<< Пред. стр.

стр. 25
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

2
(2) N имеет базис, состоящий из абсолютно выпуклых
поглощающих множеств.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
224

?: В силу 10.1.2 отображение x > 2x — гомеоморфизм. Это
и означает, что 1/2 N = N . Возьмем теперь U ? N . По усло-
вию имеется выпуклое множество V ? N такое, что V ? U . При-
меняя 10.1.4, найдем уравновешенное множество W , для которого
W ? V . Привлекая формулу Моцкина 3.1.13 и 3.1.14, убеждаемся
в том, что выпуклая оболочка co(W ) абсолютно выпукла. При этом
W ? co(W ) ? V ? U .
?: Абсолютно выпуклое множество уравновешено. Значит, N
удовлетворяет 10.1.4 (2), 10.1.4 (3). Если V ? N и W выпукло,
W ? N и W ? V , то 1/2 W ? N . Помимо этого, 1/2 W + 1/2 W ?
W ? V из-за выпуклости W . Последнее означает, что N + N = N .
Остается сослаться на 10.1.4.
10.2.3. Следствие. Множество LCT (X) всех локально выпук-
лых топологий на X представляет собой полную решетку. При этом
для любого множества E в LCT (X) выполнено
supLCT (X) E = supT(X) E .
10.2.4. Следствие. Прообраз локально выпуклой топологии
при линейном отображении — локально выпуклая топология.
10.2.5. Следствие. Произведение локально выпуклых тополо-
гий — локально выпуклая топология.
10.2.6. Топология мультинормированного пространства явля-
ется локально выпуклой.
10.2.7. Определение. Пусть ? — локально выпуклая тополо-
гия на X. Множество всех всюду определенных непрерывных полу-
норм на X называют зеркалом (реже спектром) топологии ? и обо-
значают M? . Мультинормированное пространство (X, M? ) называ-
ют ассоциированным с (X, ? ).
10.2.8. Теорема. Локально выпуклая топология совпадает с
топологией ассоциированного мультинормированного пространства.
Пусть ? — рассматриваемая локально выпуклая топология
в X и ? := ? (M? ) — это топология ассоциированного пространства
(X, M? ). Возьмем V ? ? (0). В силу 10.2.2 найдется абсолютно
выпуклая окрестность нуля B ? ? (0) такая, что B ? V . На основа-
нии 3.8.7
{pB < 1} ? B ? {pB ? 1}.
10.2. Локально выпуклые топологии 225

Очевидно, что pB — непрерывный функционал (ср. 7.5.1), т. е.
pB ? M? и, стало быть, {pB < 1} ? ?(0). Следовательно, V ? ?(0).
Таким образом, привлекая 5.2.10, имеем ?(x) = x + ?(0) ? x + ? (0) =
? (x), т. е. ? ? ? . Помимо этого, ? ? ? по определению.
10.2.9. Определение. Векторное пространство, наделенное от-
делимой локально выпуклой топологией, называют локально выпук-
лым пространством.
10.2.10. Замечание. Теорему 10.2.8 в несколько суженном ви-
де часто формулируют словами: «понятие локально выпуклого про-
странства и понятие отделимого мультинормированного простран-
ства равнообъемны».
В этой связи при изучении локально выпуклых пространств ис-
пользуют по мере надобности терминологию, связанную с ассоции-
рованным мультинормированным пространством (ср. 5.2.13).
10.2.11. Определение. Пусть ? — локально выпуклая тополо-
гия в X. Символом (X, ? ) (или, короче, X ) обозначают подпро-
странство X # , состоящее из непрерывных линейных функционалов.
Пространство (X, ? ) называют сопряженным (или ? -сопряженным)
к (X, ? ).
10.2.12. (X, ? ) = ? {|?|(p) : p ? M? }.
10.2.13. Теорема. Отображение штрихования ? > (X, ? ) ,
действующее из LCT (X) в Lat(X # ), сохраняет точные верхние гра-
ницы, т. е. для любого множества E в LCT (X) выполнено
(X, sup E ) = sup{(X, ? ) : ? ? E }.
Если E = ?, то sup E — это тривиальная топология ?0 в X
и, стало быть, (X, ?0 ) = 0 = inf Lat(X # ) = supLat(X # ) ?. В си-
лу 9.2.7 отображение штрихования возрастает. Учитывая 2.1.5, для
непустого E имеем
(X, sup E ) ? sup{(X, ? ) : ? ? E }.
Если f ? (X, sup E ) , то ввиду 10.2.12 и 9.1.13 существуют то-
пологии ?1 , . . . , ?n ? E такие, что f ? (X, ?1 ? . . . ? ?n ) . С по-
мощью 10.2.12 и 5.3.7 найдем p1 ? M?1 , . . . , pn ? M?n , для кото-
рых f ? |?|(p1 ? . . . ? pn ). Привлекая 3.5.7 и 3.7.9, убеждаемся, что
|?|(p1 + . . . + pn ) = |?|(p1 ) + . . . + |?|(pn ). Окончательно
f ? (X, ?1 ) + . . . + (X, ?n ) = (X, ?1 ) ? . . . ? (X, ?n ) .
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
226

10.3. Двойственность векторных пространств
10.3.1. Определение. Пусть X, Y — векторные пространства
над одним и тем же основным полем F. Пусть, далее, задана би-
линейная форма (или, как иногда говорят, бракетирование) · | · из
X ? Y в F, т. е. отображение, линейное по каждому переменному.
Для x ? X и y ? Y положим

x| : y > x | y , · | : X > FY , X| ? Y # ;
|y : x > x | y , | · : Y > FX, |Y ? X # .

Возникающие отображения · | и | · называют соответственно бра-
отображением и кет-отображением. Аналогично функционалы из
X | называют бра-функционалами, а из | Y — кет-функционалами.
10.3.2. Бра-отображение и кет-отображение — линейные опера-
торы.
10.3.3. Определение. Бракетирование X и Y называют двой-
ственностью, если бра-отображение и кет-отображение суть моно-
морфизмы. В этом случае говорят, что X и Y приведены в двой-
ственность, или составляют двойственную пару, или что Y двой-
ственно к X и т. п., и пишут X - Y . Бра-отображение и кет-
отображение называют в этой ситуации дуализациями.
10.3.4. Примеры.
(1) Пусть X - Y и · | · — соответствующая двойствен-
ность. Для (y, x) ? Y ? X положим y | x := x | y . Видно, что воз-
никшее бракетирование — это двойственность Y и X. При этом дуа-
лизации в исходной и во вновь возникшей двойственностях одни и те
же. В этой связи указанные двойственности, как правило, не разли-
чают (ср. 10.3.3). Таким образом, можно сказать, что Y двойственно
к X в том и только в том случае, если X двойственно к Y . Отме-
тим здесь же, что отображение x | y R := Re x | y приводит в двой-
ственность вещественные основы XR и YR . Допуская вольность, для
обозначения возникающей двойственности XR - YR изредка исполь-
зуют прежнее обозначение, т. е. полагают x | y := x | y R , имея в ви-
ду, что x и y принадлежат вещественным основам рассматриваемых
пространств.
10.3. Двойственность векторных пространств 227

(2) Пусть H — гильбертово пространство. Скалярное
произведение приводит в двойственность H и H? . Отображение
штрихования при этом совпадает с кет-отображением.
(3) Пусть (X, ? ) — локально выпуклое пространство и
X — сопряженное пространство. Бракетирование (x, x ) > x (x)
приводит X и X в двойственность.
(4) Пусть X — векторное пространство и, как обычно,
X := L (X, F) — сопряженное пространство. Ясно, что отображе-
#

ние (x, x# ) > x# (x) приводит эти пространства в двойственность.
10.3.5. Определение. Пусть X - Y . Прообраз в X тихонов-
ской топологии в FY при бра-отображении называют бра-топологи-
ей или слабой топологией в X, наведенной двойственностью с Y ,
и обозначают ?(X, Y ). Бра-топологию ?(X, Y ) для двойственности
Y - X называют кет-топологией для двойственности X - Y или
слабой топологией в Y , наведенной двойственностью с X.
10.3.6. Бра-топология — это слабейшая топология, в которой
непрерывны все кет-функционалы. Кет-топология — это слабейшая
топология, в которой непрерывны все бра-функционалы.
x? > x (в ?(X, Y )) ? x? > x | (в FY ) ? (? y ? Y ) x? | (y) >
x | (y) ? (? y ? Y ) x? | y > x | y ? (? y ? Y ) | y (x? ) > | y (x) ?
(? y ? Y ) x? > x (в | y ?1 (?F ))
10.3.7. Замечание. Обозначение ?(X, Y ), как видно, согласо-
вано с обозначением слабой мультинормы 5.1.10 (4). Именно ?(X, Y )
есть топология мультинормы {| · | y | : y ? Y }. Аналогично ?(Y, X)
есть топология мультинормы {| x | · | : x ? X}.
10.3.8. Пространства (X, ?(X, Y )) и (Y, ?(Y, X)) локально
выпуклы.
Следует из 10.2.4 и 10.2.5.
10.3.9. Теорема о дуализациях. Дуализации суть изомор-
физмы двойственных пространств на соответствующие слабо сопря-
женные пространства.
Пусть X - Y . Нужно установить точность последовательно-
стей
·|
0 > X ?>(Y, ?(Y, X)) > 0,

0 > Y ?>(X, ?(X, Y )) > 0.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
228

Поскольку кет-отображение для двойственности X - Y есть бра-
отображение для двойственности Y - X, достаточно проверить
точность первой последовательности. Бра-отображение — мономор-
физм по определению 10.3.3. Помимо этого, из 10.2.13 и 10.3.6 вы-
текает, что

(Y, ?(Y, X)) = (Y, sup{ x |?1 (?F ) : x ? X}) =

x |?1 (?F )) : x ? X} =
= sup{(Y,
= L ({(Y, f ?1 (?F )) : f ? X|}) = X|,
так как по 5.3.7 и 2.3.12 выполнено

(Y, f ?1 (?F )) = {?f : ? ? F} (f ? Y # ).

10.3.10. Замечание. Теорему 10.3.9 часто называют «теоре-
мой об общем виде слабо непрерывного функционала». В этом про-
является удобное общее правило — добавлять слово «слабо» при ис-
пользовании объектов и свойств, связанных со слабыми топология-
ми. Отметим здесь же, что в силу 10.3.9 пример 10.3.4 (3) исчер-
пывает, по сути дела, все возможные двойственности. В этой связи
в соответствии с 5.1.11 в дальнейшем (как и прежде) часто использо-
вано обозначение (x, y) := x | y , поскольку это не должно привести
к недоразумениям. По тем же причинам не различают двойственное
и слабо сопряженное пространства. Другими словами, при рассмот-
рении фиксированной двойственности X - Y иногда не отличают
X от (Y, ?(Y, X)) , а Y от (X, ?(X, Y )) , что позволяет применять
записи X = Y и Y = X.

10.4. Топологии, согласованные с
двойственностью
10.4.1. Определение. Пусть X - Y и ? — локально выпуклая
топология в X. Говорят, что ? согласована с двойственностью, ес-
ли (X, ? ) = | Y . Говорят, что локально выпуклая топология ? в Y
согласована с двойственностью (X - Y , если ? согласована с двой-
ственностью Y - X, т. е.) при выполнении равенства (Y, ?) = X|.
10.4.2. Слабые топологии согласованы с наводящей их двой-
ственностью.
Следует из 10.3.9.
10.4. Топологии, согласованные с двойственностью 229

10.4.3. Пусть ? (X, Y ) — точная верхняя граница множества
всех локально выпуклых топологий в X, согласованных с двойствен-
ностью. Тогда топология ? (X, Y ) также согласована с двойственно-
стью.
Пусть E — множество таких топологий. По теореме 10.2.13

(X, ? (X, Y )) = (X, sup E ) =
= sup{(X, ? ) : ? ? E } = sup{| Y : ? ? E } = | Y ,
ибо E не пусто по 10.4.2.
10.4.4. Определение. Топологию ? (X, Y ), фигурирующую в
предложении 10.4.3, т. е. сильнейшую локально выпуклую тополо-
гию в X, согласованную с двойственностью X - Y , называют то-
пологией Макки (в X, наведенной двойственностью X - Y ).
10.4.5. Теорема Макки — Аренса. Локально выпуклая то-
пология ? в X согласована с двойственностью X - Y в том и только
в том случае, если
?(X, Y ) ? ? ? ? (X, Y ).
По 10.2.13 отображение ? > (X, ? ) сохраняет точные верх-
ние границы и, следовательно, возрастает. Таким образом, для ? ,
лежащей в рассматриваемом промежутке топологий, на основании
10.4.2 и 10.4.3 справедливо
| Y = (X, ?(X, Y )) ? (X, ? ) ? (X, ? (X, Y )) = | Y .
Оставшаяся часть теоремы очевидна.
10.4.6. Теорема Макки. Ограниченные множества во всех то-
пологиях, согласованных с двойственностью, одни и те же.
При усилении топологии количество ограниченных множеств
уменьшается. Поэтому ввиду 10.4.5 нужно убедиться лишь в том,
что если множество U слабо ограничено в X (= ограничено в бра-
топологии), то U ограничено в топологии Макки.
Возьмем полунорму p из зеркала топологии Макки и покажем,
что p(U ) ограничено в R. Положим X0 := X/ ker p и p0 := pX/ ker p .
Учитывая 5.2.14, видим, что p0 — это норма. Пусть ? : X > X0 —
каноническое отображение. Бесспорно, что множество ?(U ) слабо
ограничено в (X0 , p0 ). Из 7.2.7 вытекает, что ?(U ) ограничено по
норме p0 . Поскольку p0 ? ? = p, то U ограничено в (X, p).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
230

10.4.7. Следствие. Пусть X — нормированное пространство.
Топология Макки ? (X, X ) совпадает с исходной топологией, по-
рожденной нормой в пространстве X.
Достаточно сослаться на критерий Колмогорова 5.4.5, по ко-
торому топология ? (X, X ), содержащая исходную топологию, нор-
мируема, и привлечь предложение 5.3.4.
10.4.8. Теорема строгой отделимости. Пусть (X, ? ) — ло-
кально выпуклое пространство, K и V — непустые выпуклые мно-
жества в X, причем K компактно, V замкнуто и K ? V = ?. Тогда
существует функционал f ? (X, ? ) такой, что

sup Re f (K) < inf Re f (V ).

Локально выпуклое пространство, конечно же, регулярно.
Отсюда с учетом компактности K следует, что для подходящей вы-
пуклой окрестности нуля W множество U := K + W не пересекает-
ся с V (достаточно рассмотреть базисы, порожденные множества-
ми вида K + W и V + W , где W — замкнутая окрестность нуля).
На основании 3.1.10 заключаем, что U выпукло. Помимо этого,
K ? int U = core U . По теореме отделимости Эйдельгайта 3.8.14
найдется функционал l ? (XR )# , обладающий тем свойством, что
гиперплоскость {l = 1} в XR разделяет V и U и не содержит то-
чек ядра U . Очевидно, что l ограничен сверху на W и, стало быть,
l ? (XR , ? ) по критерию 7.5.1. Если f := Re?1 l, то, в связи с 3.7.5,
f ? (X, ? ) . Ясно, что функционал f — искомый.
10.4.9. Теорема Мазура. Выпуклые замкнутые множества во
всех согласованных с двойственностью топологиях одни и те же.
При усилении топологии количество замкнутых множеств уве-
личивается. Значит, ввиду 10.4.5 нужно убедиться лишь в том, что
если U выпукло и замкнуто в топологии Макки, то U слабо замкну-
то. Последнее несомненно, ибо, по теореме 10.4.8, U есть пересечение
слабо замкнутых множеств типа {Re f ? t}, где f — (слабо) непре-
рывный линейный функционал, а t ? R.

10.5. Поляры
10.5.1. Определение. Пусть X, Y — некоторые множества
и F ? X ? Y — соответствие. Для множеств U в X и V в Y по-
10.5. Поляры 231

лагают

?(U ) := ?F (U ) := {y ? Y : F ?1 (y) ? U };
?1
? ?1 (V ) := ?F (V ) := {x ? X : F (u) ? V }.

При этом ?(U ) называют (прямой) полярой U , а множество ? ?1 (V )
— (обратной) полярой V .
10.5.2. Имеют место утверждения:
(1) ?(u) := ?({u}) = F (u), ?(U ) = ?u?U ?(u);
(2) ?(??? U? ) = ??? ?(U? );
?1
(3) ?F (V ) = ?F ?1 (V );
(4) U1 ? U2 ? ?(U1 ) ? ?(U2 );
(5) U ? V ? F ? V ? ?(U ), U ? ? ?1 (V );
(6) U ? ? ?1 (?(U )).
10.5.3. Критерий Акилова. Множество U в X является по-
лярой некоторого множества в Y в том и только в том случае, если
для каждого x ? X \ U найдется y ? Y , для которого

U ? ? ?1 (y), x ? ? ?1 (y).
/

?: Если U = ? ?1 (V ), то будет U = ?v?V ? ?1 (v) на основании
10.5.2 (1).
?: Включение U ? ? ?1 (y) означает, что y ? ?(U ). Итак, по
условию U = ?y??(U ) ? ?1 (y) = ? ?1 (?(U )).
10.5.4. Следствие. Множество ? ?1 (?(U )) — это наименьшая
(по включению) поляра, содержащая множество U .
?1
10.5.5. Определение. Множество ?F (?F (U )) называют бипо-
лярой множества U (относительно соответствия F ).
10.5.6. Примеры.
(1) Пусть (X, ?) — упорядоченное множество, а U —
подмножество X. Тогда ?? (U ) — это совокупность всех верхних гра-
ниц U (ср. 1.2.7).
(2) Пусть (H, (· , ·)H ) — гильбертово пространство и
F := {(x, y) ? H 2 : (x, y)H = 0}. Тогда для всех U в H выпол-
нено ?(U ) = ? ?1 (U ) = U ? . Биполяра U в этом случае совпадает с
замыканием линейной оболочки U .
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
232

(3) Пусть X — нормированное пространство и X — со-
пряженное пространство. Пусть F := {(x, x ) : x (x) = 0}. Тогда
?(X0 ) = X0 и ? ?1 (X0 ) = ?X0 для подпространства X0 в X и под-
?

пространства X0 в X (см. 7.6.8). При этом ? ?1 (?(X0 )) = cl X0
в силу 7.5.14.
10.5.7. Определение. Пусть X - Y . Положим

pol := {(x, y) ? X ? Y : Re x | y ? 1};
abs pol := {(x, y) ? X ? Y : | x | y | ? 1}.

Для прямой и обратной поляр относительно соответствия pol ис-
пользуют единое название «поляры» и обозначения ?(U ) и ?(V );
в случае соответствия abs pol говорят об абсолютных полярах и пи-
шут U ? и V ? (для U ? X и V ? Y ).
10.5.8. Теорема о биполяре. Биполяра ? 2 (U ) := ?(?(U )) —
это наименьший слабо замкнутый конический отрезок, содержащий
множество U .
Следует из 10.4.8 и критерия Акилова.
10.5.9. Теорема об абсолютной биполяре. Абсолютная би-
поляра U ?? := (U ? )? — это наименьшее слабо замкнутое абсолютно
выпуклое множество, содержащее множество U .
Достаточно заметить, что поляра уравновешенного множе-
ства совпадает с его абсолютной полярой, и применить 10.5.8.

10.6. Слабо компактные выпуклые множества
10.6.1. Пусть X — вещественное локально выпуклое простран-
ство и p : X > R — непрерывный сублинейный функционал на X.
Тогда (топологический) субдифференциал ?(p) компактен в тополо-
гии ?(X , X).
Положим Q := x?X [?p(?x), p(x)] и наделим Q тихоновской
топологией. Ясно, что ?(p) ? Q и тихоновская топология в Q инду-
цирует в ?(p) ту же топологию, что и ?(X , X). Несомненно, что
множество ?(p) замкнуто в Q из-за непрерывности p. Учитывая те-
перь теорему Тихонова 9.4.8 и 9.4.9, заключаем, что ?(p) является
?(X , X)-компактным множеством.
10.6. Слабо компактные выпуклые множества 233

10.6.2. Субдифференциал любой непрерывной полунормы сла-
бо компактен.
10.6.3. Теорема о строении субдифференциала. Пусть X
— вещественное векторное пространство. Множество U в X # явля-
ется субдифференциалом (всюду определенного и притом единствен-
ного) сублинейного функционала sU : X > R в том и только в том
случае, если U непусто, выпукло и ?(X # , X)-компактно.
?: Пусть U = ?(sU ) для некоторого sU . Единственность sU
обеспечена 3.6.6. В связи с 10.2.12 понятно, что зеркало топологии
Макки ? (X, X # ) — это сильнейшая мультинорма в X (см. 5.1.10
(2)). Отсюда выводим, что функционал sU непрерывен в ? (X, X # ).
На основании 10.6.1 множество U компактно в ?(X # , X). Выпук-
лость и непустота U очевидны.
?: Положим sU (x) := sup{l(x) : l ? U }. Бесспорно, что sU
— сублинейный функционал и dom sU = X. По определению U ?
?(sU ). Если же l ? ?(sU ) и l ? U , то по теореме строгой отделимости
/
10.4.8 и теореме о дуализациях 10.3.9 для некоторого x ? X будет
sU (x) < l(x). Получаем противоречие.
10.6.4. Определение. Сублинейный функционал sU , постро-
енный в теореме 10.6.3, называют опорной функцией множества U .
10.6.5. Теорема Крейна — Мильмана. Каждое компактное
выпуклое множество в локально выпуклом пространстве является
замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек.
Пусть U — такое множество в пространстве X. Можно счи-
тать, что пространство X — вещественное и что U = ?. В си-
лу 9.4.12, U компактно в топологии ?(X, X ). Поскольку ?(X, X )
# #
индуцируется в X топологией ?(X , X ) в X , то U = ?(sU ). Здесь
(см. 10.6.3) sU : X > R действует по правилу sU (x ) := sup x (U ). По
теореме Крейна — Мильмана для субдифференциалов 3.6.5 множе-
ство крайних точек ext(U ) не пусто. Замыкание выпуклой оболочки
множества ext(U ) является субдифференциалом по теореме 10.6.3.
Кроме того, это множество имеет sU своей опорной функцией и,
стало быть, совпадает с U (ср. 3.6.6).
10.6.6. Пусть X - Y и S — конический отрезок в X. Пусть,
далее, pS — функционал Минковского S. Поляра ?(S) служит про-
образом при кет-отображении (алгебраического) субдифференциала
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
234

?(pS ), т. е.
?1
?(S) = | ?(pS ) R.

Если S — абсолютно выпуклое множество, то абсолютная поляра S ?
является прообразом при кет-отображении (алгебраического) суб-
дифференциала полунормы |?|(pS ), т. е.

S ? = | |?|(pS ) ?1

<< Пред. стр.

стр. 25
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>