<< Пред. стр.

стр. 3
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


(R ? S)?1 = R?1 ? S ?1 ; (R ? S)?1 = R?1 ? S ?1 ;
(R ? S) ? T = (R ? T ) ? (S ? T ); R ? (S ? T ) = (R ? S) ? (R ? T );
(R ? S) ? T ? (R ? T ) ? (S ? T ); R ? (S ? T ) ? (R ? S) ? (R ? T ).

1.5. Пусть X ? X ? X. Доказать, что X = ?.
1.6. Выяснить условия разрешимости уравнений XA = B и AX = B отно-
сительно X в соответствиях, в функциях.
1.7. Найти число отношений эквивалентности на конечном множестве.
1.8. Будет ли эквивалентностью пересечение эквивалентностей? Объеди-
нение эквивалентностей?
Упражнения 11

1.9. Найти условие коммутативности эквивалентностей (относительно ком-
позиции).
1.10. Сколько порядков и предпорядков на двух- и трехэлементном множе-
ствах? Предъявить их. Что можно сказать о числе предпорядков на конечном
множестве?
1.11. Пусть F — возрастающее, идемпотентное отображение упорядочен-
ного множества X в себя. Допустим, что F мажорирует тождественное отоб-
ражение: F ? IX . Такие F называют операторами (абстрактного) замыкания
или, короче, оболочками. Исследовать свойства неподвижных точек оператора
замыкания.
1.12. Пусть X, Y — упорядоченные множества и M (X, Y ) — множество
возрастающих отображений X в Y с естественным упорядочением (каким?). До-
казать, что
(1) (M (X, Y ) — решетка) ? (Y — решетка);
(2) (M (X, Y ) — полная решетка) ? (Y — полная решетка).
1.13. Установить, что для упорядоченных множеств X, Y, Z справедливы
следующие утверждения:
(1) M (X, Y ? Z) изоморфно M (X, Y ) ? M (Y, Z);
(2) M (X ? Y, Z) изоморфно M (X, M (Y, Z)).
1.14. Сколько фильтров на конечном множестве?
1.15. Как устроены точные границы множества фильтров?
1.16. Пусть f отображает X на Y . Доказать, что каждый ультрафильтр в
Y есть образ относительно f некоторого ультрафильтра в X.
1.17. Доказать, что каждый ультрафильтр, мажорирующий пересечение
двух фильтров, тоньше хотя бы одного из них.
1.18. Доказать, что каждый фильтр представляет собою пересечение со-
держащих его ультрафильтров.
1.19. Пусть A — ультрафильтр в N, содержащий дополнения конечных
подмножеств. Для x, y ? s := RN положим x ?A y := (? A ? A ) x|A = y|A .
Обозначим ?R := RN /?A . Для t ? R знак ?t символизирует класс, содержащий
постоянную последовательность t(n) := t (n ? N). Доказать, что ?R \ {?t : t ?
R} = ?. Ввести в ?R алгебраические и порядковую структуры. Как связаны
свойства R и ?R?
Глава 2
Векторные пространства


2.1. Пространства и подпространства
2.1.1. Замечание. В алгебре, в частности, изучают модули над
кольцами. Модуль X над кольцом A определяют указанием абеле-
вой группы (X, +) и представления A в кольце эндоморфизмов X,
заданного отображением левого умножения · : A?X > X. При этом
заранее обеспечивают естественное согласование операций сложения
и умножения. С учетом сказанного трактуют фразу: «модуль X над
кольцом A описывается четверкой (X, A, +, ·)».
2.1.2. Определение. Поле вещественных чисел R и поле ком-
плексных чисел C называют основными полями. Для обозначения
основного поля используют также символ F. Считают, что поле R
стандартным (и общеизвестным) способом вложено в C.
2.1.3. Определение. Пусть F — основное поле. Модуль X над
полем F называют векторным пространством (над F). Элемен-
ты F называют скалярами, а элементы X — векторами. Вектор-
ное пространство над R называют вещественным векторным про-
странством, а векторное пространство над полем C — комплексным
векторным пространством. Употребляют соответствующие развер-
нутые записи: (X, F, +, ·), (X, R, +, ·) и (X, C, +, ·). Все же, как
правило, допускают б?льшую вольность, отождествляя множество
о
векторов X с отвечающим ему векторным пространством.
2.1.4. Примеры.
(1) Основное поле F — векторное пространство над F.
(2) Пусть (X, F, +, ·) — векторное пространство. Рас-
2.1. Пространства и подпространства 13

смотрим набор (X, F, +, ·? ), где ·? : (?, x) > ?? x для ?s ? F и x ?
X, а ?? — комплексно сопряженное к ? число. Полученное вектор-
ное пространство называют дуальным к X и обозначают X? . При
F := R пространство X? совпадает с X.
(3) Векторное пространство (X0 , F, +, ·) называют под-
пространством векторного пространства (X, F, +, ·), если X0 —
это подгруппа в X и умножение на скаляр в X0 — это сужение на
F ? X0 умножения на скаляр в X. Множество X0 называют линей-
ным множеством в X. Очень удобно, хотя и не вполне корректно,
рассматривать линейное множество X0 как векторное подпростран-
ство в X. Более того, нейтральный элемент — нуль группы X —
считают подпространством X и обозначают символом 0. Посколь-
ку связь нуля с X явно не отражена, все векторные пространства,
включая и основные поля, можно воспринять как зацепленные за
один общий нуль.
(4) Пусть (X? )?? — семейство векторных пространств
над полем F. Пусть, далее, X := ?? X? — произведение соот-
>
ветствующих множеств, т. е. совокупность отображений x :
??? X? , для которых x? := x(?) ? X? при каждом ? ? (в подобных
ситуациях всегда молчаливо подразумевают, что = ?). Наделим
X покоординатными операциями сложения и умножения на скаляр:

(x1 , x2 ? X , ? ? );
(x1 + x2 )(?) := x1 (?) + x2 (?)

(? · x)(?) := ? · x(?) (x ? X , ? ? F, ? ? )

(ниже, как правило, вместо выражений типа ?·x будем писать сокра-
щенно: ?x и изредка x?). Полученное векторное пространство X
над F называют произведением семейства векторных пространств
(X? )?? . При := {1, 2, . . . , N } пишут X1 ? X2 ? . . . ? XN := X . В
случае, когда X? = X для любого ? ? , используют обозначение
X := X . Если к тому же := {1, 2, . . . , N }, полагают X N := X .
(5) Пусть (X? )?? — семейство векторных пространств
над полем F. Рассмотрим прямую сумму множеств X0 := ?? X? ,
т. е. подмножество в произведении X := ?? X? , состоящее из та-
ких элементов x0 , что найдется (вообще говоря, свое для каждого
x0 ) конечное подмножество 0 в такое, что x0 ( \ 0 ) ? 0. Видно,
Гл. 2. Векторные пространства
14

что X0 — линейное множество в произведении X . Соответствую-
щее векторное пространство — подпространство произведения век-
торных пространств (X? )?? — называют прямой суммой семейства
векторных пространств (X? )?? .
(6) Пусть (X, F, +, ·) — векторное пространство и зада-
но подпространство (X0 , F, +, ·) в X. Положим

?X0 := {(x1 , x2 ) ? X 2 : x1 ? x2 ? X0 }.

Тогда ?X0 — эквивалентность в X. Пусть X := X/ X0 и ? : X > X
?
— каноническое отображение. Определим в X операции

x1 + x2 := ?(??1 (x1 ) + ??1 (x2 )) (x1 , x2 ? X );

?x := ?(???1 (x)) (x ? X , ? ? F).
вFи
Здесь, как обычно, для множеств S1 , S2 в X, множества
элемента ? ? F считается, что

S1 + S2 := +{S1 ? S2 };

S1 := · ( ? S1 ); ?S1 := {?}S1 .
Таким образом в X введена структура векторного пространства над
F. Это пространство называют фактор-пространством простран-
ства X по подпространству X0 и обозначают X/X0 .
2.1.5. Пусть X — векторное пространство и Lat(X) — совокуп-
ность всех подпространств в X с отношением порядка по включению.
Тогда упорядоченное множество Lat(X) является полной решеткой.
Ясно, что inf Lat(X) = 0 и sup Lat(X) = X. Помимо это-
го, пересечение непустого множества подпространств также подпро-
странство. Привлекая 1.2.17, получаем требуемое.
2.1.6. Замечание. Для X1 , X2 ? Lat(X) справедливо соотно-
шение X1 ? X2 = X1 + X2 . Столь же несомненно, что для непустого
множества E в Lat(X) выполнено inf E = ?{X0 : X0 ? E }. Если
к тому же E фильтровано по возрастанию, то sup E = ? {X0 : X0 ?
E }.
2.2. Линейные операторы 15

2.1.7. Определение. Подпространства X1 и X2 данного век-
торного пространства X разлагают X в (алгебраическую) прямую
сумму (символическая запись: X = X1 ? X2 ), если X1 ? X2 =
0 и X1 ? X2 = X. При этом X2 называют (алгебраическим) дополне-
нием X1 , а X1 — (алгебраическим) дополнением X2 .
2.1.8. Любое подпространство векторного пространства имеет
алгебраическое дополнение.
Пусть X1 — подпространство X. Положим

E := {X0 ? Lat(X) : X0 ? X1 = 0}.

Очевидно, 0 ? E и для каждой цепи E0 в E , в силу 2.1.6, X1 ?sup E0 =
0, т. е. sup E0 ? E . Таким образом, E — индуктивно, и на основании
1.2.20 в E есть максимальный элемент X2 . Если x ? X \ (X1 + X2 ),
то
(X2 + {?x : ? ? F}) ? X1 = 0.
В самом деле, если для некоторых ? ? F и x1 ? X1 , x2 ? X2 выпол-
нено x2 + ?x = x1 , то ?x ? X1 + X2 и, стало быть, ? = 0. Отсюда
x1 = x2 = 0, ибо X1 ?X2 = 0. Следовательно, X2 +{?x : ? ? F} = X2
в силу максимальности X2 . Последнее означает, что x = 0. В то же
время явно x = 0. Окончательно X1 ? X2 = X1 + X2 = X.

2.2. Линейные операторы
2.2.1. Определение. Пусть X, Y — векторные пространства
над F. Соответствие T ? X ? Y называют линейным, если T —
линейное множество в произведении векторных пространств X ? Y .
Отображение T : X > Y , являющееся линейным соответствием,
называют линейным оператором (или просто оператором, если ли-
нейность ясна из контекста). Желая отличить такой T от линей-
ных однозначных соответствий S ? X ? Y с областью определения
dom S = X, говорят: T — всюду определенный линейный оператор
(из X в Y ) и S — линейный оператор из X в Y , или даже S — не
всюду определенный линейный оператор.
2.2.2. Отображение T : X > Y является линейным оператором
в том и только в том случае, если выполнено

(?1 , ?2 ? F; x1 , x2 ? X).
T (?1 x1 + ?2 x2 ) = ?1 T x1 + ?2 T x2
Гл. 2. Векторные пространства
16

2.2.3. Множество L (X, Y ) всех линейных операторов из X в
Y представляет собой векторное пространство — подпространство
Y X.
2.2.4. Определение. Операторы из L (X, F) называют линей-
ными функционалами на X,
а пространство X # := L (X, F) — (алгебраически) сопряжен-
ным пространством. Линейные функционалы на X? называют ?-
линейными функционалами на X.
Если хотят подчеркнуть природу основного поля F, то говорят
о вещественно линейных функционалах, о комплексно сопряженном
пространстве и т. п. Понятно, что при F = R термин «?-линейный
функционал», как правило, не употребляют.
2.2.5. Определение. Линейный оператор T ? L (X, Y ) назы-
вают (алгебраическим) изоморфизмом, если соответствие T ?1 явля-
ется линейным оператором из L (Y, X).
2.2.6. Определение. Векторные пространства X и Y называ-
ют (алгебраически) изоморфными и пишут X Y , если существует
изоморфизм между X и Y .
2.2.7. Пространства X и Y являются изоморфными в том и
только в том случае, если найдутся операторы T ? L (X, Y ) и S ?
L (Y, X) такие, что S ? T = IX и T ? S = IY . При этом выполнено
S = T ?1 и T = S ?1 .
2.2.8. Замечание. Пусть X, Y, Z — векторные пространства,
причем заданы T ? L (X, Y ) и S ? L (Y, Z). Бесспорно, что соот-
ветствие S ? T — это элемент L (X, Z). Оператор S ? T в дальней-
шем для простоты будет обозначен символом ST . Отметим здесь
же, что композицию (S, T ) > ST , как правило, считают отобра-
жением ? : L (Y, Z) ? L (X, Y ) > L (X, Z). В частности, если
E ? L (Y, Z), а T ? L (X, Y ), то полагают E ? T := ?(E ? {T }).
2.2.9. Примеры.
(1) Если T — линейное соответствие, то T ?1 также ли-
нейное соответствие.
(2) Если X1 — подпространство векторного пространства
X и X2 — его алгебраическое дополнение, то X2 изоморфно X/X1 .
Действительно, если ? : X > X/X1 — каноническое отображение,
2.2. Линейные операторы 17

то его сужение на X2 , т. е. оператор x2 > ?(x2 ), где x2 ? X2 ,
осуществляет требуемый изоморфизм.
(3) Пусть X := ?? X? — произведение семейства век-
торных пространств (X? )?? . Отображение Pr? : X > X? , опреде-
ляемое соотношением Pr? x := x? , называют координатным проек-
тором (= проекцией). Ясно, что Pr? — линейный оператор: Pr? ?
L (X , X? ). Отметим, что часто этот оператор рассматривают как
элемент пространства L (X ) := L (X , X ), имея в виду естествен-
ный изоморфизм X? и X? , где X? := ?? X ? , а X ? := 0 при ? = ?
и X ? := X? .
(4) Пусть X := X1 ? X2 . Поскольку отображение +?1
осуществляет изоморфизм X и X1 ? X2 , то определены линейные
операторы PX1 := PX1 ||X2 := Pr1 ?(+?1 ), PX2 := PX2 ||X1 := Pr2 ?(+?1 ),
действующие из X в X. Оператор PX1 называют проектором X
на X1 параллельно X2 , а PX2 — дополнительным проектором к
PX1 . В свою очередь, PX1 дополнителен к PX2 , а PX2 осуществ-
ляет проектирование X на X2 параллельно X1 . Отметим также, что
2
PX1 + PX2 = IX . Кроме того, PX1 := PX1 PX1 = PX1 , т. е. проектор —
идемпотентный оператор. Наоборот, любой идемпотентный опера-
тор P ? L (X) является проектором на P (X) параллельно P ?1 (0).
Если T ? L (X), то PX1 T PX1 = T PX1 в том и только в том
случае, если T (X1 ) ? X1 , т. е. X1 инвариантно относительно T .
Равенство T PX1 = PX1 T справедливо в том и только в том слу-
чае, если как X1 , так и дополнение X2 инвариантны относительно T .
В последнем случае говорят, что разложение X = X1 ?X2 приводит
оператор T .
Со следом T на X1 работают как с элементом T1 пространства
L (X1 ). При этом T1 называют частью T в X1 . Если T2 ? L (X2 ) —
часть T в X2 , то оператор T мыслят как матрицу

T1 0
T? .
T2
0

Именно, элемент x из X1 ? X2 рассматривают как «вектор-столбец»
с компонентами x1 ? X1 , x2 ? X2 , где x1 = PrX1 x, x2 = PrX2 x.
Умножение матриц проводят обычным способом по закону «строка
на столбец», а результат умножения указанной матрицы на вектор-
столбец x, т. е. вектор-столбец с компонентами T1 x1 , T2 x2 (или, что
Гл. 2. Векторные пространства
18

в данном случае то же самое, T x1 , T x2 ), естественно трактуют как
элемент T x.
Иными словами, T отождествляют с отображением X1 ? X2 в
X1 ? X2 , действующим по правилу

x1 T1 x1
0
> .
x2 T2 x2
0

Аналогичным образом вводят матричные представления общих опе-
раторов T ? L (X1 ? X2 , Y1 ? Y2 ).
(5) Конечное множество E в X называют линейно неза-
висимым, если из условия e?E ?e e = 0, где ?e ? F (e ? E ), выте-
кает, что ?e = 0 для всех e ? E . Множество E называют линейно
независимым, если любое конечное подмножество E линейно неза-
висимо.
Максимальное по включению линейно независимое множество в
X называют базисом Гамеля (или алгебраическим базисом) в X. Лю-
бое линейно независимое множество содержится в некотором базисе
Гамеля.
У всех базисов Гамеля в X одинаковая мощность, называемая
размерностью X. Размерность X обозначают dim X.
Каждое векторное пространство X изоморфно прямой сумме
семейства (F)?? , где имеет мощность dim X.
Если X1 — подпространство X, то размерность X/X1 называют
коразмерностью X1 и обозначают codim X1 . Если X = X1 ? X2 , то
codim X1 = dim X2 и dim X = dim X1 + codim X1 .

2.3. Уравнения в операторах

2.3.1. Определение. Для оператора T ? L (X, Y ) определя-
ют: ker T := T ?1 (0) — ядро, coker T := Y / im T — коядро, coim T :=
X/ ker T — кообраз T .
Оператор T называют мономорфизмом, если ker T = 0. Опера-
тор T называют эпиморфизмом, если im T = Y .

2.3.2. Оператор является изоморфизмом в том и только в том
случае, если он мономорфизм и эпиморфизм одновременно.
2.3. Уравнения в операторах 19

2.3.3. Замечание. В дальнейшем иногда удобно пользовать-
ся языком коммутативных диаграмм. Научиться им пользоваться
можно, разобрав подходящий пример.
Так, фраза «следующая диаграмма
?1
-Y 
X
@ ?2 ?4
?3@
@?
R
V ?- W
5



коммутативна» означает, что ?1 ? L (X, Y ), ?2 ? L (Y, W ), ?3 ?
L (X, W ), ?4 ? L (V, Y ) и ?5 ? L (V, W ), причем ?2 ?1 = ?3
и ?5 = ?2 ?4 .
T S
2.3.4. Определение. Диаграмму X > Y > Z называют точ-
ной (в члене Y ) последовательностью, если ker S = im T . После-
довательность . . . > Xk?1 > Xk > Xk+1 > . . . называют точной
в члене Xk , если точна последовательность Xk?1 > Xk > Xk+1
(наименования операторов опущены). Рассматриваемую последова-
тельность называют точной, если она точна в каждом члене (кроме
первого и последнего, если таковые, разумеется, есть).
2.3.5. Примеры.
T S
(1) Точная последовательность X > Y > Z полуточна,
т. е. ST = 0. Обратное утверждение неверно.
T
(2) Последовательность 0 > X > Y точна в том и толь-
ко в том случае, если T — мономорфизм. (Здесь и в дальнейшем
запись 0 > X — это, конечно же, еще одно обозначение нуля —
единственного элемента пространства L (0, X) (см. 2.1.4 (3)).)
T
(3) Последовательность X > Y > 0 точна в том и толь-
ко в том случае, если T — эпиморфизм. (Понятно, что под символом
Y > 0 тут снова скрывается нуль — единственный элемент простран-
ства L (Y, 0).)
(4) Оператор T ? L (X, Y ) является изоморфизмом в
T
том и только в том случае, если 0 > X > Y > 0 — это точная
последовательность.
Гл. 2. Векторные пространства
20

(5) Пусть X0 — подпространство в X. Символом ? : X0 >
X обозначим оператор (тождественного) вложения: ?x0 := x0 для
всех x0 ? X0 . Пусть теперь X/X0 — фактор-пространство и ? :
X > X/X0 — соответствующее каноническое отображение. Тогда
последовательность
?
?
0 > X0 > X > X/X0 > 0
является точной. (Знаки ? и ? ниже в подобных случаях, как прави-
ло, опущены.) Указанная последовательность в известном смысле
уникальна. Именно, рассмотрим произвольную, как говорят, «ко-
роткую» последовательность
T S
0>X>Y >Z>0
и допустим, что она точна. Полагая Y0 := im T , легко построить изо-
морфизмы ?, ?, ? так, что получается следующая коммутативная
диаграмма:
T S
-X -Y -Z -0
0
?
? ?
? ? ?
- Y0 -Y - Y /Y0 -0
0
Иными словами, короткая точная последовательность по сути дела
то же, что подпространство и фактор-пространство по нему.
(6) Пусть T ? L (X, Y ) — оператор. С ним связана точ-
ная последовательность
T
0 > ker T > X > Y > coker T > 0,
называемая канонической точной последовательностью для T .
2.3.6. Определение. Оператор T называют продолжением T0
(пишут T ? T0 ), если коммутативна диаграмма

-X
X0
@
T
T0@ ?

<< Пред. стр.

стр. 3
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>