<< Пред. стр.

стр. 26
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

.

Если y ? YR таков, что y ? | ?(pS ) ?1 , то | y R входит в
R
?(pS ). Значит, для x ? S выполнено Re x | y = x | y R = | y R (x) ?
pS (x) ? 1, ибо S ? {pS ? 1} по теореме о функционале Минковско-
го 3.8.7. Следовательно, y ? ?(S).
Если, в свою очередь, y ? ?(S), то элемент | y R входит в ?(pS ).
В самом деле, для любого элемента x из XR при ? > pS (x) имеем
1 > pS (??1 x), т. е. ??1 x ? {pS < 1} ? S. Отсюда ??1 x | y R =
Re ??1 x | y = ??1 Re x | y ? 1. Окончательно получаем | y R (x) ?
?. Из-за произвольности выбора ? последнее неравенство означает,
что | y R (x) ? pS (x). Иначе говоря, y ? | ?(ps ) ?1 . Тем самым равен-
R
ство ?(S) = | ?(pS ) ?1 установлено. Оставшаяся часть утверждения
R
следует из свойств комплексификатора 3.7.3 и 3.7.9.
10.6.7. Теорема Алаоглу — Бурбаки. Поляра окрестности
нуля любой согласованной с двойственностью топологии является
слабо компактным выпуклым множеством.
Пусть U — окрестность нуля в пространстве X и ?(U ) —
поляра U (в двойственности X - X ). Так как U ? {p ? 1}
для некоторой непрерывной полунормы p, на основании 10.5.2 (4),
?
?(U ) ? ?({p ? 1}) = ?(Bp ) = Bp . Привлекая 10.6.6 и учитывая,
что p есть функционал Минковского Bp , видим, что ?(U ) ? |?|(p).
В силу 10.6.2 топологический субдифференциал полунормы |?|(p)
является ?(X , X)-компактным. По определению ?(U ) — слабо за-
мкнутое множество. Остается сослаться на 9.4.9, чтобы убедиться в
?(X , X)-компактности ?(U ). Выпуклость ?(U ) несомненна.

10.7. Рефлексивные пространства
10.7.1. Критерий Какутани. Нормированное пространство
рефлексивно в том и только в том случае, если единичный шар в
нем слабо компактен.
10.7. Рефлексивные пространства 235

?: Пусть X рефлексивно, т. е. (X) = X . Иными словами,
образ X при двойном штриховании совпадает с X . Так как шар
BX — это поляра шара BX при двойственности X - X , то BX
— это ?(X , X )-компактное множество по теореме Алаоглу — Бур-
баки 10.6.7. Остается эаметить, что BX есть (образ при двойном
штриховании) BX , а ?(X, X ) есть (прообраз при двойном штрихо-
вании) ?(X , X ).
?: Рассмотрим двойственность X - X . По определению шар
BX представляет собой биполяру BX (точнее говоря, биполяру мно-
жества (BX ) ). Привлекая теорему об абсолютной биполяре 10.5.9
и учитывая, что слабая топология ?(X, X ) индуцирована в X то-
пологией ?(X , X ), заключаем, что BX = BX (из-за бесспорной
абсолютной выпуклости и замкнутости этого множества, обеспечен-
ной условием его компактности). Таким образом, X рефлексивно.
10.7.2. Следствие. Нормированное пространство будет рефле-
ксивным в том и только в том случае, если любое ограниченное за-
мкнутое выпуклое множество в нем слабо компактно.
10.7.3. Следствие. Каждое замкнутое подпространство реф-
лексивного пространства рефлексивно.
По теореме Мазура 10.4.9 рассматриваемое подпространство,
а потому и шар в нем слабо замкнуты. Стало быть, достаточно
дважды применить критерий Какутани.
10.7.4. Теорема Петтиса. Банахово пространство и сопряжен-
ное к нему пространство рефлексивны (или не рефлексивны) одно-
временно.
Если X рефлексивно, то ?(X , X) совпадает с ?(X , X ),
стало быть, учитывая теорему Алаоглу — Бурбаки 10.6.7, заключа-
ем, что BX — это ?(X , X )-компактное множество. Значит, X
рефлексивно. Если же рефлексивно X , то по уже доказанному ре-
флексивно X . Но X, будучи банаховым пространством, являет-
ся замкнутым подпространством X . Итак, X рефлексивно в си-
лу 10.7.3.
10.7.5. Теорема Джеймса. Банахово пространство рефлек-
сивно в том и только в том случае, если любой непрерывный (веще-
ственно) линейный функционал принимает наибольшее значение на
единичном шаре этого пространства.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
236

10.8. Пространство C(Q, R)
10.8.1. Замечание. Всюду в текущем параграфе Q — непу-
стой компакт (= непустое компактное хаусдорфово пространство),
а C(Q, R) — это множество непрерывных вещественных функций
на Q. Множество C(Q, R) без особых на то указаний рассматрива-
ют с естественными «поточечными» алгебраическими операциями
и отношением порядка, а также с топологией нормы · := · ? ,
отвечающей метрике Чебыш?ва (см. 4.6.8). В этом смысле тракту-
е
ют высказывания: «C(Q, R) — это векторная решетка», «C(Q, R)
— это банахова алгебра» и им подобные. Если в C(Q, R) вводят
какие-либо иные структуры, то это обязательно оговаривают явно.
10.8.2. Определение. Подмножество L в C(Q, R) называют
подрешеткой, если для f1 , f2 ? L выполнено f1 ? f2 ? L, f1 ? f2 ? L,
где, как обычно,

f1 ? f2 (q) := f1 (q) ? f2 (q),
f1 ? f2 (q) := f1 (q) ? f2 (q) (q ? Q).

10.8.3. Замечание. Следует иметь в виду, что быть подрешет-
кой в пространстве C(Q, R) — это больше, чем быть решеткой от-
носительно порядка, индуцированного из C(Q, R).
10.8.4. Примеры.
(1) ?; C(Q, R); замыкание подрешетки.
(2) Пересечение любого множества подрешеток — снова
подрешетка.
(3) Пусть L — некоторая подрешетка и Q0 — подмноже-
ство Q. Положим

LQ0 := {f ? C(Q, R) : (? g ? L) g(q) = f (q) (q ? Q0 )}.

Тогда LQ0 — подрешетка. При этом L ? LQ0 .
(4) Пусть Q0 — компактное подмножество Q. Для под-
решетки L в C(Q, R) положим

: f ?L .
L := f
Q0 Q0
10.8. Пространство C(Q, R) 237

Таким образом, выполнено

LQ0 = f ? C(Q, R) : f ?L .
Q0 Q0

Ясно, что L Q — подрешетка в C(Q0 , R). Если при этом L —
0
векторная подрешетка в C(Q, R), т. е. векторное подпространство
и одновременно подрешетка C(Q, R), то L Q — векторная подре-
0
шетка в C(Q0 , R) (разумеется, если Q0 = ?).
(5) Пусть Q := {1, 2}. Тогда C(Q, R) R2 . Любая
ненулевая векторная подрешетка в R2 задается в виде

{(x1 , x2 ) ? R2 : ?1 x1 = ?2 x2 }

для некоторых ?1 , ?2 ? R+ .
(6) Пусть L — векторная подрешетка C(Q, R). Если
q ? Q, то возникает альтернатива: либо L{q} = C(Q, R), либо L{q} =
{f ? C(Q, R) : f (q) = 0}. Если же q1 , q2 — две различные точки
Q и L {q ,q } = 0, то в силу 10.8.4 (5) найдутся числа ?1 , ?2 ? R+
12
такие, что

L{q1 ,q2 } = {f ? C(Q, R) : ?1 f (q1 ) = ?2 f (q2 )}.

10.8.5. Пусть L — подрешетка в пространстве C(Q, R). Функ-
ция f ? C(Q, R) входит в замыкание L в том и только в том
случае, если для любых ? > 0 и (x, y) ? Q2 существует функция
f := fx,y,? ? L, удовлетворяющая условиям

f (x) ? f (x) < ?, f (y) ? f (y) > ??.

?: Очевидно.
?: На основании 3.2.10 и 3.2.11 можно считать, что f = 0. Возь-
мем ? > 0. Зафиксируем x ? Q и рассмотрим функцию gy := fx,y,? ?
L. Пусть Vy := {q ? Q : gy (q) > ??}. Тогда Vy — открытое множе-
ство и y ? Vy . В силу компактности Q найдутся y1 , . . . , yn ? Q, для
которых Q = Vy1 ? . . . ? Vyn . Положим fx := gy1 ? . . . ? gyn . Ясно,
что fx ? L. Помимо этого, fx (x) < ? и fx (y) > ?? при всех y ? Q.
Пусть теперь Ux := {q ? Q : fx (q) < ?}. Множество Ux открыто и
x ? Ux . Вновь используя компактность Q, подыщем x1 , . . . , xm ? Q
такие, что Q = Ux1 ? . . . ? Uxm . Положим, наконец, l := fx1 ? . . . ? fxm .
Несомненно, что l ? L и l < ?.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
238

10.8.6. Замечание. Предложение 10.8.5 называют обобщенной
теоремой Дини (ср. 7.2.10).
10.8.7. Лемма Какутани. Для любой подрешетки L в C(Q, R)
выполнено
cl L = cl L{q1 ,q2 } .
(q1 ,q2 )?Q2

Включение cl L в cl L{q1 ,q2 } для каждого (q1 , q2 ) ? Q2 бес-
спорно. Если же f ? cl L{q1 ,q2 } при всех таких q1 , q2 , то, в силу
предложения 10.8.5, f ? cl L.
10.8.8. Следствие. Для любой векторной подрешетки L в про-
странстве C(Q, R) справедливо представление

cl L = L{q1 ,q2 } .
)?Q2
(q1 ,q2

В данном случае множество L{q1 ,q2 } замкнуто.
10.8.9. Определение. Говорят, что множество U в F Q разделя-
ет точки Q, если для любых точек q1 , q2 ? Q таких, что q1 = q2 , су-
ществует функция u ? U , принимающая различные значения в этих
точках: u(q1 ) = u(q2 ).
10.8.10. Теорема Стоуна. Содержащая постоянные функции,
разделяющая точки векторная подрешетка в пространстве C(Q, R)
плотна в C(Q, R).
Если L — рассматриваемая подрешетка, то

L{q1 ,q2 } = C(Q, R){q1 ,q2 }

для всякой пары (q1 , q2 ) ? Q2 (см. 10.8.4 (6)). Осталось привлечь
10.8.8.
10.8.11. Пусть µ ? C(Q, R) . Положим

N (µ) := {f ? C(Q, R) : [0, |f |] ? ker µ}.

Тогда существует, и притом единственное, замкнутое подмножество
supp(µ) в Q такое, что

f ? N (µ) ? f = 0.
supp(µ)
10.8. Пространство C(Q, R) 239

По лемме о сумме промежутков 3.2.15

[0, |f |] + [0, |g|] = [0, |f | + |g|].

Таким образом, f, g ? N (µ) ? |f | + |g| ? N (µ). Поскольку N (µ)
— порядковый идеал, т. е. (f ? N (µ) & 0 ? |g| ? |f | ? g ? N (µ)),
заключаем, что N (µ) — это векторное подпространство. Более того,
N (µ) замкнуто. В самом деле, пусть fn ? 0, fn > f и fn ? N (µ).
Тогда для g ? [0, f ] выполнено g ? fn > g и g ? fn ? [0, fn ]. Отсюда
следует, что µ(g) = 0, т. е. f ? N (µ).
В силу 10.8.8, учитывая, что N (µ) — порядковый идеал, имеем

N (µ) = N (µ){q} .
q?Q


Определим множество supp(µ) следующим образом:

q ? supp(µ) ? N (µ){q} = C(Q, R) ? (f ? N (µ) ? f (q) = 0).

Несомненно, что supp(µ) — замкнутое множество. При этом спра-
ведливы соотношения

N (µ) = N (µ){q} =
q?supp(µ)

= {f ? C(Q, R) : f = 0}.
supp(µ)


Утверждение об единственности вытекает из нормальности Q (см.
9.4.14) и теоремы Урысона 9.3.14.
10.8.12. Определение. Множество supp(µ), фигурирующее в
предложении 10.8.11, называют носителем µ (ср. 10.9.4 (5)).
10.8.13. Замечание. Если функционал µ положителен, то

N (µ) = {f ? C(Q, R) : µ(|f |) = 0}.

Следовательно, если при этом µ(f g) = 0 для всех g ? C(Q, R), то
f supp(µ) = 0. Аналогично supp(µ) = ? ? N (µ) = C(Q, R) ?
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
240

µ = 0. Таким образом, обращаться с носителями положительных
функционалов удобнее.
Пусть F — замкнутое подмножество Q. Говорят, что F нес?т µе
или что в X \ F нет µ, если для всякой непрерывной функции f ,
у которой supp(f ) ? Q \ F , выполнено µ(|f |) = 0. Носитель supp(µ)
нес?т µ, при этом любое несущее µ замкнутое множество в Q содер-
е
жит supp(µ). Иными словами, носитель µ — это дополнение наи-
большего открытого множества, в котором нет µ (ср. 10.10.5 (6)).
Полезно уяснить, что в силу 3.2.14 и 3.2.15 с каждым ограни-
ченным функционалом µ можно связать положительные (а пото-
му и ограниченные) функционалы µ+ , µ? , |µ|, определенные для
f ? C(Q, R)+ очевидными равенствами:
µ? (f ) = ? inf µ[0, f ]; |µ| = µ+ + µ? .
µ+ (f ) = sup µ[0, f ];
Более того, C(Q, R) является K-пространством (ср. 3.2.16).
10.8.14. Носители µ и |µ| совпадают.
По определению N (µ) = N (|µ|).
10.8.15. Пусть 0 ? a ? 1 и aµ : f > µ(af ) при f ? C(Q, R)
и µ ? C(Q, R) . Тогда |aµ| = a|µ|.
Для f ? C(Q, R)+ есть оценка

(aµ)+ (f ) = sup{µ(ag) : 0 ? g ? f } ? sup µ[0, af ] =
= µ+ (af ) = aµ+ (f ).
Помимо этого,
µ+ = (aµ + (1 ? a)µ)+ ? (aµ)+ + ((1 ? a)µ)+ ? aµ+ + (1 ? a)µ+ = µ+ .
Значит, (aµ)+ = aµ+ , откуда и вытекает требуемое.
10.8.16. Лемма де Бранжа. Пусть A — содержащая постоян-
ные функции подалгебра C(Q, R) и µ ? ext(A? ? BC(Q, R) ). Тогда
сужение любой функции из A на носитель µ — постоянная функция.
Если µ = 0, то supp(µ) = ? и доказывать ничего не надо.
Если же µ = 0, то, конечно, µ = 1. Возьмем a ? A. Поскольку по-
далгебра A содержит постоянные функции, достаточно рассмотреть
случай, когда 0 ? a ? 1 и при этом
q ? supp(µ) ? 0 < a(q) < 1.
10.8. Пространство C(Q, R) 241

Положим µ1 := aµ и µ2 := (1 ? a)µ. Ясно, что µ1 + µ2 = µ, причем
функционалы µ1 и µ2 ненулевые. Более того,

µ ? µ1 + µ2 =

= sup µ(af ) + sup µ((1 ? a)g) = µ(af + (1 ? a)g) ? µ ,
sup
f ?1 g ?1 f ?1, g ?1

ибо очевидным образом выполнено

aBC(Q, R) + (1 ? a)BC(Q, R) ? BC(Q, R) .

Итак, µ = µ1 + µ2 . Следовательно, из представления
µ1 µ2
µ = µ1 + µ2 ,
µ1 µ2

учитывая, что µ1 , µ2 ? A? , заключаем: µ1 = µ1 µ. В силу 10.8.15,
a|µ| = |aµ| = |µ1 | = µ1 |µ|. Значит, |µ|((a ? µ1 1)g) = 0 для всех
g ? C(Q, R). Используя 10.8.13 и 10.8.14, выводим, что функция a
постоянна на носителе µ.
10.8.17. Теорема Стоуна — Вейерштрасса. Каждая содер-
жащая постоянные функции разделяющая точки подалгебра C(Q, R)
плотна в алгебре C(Q, R).
По теореме об абсолютной биполяре 10.5.9 в случае, если рас-
сматриваемая подалгебра A не плотна в C(Q, R), подпространство
A? (оно же — A? ) в C(Q, R) ненулевое.
Привлекая теорему Алаоглу — Бурбаки 10.6.7, видим, что A? ?
BC(Q,R) — это непустое абсолютно выпуклое слабо компактное мно-
жество, а потому на основании теоремы Крейна — Мильмана 10.6.5
в нем имеется крайняя точка µ.
Несомненно, что µ — ненулевой функционал. В то же время по
лемме де Бранжа носитель µ не может содержать двух различных
точек, ибо A разделяет точки Q. Носитель µ не является одното-
чечным множеством, поскольку µ обращается в нуль на постоян-
ных функциях. Стало быть, supp(µ) — это пустое множество. По-
следнее означает (см. 10.8.13), что µ — нулевой функционал. Полу-
чили противоречие, показывающее, что подпространство A плотно
в C(Q, R).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
242

10.8.18. Следствие. Замыкание любой подалгебры в C(Q, R)
— векторная подрешетка в C(Q, R).
По теореме Стоуна — Вейерштрасса можно подыскать много-
член pn такой, что при всех t ? [?1, 1] будет

1
|pn (t) ? |t| | ? .
2n

Тогда |pn (0)| ? 1/2n. Поэтому для многочлена

pn (t) := pn (t) ? pn (0)

выполнено |pn (t) ? |t| | ? 1/n при ?1 ? t ? 1. По построению у pn
нет свободного члена. Если теперь функция a лежит в подалгебре
A в C(Q, R) и a ? 1, то

1
|pn (a(q)) ? |a(q)| | ? (q ? Q).
n

При этом элемент q > pn (a(q)), конечно же, содержится в A.
10.8.19. Замечание. Следствие 10.8.18 (вместе с 10.8.8) дает
полное описание всех замкнутых подалгебр в C(Q, R). В свою оче-
редь, как видно из доказательства, 10.8.18 легко установить, непо-
средственно предъявляя какую-либо последовательность многочле-
нов, равномерно сходящуюся к функции t > |t| на отрезке [?1, 1].
Вывести 10.8.17, опираясь на 10.8.18, не составляет труда.
10.8.20. Теорема Титце — Урысона. Пусть Q0 — компакт-
ное подмножество Q и f0 ? C(Q0 , R). Тогда существует функция
f ? C(Q, R) такая, что f Q = f0 .
0

Пусть Q0 = ? (иначе нечего доказывать). Рассмотрим вло-
жение ? : Q0 > Q и возникающий ограниченный линейный оператор
? ?
? : C(Q, R) > C(Q0 , R), действующий по правилу ?f := f ? ?. Тре-
?
буется установить, что ? — эпиморфизм. Поскольку несомненно,
?
что im ? — это разделяющая точки, содержащая постоянные функ-
ции подалгебра C(Q0 , R), в силу 10.8.17 достаточно (и, разумеется,
?
необходимо) проверить, что im ? — замкнутое подпространство.
10.9. Меры Радона 243
?
Рассмотрим снижение ? оператора ? на собственный кообраз
? ?
coim ? := C(Q, R)/ ker ? и соответствующее каноническое отображе-
ние ?. Для f ? C(Q, R) положим

g := (f ? sup |f (Q0 )|1) ? (? sup |f (Q0 )|1).

, т. е. f := ?(f ) = ?(g). Значит, g ?
По определению f =g
Q0 Q0
f . Помимо этого,
?
: ?(h ? f ) = 0 =
f = inf h C(Q,R)

?
h :h =f
= inf C(Q,R) Q0 Q0
? inf h :h =f =
Q0 C(Q,R) Q0 Q0

= sup |f (Q0 )| = g ? f .

Таким образом, выполнено
? ?
?f = ?g = ?g =
C(Q0 ,R)

= g?? = sup |g(Q0 )| = g = f ,
C(Q0 ,R)

т. е. ? — изометрия. Применяя последовательно 5.5.4 и 4.5.15, вы-
?
водим сначала, что coim ? — банахово пространство, а затем — что
?
im ? замкнуто в C(Q0 , R). Осталось заметить, что im ? = im ?.

<< Пред. стр.

стр. 26
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>