<< Пред. стр.

стр. 33
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

?s ?s
A?>A/ ker ps ?>Hs
Искомый оператор La служит решением уравнения X?s = ?s La .
Привлекая 2.3.8, видим, что необходимое и достаточное условие раз-
решимости указанного уравнения в классе линейных операторов со-
стоит в инвариантности подпространства ker ps относительно La .
Итак, проверим включение La (ker ps ) ? ker ps . Для этого возь-
мем элемент b из ker ps , т. е. ps (b) = 0. Используя определения
и неравенство Коши — Буняковского 6.1.5, получаем

0 ? (La b, La b)s = (ab, ab)s = s((ab)? ab) =
= s(b? a? ab) = (a? ab, b)s ? ps (b)ps (a? ab) = 0,

т. е. La b ? ker ps . Единственность La обеспечена 2.3.9, ибо ?s —
эпиморфизм. Отметим также, что ?s — это открытое отображение
Гл. 11. Банаховы алгебры
298

(ср. 5.1.3). Отсюда немедленно следует непрерывность оператора
La . Таким образом, в силу 5.3.8 соответствие ?s ? La ? (?s )?1 можно
рассматривать как ограниченный линейный оператор из ?s (A/ ker ps )
в банахово пространство Hs . В связи с 4.5.10 такой оператор допус-
кает, и притом единственное, продолжение до оператора Rs (a) из
B(Hs ).
Установим теперь, что Rs : a > Rs (a) — это требуемое пред-
ставление. В силу 11.1.6 выполнено: Lab = La Lb для a, b ? A.
Значит,
?s Lab = ?s La Lb = La ?s Lb = La Lb ?s .
Поскольку Lab — единственное решение уравнения X?s = ?s Lab ,
приходим к соотношению Lab = La Lb , обеспечивающему мульти-
пликативность Rs . То, что Rs — линейный оператор, проверяется
аналогично. Помимо этого,

L1 ?s = ?s L1 = ?s IA = ?s = IA/ ker ps ?s = 1?s ,

т. е. Rs (1) = 1.
Обозначим для удобства ?s := ?s ?s . Тогда с учетом определений
скалярного произведения в Hs (см. 6.1.10 (4)) и инволюции в B(Hs )
(см. 6.4.14 и 6.4.5) для элементов a, b, y ? A имеем

(Rs (a? )?s x, ?s y)s = (?s La? x, ?s y)s =
= (La? x, y)s = (a? x, y)s = s(y ? a? x) = s((ay)? x) = (x, ay)s =
= (x, La y)s = (?s x, ?s La y)s = (?s x, Rs (a)?s y)s =
= (Rs (a)? ?s x, ?s y)s .

Отсюда из-за плотности im ?s в Hs вытекает, что Rs (a? ) = Rs (a)?
для каждого a ? A, т. е. Rs — это ?-представление.
Положим теперь xs := ?s 1. Тогда

Rs (a)xs = Rs (a)?s 1 = ?s La 1 = ?s a (a ? A).

Следовательно, множество {Rs (a)xs : a ? A} плотно в Hs . Помимо
этого,

(Rs (a)xs , xs )s = (?s a, ?s 1)s = (a, 1)s = s(1? a) = s(a).

11.9.11. Замечание. Построение из доказательства теоремы
11.9.10 называют ГНС-конструкцией (или развернуто: конструкци-
ей Гельфанда — Наймарка — Сигала).
11.9. Операторные ?-представления C ? -алгебр 299

11.9.12. Теорема Гельфанда — Наймарка. Каждая C ? -ал-
гебра имеет изометрическое ?-представление в C ? -алгебре эндомор-
физмов подходящего гильбертова пространства.
Пусть A — рассматриваемая C ? -алгебра. Следует найти гиль-
бертово пространство H и изометрическое ?-представление R алгеб-
ры A в C ? -алгебре B(H). С этой целью рассмотрим гильбертову
сумму H семейства гильбертовых пространств (Hs )s?S(A) , существо-
вание который гарантировано теоремой о состоянии C ? -алгебры, т. е.

?
H := Hs =
s?S(A)
? ?
? ?
= h := (hs )s?S(A) ? 2
Hs : hs < +? .
? ?
Hs
s?S(A) s?S(A)

Отметим, что скалярное произведение семейств h := (hs )s?S(A) и
g := (gs )s?S(A) в H вычисляется по правилу (ср. 6.1.10 (5) и 6.1.9):

(h, g) = (hs , gs )s .
s?S(A)

Пусть, далее, Rs — это ?-представление A в пространстве Hs ,
соответствующее состоянию s из S(A). Так как в силу 11.8.5 для
каждого a ? A выполнена оценка Rs (a) B(Hs ) ? a , то для h ? H
справедливо

Rs (a)hs ? Rs (a) ?a
2 2 2 2 2
hs hs Hs .
Hs Hs
B(Hs )
s?S(A) s?S(A) s?S(A)

Отсюда вытекает, что соотношение R(a)h : s > Rs (a)hs опре-
деляет элемент R(a)h из H. Возникающий оператор R(a) : h >
R(a)h — элемент пространства B(H). Более того, отображение R :
a > R(a) (a ? A) — это искомое изометрическое ?-представление
алгебры A.
В самом деле, из определения R и свойств Rs для s ? S(A) легко
вывести, что R — это ?-представление A в B(H). Убедимся, напри-
мер, что R согласовано с инволюцией. Для этого возьмем элементы
a ? A и h, g ? H. Тогда

(R(a? )h, g) = (Rs (a? )hs , gs )s =
s?S(A)
Гл. 11. Банаховы алгебры
300

(Rs (a)? hs , gs )s = (hs , Rs (a)gs )s =
=
s?S(A) s?S(A)

= (h, R(a)g) = (R(a)? h, g).
Из-за произвольности h, g ? H получаем R(a? ) = R(a)? , что и нуж-
но.
Осталось проверить только изометричность ?-представления R,
т. е. равенства R(a) = a при всех a ? A. Пусть для начала
a — это положительный элемент. Из непрерывного функционально-
го исчисления и теоремы Вейерштрасса 9.4.5 следует: a ? Sp(a).
На основании 11.9.3 (1) существует состояние s ? S(A), для кото-
рого s(a) = a . Учитывая свойства вектора xs , соответствующего
?-представлению Rs (см. 11.9.10), и привлекая неравенство Коши —
Буняковского 6.1.5, получаем

a = s(a) = (Rs (a)xs , xs )s ? Rs (a)xs ?
xs
Hs Hs


? Rs (a) = Rs (a)
2
xs B(Hs ) (xs , xs )s =
B(Hs ) Hs

= Rs (a) xs )s = Rs (a) = Rs (a)
B(Hs ) (Rs (1)xs , B(Hs ) s(1) B(Hs ) .

Используя оценки R(a) ? Rs (a) B(Hs ) и a ? R(a) , пер-
вая из которых очевидна, а вторая указана в 11.8.5, выводим:

a ? R(a) ? Rs (a) ? a.
B(Hs )

Возьмем, наконец, произвольный элемент a из A. По лемме Каплан-
ского — Фукамия 11.9.7 элемент a? a положителен. Таким образом,
можно заключить:

= R(a)? R(a) = R(a? )R(a) = R(a? a) = a? a = a 2 .
R(a) 2


Дальнейшее не требует особых разъяснений.

Упражнения
11.1. Привести примеры банаховых алгебр и не банаховых алгебр.
11.2. Пусть A — банахова алгебра и ? ? A# таков, что ?(1) = 1 и при этом
?(Inv(A)) ? Inv(C). Доказать, что ? мультипликативен и непрерывен.
11.3. Пусть спектр Sp(a) элемента a банаховой алгебры A лежит в откры-
том множестве U . Доказать, что имеется число ? > 0 такое, что Sp(a + b) ? U
при всех b ? A, для которых b ? ?.
Упражнения 301

11.4. Описать пространства максимальных идеалов в алгебрах C(Q, C),
C (1) ([0, 1], C) с поточечным умножением, в алгебре двусторонних суммируемых
последовательностей l1 (Z) со св?рточным умножением
е

?
(a ? b)(n) := an?k bk .
k=??


11.5. Установить, что в банаховой алгебре B(X) элемент T имеет левый
обратный в том и только в том случае, когда T — мономорфизм и образ T
дополняем в X.
11.6. Установить, что в банаховой алгебре B(X) элемент T имеет правый
обратный в том и только в том случае, если T — эпиморфизм и ядро T допол-
няемо в X.
11.7. В банаховой алгебре A есть элемент с несвязным спектром. Доказать,
что в A найдется нетривиальный идемпотент.
11.8. Пусть A — коммутативная банахова алгебра с единицей и E — неко-
торое множество ее максимальных идеалов. Множество E называют границей
A, если для всякого a ? A выполнено

= sup |?(E)|.
a a
? ?


Доказать, что пересечение всех замкнутых границ A также служит границей A.
Ее называют границей Шилова алгебры A.
11.9. Пусть A, B — коммутативные банаховы алгебры с единицей, причем
B ? A и 1B = 1A . Доказать, что всякий максимальный идеал границы Шилова
алгебры B содержится в некотором максимальном идеале A.
11.10. Пусть A и B — две C ? -алгебры (с единицей) и T — морфизм A в
B. Пусть, далее, a — нормальный элемент A и f — непрерывная функция на
SpA (a). Установить, что SpB (T a) ? SpA (a) и T f (a) = f (T a).
11.11. Пусть f ? A , где A — коммутативная C ? -алгебра. Установить, что
f — положительная форма, т. е. f (a? a) ? 0 для a ? A, в том и только в том
случае, если f = f (1).
11.12. Описать крайние лучи множества положительных форм в комму-
тативной C ? -алгебре.
11.13. Доказать, что алгебры C(Q1 , C) и C(Q2 , C) изоморфны в том и
только в том случае, если компакты Q1 и Q2 гомеоморфны.
11.14. Пусть некоторый нормальный элемент C ? -алгебры имеет веществен-
ный спектр. Доказать, что он эрмитов.
11.15. Развить спектральную теорию нормальных операторов в гильберто-
вом пространстве с помощью непрерывного функционального исчисления. Опи-
сать компактные нормальные операторы.
Гл. 11. Банаховы алгебры
302

11.16. Пусть T — алгебраический морфизм C ? -алгебр, причем T ? 1.
Тогда T (a? ) = (T a)? для всех a.
11.17. Пусть T — нормальный оператор на гильбертовом пространстве H.
Убедиться, что существуют эрмитов оператор S на H и непрерывная функция
f : Sp(S) > C такие, что T = f (S). Справедливо ли аналогичное утверждение в
C ? -алгебрах?
11.18. Пусть A, B — две C ? -алгебры и ? — это ?-мономорфизм из A в B.
Доказать, что ? — изометрическое вложение A в B.
11.19. Пусть a, b — эрмитовы элементы C ? -алгебры A, причем ab = ba и,
кроме того, a ? b. Доказать, что f (a) ? f (b) для подходящих сужений любой
возрастающей непрерывной скалярной функции f на R.
Литература


1. Акилов Г. П., Дятлов В. Н. Основы математического анализа.
—Новосибирск: Наука, 1980.—336 с.
2. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные
пространства.—Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.
3. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую то-
пологию. —М.: Наука, 1977.—367 с.
4. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное
управление.—М.: Наука, 1979.—429 с.
5. Антоневич А. Б., Радыно Я. Б. Функциональный анализ и
интегральные уравнения.—Минск: Изд-во «Университетское»,
1984.—352 с.
6. Антоневич А. Б., Князев П. Н., Радыно Я. Б. Задачи и упраж-
нения по функциональному анализу.—Минск: Вышейшая шко-
ла, 1978.—205 с.
7. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщен-
ных функций. Секвенциальный подход.—М.: Мир, 1976.—311 с.
8. Архангельский А. В. Топологические пространства функций.—
М.: Изд-во МГУ, 1989.—222 с.
9. Архангельский А. В., Пономар?в В. И. Основы общей тополо-
е
гии в задачах и упражнениях.—М.: Наука, 1974.—423 с.
10. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации.—М.: Наука,
1965.—407 с.
11. Ахиезер Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях.—
Харьков: Выща школа, 1984.—120 с.
12. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в
гильбертовых пространствах. — Харьков: Выща школа, 1977–
1978. — Т. 1–2.
Литература
304

13. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные
неравенства.—М.: Наука, 1988.—448 с.
14. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ.—
М.: Наука, 1980.—384 с.
15. Банах С. Теория линейных операция.—М.-Ижевск: R&C Dy-
namics, 2001.—272 с.
16. Берг Й., Л?фстр?м Й. Интерполяционные пространства. Вве-
е е
дение.—М.: Мир, 1980.—264 с.
17. Березанский Ю. М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные методы
в бесконечномерном анализе.—Киев: Наукова думка.—1988.—
680 с.
18. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный
анализ. Курс лекций.—Киев: Выща школа, 1990.—600 с.
19. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные
представления функций и теоремы вложения. —М.: Наука,
1996.—480 с.
20. Биркгоф Г. Теория реш?ток.—М.: Наука, 1984.—565 с.
е
21. Бирман М. Ш. и др. Функциональный анализ.—М.: Наука,
1972.—544 с.—(Справочная математическая библиотека.)
22. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория само-
сопряж?нных операторов в гильбертовом пространстве.—Л.:
е
Изд-во ЛГУ, 1980.—264 с.
23. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т.
Общие принципы квантовой теории поля.—М.: Наука, 1987.—
615 с.
24. Булдырев В. С., Павлов П. С. Линейная алгебра и функции
многих переменных.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.—496 с.
25. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая
статистическая механика. —М.: Мир, 1982.—511 с.
26. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и пре-
образования Фурье.—М.: Мир, 1968.—276 с.
27. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. — М.:
Изд-во иностр. лит., 1959.—410 с.
28. Бурбаки Н. Теория множеств.—М.: Мир, 1965.—455 с.
29. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры.—М.: На-
ука, 1968.—272 с.
30. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра.—М.: Мир, 1971.—707 с.
31. Бурбаки Н. Спектральная теория.—М.: Мир, 1972.—183 с.
Литература 305

32. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных
чисел в общей топологии. Функциональные пространства.
Сводка результатов.—М.: Наука, 1975.—408 с.
33. Бурбаки Н. Интегрирование. Мера на локально компактных
пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Ме-
ра на отдельных пространствах.—М.: Наука, 1977.—600 с.
34. Бухвалов А. В. и др. Векторные реш?тки и интегральные
е
операторы.—Новосибирск: Наука, 1991.—212 с.
35. Вайнберг М. М. Функциональный анализ.—М.: Просвещение,
1979.—128 с.
36. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.:
Наука, 1988.—512 с.
37. Владимиров В. С. Обобщ?нные функции в математической фи-
е
зике.—М.: Наука, 1976.—280 с.
38. Владимиров В. С. и др. Сборник задач по уравнениям мате-
матической физики.—М.: Наука, 1982.—256 с.
39. Воеводин В. В. Линейная алгебра.—М.: Наука, 1980.—400 с.
40. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-
дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1982.—304 с.
41. Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ.—М.: Наука,
1967.—415 с.
42. Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных прост-
ранств.—М.: Физматгиз, 1961.—407 с.
43. Гамелин Т. Равномерные алгебры.—М.: Мир, 1973.—334 с.
44. Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе.—М.:
Мир, 1967.—251 с.
45. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.—М.: Наука, 1966.
—280 с.
46. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные
нормированные кольца.—М.: Физматгиз, 1960.—316 с.
47. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщ?нные функции и дей-
е
ствия над ними.—М.: Физматгиз, 1958.—438 с.—(Обобщ?нные
е
функции. Вып. 1.)
48. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обоб-
щ?нных функций.—М.: Физматгиз, 1958.—307 с.—(Обобщ?н-
е е
ные функции. Вып. 2.)
49. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гар-
монического анализа. Оснащ?нные гильбертовы пространства.
е
Литература
306

— М.: Физматгиз, 1961. — 472 с. — (Обобщ?нные функции.
е
Вып. 4.)
50. Глазман И. М., Любич Ю. И. Конечномерный линейный ана-
лиз.—М.: Наука, 1969.—475 с.
51. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков.—М.:
Изд-во иностр. лит., 1961.—319 с.
52. Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функ-
ций с обобщ?нными производными и квазиконформные ото-
е
бражения.—М.: Наука, 1983.—284 с.
53. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций.—
М.: Изд-во иностр. лит., 1963.—311 с.
54. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных само-
сопряж?нных операторов.—М.: Наука, 1965.—448 с.
е
55. Гурарий В. П. Групповые методы коммутативного гармони-
ческого анализа.—М.: ВИНИТИ, 1988.—311 с.—(Современные
проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 25.)
56. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1: Общая
теория.—М.: Изд-во иностр. лит., 1962.—898 с. Т. 2: Спек-
тральная теория. Самосопряж?нные операторы в гильберто-
е
вом пространстве.—М.: Мир, 1966.—1063 с. Т. 3: Спектраль-
ные операторы.—М.: Мир, 1974.—661 с.
Диксмье Ж. C ? -алгебры и их представления. — М.: Наука,
57.
1974.—399 с.
58. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств.—Киев: Выща
школа, 1980.—215 с.
59. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — М.: Изд-во
иностр. лит., 1961.—232 с.
60. Дэй М. Нормированные линейные пространства.—М.: Изд-во
иностр. лит., 1961.—232 с.
61. Ефимов А. В., Золотар?в Ю. Г., Терпигорев В. М. Математи-
е
ческий анализ (специальные разделы). Т. 2. Применение неко-
торых методов математического и функционального анализа.
—М.: Высшая школа, 1980.—295 с.
62. Зорич В. А. Математический анализ. Часть II.—М.: Наука,
1998.—640 с.
63. Иосида К. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1967.—624 с.
64. Иосида К. Операционное исчисление. Теория гиперфункций.
— Минск: Изд-во «Университетское», 1989.—168 с.
Литература 307

65. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач.—
М.: Наука, 1974.—479 с.
66. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—М.:
Наука, 1984.—752 с.
67. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в
нормированных пространствах.—М.: Физматгиз, 1959.—684 с.
68. Канторович Л. В., Вулих Б. З., Пинскер А. Г. Функциональ-
ный анализ в полуупорядоченных пространствах.—М.-Л.: Го-
стехиздат, 1950.—548 с.
69. Картан А. Элементарная теория аналитических функций од-
ного и нескольких комплексных переменных. — М.: Изд-во

<< Пред. стр.

стр. 33
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>