<< Пред. стр.

стр. 32
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

тельно, преобразование Гельфанда коммутативной банаховой алгеб-
ры без единицы служит ее представлением в алгебре определенных
на локально компактном пространстве непрерывных комплексных
функций, «стремящихся к нулю на бесконечности». Для группо-
вой алгебры (L1 (RN ), ?) на основании 10.11.1 и 10.11.3 преобразо-
вание Фурье совпадает с преобразованием Гельфанда и приведенное
утверждение содержит как теорему Римана — Лебега 10.11.5 (3), так
и формулу умножения 10.11.6 (3).

11.7. Спектр элемента C ? -алгебры
11.7.1. Определение. Элемент a инволютивной алгебры A на-
зывают эрмитовым, если a? = a. Элемент a из A называют нормаль-
ным, если a? a = aa? . Наконец, элемент a называют унитарным,
если aa? = a? a = 1 (т. е. a, a? ? Inv(A) и a?1 = a? , a??1 = a).
11.7.2. Эрмитовы элементы инволютивной алгебры A образу-
ют вещественное подпространство A. При этом для любого a ? A
существуют, и притом единственные, эрмитовы элементы x, y ? A
такие, что a = x + iy. Именно,

1 1
(a + a? ), (a ? a? ).
x= y=
2 2i
При этом a? = x ? iy.
Следует проверить только утверждение об единственности.
Если a = x1 +iy1 , то в силу свойств инволюции (см. 6.4.13) выполнено
a? = x? + (iy1 )? = x? ? iy1 = x1 ? iy1 . Стало быть, x1 = x и y1 = y.
?
1 1

11.7.3. Единица — эрмитов элемент.
1? = 1? 1 = 1? 1?? = (1? 1)? = 1?? = 1
11.7. Спектр элемента C ? -алгебры 289

11.7.4. a ? Inv(A) ? a? ? Inv(A). При этом инволюция и обра-
щение — коммутирующие операции.
Имеем aa?1 = a?1 a = 1 для a ? Inv(A). Значит, a?1? a? =
a? a?1? = 1? . Учитывая 11.7.3, видим, что a? ? Inv(A) и a??1 =
a?1? . Повторяя приведенное рассуждение при a := a? , получаем
требуемое.
11.7.5. Sp(a? ) = Sp(a)? .
11.7.6. Спектр унитарного элемента C ? -алгебры — подмноже-
ство единичной окружности.
В силу определения 6.4.13 для произвольного элемента a име-
ем a = a? a ? a? a . Иначе говоря, a ? a? . Таким обра-
2

зом, поскольку a = a?? , заключаем: a = a? . Если a? = a?1 , т. е.
a — унитарный элемент, то a 2 = a? a = a?1 a = 1. Следователь-
но, a = a? = a?1 = 1. Отсюда вытекает, что Sp(a) и Sp(a?1 )
лежат в единичном круге. Помимо этого, Sp(a?1 ) = Sp(a)?1 .
11.7.7. Спектр эрмитова элемента C ? -алгебры веществен.
Пусть a ? A. По теореме Гельфанда — Данфорда для ал-
гебр 11.3.2 выполнено
?
? ? ?
(an )? (a? )n
an
?
= exp(a? ).
exp(a) = = =
n! n! n!
n=0 n=0 n=0

Если теперь h = h? — эрмитов элемент A, то для элемента a :=
exp(ih), вновь привлекая голоморфное функциональное исчисление,
получаем

a? = exp(ih)? = exp((ih)? ) = exp(?ih? ) = exp(?ih) = a?1 .

Значит, a — унитарный элемент C ? -алгебры A, и по 11.7.6 спектр
Sp(a) — это подмножество единичной окружности T. Если ? ?
Sp(h), то по теореме об отображении спектра 8.2.5 (см. также 11.3.3)
exp(i?) ? Sp(a) ? T. Итак, 1 = | exp(i?)| = | exp(i Re ? ? Im ?)| =
exp(? Im ?). Окончательно Im ? = 0, т. е. ? ? R.
11.7.8. Определение. Пусть A — некоторая C ? -алгебра. По-
далгебру B алгебры A называют C ? -подалгеброй A, если b ? B ?
b? ? B. При этом B рассматривают с нормой, индуцированной из A.
Гл. 11. Банаховы алгебры
290

11.7.9. Теорема. Каждая замкнутая C ? -подалгебра C ? -алгеб-
ры сервантна.
Пусть B — это замкнутая C ? -подалгебра (с единицей) C ? -
алгебры A и b ? B. Если b ? Inv(B), то несомненно, что b ? Inv(A).
Пусть теперь b ? Inv(A). На основании 11.7.4 имеем: b? ? Inv(A).
Значит, b? b ? Inv(A) и при этом элемент (b? b)?1 b? является левым
обратным к b. В силу 11.1.4 это означает, что b?1 = (b? b)?1 b? . Сле-
довательно, для завершения доказательства нужно установить толь-
ко, что элемент (b? b)?1 входит в B. Так как элемент b? b эрмитов в
B, то выполнено соотношение SpB (b? b) ? R (см. 11.7.7). Привле-
кая 11.2.5, видим, что SpA (b? b) = SpB (b? b). Поскольку 0 ? SpA (b? b),
/
?
то b b ? Inv(B). Окончательно b ? Inv(B).
11.7.10. Следствие. Пусть b — элемент C ? -алгебры A и B —
какая-нибудь замкнутая C ? -подалгебра A, причем b ? B. Тогда
SpB (b) = SpA (b).
11.7.11. Замечание. В связи с 11.7.10 теорему 11.7.9 часто на-
зывают теоремой «о постоянстве спектра в C ? -алгебрах». Имеется
в виду то, что понятие спектра элемента C ? -алгебры «абсолютно»,
т. е. не зависит от выбора C ? -подалгебры, содержащей данный эле-
мент рассматриваемой C ? -алгебры.

11.8. Коммутативная теорема
Гельфанда — Наймарка
11.8.1. Банахова алгебра C(Q, C) с естественной инволюцией
f > f ? , где f ? (q) := f (q)? для q ? Q, является C ? -алгеброй.
f ? f = sup{|f (q)? f (q)| : q ? Q} = sup{|f (q)|2 : q ? Q} =
(sup |f (Q)|)2 = f 2
11.8.2. Теорема Стоуна — Вейерштрасса для C(Q, C).
Любая C ? -подалгебра (с единицей) в C ? -алгебре C(Q, C), разделя-
ющая точки Q, плотна в C(Q, C).
Пусть A — такая подалгебра. Поскольку f ? A ? f ? ? A,
то f ? A ? Re f ? A и, стало быть, множество Re A := {Re f :
f ? A} представляет собой вещественную подалгебру в C(Q, R).
Несомненно, что Re A содержит постоянные функции и разделяет
точки Q. По теореме Стоуна — Вейерштрасса 10.8.17 подалгебра
Re A плотна в C(Q, R). Осталось привлечь 11.7.2.
11.8. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймарка 291

11.8.3. Определение. Представление ?-алгебр, согласованное
с инволюцией ?, называют ?-представлением. Иными словами, если
(A, ?) и (B, ?) — инволютивные алгебры и R : A > B — мультипли-
кативный линейный оператор, то R называют ?-представлением в
случае коммутативности диаграммы
R
A?>B
?v v?
R
A?>B

Если при этом R — изоморфизм, то R называют ?-изоморфизмом A
и B. При наличии норм в рассматриваемых алгебрах используют
также термины «изометрическое ?-представление» и «изометри-
ческий ?-изоморфизм», вкладывая в них очевидное содержание.
11.8.4. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймар-
ка. Преобразование Гельфанда коммутативной C ? -алгебры A осу-
ществляет изометрический ?-изоморфизм A и C(X(A), C).
Для a ? A имеем
1 1
a2 = (a2 )? a2 = a? aa? a = a? a = a 2 .
/2 /2


На основании 11.6.10 преобразование Гельфанда GA — это изометрия
алгебры A и замкнутой подалгебры A в C(X(A), C). Несомненно,
что A разделяет точки X(A) и содержит постоянные функции.
В силу 11.6.9 и 11.7.7 для эрмитова элемента h = h? в A имеем
h(X(A)) = Sp(h) ? R. Пусть теперь a — произвольный элемент A.
Привлекая 11.7.2, запишем: a = x + iy, где элементы x, y эрмитовы.
Учитывая, что для произвольного характера ? из X(A) выполнено
?(x) ? R, ?(y) ? R, последовательно получаем

GA (a)? (?) = a? (?) = a(?)? = ?(a)? = ?(x + iy)? =
= (?(x) + i?(y))? = ?(x) ? i?(y) = ?(x ? iy) = ?(a? ) =
= a? (?) = GA (a? )(?) (? ? X(A)).

Таким образом, преобразование Гельфанда GA является ?-представ-
лением и, в частности, A — это C ? -подалгебра C(X(A), C). Осталось
привлечь 11.8.2, чтобы заключить: A = C(X(A), C).
Гл. 11. Банаховы алгебры
292

11.8.5. Пусть R : A > B — это ?-представление C ? -алгебры A
в C ? -алгебре B. Тогда Ra ? a для a ? A.
Поскольку R(1) = 1, то R(Inv(A)) ? Inv(B). Значит, для
a ? A справедливо включение SpB (R(a)) ? SpA (a). Отсюда в силу
формулы Б?рлинга — Гельфанда для спектральных радиусов выте-
е
кает, что rA (a) ? rB (R(a)). Если a — эрмитов элемент A, то R(a) —
эрмитов элемент B, ибо R(a)? = R(a? ) = R(a). Если теперь A0 —
наименьшая замкнутая C ? -подалгебра, содержащая a, и B0 — ана-
логичным образом построенная подалгебра, содержащая R(a), то A0
и B0 — коммутативные C ? -алгебры. Таким образом, из теорем 11.8.4
и 11.6.9 получаем
R(a) = R(a) = GB0 (R(a)) = rB0 (R(a)) =
B0

= rB (R(a)) ? rA (a) = rA0 (a) = GA0 (a) = a .
Для произвольного элемента a ? A видно, что элемент a? a эрмитов.
Стало быть, с учетом уже доказанного имеем
= R(a)? R(a) = R(a? a) ? a? a = a 2 .
R(a) 2

11.8.6. Теорема о непрерывном функциональном исчис-
лении. Пусть a — нормальный элемент C ? -алгебры A и Sp(a) его
спектр. Существует, и притом единственное, изометрическое ?-пред-
ставление Ra алгебры C(Sp(a), C) в A такое, что a = Ra (ISp(a) ).
Пусть B — наименьшая замкнутая C ? -подалгебра A, содер-
жащая a. Ясно, что алгебра B коммутативна в силу нормальности a
(эта алгебра представляет собой замыкание алгебры многочленов от
a и a? ). При этом на основании 11.7.10 выполнено Sp(a) = SpA (a) =
SpB (a). Преобразование Гельфанда a := GB (a) элемента a действует
из X(B) на Sp(a) в силу 11.6.9 и, несомненно, взаимно однозначно.
Поскольку X(B) и Sp(a) — компакты, привлекая 9.4.11, заключа-
ем, что a — это гомеоморфизм. Отсюда непосредственно вытекает,
?
что отображение R : f > f ? a осуществляет изометрический ?-
изоморфизм алгебры C(Sp(a), C) и алгебры C(X(B), C).
Используя теорему 11.3.2 и связь преобразования Гельфанда
и интеграла Рисса — Данфорда, установленную в 11.6.12, для тож-
дественного отображения получаем
a = Ra IC = IC ? a = IC ?a=
? a(X(B))
?
?
? a = ISp(a) ? a = R(ISp(a) ).
= IC Sp(a)
11.8. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймарка 293

Положим теперь
?
?1
Ra := GB ? R.

Видно, что Ra — это изометрическое вложение и ?-представление.
Кроме того,

?
?1 ?1
Ra (ISp(a) ) = GB ? R(ISp(a) ) = GB (a) = a.

Единственность такого представления Ra обеспечена 11.8.5 и тем,
что, по теореме 11.8.2, C ? -алгебра C(Sp(a), C) — это своя наимень-
шая замкнутая C ? -подалгебра (с единицей), содержащая ISp(a) .

11.8.7. Определение. Представление Ra : C(Sp(a), C) > A,
построенное в 11.8.6, называют непрерывным функциональным ис-
числением (для нормального элемента a алгебры A).
Если при этом f ? C(Sp(a), C), то элемент Ra (f ) обознача-
ют f (a).

11.8.8. Замечание. Пусть f — голоморфная функция в окре-
стности спектра нормального элемента a некоторой C ? -алгебры A,
т. е. f ? H(Sp(a)). Тогда с помощью голоморфного функциональ-
ного исчисления определен элемент f (a) алгебры A.
Если сохранить символ f за сужением функции f на множе-
ство Sp(a), то с помощью непрерывного функционального исчисле-
ния определен элемент Ra (f ) := Ra f Sp(a) алгебры A. Последний
элемент, как отмечено в 11.8.7, обозначают f (a). Использование оди-
наковых обозначений здесь не случайно и корректно в силу 11.6.12
и 11.8.6. В самом деле, странно было бы обязательно обозначать
разными символами один и тот же элемент. Указанное обстоятель-
ство можно выразить в наглядной форме. Именно, пусть · Sp(a) —
отображение, сопоставляющее ростку h из H (Sp(a)) его сужение на
Sp(a), т. е. пусть h Sp(a) в точке z — это значение ростка h в точке z
(см. 8.1.21). Ясно, что · Sp(a) : H (Sp(a)) > C(Sp(a), C).
Отмеченную выше связь непрерывного и голоморфного функци-
ональных исчислений для нормального элемента a рассматриваемой
C ? -алгебры a можно выразить так: «следующая диаграмма
Гл. 11. Банаховы алгебры
294


· |Sp(a)-
H (Sp(a)) C(Sp(a), C)
@
@
Ra
@
Ra @
R
@?
A

коммутативна».

11.9. Операторные ?-представления C ? -алгебр
11.9.1. Определение. Пусть A — банахова алгебра (с едини-
цей). Элемент s ? A называют состоянием A (пишут s ? S(A)),
если s = s(1) = 1. Для элемента a ? A множество N (a) := {s(a) :
s ? S(A)} называют числовым образом a.
11.9.2. Числовой образ положительной функции из C(Q, C)
лежит в R+ .
Пусть a ? 0 и s = s(1) = 1. Нужно показать, что s(a) ? 0.
Возьмем z ? C и ? > 0 такие, что круг B? (z) := z + ?D содержит
a(Q). Тогда a ? z ? ? и, следовательно, |s(a ? z)| ? ?. Значит,
|s(a) ? z| = |s(a) ? s(z)| ? ?, т. е. s(a) ? B? (z).
Заметим, что

? {B? (z) : B? (z) ? a(Q)} = cl co(a(Q)) ? R+ .

Таким образом, s(a) ? R+ .
11.9.3. Лемма о числовом образе эрмитова элемента. Для
эрмитова элемента a в любой C ? -алгебре имеют место утверждения:
(1) Sp(a) ? N (a);
(2) Sp(a) ? R+ ? N (a) ? R+ .
Пусть B — наименьшая замкнутая C ? -подалгебра рассмат-
риваемой алгебры A, содержащая элемент a. Видно, что алгеб-
ра B коммутативна. В силу 11.6.9 для преобразования Гельфанда
a := GB (a) выполнено a(X(B)) = SpB (a). На основании 11.7.10,
SpB (a) = Sp(a). Иначе говоря, для ? ? Sp(a) имеется характер ?
алгебры B, удовлетворяющий условию ?(a) = ?. По 11.6.3, ? =
?(1) = 1. Привлекая 7.5.11, найдем продолжение s функциона-
ла ? на A с сохранением нормы. Тогда s — состояние A и при
этом s(a) = ?. Окончательно Sp(a) ? N (a) (в частности, если
11.9. Операторные ?-представления C ? -алгебр 295

N (a) ? R+ , то Sp(a) ? R+ ). Пусть теперь s — произвольное со-
стояние алгебры A. Ясно, что сужение s B — состояние алгебры B.
Несложно установить, что a взаимно однозначно отображает X(B)
на Sp(a). Следовательно, алгебру B можно рассматривать как ал-
гебру C(Sp(a), C). Из 11.9.2 выводим: s(a) = s B (a) ? 0 при a ? 0.
Итак, Sp(a) ? R+ ? N (a) ? R+ , что и завершает доказательство.
11.9.4. Определение. Элемент a в C ? -алгебре A называют по-
ложительным, если a эрмитов и Sp(a) ? R+ . Множество всех по-
ложительных элементов в A обозначают A+ .
11.9.5. Множество A+ — это упорядочивающий конус в C ? -
алгебре A.
Понятно, что N (a + b) ? N (a) + N (b) и N (?a) = ?N (a) при
a, b ? A и ? ? R+ . Поэтому 11.9.3 обеспечивает включение ?1 A+ +
?2 A+ ? A+ для ?1 , ?2 ? R+ . Стало быть, A+ — конус. Если
a ? A+ ? (?A+ ), то Sp(a) = 0. Учитывая, что элемент a эрмитов, по
теореме 11.8.6 заключаем: a = 0.
11.9.6. Для любого эрмитова элемента a из C ? -алгебры A су-
ществуют элементы a+ , a? из A+ такие, что

a = a+ ? a? ; a+ a? = a? a+ = 0.

Все немедленно следует из теоремы о непрерывном функцио-
нальном исчислении 11.8.6.
11.9.7. Лемма Капланского — Фукамия. Элемент a произ-
вольной C ? -алгебры A положителен в том и только в том случае,
если a = b? b для некоторого b ? A.
?: Пусть a ? v + , т. е. a = a? и Sp(a) ? R+ . Тогда (см. 11.8.6)
A
имеется корень b := a. При этом b = b? и b? b = a.
?: Если a = b? b, то элемент a эрмитов и с помощью 11.9.6 мож-
но записать: b? b = u ? v, где uv = vu = 0 и u ? 0, v ? 0 (в упо-
рядоченном векторном пространстве (AR , A+ )). Простой подсчет
показывает:

(bv)? bv = v ? b? bv = vb? bv = v(u ? v)v = (vu ? v 2 )v = ?v 3 .

Поскольку v ? 0, то v 3 ? 0, т. е. (bv)? bv ? 0. По теореме о спек-
тре произведения 5.6.22 множества Sp((bv)? bv) и Sp(bv(bv)? ) могут
отличаться лишь нулем. Поэтому bv(bv)? ? 0.
Гл. 11. Банаховы алгебры
296

На основании 11.7.2, bv = a1 + ia2 для подходящих эрмитовых
элементов a1 и a2 . Очевидно, что a2 , a2 ? A+ и (bv)? = a1 ? ia2 .
1 2
Дважды используя 11.9.5, приходим к оценкам:

0 ? (bv)? bv + bv(bv)? = 2 a2 + a2 ? 0.
1 2


По 11.9.5, a1 = a2 = 0, т. е. bv = 0. Значит, ?v 3 = (bv)? bv = 0.
Вторичная апелляция к 11.9.5 дает v = 0. Наконец, a = b? b = u?v =
u ? 0, т. е. a ? A+ .
11.9.8. В C ? -алгебре A каждое состояние s эрмитово, т. е.

s(a? ) = s(a)? (a ? A).

По леммам 11.9.7 и 11.9.3 при всех a ? A будет s(a? a) ? 0.
Полагая a := a + 1 и a := a + i, последовательно получаем

0 ? s((a + 1)? (a + 1)) = s(a? a + a + a? + 1) ?

? s(a) + s(a? ) ? R;
0 ? s((a + i)? (a + i)) = s(a? a ? ia + ia? + 1) ?
? i(?s(a) + s(a? )) ? R.
Иными словами,
Im s(a) + Im s(a? ) = 0;
Re(?s(a)) + Re s(a? ) = 0.
Отсюда вытекает

s(a? ) = Re s(a? ) + i Im s(a? ) = Re s(a) ? i Im s(a) = s(a)? .

11.9.9. Пусть s — состояние C ? -алгебры A. Для a, b ? A обо-
значим (a, b)s := s(b? a). Тогда (· , ·)s — скалярное произведение в A.
Из 11.9.8 выводим

(a, b)s = s(b? a) = s((a? b)? ) = s(a? b)? = (b, a)? .
s

Следовательно, ( · , ·)s — это эрмитова форма. Так как для a ? A,
в силу 11.9.7, a? a ? 0, то, по 11.9.3, (a, a)s = s(a? a) ? 0. Значит,
( · , ·)s — положительная эрмитова форма.
11.9. Операторные ?-представления C ? -алгебр 297

11.9.10. Теорема о состоянии C ? -алгебры. Для каждого
состояния s произвольной C ? -алгебры A имеются гильбертово про-
странство (Hs , ( · , ·)s ), элемент xs ? Hs и ?-представление Rs : A >
B(Hs ) такие, что s(a) = (Rs (a)xs , xs )s для всех a ? A и множество
{Rs (a)xs : a ? A} плотно в Hs .
На основании 11.9.9, полагая (a, b)s := s(b? a) для a, b ? A,
получаем предгильбертово пространство (A, ( · , ·)s ). Пусть ps (a) :=
(a, a)s — полунорма в этом пространстве, а ?s : A > A/ ker ps —
каноническое отображение A на хаусдорфово предгильбертово про-
странство A/ ker ps , ассоциированное с этим A. Пусть, далее, ?s :
A/ ker ps > Hs — вложение (например, с помощью двойного штри-
хования) пространства A/ ker ps в качестве всюду плотного подпро-
странства в гильбертово пространство Hs , ассоциированное с про-
странством (A, ( · , ·)s ) (см. пример 6.1.10 (4)). Скалярное произве-
дение в пространстве Hs обозначим прежним символом ( · , ·)s . Та-
ким образом, в частности,
(?s ?s a, ?s ?s b)s = (a, b)s = s(b? a) (a, b ? A).
Для элемента a ? A рассмотрим (образ при каноническом опе-
раторном представлении) La : b > ab (b ? A). Установим прежде
всего, что существуют, и притом единственные, ограниченные опе-
раторы La и Rs (a), превращающие в коммутативную следующую
диаграмму:
?s ?
s
A?>A/ ker ps ?>Hs
La v v La v Rs (a)

<< Пред. стр.

стр. 32
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>