<< Пред. стр.

стр. 29
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


(2) ? (1): Рассматривая f , g и f ? g как распределения, для
t ? RN выводим:
f ? g(t) = uf ?g (et ) =


f (x)g(y)et (x + y) dxdy = f (x)et (x) dx g(y)et (y) dy =
=
RN RN RN RN

= uf (et )ug (et ) = f (t)g(t).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
262

10.11.2. Замечание. Проведенные рассуждения в существен-
ном сохраняются для любой локально компактной абелевой груп-
пы G. Характеры групповой алгебры из X(L1 (G)) однозначно свя-
заны с (унитарными) групповыми характерами G, т. е. с непрерыв-
ными отображениями ? : G > C, для которых

|?(x)| = 1, ?(x + y) = ?(x)?(y) (x, y ? G).

Относительно поточечного умножения множество G := X(G) таких
характеров представляет коммутативную группу. Поскольку по тео-
реме Алаоглу — Бурбаки X(L1 (G)) локально компактно в слабой то-
пологии ?((L1 (G)) , L1 (G)), то G можно рассматривать как локаль-
но компактную абелеву группу. Ее называют группой характеров G
или двойственной к G группой. Каждый элемент q ? G определяет
характер q : q ? G > q(q) ? C двойственной группы G. Возникаю-
щее вложение G в G — изоморфизм локально компактных абелевых
групп G и G (= теорема двойственности Понтрягина — ван Кам-
пена).
10.11.3. Определение. Для функции f ? L1 (RN ) отображе-
ние f : RN > C, определенное правилом

f (t) := f (t) := (f ? et )(0),

называют преобразованием Фурье f .
10.11.4. Замечание. Термин «преобразование Фурье» тракту-
ют расширительно, допуская удобную вольностью. Во-первых, его
N
сохраняют как для оператора F : L1 (RN ) > C R , действующе-
го по правилу F f := f , так и для модификаций этого оператора
(ср. 10.11.13). Во-вторых, преобразование F отождествляют с опе-
ратором F? f := f ? ?, где ? — автоморфизм (= изоморфизм на се-
бя) RN . Особенно часто используют функции: ?(x) := ? (x) := ?x,
?(x) := 2? (x) := 2?x и ?(x) := ?2? (x) := ?2?x (x ? RN ). Иными сло-
вами, преобразование Фурье вводят одной из следующих формул:

f (x)e?i(x,t) dx,
F? f (t) =
RN
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 263

F2? f (t) = f (x)e2?i(x,t) dx,
RN


f (x)e?2?i(x,t) dx.
F?2? f (t) =
RN

Поскольку группы характеров изоморфных групп изоморфны, есть
основания, допуская вольность, применять единое обозначение f
для, вообще говоря, различных функций F f , F? f , F±2? f . Выбор
для F2? (или F?2? ) диктует подходящее обозначение
символа
для F?2? (соответственно, для F2? ) (ср. 10.11.12).
10.11.5. Примеры.
(1) Пусть f (x) = 1 при ?1 ? x ? 1 и f (x) = 0 для иных
x ? R. При этом f (t) = 2t?1 sin t. Отметим, что при k? ? t0 > 0
будет

?
|f (t)| dt ? |f (t)| dt = |f (t)| dt ?
n=k
[t0 ,+?) [k?,+?) [n?,(n+1)?]
? ?
2| sin t| 1
? dt = 4 = +?.
(n + 1)? (n + 1)?
n=k n=k
[n?,(n+1)?]


Таким образом, f ? L1 (R).
/
(2) Для f ? L1 (RN ) функция f непрерывна, причем вы-
полнено неравенство f ? ? f 1 .
Непрерывность обеспечена теоремой Лебега о предельном пе-
реходе, а ограниченность — очевидной оценкой

|f (t)| ? |f (x)| dx = f (t ? RN ).
1

RN


(3) Для f ? L1 (RN ) при |t| > +? будет |f (t)| > 0 (=
теорема Римана — Лебега).
Требуемое очевидно для финитных ступенчатых функций.
Остается сослаться на 5.5.9 (6) и то, что F ? B(L1 (RN ), l? (RN )).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
264

(4) Пусть f ? L1 (RN ), ? > 0 и f? (x) := f (?x) (x ? RN ).
Тогда f? (t) = ??N f (t /? ) (t ? RN ).



f (?x)et (x) dx = ??N
f? (t) = f (?x)et/? (?x) d?x =
RN RN
t
= ??N f
?

(5) F (f ? ) = (F? f )? , (?x f ) = ex f , (ex f ) = ?x f .
(f ? L1 (RN ), x ? RN .)
Проверим только первое равенство. Поскольку a? b = (ab? )?
для a, b ? C, то, привлекая нужные свойства сопряжения и инте-
грала, для t ? RN выводим
?
i(x,t) ?
?
F (f )(t) = i(x,t)
f (x)e dx = f (x) e dx =
RN RN
?
f (x)e?i(x,t) dx = (F? f )? (t).
=
RN

(6) Для f, g ? L1 (RN ) выполнено

(f ? g) = f g; fg = f g.
RN RN

Первое равенство очевидно в связи с 10.11.1. Второе — «фор-
мула умножения» — обеспечено следующим применением теоремы
Фубини:

fg = f (x)et (x) dxg(t) dt =
RN RN RN

g(t)et (x) dt f (x) dx = f g.
=
RN RN RN

(7) Если f , f , g ? L1 (RN ), то (f g) = f ? g.
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 265

При x ? RN имеем


(f g) (x) = g(t)f (t)et (x) dt = g(t)f (y)et (y)et (x) dydt =
RN RN RN

f (y)g(t)et (x + y) dtdy =
=
RN RN

f (y ? x)g(y) dy = f ? g(x).
f (y)g(x + y) dy =
=
RN RN


(8) Для f ? D(RN ) и ? ? (Z+ )N выполнено

F (? ? f ) = i|?| t? F f, ? ? (F f ) = i|?| F (x? f );
F2? (? ? f ) = (2?i)|?| t? F2? f, ? ? (F2? f ) = (2?i)|?| F2? (x? f )

(эти равенства используют широко распространенную вольность в
обозначениях x? := t? := (·)? : y ? RN > y1 1 · . . . · yNN ).
?
?

Достаточно (ср. 10.11.4) установить формулы из первой стро-
ки. Поскольку ? ? et = i|?| t? et , то

F (? ? f )(t) = et ? ? ? f (0) =

= ? ? et ? f (0) = i|?| t? (et ? f )(0) = i|?| t? f (t).

Аналогично, дифференцируя под знаком интеграла, выводим

? ?
f (x)ei(x,t) dx =
(F f )(t) =
?t1 ?t1
RN



f (x)ix1 ei(x,t) dx = F (ix1 f )(t).
=
RN

(9) Если fN (x) := exp ?1/2 |x|2 при x ? RN , то выпол-
нено fN = (2?)N/2 fN .
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
266

Ясно, что
N
2
1
eitk xk e? 2 |x|k dxk (t ? RN ).
fN (t) =
k=1 R


Следовательно, дело сводится к случаю N = 1. При этом для y ? R
имеем

2 2
? 1 (y 2 )
1 1
e? 2 x eixy dx = e? 2 (x?iy)
f1 (y) = dx =
2


R R
2
1
e? 2 (x?iy) dx.
= f1 (y)
R

Для вычисления интересующего интеграла A рассмотрим в CR R2
(одинаково ориентированные) параллельные вещественной оси пря-
мые ?1 и ?2 . Применяя классическую теорему Коши к голоморфной
функции f (z) := exp ?z 2 /2 (z ? C) и прямоугольникам с вершина-
ми на ?1 и ?2 и производя подходящий предельный переход, заклю-
чаем: ?1 f (z) dz= ?2 f (z) dz. Отсюда выводим:

v
2 2
1 1
e? 2 (x?iy) dx = e? 2 (x ) dx =
A= 2?.
R R

10.11.6. Определение. Пространством Шварца принято на-
зывать множество быстро убывающих (иногда говорят умеренных,
ср. 10.11.17 (2)) функций

S (RN ) :=
:= f ? C? (RN ) : (??, ? ? (Z+ )N ) |x| > +? ? x? ? ? f (x) > 0

(рассматриваемое как элемент решетки функций из RN в C) с муль-
тинормой {p?,? : ?, ? ? (Z+ )N }, где p?,? (f ) := x? ? ? f ? .
10.11.7. Справедливы утверждения:
(1) S (RN ) — пространство Фреше;
(2) операторы умножения на многочлен и дифференци-
рования — непрерывные эндоморфизмы S (RN );
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 267

(3) топологию S (RN ) задает следующая (эквивалентная
исходной) мультинорма {pn : n ? N}, где
(1 + | · |2 )n ? ? f (f ? S (RN ))
pn (f ) := ?
|?|?n

(как всегда, |x| — евклидова длина вектора x ? RN );
(4) пространство D(RN ) плотно в S (RN ); помимо этого,
вложение D(RN ) в S (RN ) непрерывно и S (RN ) ?
D (RN );
(5) S (RN ) ? L1 (RN ).
Установим (4), ибо прочие утверждения проще.
Пусть f ? S (RN ) и ? — срезыватель из D(RN ) такой, что B ?
{? = 1}. Для x ? RN и ? > 0 положим
?? (x) := ?(?x), f? = ?? f.
Очевидно, f? ? D(RN ). Возьмем ? > 0 и ?, ? ? (Z+ )N . Видно,
что при 0 < ? ? 1 выполнено sup{ ? ? (?? ? 1) ? : ? ? ?, ? ?
(Z+ )N } < +?. Учитывая, что x? ? ? f (x) > 0 при |x| > +?, найдем
r > 1 такое, что |x? ? ? ((?? (x) ? 1)f (x))| < ?, как только |x| > r.
Кроме того, f? (x) ? f (x) = (?(?x) ? 1)f (x) = 0 при |x| ? ? ?1 . Таким
образом, при ? ? r?1 будет
p?,? (f? ? f ) = sup |x? ? ? ((?? (x) ? 1)f (x))| ?
|x|>? ?1

? sup |x? ? ? ((?? (x) ? 1)f (x))| < ?.
|x|>r

Стало быть, p?,? (f? ? f ) > 0 при ? > 0, т. е. f? > f в S (RN ).
Требуемая непрерывность вложения бесспорна.
10.11.8. Преобразование Фурье — непрерывный эндоморфизм
S (RN ).
Для f ? D(RN ) в силу 10.11.5 (8), 10.11.5 (2) и неравенства
Г?льдера 5.5.9 (4)
е
? ??f ? K ??f
t? f = (? ? f ) ?.
? ? 1

Стало быть,
? K ? ? (x? f )
t? ? ? f = t? (x? f ) ?.
? ?

Отсюда видно, что f ? S (RN ) и сужение F на D(Q) при Q RN
непрерывно. Остается сослаться на 10.10.7 (4) и 10.11.7 (4).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
268

10.11.9. Теорема. Повторное преобразование Фурье, рассмат-
риваемое в пространстве Шварца S (RN ), пропорционально отраже-
нию.
Пусть f ? S (RN ) и g(x) := fN (x) = exp ?1/2 |x|2 . С учетом
10.11.8 и 10.11.7 видим, что f , f , g ? L1 (RN ) и, стало быть, на
основании 10.11.5 (7), (f g) = f ? g. Положим g? (x) := g(?x) для
x ? RN и ? > 0. Тогда при тех же x из-за 10.11.5 (4)

g(?t)f (t)et (x) dt =
RN

y
1
f (y ? x)g f (?y ? x)g(y) dy.
dy =
=
?N ?
RN RN
Используя 10.11.5 (9) и привлекая теорему Лебега о предельном пе-
реходе при ? > 0, получаем:

g(0) f (t)et (x) dt = f (?x) g(y) dy =
RN RN
2
N 1
e? 2 |x| dx = (2?)N f (?x).
= (2?) 2 f (x)
RN

Окончательно F 2 f = (2?)N f .
10.11.10. Следствие. F2? — отражение и (F2? )?1 = F?2? .
2

Для f ? S (RN ) и t ? RN имеем

f (?t) = (2?)N ei(x,t) f (x) dx = e2?i(x,t) f (2?x) dx =
RN RN

= (F2? (F2? f ))(t).
Учитывая, что F2? f = F?2? f , получаем требуемое.
10.11.11. Следствие. S (RN ) — св?рточная алгебра (= алгеб-
е
ра относительно св?ртки).
е
Для f , g ? S (RN ) произведение f g — элемент S (RN ) и, стало
быть, f g ? S (RN ). С учетом 10.11.5 (6) видим, что F2? (f ? g) ?
S (RN ) и, значит, на основании 10.11.10, f ? g = F?2? (F2? (f ? g)) ?
S (RN ).
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 269

10.11.12. Теорема обращения. Преобразование Фурье F :=
F2? служит топологическим автоморфизмом пространства Швар-
ца S (RN ). При этом св?ртка переходит в произведение. Обратное
е
?1
преобразование F совпадает с F?2? и переводит произведение в
св?ртку. Кроме того, имеет место равенство Парсеваля:
е

f g? = f g? (f, g ? S (RN )).
RN RN

В связи с 10.11.10 и 10.11.5 (5) нуждаются в проверке лишь
искомые равенства. При этом, на основании 10.11.5 (7) и 10.11.7 (4),
(f g)(0) = (f ? g)(0) для рассматриваемых f и g. Привлекая установ-
ленное в 10.11.5 (5), заключаем:

f g ? = (F(F?1 f )g ? ) (0) = ((F?1 f ) ? Fg ? )(0) =
RN

Ff (Fg ? ) dx = Ff F? (g ? ) dx = Ff (Fg)? .
=
RN RN RN

10.11.13. Замечание. В связи с теоремой 10.11.9 о повторном
преобразовании Фурье, иногда наряду с F рассматривают следующие
взаимнообратные операторы:
1
Ff (t) = f (x)ei(x,t) dx;
N
(2?) 2
RN
1
?1
f (t)e?i(x,t) dt.
F f (x) = N
(2?) 2
RN

При этом имеет место аналог 10.11.12 при условии переопределения
?1
св?ртки f ? g := (2?)?N/2 f ? g (f, g ? L1 (RN )). Удобства F и F
е
связаны с небольшими упрощениями формул 10.11.5 (8). В случае F
аналогичную цель достигают введением для ? ? (Z+ )N следующего
дифференциального оператора: D? := (2?i)?|?| ? ? .
10.11.14. Теорема Планшереля. Продолжение преобразова-
ния Фурье в S (RN ) до изометрического автоморфизма простран-
ства L2 (RN ) существует, и притом единственно.
Обеспечено 10.11.12, 4.5.10 и плотностью S (RN ) в L2 (RN ).
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
270

<< Пред. стр.

стр. 29
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>