<< Пред. стр.

стр. 30
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


10.11.15. Замечание. За продолжением, обеспеченным теоре-
мой 10.11.14, сохраняют прежние название и обозначения. Реже
(при желании подчеркнуть различия и тонкости) говорят о преоб-
разовании Фурье — Планшереля или же об L2 -преобразовании Фу-
рье и уточняют понимание интегральных формул для Ff и F?1 f
при f ? L2 (RN ) как результатов подходящего предельного перехода
в L2 (RN ).
10.11.16. Определение. Пусть u ? S (RN ) := S (RN ) . На-
именование u — медленно растущее распределение (варианты: обоб-
щенная функция умеренного роста, умеренное распределение и т. п.).
Пространство S (RN ), составленное из всех умеренных обобщенных
функций, наделяют слабой топологией ?(S (RN ), S (RN )) и иногда
называют пространством Шварца (как и S (RN )).
10.11.17. Примеры.
(1) Lp (RN ) ? S (RN ) при 1 ? p ? +?.
Пусть f ? Lp (RN ), ? ? S (RN ), p < +? и 1/q + 1/p = 1.
С помощью неравенства Г?льдера 5.5.9 (4) для подходящих K, K ,
е
K > 0 последовательно выводим:

?
? q
1/p 1/p
p
2 ?N
? |?| (1 + |x| ) (1 + |x| ) ?
p 2N
?(x) dx
+
B RN \B

1/p
dx
?K ? + (1 + | · | ) ? ?
2N
? ?
(1 + |x|2 )N p
RN \B


? K p1 (?).

Вновь привлекая неравенство Г?льдера, имеем
е

|uf (?)| = | ? | f | = f? q ? f ? Kp1 (?).
?
p q

RN

Случай p = +? не вызывает сомнений.
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений 271

(2) S (RN ) плотно в S (RN ).
Следует из 10.11.7 (4), 10.11.17 (1), 10.11.7 (5) и 10.10.9 (4).
(3) Пусть µ ? M (RN ) — мера Радона умеренного роста,
т. е. такая, что для некоторого n ? N выполнено
d|µ|(x)
< +?.
(1 + |x|2 )n
RN

Мера µ — это, бесспорно, умеренное распределение.
(4) Если u ? S (RN ), f ? S (RN ) и ? ? (Z+ )N , то f u ?
S (RN ) и ? ? u ? S (RN ) в силу 10.11.7 (2). По похожим причинам,
полагая D? u(f ) := (?1)|?| uD? f при f ? S (RN ), видим, что D? u ?
S (RN ) и D? u = (2?i)?|?| ? ? u.
(5) Каждое распределение с компактным носителем уме-
ренно.
Такое u ? D (RN ) в соответствии с 10.10.5 (7) можно отож-
дествить с элементом E (RN ). Поскольку топология в пространстве
S (RN ) сильнее индуцированной вложением в C? (RN ), заключаем:
u ? S (RN ).
(6) Пусть u ? S (RN ). Если f ? S (RN ), то u сворачи-
ваемо с f , причем u ? f ? S (RN ). Можно проверить, что u сво-
рачиваемо также и с любым распределением v из E (RN ), причем
u ? v ? S (RN ).
(7) Пусть u ? D (RN ), x ? RN и ?x u := (??x ) u = u???x —
соответствующий сдвиг u. Распределение u называют периодиче-
ским (с периодом x), если ?x u = u. Периодические распределения
имеют умеренный рост. Периодичность сохраняется при дифферен-
цировании и св?ртывании.
е
(8) Если un ? S (RN ) (u ? N) и для каждого f ? S (RN )
?
имеется сумма u(f ) := n=1 un (f ), то u ? S (RN ) и при этом ? ? u =
? ?
n=1 ? un (ср. 10.10.10).
10.11.18. Теорема. Любое умеренное распределение — сумма
производных умеренных мер.
Пусть u ? S (RN ). С учетом 10.11.7 (3) и 5.3.7 для некоторых
n ? N и K > 0 имеем
|u(f )| ? K (1 + | · |2 )n ? ? f (f ? S (RN )).
?
|?|?n
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
272

Привлекая 3.5.3 и 3.5.7, для некоторых µ? ? M (RN ) получаем

µ? (1 + | · |2 )n ? ? f (f ? S (RN )).
u(f ) =
|?|?n


Пусть ?? := (?1)|?| (1+| · |2 )n µ? . Тогда ?? — умеренная мера, причем

? ? ?? .
u=
|?|?n


10.11.19. Определение. Преобразованием Фурье (или, полнее,
Фурье — Шварца) умеренного распределения u из S (RN ) называют
распределение Fu, действующее по правилу

f | Fu = Ff | u (f ? S (RN )).

10.11.20. Теорема. Преобразование Фурье — Шварца F — это
единственное продолжение преобразования Фурье в S (RN ) до топо-
логического автоморфизма S (RN ). Обратное отображение F?1 —
единственное непрерывное продолжение обратного преобразования
Фурье в S (RN ).
Преобразование Фурье — Шварца представляет собой сопря-
женный оператор к преобразованию Фурье в пространстве Шварца.
Остается только апеллировать к 10.11.7 (5), 10.11.12, 10.11.17 (2) и
4.5.10.

Упражнения
10.1. Привести примеры линейных топологических пространств и локаль-
но выпуклых пространств и конструкций, приводящих к ним.
10.2. Доказать, что хаусдорфово топологическое векторное пространство
конечномерно в том и только в том случае, если оно локально компактно.
10.3. Охарактеризовать слабо непрерывные сублинейные функционалы.
10.4. Доказать, что нормируемость или метризуемость слабой топологии
локально выпуклого пространства равносильна его конечномерности.
10.5. Выяснить смысл слабой сходимости в классических банаховых про-
странствах.
10.6. Доказать, что нормированное пространство конечномерно в том и
только в том случае, если слабо замкнута единичная сфера (= сильная граница
единичного шара).
Упражнения 273

10.7. Пусть оператор T переводит слабо сходящиеся сети в сети, сходящи-
еся по норме. Доказать, что T конечномерен.
10.8. Пусть X, Y — банаховы пространства и T ? L (X, Y ) — линейный
оператор. Доказать, что T ограничен в том и только в том случае, если T слабо
непрерывен (т. е. непрерывен как отображение (X, ?(X, X )) в (Y, ?(Y, Y ))).
10.9. Пусть · 1 и · 2 — две нормы, превращающие X в банахово про-
странство, причем (X, · 1 ) ? (X, · 2 ) разделяет точки X. Доказать, что
исходные нормы эквивалентны.
10.10. Пусть S действует из Y в X . Когда S служит сопряженным опе-
ратором к некоторому отображению X в Y ?
10.11. Какова топология Макки ? (X, X # )?
10.12. Пусть (X? )?? — это некоторое семейство локально выпуклых про-
странств. Пусть, далее, X := ?? X? — их произведение. Доказать, что спра-
ведливы представления


?(X, X ) = ?(X? , X? );
??



? (X, X ) = ? (X? , X? ).
??

10.13. Пусть X и Y — банаховы пространства, T — элемент B(X, Y )
и im T = Y . Доказать, что рефлексивность X обеспечивает рефлексивность
Y.
10.14. Доказать, что пространства (X ) и ( X) совпадают.
10.15. Доказать, что в пространстве c0 нет бесконечномерных рефлексив-
ных подпространств.
10.16. Пусть p — непрерывный сублинейный функционал на Y , а T ?
L (X, Y ) — непрерывный линейный оператор. Установить, что для множеств
крайних точек справедливо включение ext(T (?p)) ? T (ext(?p)).
10.17. Пусть p — непрерывная полунорма на X и X — подпространство X.
Доказать, что f ? ext(X ? ? ?p) в том и только в том случае, если справедливо
равенство
X = cl X + {p ? f ? 1} ? {p ? f ? 1}.
10.18. Доказать, что абсолютно выпуклая оболочка вполне ограниченного
подмножества локально выпуклого пространства также вполне ограничена.
10.19. Установить, что борнологичность сохраняется при переходе к ин-
дуктивному пределу. Как обстоят дела с иными линейно топологическими свой-
ствами?
Глава 11
Банаховы алгебры


11.1. Каноническое операторное
представление
11.1.1. Определение. Элемент e алгебры A называют единич-
ным или единицей алгебры, если e = 0 и при этом ea = ae = a для
всех a ? A.
11.1.2. Замечание. Как правило, без особых на то указаний,
мы будем рассматривать только алгебры с единицами над основным
полем F. При этом простоты ради, если явно не оговорено против-
ное, будем считать, что F := C. При изучении представлений таких
алгебр естественно условиться, что единицы сохраняются. Иными
словами, в дальнейшем представление алгебры A1 в алгебре A2 —
это такой морфизм (= мультипликативный линейный оператор) A1
в A2 , который единицу алгебры A1 переводит в единицу алгебры A2 .
Для алгебры A без единицы проводят «процесс присоединения
единицы». Именно, пространство Ae := A ? C превращают в алгебру
с единицей, полагая (a, ?)(b, µ) := (ab + µa + ?b, ?µ), где a, b ?
A и ?, µ ? C. В нормированном случае дополнительно считают
(a, ?) Ae := a A + |?|.
11.1.3. Определение. Элемент ar ? A называют правым об-
ратным к a, если aar = e. Элемент al ? A называют левым обрат-
ным к a, если al a = e.
11.1.4. Если у элемента есть левые и правые обратные, то они
совпадают.
ar = (al a)ar = al (aar ) = al e = al
11.1. Каноническое операторное представление 275

11.1.5. Определение. Элемент a алгебры A называют обра-
тимым и пишут a ? Inv(A), если у a имеется левый и правый об-
ратный. Полагают a?1 := ar = al . Элемент a?1 называют обратным
к a. Подалгебру (с единицей) B алгебры A называют сервантной
(или чистой, или наполненной) в A, если Inv(B) = Inv(A) ? B.
11.1.6. Теорема. Пусть A — банахова алгебра. Для a ? A
положим La : x > ax (x ? A). Тогда отображение

LA := L : a > La (a ? A)

является точным операторным представлением. При этом L(A) —
сервантная замкнутая подалгебра B(A) и L : A > L(A) — топологи-
ческий изоморфизм.
Для x, a, b ? A имеем

L(ab) : x > Lab (x) = abx = a(bx) = La (Lb x) = (La)(Lb)x,

т. е. L — представление (ибо линейность L очевидна). Если La = 0,
то 0 = La(e) = ae = a, так что L — точное представление. Для
доказательства замкнутости образа L(A) рассмотрим алгебру Ar ,
совпадающую с A «как с векторным пространством» и с противопо-
ложным умножением ab := ba (a, b ? A).
Пусть R := LAr , т. е. Ra := Ra : x > xa для a ? A. Проверим,
что L(A) совпадает с централизатором образа R(A) — с замкнутой
подалгеброй

Z(im R) := {T ? B(A) : T Ra = Ra T (a ? A)}.

В самом деле, если T ? L(A), т. е. T = La для некоторого a ? A,
то для каждого b ? A будет La Rb (x) = axb = Rb (La (x)) = Rb La (x)
и T ? Z(R(A)). Если, в свою очередь, T ? Z(R(A)), то при a := T e
получаем

La x = ax = (T e)x = Rx (T e) = (Rx T )e = (T Rx )e =
= T (Rx e) = T x

для всех x ? A. Значит, T = La ? L(A). Таким образом, L(A) —
банахова подалгебра B(A).
Гл. 11. Банаховы алгебры
276

Пусть теперь для T = La найдется T ?1 в B(A). Для b := T ?1 e
имеем ab = La b = T b = T T ?1 e = e. Кроме того, ab = e ? aba =
a ? T (ba) = La ba = aba = a = La e = T e. Отсюда ba = e, ибо T —
мономорфизм. Итак, L(A) — сервантная подалгебра в A.
В силу определения банаховой алгебры 5.6.3 выполнено

a ? 1} = sup{ ab : a ? 1, b ? 1} ? 1.
L = sup{ La :

Привлекая теорему Банаха об изоморфизме 7.4.5, заключаем, что
L — топологический изоморфизм (т. е. L?1 — непрерывный оператор
из L(A) на A).
11.1.7. Определение. Представление LA , построенное в 11.1.6,
называют каноническим (левым) операторным представлением ал-
гебры A.
11.1.8. Замечание. Каноническое операторное представление
позволяет ограничиться в дальнейшем рассмотрением банаховых ал-
гебр, в которых единичные элементы нормированы — имеют единич-
ную форму.
Для алгебры A указанного типа каноническое операторное пред-
ставление LA осуществляет изометрическое вложение A в B(A) или,
короче говоря, изометрическое представление A в B(A). В этой
же ситуации LA часто называют изометрическим изоморфизмом
алгебр A и L(A). Ту же естественную терминологию употребляют
и при рассмотрении представлений произвольных банаховых алгебр.
Отметим здесь же, что существование канонического операторного
представления LA , в частности, оправдывает использование обозна-
чения ? вместо ?e для ? ? C, где e — единица A (ср. 5.6.5). Иными
словами, в дальнейшем C отождествлено с подалгеброй Ce алгебры
A посредством изометрического представления ? > ?e.

11.2. Спектр элемента алгебры
11.2.1. Определение. Пусть A — банахова алгебра и a ? A.
Скаляр ? ? C называют резольвентным значением a (записывают:
? ? res(a)), если существует резольвента R(a, ?) := ??a := (? ? a)?1 .
1

Множество Sp(a) := C\res(a) называют спектром элемента a, а точ-
ки из Sp(a) — спектральными значениями a. Если есть необходи-
мость, используют более подробные обозначения типа SpA (a).
11.2. Спектр элемента алгебры 277

11.2.2. Для элемента a ? A справедливо:

SpA (a) = SpL(A) (La ) = Sp(La );
LR(a, ?) = R(La , ?) (? ? res(a) = res(La )).

11.2.3. Теорема Гельфанда — Мазура. Поле комплексных
чисел — это единственное (с точностью до изометрического изомор-
физма) банахово тело (т. е. каждая комплексная банахова алгебра
с нормированной единицей, в которой ненулевые элементы обрати-
мы, имеет изометрическое представление в C).
: ? > ?e, где e — единица A и ? ? C. Ясно, что
Пусть
— представление C в A. Возьмем a ? A. В силу 11.2.2 и 8.1.11,
Sp(a) = ?. Значит, найдется число ? ? C такое, что элемент (? ? a)
необратим, т. е. по условию теоремы a = ?e. Следовательно, —
(?) = ?e = |?| e = |?|, так что
эпиморфизм. При этом —
изометрия.
11.2.4. Теорема Шилова. Пусть A — банахова алгебра и B —
замкнутая подалгебра A (с единицей). Для элемента b ? B выпол-
нено:
SpB (b) ? SpA (b), ? SpA (b) ? ? SpB (b).
Если b := ? ? b ? Inv(B), то тем более b ? Inv(A). Отсюда
resB (b) ? resA (b), т. е.

SpB (b) = C \ res(b) ? C \ res(b) = SpA (b).
B A


Если же ? ? ? SpB (b), то b ? ? Inv(B). Поэтому найдется по-
следовательность (bn ), bn ? Inv(B), сходящаяся к b. Положив t :=
supn?N b?1 , имеем соотношение
n


b?1 ? b?1 = b?1 (1 ? bn b?1 ) =
n m n m
= b?1 (bm ? bn )b?1 ? t2 bn ? bm .
n m


Иными словами, если t < +?, то в B существует предел a := lim b?1 .
n
Учитывая очевидную непрерывность умножения по совокупности
переменных, выводим, что в этом случае ab = ba = 1, т. е. b ? Inv(B).
Гл. 11. Банаховы алгебры
278

Поскольку Inv(B) открыто по теореме Банаха об обратимых опера-
торах и 11.1.6, приходим к противоречию с вхождением b ? ? Inv(B).
Таким образом, можно считать (переходя, если нужно, к по-
?1 ?1
следовательности), что b?1 > +?. Положим an := b?1 bn .
n n
Тогда

ban = (b ? bn )an + bn an ?
?1
an + b?1 bn b?1 > 0.
? b ? bn n n


Отсюда вытекает, что элемент b необратим. В самом деле, в против-
?1
ном случае для a := b получилось бы

1 = an = aban ? a ban > 0.

Окончательно заключаем, что элемент ? ? b не лежит в Inv(A),
т. е. ? ? SpA (b). Поскольку ? — граничная точка б?льшего множе-
о
ства SpB (b), приходим к соотношению ? ? ? SpA (b).
11.2.5. Следствие. Если SpB (b) не имеет внутренних точек, то
SpB (b) = SpA (b).
SpB (b) = ? SpB (b) ? ? SpB (b) ? ? SpA (b) ? SpA (b) ? SpB (b)
11.2.6. Замечание. Теорему Шилова часто называют теоре-
мой о постоянстве границы спектра и выражают словами: «гра-
ничное спектральное значение — неустранимая спектральная точ-
ка».

11.3. Голоморфное функциональное
исчисление в алгебрах
11.3.1. Определение. Пусть a — элемент банаховой алгебры A
и h ? H (Sp(a)) — росток голоморфной функции на спектре a. По-
ложим
h(z)
1
Ra h := dz.
z?a
2?i
Элемент Ra h из A называют интегралом Рисса — Данфорда рост-
ка h. Если, в частности, f ? H(Sp(a)) — функция, голоморфная
в окрестности спектра a, то полагают f (a) := Ra f .
11.4. Голоморфное функциональное исчисление валгебрах 279

11.3.2. Теорема Гельфанда — Данфорда для алгебр. Ин-
теграл Рисса — Данфорда Ra является представлением алгебры рост-
ков голоморфных функций на спектре элемента a из A в алгеб-
?
ре A. При этом если f (z) := n=0 cn z (в окрестности Sp(a)), то
n
?
f (a) := n=0 cn an .
Из определений 11.2.3 и 8.2.1, привлекая 11.2.2, имеем

1
(LRa h)(b) = LRa h b = (Ra h)b = h(z)R(a, z) dzb =
2?i
1 1
h(z)R(a, z) bdz = h(z)R(La , z) bdz =

<< Пред. стр.

стр. 30
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>