<< Пред. стр.

стр. 27
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


10.9. Меры Радона
10.9.1. Определение. Пусть — это локально компактное то-
пологическое пространство. Полагают K( ) := K( , F) := {f ?
C( , F) : supp(f ) — компакт}. Если Q — компакт в , то счи-
тают K(Q) := K (Q) := {f ? K( ) : supp(f ) ? Q}. Простран-
ство K(Q) наделяют нормой · ? . При E ? Op ( ) полагают
K(E) := ? {K(Q) : Q E}. (Запись Q E для подмножества E в
означает, что Q компактно и Q лежит во внутренности E, вычис-
ленной в пространстве .)
10.9.2. Справедливы утверждения:
(1) для Q и f ? C(Q, F) верно

=0? ? g ? K(Q) g
f =f .
?Q Q
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
244

При этом K(Q) — банахово пространство;
(2) пусть Q, Q1 , Q2 — компактные множества и Q
Q1 ? Q2 . Линейная оболочка в C(Q, F) следов на
Q функций вида u1 · u2 (q1 , q2 ) := u1 ? u2 (q1 , q2 ) :=
u1 (q1 )u2 (q2 ) для us ? K(Qs ) плотна в C(Q, F);
(3) если — компакт, то K( ) = C( , F). Пусть
не компактно. Тогда при естественном вложении в
C( · , F), где · := ? {?} — александровская ком-
пактификация , пространство K( ) плотно в гипер-
плоскости {f ? C( · , F) : f (?) = 0};
(4) отображение E ? Op ( ) > K(E) ? Lat (K( )) со-
храняет точные верхние границы;
(5) для E , E ? Op ( ) точна следующая последователь-
ность:


?(E ?(E
,E ) ,E )
0 > K(E ? E ) ? ? ? K(E ) ? K(E ) ? ? ? K(E ? E ) > 0,
? ?> ??>

где ?(E := (f, ?f ), ?(E
,E ) f g) := f + g.
,E ) (f,

(1) Граница ?Q — это и граница внешности int( \ Q).
(2) Исследуемое множество — подалгебра. Заключение следует
из 9.3.13 и 10.8.17 (ср. 11.8.2).
(3) Можно считать, что F = R. Учитывая, что K( ) — порядко-
вый идеал, в силу 10.8.8 заключаем требуемое (ибо K( ) разделяет
точки · ) (ср. 10.8.11).
(4) Ясно, что K(sup ?) = K(?) = 0. Если E ? Op ( ) и E
фильтровано по возрастанию, то для f ? K(?E ) будет: supp(f ) ?
E для некоторого E ? E (в силу компактности supp(f )). Отсюда
K(?E ) = ?{K(E) : E ? E }. Пусть, наконец, E1 , . . . , En ? Op ( ) и
f ? K(E1 ? . . . ? En ). В соответствии с 9.4.18 имеются ?k ? K(Ek )
n n
такие, что k=1 ?k = 1. При этом f = k=1 ?k f и supp(f ?k ) ?
Ek (k := 1, . . . , n).
(5) немедленно следует из (4).

10.9.3. Определение. Функционал µ ? K( , F)# называют
мерой (более полно, F-мерой) Радона на и пишут µ ? M ( ) :=
M ( , F), если µ K(Q) ? K(Q) , как только Q . Используют
10.9. Меры Радона 245

обозначения

f (x) dµ(x) := µ(f ) (f ? K( )).
f dµ := f dµ :=


Величину µ(f ) называют интегралом f по мере µ. В этой связи
меру µ именуют интегралом.
10.9.4. Примеры.
(1) Для q ? мера Дирака ?q : f > f (q) (f ? K( ))
служит мерой Радона. Ее часто обозначают символом ?q и называют
дельта-функцией в точке q.
Пусть дополнительно наделено структурой группы, причем
обращение q ? > q ?1 ? и групповое умножение (s, t) ? ? >
st ? непрерывны, т. е. — локально компактная группа. Симво-
лом ? обозначают ?e , где e — единица . Для абелевых (коммутатив-
ных) групп используется также символика, связанная со сложением.
В K( ) для a ? имеются операторы (левого и правого) сдвигов
(a ? f )(q) := a f (q) := f (a?1 q),
(?a f )(q) := fa (q) := f (qa?1 )
(f ? K( ), q ? ) (сдвигается f в ? F). Ясно, что a ? , ?a ?
L (K( )). Важным и глубоким обстоятельством является наличие
нетривиальной инвариантной относительно левых (соответственно,
правых) сдвигов меры из M ( , R). (Лево)инвариантные меры Ра-
дона пропорциональны. (Каждую) ненулевую (левоинвариантную)
положительную меру Радона называют (левой) мерой Хаара (реже
интегралом Хаара). В случае правых сдвигов используют термин
(правая) мера Хаара. Для абелевых групп всегда говорят о мерах
Хаара. В пространстве RN такой мерой служит обычная мера Лебе-
га. В связи с этим для обозначения общих мер Хаара и интегралов
по ним используют символику, аналогичную принятой для меры Ле-
бега. В частности, условие левоинвариантности записывают в виде

f (a?1 x) dx = f (x) dx (f ? K( ), a ? ).


(2) Пусть M ( ) := (K( ), · ? ) . Элементы M ( ) на-
зывают конечными или ограниченными мерами Радона. Ясно, что
ограниченные меры взяты из пространства C( · , F) (см. 10.9.2 (2)).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
246

(3) Для µ ? M ( ) полагают µ? (f ) = µ(f ? )? , где f ? (q) :=
f (q)? для q ? и f ? K( ). Меру µ? называют эрмитово сопря-
женной к µ. Различие µ? и µ возникает лишь при F = C. Если
µ = µ? , то говорят о вещественной C-мере. Ясно, что µ = µ1 + iµ2 ,
где µ1 , µ2 — единственным образом определенные вещественные C-
меры. В свою очередь, вещественная C-мера порождается двумя
R-мерами (вещественными мерами из M ( , R)), ибо K( , C) —
это комплексификация K( , R) ? iK( , R). Вещественные R-меры,
очевидно, составляют K-пространство. При этом интеграл по ме-
ре служит (пред)интегралом и возникает возможность без особых
оговорок рассматривать соответствующие лебеговы расширения и
связанные с ними пространства суммируемых (в том числе вектор-
нозначных) функций (ср. 5.5.9 (4), 5.5.9 (5)).
С каждой мерой Радона µ связывают положительную меру |µ|,
определенную для f ? K( , R), f ? 0, соотношением

|µ|(f ) := sup{|µ(g)| : g ? K( , F), |g| ? f }.

Часто под словом меры понимают положительные меры, прочие ме-
ры в этом случае называют зарядами.
Меры µ и ? называют дизъюнктными или независимыми, если
|µ| ? |?| = 0. Меру ? называют абсолютно непрерывной относи-
тельно µ, если ? не зависит от мер, независимых от µ. Такую меру
? можно задать в виде ? = f µ, где f ? L1,loc (µ) и мера f µ (с плот-
ностью f относительно µ) действует по правилу (f µ)(g) := µ(f g)
(g ? K( )) (= теорема Радона — Никодима).
(4) Если ? Op ( ) и µ ? M ( ), то определено суже-
ние µ := µ K( ) . Оператор ограничения µ > µ из M ( ) в M ( )
удовлетворяет условию согласования: для ? ? и µ ? M( )
верно µ = (µ ) . Эту ситуацию выражают словами: отображе-
ние M : E ? Op ( ) > M (E) и оператор ограничения (= функтор
M ) задают предпучок (векторных пространств). Полезно убедиться,
что отображение ограничения мер Радона не обязано быть эпимор-
физмом.
(5) Пусть E ? Op ( ) и µ ? M ( ). Говорят, что в E
нет µ или что \ E нес?т µ, если µE = 0. На основании 10.9.2 (4)
е
существует наименьшее замкнутое множество supp(µ), несущее µ, —
10.9. Меры Радона 247

носитель меры µ. Устанавливается, что supp(µ) = supp(|µ|). Вве-
денное определение согласовано с 10.8.12. Мера Дирака ?q — един-
ственная с точностью до множителя мера Радона с носителем {q}.
(6) Пусть k — локально компактное пространство и µk ?
M ( k ) (k := 1, 2). На произведении 1 ? 2 существует, и притом
единственная, мера µ такая, что для uk ? K( k ) выполнено

u1 (x)u2 (y) dµ(x, y) = u1 (x) dµ1 (x) u2 (y) dµ2 (y).
1? 2 1 2


Используют обозначения µ1 ?µ2 := µ1 ?µ2 := µ. Привлекая 10.9.2 (4),
видим, что для f ? K( 1 ? 2 ) значение µ1 ?µ2 (f ) можно вычислить
повторным интегрированием (= теорема Фубини для мер).
(7) Пусть G — локально компактная группа и заданы
µ, ? ? M (G). Для f ? K(G) функция f?(s, t) := f (st) непрерывна и
|(µ ? ?)(f?)| ? µ ? f ? . Тем самым определена мера Радона µ ?
?(f ) := (µ??)(f?) (f ? K(G)), называемая св?рткой µ и ?. Используя
е
векторные интегралы, получаем представления:

µ?? = ?s ? ?t dµ(s)d?(t) =
G?G

?s ? ? dµ(s) = µ ? ?t d?(t).
=
G G

Пространство ограниченных мер относительно св?ртки предста-
е
вляет собой банахову алгебру — св?рточную алгебру M (G). Эта ал-
е
гебра коммутативна в том и только в том случае, когда G — абелева
группа. В названном случае пространство L1 (G), построенное отно-
сительно меры Хаара m, также обладает естественной структурой
св?рточной алгебры (подалгебры M (G)). Ее называют групповой
е
алгеброй G. Таким образом, для f, g ? L1 (G) определения св?рток
е
функций и мер согласованы (ср. 9.6.17): (f ?g)dm = f dm?gdm. Ана-
логично определяют св?ртку µ ? M (G) и f ? L1 (G) соотношением
е
(µ ? f )dm := µ ? (f dm), т. е. как плотность св?ртки относительно
е
меры Хаара. При этом, в частности,

f ?g = ?x ? gf (x) dm(x) = ?x (g)f (x) dm(x).
G G
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
248

Теорема Венделя. Пусть T ? B(L1 (G)). Тогда эквивалентны
следующие утверждения:
(i) существует мера µ ? M (G) такая, что T f = µ ? f при
f ? L1 (G);
(ii) T перестановочен со сдвигами: T ?a = ?a T для a ?
G, где ?a — единственное ограниченное продолжение
оператора сдвига с K(G) на L1 (G);
(iii) T (f ? g) = (T f ) ? g при f, g ? L1 (G);
(iv) T (f ? ?) = (T f ) ? ? для ? ? M (G), f ? L1 (G).

10.9.5. Определение. Пространства K( ) и M ( ) приведе-
ны в двойственность (индуцированную двойственностью K( ) -
K( )# ). При этом пространство M ( ) наделяют локально выпук-
лой топологией ?(M ( ), K( )), которую обычно называют широ-
кой. Пространство K( ) в свою очередь снабжают топологией Мак-
ки ?K( ) := ? (K( ), M ( )) (поэтому, в частности, (K( ), ?K( ) ) =
M ( )). Пространство ограниченных мер M ( ) рассматривают, как
правило, с сопряженной нормой: µ := sup{|µ(f )| : f ? ? 1, f ?
K( )} (µ ? M ( )).

10.9.6. Топология ?K( ) — сильнейшая из таких локально вы-
пуклых топологий, что вложение K(Q) в K( ) непрерывно при всех
Q, для которых Q (т. е. ?K( ) — топология индуктивного пре-
дела (ср. 9.2.15)).
Если ? — топология индуктивного предела и µ ? (K( ), ? ) ,
то по определению µ ? M ( ), ибо µ ? ?K(Q) непрерывно при Q .
В свою очередь, для µ ? M ( ) множество VQ := {f ? K(Q) :
|µ(f )| ? 1} — окрестность нуля в K(Q). Учитывая определение ? ,
видим, что ? {VQ : Q } = {f ? K( ) : |µ(f )| ? 1} — окрестность
нуля в ? . Стало быть, µ ? (K( ), ? ) и ? согласована с двойствен-
ностью. Поэтому ? ? ?K( ) .
С другой стороны, если p — полунорма из зеркала топологии
Макки, то p — опорная функция субдифференциала в M ( ). Сле-
довательно, ее сужение q := p ? ?K(Q) на K(Q) во всяком случае по-
лунепрерывно снизу. По теореме Гельфанда 7.2.2 (из-за бочечности
K(Q)) полунорма q непрерывна. Значит, вложение ?K(Q) : K(Q) >
(K( ), ?K( ) ) непрерывно и ? ? ?K( ) по определению индуктивного
предела.
10.9. Меры Радона 249

10.9.7. Множество A в K(RN ) ограничено (в топологии индук-
тивного предела), если sup A ? < +? и, кроме того, носители эле-
ментов A лежат в общем компакте.
Пусть вопреки доказываемому для Q RN не верно, что A ?
K(Q). Иначе говоря, пусть для n ? N имеются qn ? RN и an ? A, для
которых an (qn ) = 0 и |qn | > n. Взяв B := {n|an (qn )|?1 ?qn : n ? N},
видим, что это множество мер Радона широко ограничено и, стало
быть, полунорма p(f ) := sup{|µ|(|f |) : µ ? B} непрерывна. При
этом p(an ) ? n|an (qn )|?1 ?qn (|an |) = n, что противоречит ограничен-
ности A.
10.9.8. Замечание. Пусть (fn ) ? K(RN ). Пишут fn K 0, ес-
ли (? Q R )(? n) supp(fn ) ? Q & fn ? > 0. Из 10.9.7 немедленно
N

следует, что µ ? K(RN )# является мерой Радона, если µ(fn ) > 0,
как только fn K 0. Отметим также, что это сохраняется для
любого локально компактного , счетного в бесконечности, т. е.
представляющего собой объединение счетного семейства компакт-
ных пространств.
10.9.9. Замечание. На R существуют последовательности ве-
щественных положительных многочленов (pn ) такие, что меры pn dx
широко сходятся к ? при n > +?. Рассматривая произведения мер,
приходим к таким полиномам Pn на пространстве RN , что Pn dx ши-
роко сходятся к ? (здесь, как обычно, dx := dx1 ? . . . ? dxN — мера
Лебега на RN ).
Пусть теперь f ? K(RN ) и f принадлежит классу C (m) в неко-
торой окрестности компакта Q (т. е. имеет там соответствующие
непрерывные производные). Рассматривая св?ртки (f ? Pn ), видим,
е
что это последовательность многочленов, равномерно аппроксими-
рующая на Q как f , так и ее производные до порядка m включи-
тельно.
Возможность подобной регуляризации принято называть обоб-
щенной теоремой Вейерштрасса в RN (ср 10.10.2 (4)).
10.9.10. Теорема о локальном задании меры. Пусть E —
открытое покрытие и (µE )E?E — семейство мер Радона: µE ?
M (E), причем для любой пары (E , E ) элементов E сужения мер
µE и µE на E ? E совпадают. Тогда существует, и притом един-
ственная, мера µ на , сужение которой на E равно µE для любого
E ? E.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
250

Привлекая 10.9.2 (5), построим последовательность
? ?
K(E ? E ) ?> K(E) ?> K( ) > 0,
{E ,E } E?E
E ,E ?E =E
,E
где ? порождено суммированием «координатных» вложений ?(E ,E ) ,
а ? — обычное сложение. Прямые суммы по общему правилу топо-
логизированы как индуктивные пределы (ср. 10.9.6).
Убедимся в точности построенной последовательности. Посколь-
ку выполнено K( ) = ?Q K(Q), с учетом 10.9.2 (4), можно ограни-
читься случаем конечного покрытия и установить точность во вто-
ром члене.
Итак, пусть для покрытий из n элементов {E1 , . . . , En } (n ? 2)
доказано, что точна последовательность
n
?n ?
n
Kn ?> K(Ek ) ?> K(E1 ? . . . ? En ) > 0,
k=1
где ?n — «сужение» ? на Kn , а отображение ?n — суммирование и
K(Ek ? El ).
Kn :=
k<l
k,l?{1,...,n}

По допущению im ?n = ker ?n . Если ?n+1 (f , fn+1 ) = 0, где f :=
(f1 , . . . , fn ), то ?n f = ?fn+1 и fn+1 ? K((E1 ? . . . ? En ) ? En+1 ).
На основании эпиморфности ?n , обеспеченной 10.9.2 (5), суще-
ствуют ?k ? K(Ek ? En+1 ) такие, что для ? := (?1 , . . . , ?n ) будет
?n ? = ?fn+1 . Отсюда (f ? ?) ? ker ?n и по допущению можно подо-
брать ? ? Kn , для которого ?n ? = f ? ?. Ясно, что
n
Kn+1 = Kn ? K(Ek ? En+1 )
k=1
(с точностью до изоморфизма), ? := (?, ?1 , . . . , ?n ) ? Kn+1 и ?n+1 ? =
(f , fn+1 ).
Переходя к сопряженной диаграмме (ср. 7.6.13), имеем точную
последовательность
? ?
0 > M ( ) ?> M (E) ?> M (E ? E ).
{E ,E }
E?E
E ,E ?E ,E =E
Это и требовалось установить.
10.10. Пространства D( ) и D ( ) 251

10.9.11. Замечание. В топологии предпучки, допускающие та-
кую возможность локального задания своих элементов, называют
пучками. В этой связи утверждение 10.9.10 выражают словами:
> M ( ) — это пучок или, более кате-
предпучок мер Радона
горично, функтор M — пучок (ср. 10.9.4 (4)).

10.10. Пространства D (?) и D (?)
10.10.1. Определение. Основной или пробной называют фи-
нитную гладкую функцию f : RN > F. При этом пишут f ?
D(RN ) := D(RN , F). Для Q RN и ? Op (RN ) полагают D(Q) :=
f ? D(RN ) : supp(f ) ? Q и D( ) := ? {D(Q) : Q }.
10.10.2. Справедливы утверждения:
(1) D(Q) = 0 ? int Q = ?;
(2) пусть Q RN и

??f
f n,Q := C(Q) :=
|?|?n

sup |(? ?1 . . . ? ?n f )(Q)|
:=
??(Z+)N
?1 +...+?N ?n

для гладкой (в окрестности Q) функции f (как обыч-
но, Z+ := N ? {0}). Мультинорма MQ := { · n,Q :
n ? N} превращает D(Q) в пространство Фреше;
(3) пространство гладких функций C? ( ) := E ( ) на
? Op (RN ) с мультинормой M := { · n,Q : n ?
N, Q } — пространство Фреше. При этом D( )
плотно в C? ( );
(4) пусть Q1 RN , Q2 RM и Q Q1 ? Q2 . Ли-
нейная оболочка в D(Q) следов на Q функций ви-
да f1 f2 (q1 , q2 ) := f1 ? f2 (q1 , q2 ) := f1 (q1 )f2 (q2 ), где
qk ? Qk , fk ? D(Qk ), плотна в D(Q);
(5) отображение E ? Op ( ) > D(E) ? Lat (D( )) сохра-
няет точные верхние границы:

D(E ? E ) = D(E ) ? D(E ),
D(E ? E ) = D(E ) + D(E );
D(?E ) = L (? {D(E) : E ? E }) (E ? Op ( )).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
252

При этом точной является следующая последователь-
ность (ср. 10.9.2 (5)):


?(E ,E ?(E ,E
) )
0 > D(E ? E ) ? ? ? D(E ) ? D(E ) ? ? ? D(E ? E ) > 0.
? ?> ? ?>

(1) и (2) очевидны.
(3) Выбираем последовательность (Qm )m?N , для которой Qm
Qm+1 , ?m?N Qm = . При этом мультинорма { · n,Qm :
, Qm
n ? N, m ? N} счетна и эквивалентна M . Ссылка на 5.4.2 об-
основывает метризуемость. Полнота сомнений не вызывает. Для
установления плотности D( ) в C? ( ) рассмотрим множество сре-
зывателей Tr ( ) := {? ? D( ) : 0 ? ? ? 1}. Превращаем Tr ( ) в
направление, полагая ?1 ? ?2 ? supp(?1 ) ? int{?2 = 1}. Ясно, что
для f ? C? ( ) сеть (?f )??Tr ( ) аппроксимирует f нужным образом.
(4) Пусть a(q , q ) := a (q )a (q ), где a , a — усредняющие ядра
в R и в RM соответственно, а q ? RN и q ? RM . Для f ? D(Q),
N

m ? N и ? > 0 подберем ? из условия f ? f ? a? m,Q ? ?/2. Учиты-
вая равностепенную непрерывность семейства F := {? ? f (q)?q (a? ) :
|?| ? m, q ? Q1 ? Q2 }, найдем конечные множества ? Q1 ,
? Q2 так, чтобы интеграл каждой функции из F с точностью
до 1/2 (N + 1)?m ? аппроксимировался суммой Римана, отвечающей
? . Возникающая при этом функция f из D(Q)
точкам из
требуемая, т. е. f ? f m,Q ? ?.
(5) устанавливают как 10.9.2 (4) с заменой 9.4.18 на 9.6.19 (2).
10.10.3. Замечание. Для проверки 10.10.2 (4) можно приме-
нить обобщенную теорему Вейерштрасса, соединенную со срезыва-
нием, обеспечивающим финитность конструируемых приближений.
10.10.4. Определение. Функционал u ? D( , F)# называ-
ют обобщенной функцией или распределением (иногда добавляют

<< Пред. стр.

стр. 27
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>