<< Пред. стр.

стр. 31
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

=
2?i 2?i
1
h(z)R(La , z) dzb = RLa h(b)
=
2?i
для всех b ? A. В частности, получаем, что образ RLa (H (Sp(a)))
лежит в im L. Таким образом, из уже доказанной коммутативности
диаграммы


H (Sp(a))
@
@R
RLa @a
@
?
L@ R
B(A)  A

вытекает коммутативность диаграммы

H (Sp(a))
@
@R
RLa @a
@
? ?1 @
R
L(A) L -A

Остается привлечь 11.1.6 и теорему Гельфанда — Данфорда 8.2.3.
11.3.3. Замечание. В дальнейшем в силу уже установленно-
го в произвольных банаховых алгебрах можно использовать факты
Гл. 11. Банаховы алгебры
280

голоморфного функционального исчисления, доказанные в 8.2 для
алгебры B(X), где X — банахово пространство.

11.4. Идеалы в коммутативных алгебрах
11.4.1. Определение. Пусть A — некоторая коммутативная
алгебра. Подпространство J в A называют идеалом A и пишут J
A, если AJ ? J.
11.4.2. Множество J(A) всех идеалов в A, упорядоченное по
включению, представляет собой полную решетку. При этом для лю-
бого множества E в J(A) выполнено

supJ(A) E = supLat(A) E , inf J(A) E = inf Lat(A) E ,

т. е. J(A) вложено в полную решетку подпространств Lat(A) с со-
хранением точных верхних и точных нижних границ произвольных
множеств.
Ясно, что 0 — это наименьший, а A — это наибольший идеалы.
Помимо этого, пересечение идеалов и сумма конечного множества
идеалов — идеал. Остается сослаться на 2.1.5 и 2.1.6.
11.4.3. Пусть J0 A. Пусть, далее, ? : A > A/J0 — канониче-
ское отображение A на фактор-алгебру A := A/J0 . Тогда

J A ? ?(J) A;
J A ? ??1 (J) A.

Поскольку по определению ab := ?(??1 (a)??1 (b)) для a, b ? A,
то оператор ? мультипликативен: ?(ab) = ?(a)?(b) для a, b ? A.
Значит, получаем последовательно

?(J) ? A?(J) = ?(A)?(J) ? ?(AJ) ? ?(J);
??1 (J) ? A??1 (J) ? ??1 (?(A)J) = ??1 (AJ) ? ??1 (J).

11.4.4. Пусть J A и J = 0. Эквивалентны утверждения:
(1) A = J;
(2) 1 ? J;
/
(3) элементы из J не имеют левых обратных.
11.5. Идеалы в алгебре C(Q, C) 281

11.4.5. Определение. Идеал J в A называют собственным,
если J отличен от A. Максимальные элементы в множестве соб-
ственных идеалов, упорядоченном по включению, называют макси-
мальными идеалами.
11.4.6. Коммутативная алгебра является полем в том и только
в том случае, если в ней нет собственных идеалов кроме нулево-
го.
11.4.7. Пусть J — собственный идеал в A. Тогда (J — макси-
мален) ? (A/J — поле).
A/J. Тогда, по 11.4.3, ??1 (J)
?: Пусть J A. Так
?1 ?1
как, несомненно, J ? ? (J), то либо J = ? (J) и 0 = ?(J) =
?(??1 (J)) = J, либо A = ??1 (J) и J = ?(??1 (J)) = ?(A) = A/J в
силу 1.1.6. Значит, в A/J нет отличных от нуля собственных идеа-
лов. Осталось привлечь 11.4.6.
?: Пусть J0 A и J0 ? J. Тогда, по 11.4.3, ?(J0 ) A/J.
На основании 11.4.6 либо ?(J0 ) = 0, либо ?(J0 ) = A/J. В первом
случае J0 ? ??1 ? ?(J0 ) ? ??1 (0) = J и J = J0 . Во втором случае
?(J0 ) = ?(A), т. е. A = J0 + J ? J0 + J0 = J0 ? A. Итак, J —
максимальный идеал.
11.4.8. Теорема Крулля. Каждый собственный идеал содер-
жится в некотором максимальном идеале.
Пусть J0 — собственный идеал алгебры A. Пусть, далее, E
состоит из собственных идеалов J алгебры A таких, что J0 ? J.
Всякая цепь E0 в E имеет в силу 11.4.2 точную верхнюю границу:
sup E = ? {J : J ? E0 }. По 11.4.4 идеал sup E0 собственный. Таким
образом, E индуктивно и требуемое обеспечено леммой Куратовско-
го — Цорна 1.2.20.

11.5. Идеалы в алгебре C(Q, C)
11.5.1. Теорема о минимальном идеале. Пусть J — произ-
вольный идеал в алгебре C(Q, C) непрерывных комплекснозначных
функций на компакте Q. Пусть, далее,

Q0 := ? {f ?1 (0) : f ? J};
J0 := {f ? C(Q, C) : int f ?1 (0) ? Q0 }.
Тогда J0 C(Q, C), причем J0 ? J.
Гл. 11. Банаховы алгебры
282

Пусть Q1 := cl(Q \ f ?1 (0)) для функции f ? J0 . Привлекая
условия, видим, что Q1 ? Q0 = ?. Для доказательства вхождения
f ? J необходимо (и, разумеется, достаточно) построить функцию
u ? J такую, что u(q) = 1 для всех q ? Q1 . Действительно, в этом
случае uf = f .
Для построения функции u заметим сначала, что для q ? Q1
?
найдется функция fq ? J, для которой fq (q) = 0. Полагая gq := fq fq ,
где, как обычно, fq : x > fq (x)? — комплексно сопряженная к fq
?

функция, имеем gq ? 0 и, кроме того, gq (q) > 0. Ясно также, что
gq ? J для q ? Q1 . Семейство (Uq )q?Q1 , где Uq := {x ? Q1 : gq (x) >
0}, образует открытое покрытие Q1 . Используя компактность Q1 ,
выберем конечное множество {q1 , . . . , qn } в Q1 такое, что Q1 ? Uq1 ?
. . . ? Uqn . Обозначим g := gq1 + . . . + gqn . Несомненно, g ? J, причем
g(q) > 0 для q ? Q1 . Положим h0 (q) := g(q)?1 для q ? Q1 . По
теореме Титце — Урысона 10.8.20 найдется функция h ? C(Q, R),
для которой h Q = h0 . Пусть, наконец, u := hg. Эта функция u —
1
искомая.
Итак, установлено, что J0 ? J. Кроме того, J0 — идеал в
C(Q, C) по очевидным обстоятельствам.
11.5.2. Для каждого замкнутого идеала J в алгебре C(Q, C)
найдется, и притом единственное, компактное подмножество Q0 та-
кое, что

J = J(Q0 ) := {f ? C(Q, C) : q ? Q0 ? f (q) = 0}.

Единственность обеспечена теоремой Урысона 9.3.14. Опре-
делим Q0 так же, как и 11.5.1. Тогда заведомо J ? J(Q0 ). Возьмем
f ? J(Q0 ) и для n ? N положим

1 1
|f | ? |f | ?
Un := , Vn := .
n
2n

Вновь привлекая теорему Урысона 9.3.14, найдем hn ? C(Q, R) так,
что 0 ? hn ? 1 и hn U = 0, hn V = 1. Рассмотрим fn := f hn .
n n
Поскольку
?1
int fn (0) ? int Un ? Q0 ,
то в силу 11.5.1 справедливо fn ? J. Осталось заметить, что fn > f
по построению.
11.6. Преобразование Гельфанда 283

11.5.3. Теорема о максимальном идеале. Каждый макси-
мальный идеал в алгебре C(Q, C) имеет вид
J(q) := J({q}) = {f ? C(Q, C) : f (q) = 0},
где q — некоторая точка Q.
Следует из 11.5.2, ибо замыкание идеала — идеал.

11.6. Преобразование Гельфанда
11.6.1. Пусть A — коммутативная банахова алгебра, а J A —
это замкнутый идеал, не равный A. Тогда фактор-алгебра A/J, на-
деленная фактор-нормой, является банаховой алгеброй. Если при
этом ? : A > A/J — каноническое отображение, то ?(1) — единица
в A/J, оператор ? мультипликативен и ? = 1.
Для a, b ? A имеем, учитывая 5.1.10 (5),

?(a)?(b) A/J = inf{ a b A : ?(a ) = ?(a), ?(b ) = ?(b)} ?
? inf{ a A b A : ?(a ) = ?(a), ?(b ) = ?(b)} =
= ?(a) A/J ?(b) A/J .
Иными словами, норма в A/J субмультипликативна. Следователь-
но, будет ?(1) ? 1. Помимо этого,
: ?(a) = ?(1)} ? 1
?(1) = inf{ a = 1,
A A
A/J

т. е. ?(1) = 1. Последнее, в частности, обеспечивает равенство
? = 1. Оставшиеся утверждения несомненны.
11.6.2. Замечание. Предложение 11.6.1 остается верным для
некоммутативной банаховой алгебры A при дополнительном допу-
щении, что J — двусторонний идеал A, т. е. J — подпространство
A, удовлетворяющее условию AJA ? J.
11.6.3. Пусть ? : A > C — ненулевой мультипликативный ли-
нейный функционал на A. Тогда ? непрерывен и ? = ?(1) = 1
(в частности, ? — представление A в C).
Поскольку ? = 0, то для некоторого a ? A выполнено 0 =
?(a) = ?(a1) = ?(a)?(1). Значит, ?(1) = 1. Если теперь a ? A и
? ? C таковы, что |?| > a , то ? ? a ? Inv(A) (см. 5.6.15). Имеем
1 = ?(1)?(? ? a)?((? ? a)?1 ). Отсюда ?(? ? a) = 0, т. е. ?(a) = ?.
Стало быть, |?(a)| ? a и ? ? 1. Учитывая, что ? = ? 1 ?
|?(1)| = 1, заключаем: ? = 1.
Гл. 11. Банаховы алгебры
284

11.6.4. Определение. Ненулевые мультипликативные линей-
ные функционалы на алгебре A называют характерами A. Мно-
жество всех характеров A обозначают X(A), снабжают топологией
поточечной сходимости (индуцированной в X(A) слабой топологией
?(A , A)) и называют пространством характеров алгебры A.
11.6.5. Пространство характеров — компакт.
Хаусдорфовость X(A) не вызывает сомнений. В силу 11.6.3,
X(A) — это ?(A , A)-замкнутое подмножество шара BA . Последний
?(A , A)-компактен по теореме Алаоглу — Бурбаки 10.6.7. Осталось
сослаться на 9.4.9.
11.6.6. Теорема об идеалах и характерах. Максимальные
идеалы коммутативной банаховой алгебры A суть в точности ядра ее
характеров. При этом отображение ? > ker ?, действующее из про-
странства характеров X(A) на множество M (A) всех максимальных
идеалов A, является взаимно однозначным.
Пусть ? ? X(A) — это характер алгебры A. Очевидно, что
ker ? A. Из 2.3.11 вытекает, что снижение ? : A/ ker ? > C — мо-
номорфизм. В связи с 11.6.1, ?(1) = ?(1) = 1, т. е. ? — изоморфизм
A/ ker ? и C. Следовательно, A/ ker ? — это поле. Привлекая 11.4.7,
делаем вывод, что идеал ker ? максимален, т. е. ker ? ? M (A). Пусть
теперь m ? M (A) — какой-нибудь максимальный идеал алгебры A.
Ясно, что m ? cl m, cl m A и при этом 1 ? cl m (ибо 1 ? Inv(A), а
/
последнее множество открыто по теореме Банаха об обратимых опе-
раторах 5.6.12 и 11.1.6). Таким образом, идеал m замкнут. Рассмот-
рим фактор-алгебру A/m и каноническое отображение ? : A > A/m.
На основании 11.4.7 и 11.6.1 фактор-алгебра A/m — это банахово по-
ле. По теореме Гельфанда — Мазура 11.2.3 имеется изометрическое
представление ? : A/m > C. Положим ? := ? ? ?. Видно, что
? ? X(A) и при этом ker ? = ??1 (0) = ??1 (? ?1 (0)) = ??1 (0) = m.
Для завершения доказательства осталось проверить взаимную
однозначность отображения ? > ker ?. Итак, пусть ker ?1 = ker ?2
для ?1 , ?2 ? X(A). В силу 2.3.12 для некоторого ? ? C выполне-
но ?1 = ??2 . Помимо этого, по 11.6.3, 1 = ?1 (1) = ??2 (1) = ?.
Окончательно ?1 = ?2 .
11.6.7. Замечание. В связи с теоремой 11.6.6 множество M (A)
часто наделяют топологией, перенесенной в M (A) из X(A) указан-
ным отображением ? > ker ?, и говорят о компактном пространстве
11.6. Преобразование Гельфанда 285

максимальных идеалов A. Иными словами, пространство характе-
ров и пространство максимальных идеалов отождествляют так, как
это сделано в 11.6.6.

11.6.8. Определение. Пусть A — коммутативная банахова ал-
гебра и X(A) — ее пространство характеров. Для a ? A и ? ? X(A)
положим a(?) := ?(a). Возникающую функцию a : ? > a(?), опре-
деленную на X(A), называют преобразованием Гельфанда элемента
a. Отображение a > a, где a ? A, называют преобразованием Гель-
фанда алгебры A и обозначают GA (или ).

11.6.9. Теорема о преобразовании Гельфанда. Преобра-
зование Гельфанда GA : a > a есть представление коммутативной
банаховой алгебры A в алгебре C(X(A), C). При этом

Sp(a) = Sp(a) = a(X(A)),
a = r(a),

где r(a) — спектральный радиус элемента a алгебры A.
То, что a ? A ? a ? C(X(A), C), 1 = 1 и a, b ? A ? ab =
ab, обеспечено определениями и 11.6.3. Линейность GA не вызывает
сомнений. Следовательно, отображение GA действительно является
представлением.
Пусть ? ? Sp(a). Тогда элемент ? ? a необратим, а потому
идеал J??a := A(? ? a) — собственный в силу 11.4.4. По теореме
Крулля 11.4.8 существует максимальный идеал m A, удовлетво-
ряющий условию m ? J??a . По теореме 11.6.6 для подходящего
характера ? будет m = ker ?. В частности, ?(? ? a) = 0, т. е.
? = ??(1) = ?(?) = ?(a) = a(?). Значит, ? ? Sp(a).
Если, в свою очередь, ? ? Sp(a), то (? ? a) — необратимый
элемент пространства C(X(A), C), т. е. найдется характер ? ? X(A),
для которого ? = a(?). Иными словами, ?(? ? a) = 0. Стало быть,
допущение ? ? a ? Inv(A) приводит к противоречию:

1 = ?(1) = ?((? ? a)?1 (? ? a)) = ?((? ? a)?1 )?(? ? a) = 0.

Итак, ? ? Sp(a). Окончательно Sp(a) = Sp(a).
Гл. 11. Банаховы алгебры
286

Привлекая формулу Б?рлинга — Гельфанда (см. 11.3.3 и 8.1.12),
е
видим:


r(a) = sup{|?| : ? ? Sp(a)} = sup{|?| : ? ? Sp(a)} =
= sup{|?| : ? ? a(X(A))} = sup{|a(?)| : ? ? X(A)} = a ,

что и нужно.

11.6.10. Преобразование Гельфанда коммутативной банаховой
алгебры A является изометрическим вложением в том и только в том
случае, если a2 = a 2 для всякого a ? A.
?: Учитывая, что отображение t > t2 , рассматриваемое на
R+ , возрастает и имеет возрастающее обратное, определенное на R+ ,
в силу 10.6.9 получаем


= sup |a2 (?)| = sup |?(a2 )| =
a2 = a2 C(X(A),C)
??X(A) ??X(A)

= sup |?(a)?(a)| = sup |?(a)|2 =
??X(A) ??X(A)
2
sup |?(a)| 2
= a 2.
=a
=
??X(A)



?: По формуле Гельфанда 5.6.8, r(a) = lim an 1/n . Имеем,
n n
в частности, a2 = a 2 , т. е. r(a) = a . По 10.6.9, помимо этого,
r(a) = a .

11.6.11. Замечание. Иногда интересуются не свойством изо-
метричности преобразования Гельфанда, а его точностью. Ядро пре-
образования Гельфанда GA — это пересечение всех максимальных
идеалов, т. е. радикал алгебры A. Таким образом, условие точ-
ности представления GA алгебры A в алгебре C(X(A), C) можно
формулировать словами: «алгебра A полупроста (т. е. радикал A
тривиален)».

11.6.12. Теорема. Для элемента a коммутативной банаховой
алгебры A коммутативна следующая диаграмма представлений:
11.6. Преобразование Гельфанда 287


H (Sp(a)) = H (Sp(a))
@
@R
Ra @a ?

@
? @
R
GA -
C(X(A), C)
A

При этом f (a) = f ? a = f (a) для f ? H(Sp(a)).
Возьмем ? ? X(A). Для каждого z ? res(a) выполнено

1 1 1 1
(z ? a) =1??
? .
= =
z?a z?a ?(z ? a) z ? ?(a)

Иными словами,

1 1 1
R(a, z)(?) = (?) = R(a, z)(?).
(?) = =
z?a z ? a(?) z?a

Таким образом, учитывая свойства интеграла Бохнера (см. 5.5.9 (6)),
для f ? H(Sp(a)) получаем

1
f (a) = GA ? Ra f = GA f (z)R(a, z) dz =
2?i
1 1
f (z)GA (R(a, z)) dz = f (z)R(a, z)) dz =
=
2?i 2?i
1
f (z)R(a, z) dz = Ra (f ) = f (a).
= ?
2?i

Помимо этого, привлекая классическую теорему Коши, видим, что
для ? ? X(A) справедливы соотношения

f ? a(?) = f (a(?)) = f (?(a)) =
f (z) f (z)
1 1
? dz = ? dz =
=
z ? ?(a) z?a
2?i 2?i
f (z)
1
? dz = f (a)(?) = f (a)(?).
=
z?a
2?i
Гл. 11. Банаховы алгебры
288

11.6.13. Замечание. Теорию преобразования Гельфанда оче-
видным образом можно распространить на случай коммутативных
банаховых алгебр A без единицы. Определения 11.6.4 и 11.6.8 сохра-
ним дословно. Характер ? ? X(A) порождает характер ?e ? X(Ae )
по правилу: ?e (a, ?) := ?(a) + ? (a ? A, ? ? C). Множество X(Ae ) \
{?e : ? ? X(A)} состоит из единственного элемента ?? (a, ?) := ?
(a ? A, ? ? C). Таким образом, пространство X(A) локально ком-
пактно (ср. 9.4.19), ибо отображение ? ? X(A) > ?e ? X(Ae ) \ {?? }
является гомеоморфизмом. При этом ker ?? = A ? 0. Следова-

<< Пред. стр.

стр. 31
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>