно выделенной топологией ? , то под
локальной конечностью его покрытия по умолчанию понимают свя-
занный с ? вариант.
9.6.3. Лемма Лeфшеца. Пусть E — точечно конечное откры-
тое покрытие нормального пространства X. Существует такое от-
крытое покрытие {GE : E ? E }, что cl GE ? E при всех E ? E .
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
214

Составим множество S из отображений s : E > Op(X), для
которых ?s(E ) = X и при E ? E будет s(E) = E или cl s(E) ? E.
Для подобных функций s1 , s2 полагают: s1 ? s2 := (? E ? E )
(s1 (E) = E ? s2 (E) = s1 (E)). Видно, что (S, ?) — упорядочен-
ное множество, причем IE ? S. Установим индуктивность S.
Для цепи S0 в S положим s0 (E) := ?{s(E) : s ? S0 } (E ? E ).
Если s0 (E) = E, то s(E) = E при всех s ? S0 . Если же s0 (E) = E,
то s0 (E) = ?{s(E) : s(E) = E, s ? S0 }.
С учетом линейности порядка в S0 выводим: s0 (E) = s(E) для
s ? S0 таких, что s(E) = E. Отсюда s0 (E ) ? Op(X) и s0 ? S0 . Оста-
лось удостовериться, что s0 — покрытие X (и, стало быть, s0 ? S).
По условию точечной конечности для x ? X имеются E1 , . . . , En в E
такие, что x ? E1 ?. . .?En и x ? E для иных E в E . Если s0 (Ek ) = Ek
/
для какого-либо из k, то доказывать нечего — x ? ?s0 (E ). В случае,
когда при каждом k будет s0 (Ek ) = Ek , найдутся s1 , . . . , sn ? S0 из
условия sk (Ek ) = Ek (k := 1, 2, . . . , n). Раз S0 — цепь, можно считать,
что sn ? {s1 , . . . , sn?1 }. При этом x ? sn (E) ? E для подходящего
E ? E . Ясно, что E ? {E1 , . . . , En } (ибо x ? E для других E). Раз
/
s0 (E) = sn (E), то x ? s0 (E).
По лемме Куратовского — Цорна 1.2.20 в S есть максимальный
элемент s. Возьмем E ? E . Если F := X \??(E \{E}), то F замкнуто
s
?
и s(E) — окрестность F . На основании 9.3.10 при подходящем G ?
?
Op(X) будет F ? G ? cl G ? s(E). Положим s(E) := G и s(E) := s(E)
? ?
для E = E (E ? E ). Ясно, что s ? S. Если s(E) = E, то s ? s и,
? ?
значит, s = s. При этом s(E) ? cl G ? s(E) = E, т. е. cl s(E) ? E.
? ? ? ?
Если же s(E) = E, то cl s(E) ? E по определению. Итак, s — искомое
? ? ?
покрытие.
9.6.4. Определение. Пусть f — скалярная (= числовая) функ-
ция на топологическом пространстве X, т. е. f : X > F. Множество
supp(f ) := cl{x ? X : f (x) = 0} называют носителем f . Если
supp(f ) — компактное множество, то f называют финитной функ-
цией. Иногда полагают spt (f ) := supp(f ).
9.6.5. Пусть (fe )e?E — некоторое семейство скалярных функ-
?
ций на X и E := {supp(fe ) : e ? E } — семейство их носителей. Если
?
E — точечно конечное покрытие U , то семейство (fe )e?E поточечно
?
суммируемо. Если к тому же E локально конечно, а (fe )e?E непре-
рывны, то сумма e?E fe также непрерывна.
9.6. Покрытия и разбиения единицы 215

Достаточно заметить, что в подходящей окрестности точки
из U лишь конечное число функций семейства (fe )e?E не обращается
в нуль.
9.6.6. Определение. Семейство функций (f : X > [0, 1])f ?F
представляет разбиение единицы на множестве U в X, если носите-
ли элементов этого семейства составляют точечно конечное покры-
тие U , и при этом f ?F f (x) = 1 для всех x ? U . Пустое семей-
ство функций в подобном контексте считают суммируемым к едини-
це. Естественным образом трактуют термин «непрерывное разбиение
единицы» и его аналоги.
9.6.7. Определение. Пусть E — покрытие множества U в то-
пологическом пространстве, а F — непрерывное разбиение единицы
на U . Если семейство носителей {supp(f ) : f ? F } вписано в E , то
F называют разбиением единицы, подчиненным E . Наличие такого
F для E выражают словами: «E допускает непрерывное разбиение
единицы».
9.6.8. Каждое локально конечное открытое покрытие нормаль-
ного пространства допускает разбиение единицы.
По теореме Лефшеца 9.6.3 в рассматриваемое покрытие {U? :
? ? } можно вписать открытое покрытие {V? : ? ? }, для кото-
рого cl V? ? U? при всех ? ? . По теореме Урысона 9.3.14 имеется
непрерывная функция g? : X > [0, 1] такая, что g? (x) = 1 при
x ? V? и g? (x) = 0 при x ? X \ U? . Значит, supp(g? ) ? U? . На осно-
вании 9.6.5 семейство (g? )?? поточечно суммируемо к непрерывной
функции g. При этом g(x) > 0 для всех x ? X по построению.
Полагаем f? := g? /g (? ? ). Семейство (f? )?? — искомое.
9.6.9. Определение. Топологическое пространство называют
паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно впи-
сать локально конечное открытое покрытие.
9.6.10. Замечание. Теория паракомпактности содержит глу-
бокие и нетривиальные факты.
9.6.11. Теорема. Метрические пространства паракомпактны.
9.6.12. Теорема. Хаусдорфово топологическое пространство
паракомпактно в том и только в том случае, если каждое его откры-
тое покрытие допускает непрерывное разбиение единицы.
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
216

9.6.13. Замечание. Метрическое пространство RN обладает
рядом дополнительных структур, обеспечивающих запас квалифи-
цированных — гладких (= бесконечно дифференцируемых) — функ-
ций (ср. 4.8.1).
9.6.14. Определение. Усредняющим ядром в RN принято на-
зывать любую вещественную гладкую функцию a с единичным (ле-
беговым) интегралом и такую, что a(x) > 0 при |x| < 1 и a(x) = 0
для |x| ? 1. При этом supp(a) = {x ? RN : |x| ? 1} — единичный
евклидов шар B := BRN .
9.6.15. Определение. Дельтообразной последовательностью
называют такое семейство вещественных (гладких) функций (b? )?>0 ,
что, во-первых, lim (sup | supp(b? )|) = 0 и, во-вторых, RN b? (x) dx = 1
?>0
(? > 0). Используют также термины ?-последовательность и ?-
образная последовательность. Часто ограничиваются счетными по-
следовательностями.
9.6.16. Пример. Популярное усредняющее ядро — это функция
a(x) := t exp(?(|x|2 ? 1)?1 ), доопределенная нулем вне шара int B,
где константа t задана условием RN a(x) dx = 1. Всякое усредня-
ющее ядро порождает дельтообразную последовательность a? (x) :=
??N a(x/?) (x ? RN ).
9.6.17. Определение. Пусть f ? L1,loc (RN ), т. е. f — неко-
торая локально интегрируемая (= интегрируемая при сужении на
любой компакт) функция. Для каждой финитной интегрируемой
функции g определяют св?ртку f ? g соотношением
е

f ? g(x) := f (x ? y)g(y) dy (x ? RN ).
RN


9.6.18. Замечание. Роль усредняющих ядер и дельтообразных
последовательностей (a? )?>0 проясняется анализом процесса сгла-
живания f > (f ? a? )?>0 функции f ? L1,loc (RN ) и его последствий
(ср. 10.10.7 (5)).
9.6.19. Справедливы утверждения:
(1) для каждого компактного множества K из простран-
ства RN и какой-либо его окрестности U существует
9.6. Покрытия и разбиения единицы 217

срезыватель (= срезывающая функция) ? := ?K,U ,
т. е. такое гладкое отображение ? : RN > [0, 1], что
K ? int{? = 1} и supp(?) ? U ;
(2) пусть U1 , . . . , Un ? Op(RN ), причем U1 ? . . . ? Un —
окрестность компакта K. Существуют гладкие функ-
ции ?1 , . . . , ?n : RN > [0, 1], удовлетворяющие усло-
n
виям supp(?k ) ? Uk и k=1 ?k (x) = 1 для x из неко-
торой окрестности K.
(1) Пусть ? := d(K, RN \U ) := inf{|x?y| : x ? K, y ? U }. Ясно,
/
что ? > 0. Для ? > 0 обозначим ?? характеристическую функцию
множества K + ?B. Возьмем дельтообразную последовательность
положительных функций (b? )?>0 и положим ? := ?? ? b? . При ? ? ?,
? + ? ? ?, где ? := sup | supp(b? )|, функция ? — искомая.
(2) По лемме Дьедонне 9.4.18 имеются замкнутые Fk ? Uk , со-
ставляющие покрытие K. Положим Kk := Fk ? K и рассмотрим
n
срезыватели ?k := ?Kk ,Uk . Функции ?k / k=1 ?k (k := 1, . . . , n),
n
определенные на { k=1 ?k > 0}, после распространения нулем на
n
{ k=1 ?k = 0} и умножения на срезыватель подходящей окрестно-
сти K становятся искомыми.

9.6.20. Теорема о разбиении единицы в RN . Пусть E —
семейство открытых множеств в RN и := ?E . Существует счетное
разбиение единицы, составленное гладкими финитными функциями
на RN и подчиненное покрытию E множества .
Впишем в E такое счетное локально конечное покрытие A из
компактных множеств, что семейство (? := int ?)??A также образует
открытое покрытие . Подберем открытое покрытие (V? )??A из
условия cl V? ? ? при ? ? A. На основании 9.6.19 (1) имеются
срезыватели ? ? := ?cl V? ,? . Полагая ?? (x) := ? ? (x)/ ??A ? ? (x)
при x ? и ?? (x) := 0 для x ? RN \ , приходим к требуемому
разбиению.

9.6.21. Замечание. Стоит подчеркнуть, что построенное раз-
биение единицы (?? )??A обладает тем свойством, что для каждого
компакта K, лежащего в , имеются конечное подмножество A0 в A
и окрестность U компакта K такие, что ??A0 ?? (x) = 1 для всех
x ? U (ср. 9.3.17, 9.6.19 (2)).
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
218

Упражнения
9.1. Привести примеры предтопологических и топологических пространств
и конструкции, к ним приводящие.
9.2. Можно ли задать топологию, указывая сходящиеся фильтры или по-
следовательности?
9.3. Установить взаимные связи между топологиями и предпорядками на
конечном множестве.
9.4. Описать топологические пространства, в которых объединение любого
семейства замкнутых множеств замкнуто. Каковы непрерывные отображения
таких пространств?
9.5. Пусть (f? : X > (Y? , ?? ))?? — семейство отображений. Топологию
? в X назовем допустимой (в данной ситуации), если для любого топологиче-
ского пространства (Z, ?) и произвольного отображения g : Z > X выполнено
утверждение: g : (Z, ?) > (X, ?) непрерывно в том и только в том случае, если
непрерывно отображение f? ? g (? ? ). Доказать, что слабейшая топология X, в
которой непрерывны все f? (? ? ), представляет собой сильнейшую допустимую
(в данной ситуации) топологию.
9.6. Пусть (f? : (X? , ?? ) > Y )?? — семейство отображений. Топологию
? в Y назовем допустимой (в данной ситуации), если для любого топологиче-
ского пространства (Z, ?) и произвольного отображения g : Y > Z выполнено
утверждение: g : (Y, ? ) > (Z, ?) непрерывно в том и только в том случае,
если непрерывно отображение g ? f? (? ? ). Доказать, что сильнейшая топо-
логия в Y, в которой непрерывны все f? (? ? ), представляет собой слабейшую
допустимую (в данной ситуации) топологию.
9.7. Доказать, что в тихоновском произведении произвольных топологиче-
ских пространств замыкание произведения множеств, лежащих в сомножителях,
есть произведение замыканий:


A? cl A? .
cl =
?? ??


9.8. Проверить, что тихоновское произведение хаусдорфово в том и только
в том случае, если хаусдорфов каждый сомножитель.
9.9. Установить критерии компактности множеств в классических банахо-
вых пространствах.
9.10. Хаусдорфово пространство X называют H-замкнутым, если X за-
мкнуто в любом объемлющем X хаусдорфовом пространстве. Доказать, что
регулярное H-замкнутое пространство компактно.
9.11. Изучить возможности компактификации топологического простран-
ства.
9.12. Доказать, что тихоновское произведение несчетного числа прямых не
является нормальным пространством.
Упражнения 219

9.13. Доказать, что каждая непрерывная функция на произведении ком-
пактных пространств в очевидном смысле (каком?) зависит от не более чем
счетного числа координат.
9.14. Пусть A — компактное, а B — замкнутое множества в равномерном
пространстве, причем A ? B = ?. Доказать, что для некоторого окружения V
будет V (A) ? V (B) = ?.
9.15. Доказать, что пополнение (в соответствующем смысле) произведения
равномерных пространств изоморфно произведению пополнений сомножителей.
9.16. Множество в отделимом равномерном пространстве назовем пред-
компактным, если его пополнение компактно. Доказать, что множество являет-
ся предкомпактным в том и только в том случае, если оно вполне ограничено.
9.17. Какие топологические пространства метризуемы?
9.18. Для равнометризуемого пространства описать сильнейшую равно-
мерность, задающую исходную топологию.
9.19. Убедиться, что произведение паракомпактного и компактного про-
странств паракомпактно. Сохраняется ли паракомпактность при общих произ-
ведениях?
Глава 10
Двойственность и ее
приложения


10.1. Векторные топологии
10.1.1. Определение. Пусть (X, F, +, ·) — векторное про-
странство над основным полем F. Топологию ? в X называют со-
гласованной со структурой векторного пространства или, короче,
векторной топологией, если непрерывны следующие отображения:

+ : (X ? X, ? ? ? ) > (X, ? ),
· : (F ? X, ?F ? ? ) > (X, ? ).
О пространстве (X, ? ) в этом случае говорят как о топологическом
векторном пространстве.
10.1.2. Пусть ?X — векторная топология. Отображения
x > x + x0 , x > ?x (x0 ? X, ? ? F \ 0)
суть гомеоморфизмы (X, ?X ).
10.1.3. Замечание. Несомненно, что векторная топология ?
в пространстве X обладает следующим свойством «линейности»:
(?, ? ? F \ 0; x, y ? X),
? (?x + ?y) = ?? (x) + ?? (y)
где в соответствии с общими соглашениями (ср. 1.3.5 (1))

U?x+?y ? ?? (x) + ?? (y) ?
? (? Ux ? ? (x) & Uy ? ? (y)) ?Ux + ?Uy ? U?x+?y .
10.1. Векторные топологии 221

В этой связи векторную топологию часто называют линейной, а то-
пологическое векторное пространство — линейным топологическим
пространством. Эту терминологию следует употреблять лишь по-
нимая, что топология может обладать свойством «линейности», но
не быть линейной. Такова, например, дискретная топология ненуле-
вого векторного пространства.
10.1.4. Теорема о строении векторной топологии. Пусть
X — векторное пространство и N — фильтр в X. Существует век-
торная топология ? на X такая, что N = ? (0), в том и только в том
случае, если
(1) N + N = N ;
(2) N состоит из поглощающих множеств;
(3) N имеет базис из уравновешенных множеств. При
этом ? (x) = x + N для всех x ? X.
?: Пусть ? — векторная топология и N = ? (0). Из 10.1.2
получаем, что ? (x) = x + N для x ? X. Ясно также, что (1) есть
другая запись непрерывности сложения в нуле (пространства X 2 ).
Условие (2) можно записать в виде ?F (0)x ? N для каждого x ? X,
т. е. как условие непрерывности отображений ? > ?x в нуле (про-
странства R) при каждом фиксированном x из X. Условие (3) с уче-
том (2), в свою очередь, можно записать в виде ?F (0)N = N , т. е.
как условие непрерывности умножения на скаляр в нуле (простран-
ства F ? X).
?: Пусть N — фильтр, удовлетворяющий (1)–(3). Видно, что
N ? ?l {0}. Положим ? (x) := x + N . Тогда ? — предтопология.
Из определения ? и (1) вытекает, что ? — топология, причем сдвиги
непрерывны, а сложение непрерывно в нуле. Таким образом, сло-
жение непрерывно в каждой точке X 2 . Справедливость (2) и (3)
означает, что отображение (?, x) > ?x непрерывно в нуле по сово-
купности переменных и непрерывно в нуле по первому переменному
при фиксированном втором. В силу тождества

?x ? ?0 x0 = ?0 (x ? x0 ) + (? ? ?0 )x0 + (? ? ?0 )(x ? x0 )

осталось установить непрерывность этого отображения в нуле по
второму переменному при фиксированном первом. Иными слова-
ми, нужно установить, что ?N ? N для ? ? F. Для проверки
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
222

найдем n ? N, для которого |?| ? n. Пусть V ? N и W ? N тако-
вы, что W уравновешено и W1 + . . . + Wn ? V , где Wk := W . Тогда
?W = n (?/n W ) ? nW ? W1 + . . . + Wn ? V .

10.1.5. Теорема. Множество VT(X) всех векторных топологий
на X является полной решеткой. При этом для любого множества
E в VT(X) выполнено

supVT(X) E = supT(X) E .

Пусть ? := supT(X) E . Так как для ? ? E сдвиг x > x + x0
есть гомеоморфизм (X, ? ) на (X, ? ), то это отображение — гомео-
морфизм (X, ? ) на (X, ? ). Привлекая 9.1.13, убеждаемся в том, что
для фильтра ? (0) выполнены условия 10.1.4 (1)–10.1.4 (3), поскольку
они выполнены для фильтров ? (0) при ? ? E . Остается сослаться
на 1.2.14.

10.1.6. Теорема о прообразе векторной топологии. Про-
образ векторной топологии при линейном отображении — векторная
топология.
Пусть T ? L (X, Y ) и ? ? VT(Y ). Положим ? := T ?1 (?). Ес-
ли x? > x и y? > y в (X, ? ), то, в силу 9.2.8, T x? > T x, T y? > T y и,
стало быть, T (x? + y? ) > T (x + y). Последнее в силу 9.2.10 означает,
что x? + y? > x + y в (X, ? ). Таким образом, ? (x) = x + ? (0) для
всех x ? X и, кроме того, ? (0) + ? (0) = ? (0). Применяя к линейному
соответствию T ?1 последовательно предложения 3.4.10 и 3.1.8, по-
лучаем, что фильтр ? (0) = T ?1 (?(0)) состоит из поглощающих мно-
жеств и имеет базис из уравновешенных множеств, так как по 10.1.4
такими свойствами обладает фильтр ?(0). Вновь привлекая 10.1.4,
заключаем: ? ? VT(X).

10.1.7. Произведение векторных топологий — векторная топо-
логия.
Следует из 10.1.5 и 10.1.6.

10.1.8. Определение. Пусть A, B — множества в векторном
пространстве. Говорят, что A является B-устойчивым, если A +
B ? A.
10.2. Локально выпуклые топологии 223

10.1.9. Для каждой векторной топологии ? на X существует,
и притом единственная, равномерность U? , имеющая базис из IX -
устойчивых множеств и такая, что ? = ? (U? ).
Для U ? ? (0) положим VU := {(x, y) ? X 2 : y ? x ? U }.
Отметим очевидные свойства:

IX ? VU ; VU + IX = VU ; (VU )?1 = V?U ;
VU1 ?U2 ? VU1 ? VU2 ; VU1 ? VU2 ? VU1 +U2

для любых U , U1 , U2 ? ? (0). Привлекая 10.1.4, выводим, что

U? := ?l {VU : U ? ? (0)}

— это равномерность, причем ? = ? (U? ). Несомненно также, что U?
имеет базис из IX -устойчивых множеств.
Если теперь U еще одна равномерность такая, что ? (U ) = ? ,
и W — некоторое IX -устойчивое окружение U , то W = VW (0) . От-
сюда и вытекает требуемая единственность.
10.1.10. Определение. Пусть (X, ? ) — топологическое век-
торное пространство. Равномерность U? , построенную в 10.1.9, на-
зывают равномерностью рассматриваемого пространства X.
10.1.11. Замечание. В дальнейшем при рассмотрении топо-
логических векторных пространств будем считать их наделенными
соответствующими равномерностями.

10.2. Локально выпуклые топологии
10.2.1. Определение. Векторную топологию принято назы-
вать локально выпуклой, если фильтр окрестностей каждой точки
имеет базис, состоящий из выпуклых множеств.
10.2.2. Теорема о строении локально выпуклой тополо-
гии. Пусть X — векторное пространство и N — фильтр в X. Суще-
ствует локально выпуклая топология ? на X такая, что N = ? (0),
в том и только в том случае, если
(1) 1 N = N ;

<< Пред. стр.

стр. 24
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>