<< Пред. стр.

стр. 28
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

ссылку на природу поля F) и пишут u ? D ( ) := D ( , F), если
u |D(Q) ? D (Q) := D , как только Q . Используют обычные обо-
значения u, f := f | u := u(f ), а иногда и наиболее выразительный
единый символ

(f ? D( )).
f (x)u(x) dx := u(f )
10.10. Пространства D( ) и D ( ) 253

10.10.5. Примеры.
(1) Пусть g ? L1,loc (RN ) — некоторая локально интегри-
руемая функция. Тогда отображение

(f ? D( ))
ug (f ) := f (x)g(x) dx

задает распределение ug . Обобщенные функции такого вида называ-
ют регулярными. Для обозначения регулярной обобщенной функции
ug используют более удобный символ g. В этой связи, в частности,
пишут: D( ) ? D ( ) и ug = | g .
(2) Каждая мера Радона — распределение. Всякое по-
ложительное распределение u (т. е. такое, что f ? 0 ? u(f ) ? 0)
задано положительной мерой.
(3) Говорят, что распределение u обладает порядком не
выше m, если для любого Q RN существует число tQ такое, что

|u(f )| ? tQ f (f ? D(Q)).
m,Q

Естественным образом вводят понятия порядка распределения и рас-
пределения конечного порядка. Разумеется, не каждое распределе-
ние обязано иметь конечный порядок.
(4) Пусть ? — мультииндекс: ? ? (Z+ )N и u — распреде-
ление: u ? D ( ). Для f ? D( ) полагают (? ? u)(f ) := (?1)|?| u(? ? f ).
Возникающее распределение ? ? u называют производной u (поряд-
ка ?). Говорят также об обобщенном дифференцировании, о произ-
водных в смысле теории распределения и т. п., применяя обычные
символы.
Производная (ненулевого порядка) меры Дирака — это не мера.
В то же время ? ? D (R) служит производной функции Хевисайда
? (?1) := H, где H : R > R — характеристическая функция R+ . Ес-
ли производная (регулярной) обобщенной функции u — регулярное
распределение ug , то g называют производной u в смысле Соболева.
Для основной функции такая производная совпадает с обычной.
(5) Для u ? D ( ) полагают u? (f ) := u(f ? )? . Возника-
ющее распределение u? называют (эрмитово) сопряженным к u.
Наличие инволюции ? позволяет, как обычно (ср. 10.9.3 (3)), гово-
рить о вещественных распределениях и о порождении с их помощью
комплексных обобщенных функций.
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
254

(6) Пусть E ? Op ( ) и u ? D ( ). Для f ? D(E), оче-
видно, определен скаляр u(f ). Тем самым возникает распределение
uE ? D (E), называемое сужением u на E. Очевидно, что функ-
тор D — это предпучок.
При u ? D ( ) и E ? Op ( ) говорят, что в E нет u, если uE = 0.
В силу 10.10.4 (5), распределения u нет и в объединении тех откры-
тых подмножеств в , в которых u отсутствует. Дополнение (до RN )
наибольшего открытого множества, в котором нет u, называют носи-
телем u и обозначают supp(u). Отметим, что supp(? ? u) ? supp(u).
Кроме того, распределение с компактным носителем имеет конечный
порядок.
(7) Пусть u ? D ( ) и f ? C? ( ). Для g ? D( ) будет
f g ? D( ). Полагают (f u)(g) := u(f g). Возникающее распределение
f u называют произведением f на u. Пусть теперь Tr ( ) — направ-
ление срезывателей. Если существует предел lim??Tr ( ) u(f ?), то
говорят, что u применимо к функции f . Ясно, что распределение u
с компактным носителем применимо к любой функции из C? ( ).
При этом u ? E ( ) := C? ( ) . В свою очередь, каждый элемент
u ? E ( ) (см. 10.10.2 (3)), очевидно, однозначно определяет рас-
пределение u ? D ( ) с компактным носителем.
Если f ? C? ( ) и ? ? f supp(u) = 0 при всех ?, для которых |?| ?
m, где u — распределение с компактным носителем порядка не выше
m, то, как можно удостовериться, u(f ) = 0. В частности, отсюда
следует, что точечный носитель имеют только линейные комбинации
меры Дирака и ее производных.
(8) Пусть 1 , 2 ? Op (RN ) и uk ? D ( k ). На произ-
ведении 1 ? 2 существует, и притом единственное, распределе-
ние u такое, что для fk ? D( k ) выполнено u(f1 f2 ) = u1 (f1 )u2 (f2 ).
Это распределение обозначают u1 ? u2 или же u1 ? u2 . Привлекая
10.10.2 (4), видим, что для f ? D( 1 ? 2 ) значение u(f ) можно
найти последовательным применением u1 и u2 . Точнее говоря,
u(f ) = u2 (y ? > u1 (f (·, y))) =
2

= u1 (x ? > u2 (f (x, ·))).
1

В более образных обозначениях имеем теорему Фубини для распре-
делений:
f (x, y)(u1 ? u2 )(x, y) dxdy =
1? 2
10.10. Пространства D( ) и D ( ) 255
? ?
? f (x, y)u1 (x) dx? u2 (y) dy =
=
2 1
? ?
? f (x, y)u2 (y) dy ? u1 (x) dx.
=
1 2

Полезно отметить, что

supp(u1 ? u2 ) = supp(u1 ) ? supp(u2 ).

(9) Пусть u, v ? D (RN ). Для f ? D(RN ) положим
+ +
f := f ? +. Ясно, что f ? C? (RN ? RN ). Говорят, что распре-
деления u и v св?ртываемы, конволютивны или сворачиваемы, если
е
+
произведение u ? v применимо к любой функции f ? C? (RN ? RN )
для f ? D(RN ). Легко видеть (ср. 10.10.10), что возникающий ли-
+
нейный функционал f > (u ? v)( f ) (f ? D(RN )) является распре-
делением. Его называют св?рткой u и v и обозначают u ? v. Несо-
е
мненно, что св?ртки функций (см. 9.6.17) и мер на RN (см. 10.9.4
е
(7)) представляют частные случаи св?ртки распределений. В неко-
е
торых множествах любая пара распределений сворачиваема. Напри-
мер, пространство E (RN ) распределений с компактными носите-
лями с операцией св?ртки в качестве умножения представляет со-
е
бой (ассоциативную, коммутативную) алгебру с единицей — дельта-
функцией ?. При этом ? ? u = ? ? ? ? u, ? ? (u ? v) = ? ? u ? v = u ? ? ? v.
Кроме того, имеет место замечательное равенство (= теорема Ли-
онса о носителях):

co (supp(u ? v)) = co (supp(u)) + co (supp(v)).

Подчеркнем, что попарная сворачиваемость распределений не обес-
печивает, вообще говоря, ассоциативности св?ртки ((1 ? ? ) ? ? (?1) = 0
е
и 1 ? (? ? ? ) = 1, где 1 := 1R ).
(?1)

Каждое распределение u сворачиваемо с основной функцией f
до регулярного распределения (u?f )(x) = u(?x (f )), где f := f — от-
ражение f , т. е. f (x) := f (?x) (x ? RN ). Оператор u? : f > u?f дей-
ствует из D(RN ) в C? (RN ), непрерывен и перестановочен со сдвига-
ми: (u?)?x = ?x u? для x ? RN . Легко видеть, что названные свойства
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
256

характеристические, т. е. если оператор T из L (D(RN ), C? (RN ))
непрерывен и перестановочен со сдвигами, то существует, и при-
том единственное, распределение u такое, что T = u? — именно
u(f ) := (T ?)(f ) для f ? D(RN ) (ср. с теоремой Венделя).

10.10.6. Определение. Пространства D( ) и D ( ) считают
приведенными в двойственность (индуцированную двойственностью
D( ) - D( )# ). При этом пространство D ( ) наделяют топо-
логией пространства распределений — ?(D ( ), D( )), а D( ) —
топологией пространства основных функций — топологией Макки
?D := ?D( ) := ? (D( ), D ( )).

10.10.7. Пусть ? Op (RN ). Тогда
(1) топология ?D — сильнейшая из таких локально вы-
пуклых топологий, что вложение D(Q) в D( ) непре-
рывно при Q (т. е. ?D — топология индуктивного
предела);
(2) множество A в D( ) ограничено в том и только в том
случае, если для некоторого Q множество A по-
падает в D(Q) и ограничено в D(Q);
(3) последовательность (fn ) сходится к f в (D( ), ?D )
в том и только в том случае, если имеется компакт
такой, что supp(fn ) ? Q, supp(f ) ? Q и (? ? fn )
Q
равномерно на Q сходится к ? ? f для всех мультиин-
дексов ? (символически: fn f );
(4) оператор T ? L (D( ), Y ), где Y — локально выпук-
лое пространство, непрерывен в том и только в том
случае, если T fn > 0, как только fn 0;
(5) каждая дельтообразная последовательность (bn ) слу-
жит (св?рточной) аппроксимативной единицей как в
е
D(R ), так и в D (RN ), т. е. для f ? D(RN ) и
N

u ? D (RN ) верно: bn ? f f (в D(RN )) и bn ? u > u
(в D (RN )).
(1) устанавливается как 10.9.6, а (2) — по аналогии с 10.9.7
= ?n?N Qn , где
с учетом представления в виде объединения
Qn Qn+1 для n ? N.
(3) Следует заметить, что сходящаяся последовательность огра-
ничена, а затем привлечь 10.10.7 (2) (ср. 10.9.8).
10.10. Пространства D( ) и D ( ) 257

(4) В силу 10.10.7 (1) непрерывность T равносильна непрерыв-
ности сужений T D(Q) для Q . В силу 10.10.2 (2) пространство
D(Q) метризуемо. Осталось сослаться на 10.10.7 (3).
(5) Ясно, что носители supp(bn ? f ) лежат в некоторой ком-
пактной окрестности supp(f ). Помимо этого, для g ? C(RN ) оче-
видно, что bn ? g > g равномерно на компактных подмножествах
RN . Применяя последнее утверждение к ? ? f и учитывая (3), ви-
дим: bn ? f f.
С учетом 10.10.5 (9) для f ? D(RN ) имеем

u(f ) = (u ? f )(0) = lim(u ? (bn ? f ))(0) =
n

= lim((u ? bn ) ? f )(0) = lim(bn ? u)(f ).
n n


10.10.8. Замечание. В связи с 10.10.7 (3) для ? Op (RN )
(m)
и m ? Z+ часто выделяют пространство D (m) ( ) := C0 ( ), со-
ставленное из финитных функций f , все производные которых ? ? f
при |?| ? m непрерывны. Пространство D (m) (Q) := {f ? D (m) ( ) :
supp(f ) ? Q} для Q снабжают нормой · m,Q , превращая его
в банахово. При этом D ( ) наделяют топологией индуктивного
(m)

предела. Таким образом, D (0) ( ) = K( ) и D( ) = ?m?N D (m) ( ).
Сходимость в D (m) ( ) последовательности (fn ) к нулю означает рав-
номерную сходимость с производными до порядка m на Q , где
supp(fn ) ? Q для всех достаточно больших n. Подчеркнем, что
D (m) ( ) составлено распределениями порядка не выше m. Соответ-
ственно
D F ( ) := D (m) ( )
m?N

— пространство всех обобщенных функций, имеющих конечный по-
рядок.
10.10.9. Пусть ? Op (RN ). Тогда
(1) пространство D( ) бочечно, т. е. каждое абсолют-
но выпуклое замкнутое поглощающее множество (=
бочка) в нем — окрестность нуля;
(2) любое ограниченное замкнутое подмножество D( )
компактно, т. е. D( ) — монтелево пространство;
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
258

(3) всякое абсолютно выпуклое множество в D( ), по-
глощающее каждое ограниченное множество, являет-
ся окрестностью нуля, т. е. D( ) — борнологическое
пространство;
(4) основные функции плотны в пространстве обобщен-
ных функций.
(1) Бочка V в D( ) такова, что VQ := V ?D(Q) — бочка в D(Q)
. Стало быть, VQ — окрестность нуля в D(Q) (см. 7.1.8).
при Q
(2) Такое множество лежит в D(Q) для некоторого Q в силу
предложения 10.10.7 (2). На основании 10.10.2 (2), D(Q) метризуемо.
Учитывая 4.6.10 и 4.6.11, последовательно приходим к требуемому.
(3) следует из борнологичности D(Q) при Q .
?
(4) Пусть g ? | D( ) , где указанная поляра вычисляется для
двойственности D( ) - D ( ). Ясно, что для f ? D( ) выполнено
uf (g) = 0, т. е. g(x)f (x) dx = 0. Итак, g = 0. Остается сослаться
на 10.5.9.
10.10.10. Теорема Шварца. Пусть (uk )k?N — последователь-
ность распределений и для каждого f ? D( ) имеется сумма
?
u(f ) := uk (f ).
k=1
Тогда u — распределение, причем
?
?
? ? uk
? u=
k=1
для всякого мультииндекса ?.
Непрерывность u обеспечена 10.10.9 (1). Помимо этого, при
f ? D( ) по определению (см. 10.10.5 (4))
? ? u(f ) =
?
|?| ?
uk (?1)|?| ? ? f =
= u (?1) ?f =
k=1
?
? ? uk (f ).
=
k=1
10.10.11. Теорема. Функтор D — пучок.
Очевидно (ср. 10.9.10 и 10.9.11).
10.10. Пространства D( ) и D ( ) 259

10.10.12. замечание. Возможность задания распределения
локальными данными, т. е. принцип локализации для обобщенных
функций, констатированный 10.10.11, допускает уточнение ввиду па-
ракомпактности RN . Именно, если E — открытое покрытие и
u ? D ( ) — распределение с локальными данными (uE )E?E , то
можно взять подчиненное E счетное (локально конечное) разбие-
?
ние единицы (?k )k?N . Видно, что u = k=1 ?k uk , где uk := uEk и
supp(?k uk ) ? Ek (k ? N).
10.10.13. Теорема. Обобщенная функция u на порядка не
выше m допускает представление в виде суммы производных мер
Радона:
? ? µ? ,
u=
|?|?m

где µ? ? M ( ).
Пусть сначала u обладает компактным носителем supp(u)
иQ — компактная окрестность supp(u). По условию будет (ср.
10.10.5 (7) и 10.10.8)

|u(f )| ? t (f ? D(Q))
??f ?
|?|?m


при некотором t ? 0.
Привлекая 3.5.7 и 3.5.3, с учетом 10.9.4 (2) имеем

(?1)|?| ? ? ??
?? ? ? ? = t
u=t
|?|?m |?|?m


для подходящего семейства (?? )|?|?m , где ?? ? |?|( · ? ).
Переходя теперь к общему случаю, рассмотрим некоторое разби-
ение единицы (?k )k?N , образованное такими ?k ? D( ), что окрест-
ности Qk носителей supp(?k ) составляют локально конечное покры-
тие (см. 10.10.12). Для распределений (?k u)k?N на основании уже
доказанного имеем
? ? µk,? ,
?k u =
|?|?m

, причем supp(µk,? ) ? Qk .
где µk,? — меры Радона на
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
260

Привлекая теорему Шварца 10.10.10, сразу видим, что опреде-
лена сумма
?
µ? (f ) := µk,? (f )
k=1

для f ? K( ) и возникающее распределение µ? — мера Радона.
Вновь апеллируя к 10.10.10, получаем:
? ? ?
? ?
? ? µ? .
u= ?k u = ? µk,? = ? µk,? =
k=1 |?|?m |?|?m |?|?m
k=1 k=1

Это и требовалось.
10.10.14. Замечание. Утверждение 10.10.13 часто называют
теоремой об общем виде распределений. Она допускает разнообраз-
ные обобщения и уточнения. Например, можно убедиться, что мера
Радона с компактным носителем служит обобщенной производной
(подходящего порядка) некоторой непрерывной функции, что поз-
воляет локально рассматривать любую обобщенную функцию как
результат обобщенного дифференцирования обычной функции.

10.11. Преобразование Фурье умеренных
распределений
10.11.1. Пусть ? — ненулевой функционал, заданный на про-
странстве L1 (RN ) := L1 (RN , C). Эквивалентны утверждения:
(1) ? — характер групповой алгебры (L1 (RN ), ?), т. е.
? = 0, ? ? L1 (RN ) и

?(f ? g) = ?(f )?(g) (f, g ? L1 (RN ))

(символически: ? ? X(L1 (RN )), ср. 11.6.4);
(2) существует, и притом единственный, вектор t ? RN
такой, что для каждого f ? L1 (RN ) выполнено

?(f ) = f (t) := (f ? et )(0) := f (x)ei(x,t) dx.
RN

(1) ? (2): Пусть ?(f )?(g) = 0. Если x ? RN , то

?(?x ? f ? g) = ?(?x ? f )?(g) = ?(?x ? g)?(f ).
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 261

Положим ?(x) := ?(f )?1 ?(?x ? f ). Тем самым корректно определено
непрерывное отображение ? : RN > C. При этом для x, y ? RN
будет

?(x + y) =
= ?(f ? g)?1 ?(?x+y ? (f ? g)) =
= ?(f )?1 ?(g)?1 · ?(?x ? f ? ?y ? g) =
= ?(f )?1 ?(?x ? f )?(g)?1 ?(?y ? g) =
= ?(x)?(y),

т. е. ? — групповой (унитарный) характер: ? ? X(RN ). Анализ
показывает, что ? = et для некоторого (очевидно, единственного)
t ? RN . При этом с учетом свойств интеграла Бохнера
? ?

?(f )?(g) = ?(f ? g) = ? ? (?x ? g)f (x) dx? =
RN

?(?x ? g)f (x) dx = f (x)?(g)?(x) dx =
=
RN RN

= ?(g) f (x)?(x) dx.
RN

Таким образом,

(f ? L1 (RN )).
?(f ) = f (x)?(x) dx
RN

<< Пред. стр.

стр. 28
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>