<< Пред. стр.

стр. 4
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

@
R
Y
т. е. T0 = T ?, где ? : X0 > X — вложение.
2.3. Уравнения в операторах 21

2.3.7. Пусть X, Y — векторные пространства и X0 — подпро-
странство в X. Для любого T0 ? L (X0 , Y ) существует продолжение
T ? L (X, Y ).
Предъявим T := T0 PX0 , где PX0 — оператор проектирования
на X0 .

2.3.8. Теорема о разрешимости уравнения XA = B.
Пусть X, Y, Z — векторные пространства; A ? L (X, Y ), B ?
L (X, Z). Диаграмма

A
-Y
X
@
X
B@ ?
@
R
Z
коммутативна для некоторого X ? L (Y, Z) в том и только в том
случае, если ker A ? ker B.
?: То, что при B = X A выполнено ker A ? ker B, очевидно.
?: Положим X := B ? A?1 . Ясно, что для x ? X будет X ?
A(x) = B ? (A?1 ? A)x = B(x + ker A) = Bx. Проверим, что X0 :=
X |im A — линейный оператор. Следует проверить только однознач-
ность X . Пусть y ? im A и z1 , z2 ? X (y). Тогда z1 = Bx1 , z2 =
Bx2 , а Ax1 = Ax2 = y. По условию B(x1 ? x2 ) = 0. Значит, z1 = z2 .
Применяя 2.3.7, возьмем какое-либо продолжение X оператора X0
на пространство Y .

2.3.9. Замечание. Если в условиях 2.3.8 оператор A — эпи-
морфизм, то оператор X единствен.

2.3.10. Линейный оператор допускает единственное снижение
на свой кообраз.
Это следствие 2.3.8 и 2.3.9.

2.3.11. Линейный оператор T допускает (каноническое) разло-
жение в композицию эпиморфизма ?, изоморфизма T и мономор-
физма ?, т. е. коммутативна следующая диаграмма:
Гл. 2. Векторные пространства
22

T-
coim T im T
?6 ?
?
T
-Y
X
для единственного оператора T .
2.3.12. Пусть X — некоторое векторное пространство и заданы
f0 , f1 , . . . , fN ? X # . Функционал f0 является линейной комбинацией
f1 , . . . , fN в том и только в том случае, если ker f0 ? ?N ker fj .
j=1

Пусть (f1 , . . . , fN ) : X > FN — линейный оператор, заданный
соотношением

(f1 , . . . , fN )x := (f1 (x), . . . , fN (x)).

Видно, что ker(f1 , . . . , fN ) = ?N ker fj . Используя теорему 2.3.8
j=1
для задачи

- FN
(f1 ,...,fN )
X
@
@
f0@
@
R
@?
F

и учитывая строение пространства FN # , получаем требуемое.
2.3.13. Теорема о разрешимости уравнения AX = B.
Пусть X, Y, Z — векторные пространства; A ? L (Y, X), B ?
L (Z, X). Диаграмма
A
X Y
6
@
I
@ X
B@
Z
коммутативна для некоторого X ? L (Z, Y ) в том и только в том
случае, если im A ? im B.
2.3. Уравнения в операторах 23

?: im B = B(Z) = A(X (Z)) ? A(Y ) = im A.
?: Пусть Y0 — алгебраическое дополнение ker A в Y и A0 := A|Y0 .
Тогда A0 взаимно однозначно отображает Y0 на im A. Оператор
X := A?1 B, очевидно, искомый.
0

2.3.14. Замечание. Если в условиях 2.3.13 оператор A — мо-
номорфизм, то оператор X единствен.
2.3.15. Замечание. Теоремы 2.3.8 и 2.3.13 связаны «формаль-
ной двойственностью». Каждая из них получается из другой «обра-
щением стрелок», «перестановкой ядер и образов» и «переходом к
противоположному включению».
2.3.16. Лемма о снежинке. Пусть заданы S ? L (Y, Z) и
T ? L (X, Y ). Существуют, и притом единственные, операторы
?1 , . . . , ?6 , для которых коммутативна диаграмма:

0 0
S
w 
/
?2
- ker S
ker ST
?1  S  S ?3
7
 S  S
T
w
S 
/ w
S

0 - ker T -X -Y - coker T - 0
S S  
S S S 
ST S 
w/
S 
Z
?6 S  ?4
S S 
S  S 
S
w/ S
w/
coker S  coker ST
?5

/ S
w
0 0

При этом (выделенная) последовательность

? ? ?
1 2 3
0 > ker T ?> ker ST ?> ker S ?>
? ? ?
3 4 5
?> coker T ?> coker ST ?> coker S > 0

является точной.
Гл. 2. Векторные пространства
24

Упражнения
2.1. Привести примеры векторных пространств, а также и не векторных
пространств. Какие конструкции приводят к векторным пространствам?

2.2. Изучить векторные пространства над двухэлементным полем Z2 .

2.3. Описать векторное пространство со счетным базисом Гамеля.

2.4. Доказать существование разрывных решений f : R > R функциональ-
ного уравнения
f (x + y) = f (x) + f (y) (x, y ? R).

Как представить такие f графически?

2.5. Доказать, что пространство, алгебраически сопряженное к прямой
сумме, реализуется как прямое произведение.

2.6. Пусть X ? X0 ? X00 . Доказать, что X/X00 и (X/X0 )/(X00 /X0 ) —
изоморфные пространства.

2.7. Пусть отображение «двойной диез» определено правилом:

x## : x# > x | x# (x ? X, x# ? X # ).

Установить, что это отображение осуществляет вложение векторного простран-
ства X во второе сопряженное пространство X ## .

2.8. Доказать, что алгебраически рефлексивными являются конечномер-
ные пространства и только они, т. е.

##
(X) = X ## ? dim X < +?.

2.9. Есть ли аналоги базисов Гамеля в общих модулях?

2.10. При каких условиях сумма проекторов будет проектором?

2.11. Пусть T — эндоморфизм некоторого векторного пространства, при-
чем T n?1 = 0 и T n = 0 для какого-то натурального n. Доказать, что операторы
T 0 , T, . . . , T n?1 линейно независимы.

2.12. Описать строение линейных операторов, определенных на прямой
сумме пространств и действующих в произведение пространств.

2.13. Найти условия единственности решений следующих уравнений в опе-
раторах XA = B и AX = B (здесь неизвестным является оператор X ).

2.14. Как устроено пространство билинейных операторов?

2.15. Охарактеризовать векторные пространства, возникающие в резуль-
тате овеществления комплексных векторных пространств.
Упражнения 25

2.16. Для семейства линейно независимых векторов (xe )e?E подыскать та-
кое семейство функционалов (x# )e?E , чтобы выполнялись соотношения:
e


xe | x# = 1 (e ? E );
e


xe | x# = 0 (e, e ? E, e = e ).
e

2.17. Для семейства линейно независимых функционалов (x# )e?E подыс-
e
кать такое семейство векторов (xe )e?E , чтобы выполнялись соотношения:

xe | x# = 1 (e ? E );
e


xe | x# = 0 (e, e ? E, e = e ).
e

2.18. Найти условия совместности системы линейных уравнений и линей-
ных неравенств в вещественных векторных пространствах.
2.19. Пусть дана коммутативная диаграмма

T
W ?> X ?> Y ?> Z
?v ?v ?v ?v
T
W ?> X ?> Y ?> Z

с точными сторонами, причем ? — эпиморфизм, а ? — мономорфизм. Доказать,
что ker ? = T (ker ?) и T ?1 (im ?) = im ?.
Глава 3
Выпуклый анализ


3.1. Множества в векторных пространствах
3.1.1. Определение. Пусть — подмножество F 2 , а U — под-
множество векторного пространства. Множество U называют -
множеством (и пишут U ? ( )), если выполнено

(?1 , ?2 ) ? ? ?1 U + ?2 U ? U.

3.1.2. Примеры.
(1) Любое множество входит в (?). (Таким образом, (?)
не является множеством.)
(2) При := F 2 непустые -множества это в точности
линейные подмножества векторных пространств.
(3) Если := R2 , то непустые -множества в вектор-
ном пространстве X называют вещественными подпространствами
в X.
(4) Если := R2 , то непустые -множества называют ко-
+
нусами. Иными словами, непустое множество K является конусом
в том и только в том случае, если K + K ? K и ?K ? K при всех
? ? R+ . Непустые R2 \ 0-множества (иногда) называют незаост-
+
ренными конусами, а непустые R+ ? 0-множества — невыпуклыми
конусами. (Здесь и в дальнейшем использовано обычное обозначе-
ние R+ := {t ? R : t ? 0}.)
(5) Пусть := {(?1 , ?2 ) ? F 2 : ?1 + ?2 = 1}. Непу-
стые -множества называют аффинными многообразиями. Если X0
3.1. Множества ввекторных пространствах 27

— подпространство в X и x ? X, то x + X0 := {x} + X0 — аффинное
многообразие в X. Наоборот, если L — аффинное многообразие в X
и x ? L, то L ? x := L + {?x} — линейное множество в X.
(6) Пусть := {(?1 , ?2 ) ? F 2 : |?1 | + |?2 | ? 1}. Тогда
непустые -множества называют абсолютно выпуклыми.
(7) Пусть := {(?, 0) ? F 2 : |?| ? 1}. Тогда -множества
называют уравновешенными (при F := R говорят также о звездных
множествах; используют и термин «симметричное множество», что
не вполне оправдано).
(8) Пусть := {(?1 , ?2 ) ? R2 : ?1 ? 0, ?2 ? 0, ?1 + ?2 =
1}. Тогда -множества называют выпуклыми.
(9) Если := {(?1 , ?2 ) ? R2 : ?1 + ?2 ? 1}, то непустые
+
-множества называют коническими отрезками. Множество явля-
ется коническим отрезком в том и только в том случае, если оно
выпукло и содержит нуль.
(10) Для любого ? F 2 и произвольного векторного
пространства X над F выполнено X ? ( ). Отметим еще, что в 3.1.2
(1)–3.1.2 (9) множество является -множеством.
3.1.3. Пусть X — векторное пространство и E — некоторое се-
мейство -множеств в этом пространстве X. Тогда ?{U : U ?
im E } ? ( ). Если, кроме того, im E фильтровано по возрастанию
(относительно включения множеств), то ?{U : U ? im E } ? ( ).
3.1.4. Замечание. Предложение 3.1.3, в частности, означает,
что совокупность -множеств данного векторного пространства, бу-
дучи упорядочена по включению, становится полной решеткой.
3.1.5. Пусть X и Y — векторные пространства, а U ? X и V ?
Y — некоторые -множества. Тогда U ? V ? ( ).
Если одно из множеств U или V пусто, то U ? V = ? и
доказывать нечего. Пусть теперь u1 , u2 ? U и v1 , v2 ? V , а (?1 , ?2 ) ?
. Тогда ?1 u1 + ?2 u2 ? U , а ?1 v2 + ?2 v1 ? V . Значит, (?1 u1 +
? 2 u 2 , ? 1 v1 + ? 2 v2 ) ? U ? V .
3.1.6. Определение. Пусть X, Y — векторные пространства
и T ? X ? Y — соответствие. Пусть ? F 2 . Если T ? ( ), то T
называют -соответствием.
Гл. 3. Выпуклый анализ
28

3.1.7. Замечание. Если -множества (при фиксированном )
носят специальное название, то это название сохраняют и для -
соответствий. В этом смысле говорят о линейных и выпуклых соот-
ветствиях, аффинных отображениях и т. п. Уместно подчеркнуть
особенность терминологии: выпуклая функция одной переменной
не является выпуклым соответствием, за исключением тривиальных
случаев (см. 3.4.2).
3.1.8. Пусть T ? X ? Y — некоторое 1 -соответствие, а U ? X
— некоторое 2 -множество. Если 2 ? 1 , то T (U ) ? ( 2 ).
Если y1 , y2 ? T (U ), то для некоторых x1 , x2 ? U будет
(x1 , y1 ) ? T и (x2 , y2 ) ? T . Для (?1 , ?2 ) ? 2 имеем (?1 , ?2 ) ? 1 и,
значит, ?1 (x1 , y1 )+?2 (x2 , y2 ) ? T . Отсюда следует, что ?1 y1 +?2 y2 ?
T (U ).
3.1.9. Суперпозиция -соответствий — -соответствие.
Пусть F ? X ? V и G ? W ? Y и F, G ? ( ). Имеем
(x1 , y1 ) ? G ? F ? (? v1 ) (x1 , v1 ) ? F & (v1 , y1 ) ? G;
(x2 , y2 ) ? G ? F ? (? v2 ) (x2 , v2 ) ? F & (v2 , y2 ) ? G.
«Умножая первую строчку на ?1 , вторую — на ?2 , где (?1 , ?2 ) ? ,
и складывая результаты», последовательно получаем требуемое.
3.1.10. Если U , V — подмножества X и U , V ? ( ) для ? F 2,
то для любых ?, ? ? F выполнено ?U + ?V ? ( ).
Следует сослаться на 3.1.5, 3.1.8 и 3.1.9.
3.1.11. Определение. Пусть X — векторное пространство,
— подмножество F 2 и U — подмножество X. Множество
H (U ) := ?{V ? X : V ? ( ), V ? U }
называют -оболочкой U .
3.1.12. Справедливы утверждения:
(1) H (U ) ? ( );
(2) H (U ) — наименьшее -множество, содержащее U ;
(3) U1 ? U2 ? H (U1 ) ? H (U2 );
(4) U ? ( ) ? U = H (U );
(5) H (H (U )) = H (U ).
3.2. Упорядоченные векторные пространства 29

3.1.13. Имеет место формула Моцкина:

H (U ) = ?{H (U0 ) : U0 ? U, U0 — конечное подмножество}.

Обозначим через V множество, стоящее в правой части фор-
мулы Моцкина. Так как U0 ? U , то, по 3.1.12 (3), H (U0 ) ? H (U ),
а потому H (U ) ? V . В силу 3.1.12 (2) необходимо (и, разумеется,
достаточно) проверить, что V ? ( ). Но последнее следует из 3.1.3
и того факта, что H (U0 ) ? H (U1 ) ? H (U0 ? U1 ).
3.1.14. Замечание. Формула Моцкина показывает, что для
описания произвольных -оболочек следует найти лишь -оболочки
конечных множеств. Подчеркнем, что при конкретных использу-
ют специальные (но естественные) названия для -оболочек. Так,
при := {(?1 , ?2 ) ? R2 : ?1 + ?2 = 1} говорят о выпуклых оболоч-
+
ках и вместо H (U ) пишут co(U ). Вместо HF 2 (U ) пишут L (U ) или
lin(U ), если U = ?, кроме того, полагают для удобства L (?) := 0.
Множество L (U ) называют линейной оболочкой U (и по возможно-
сти не путают с пространством эндоморфизмов L (X) векторного
пространства X). Аналогично вводят понятия аффинной оболочки,
конической оболочки и т. п. Отметим здесь же, что выпуклая обо-
лочка конечного множества точек составлена из их же выпуклых
комбинаций, т. е.
N
co({x1 , . . . , xN }) = ?k xk : ?k ? 0, ?1 + . . . + ?N = 1 .
k=1

3.2. Упорядоченные векторные пространства
3.2.1. Определение. Пусть (X, R, +, · ) — векторное про-
странство. Пусть, далее, ? — предпорядок в X. Говорят, что ?
согласован с векторной структурой, если ? — конус в X 2 . В этом
случае пространство X называют упорядоченным векторным про-
странством. (Точнее говорить о предупорядоченном векторном про-
странстве (X, R, +, ·, ?), сохраняя термин «упорядоченное век-
торное пространство» для тех ситуаций, когда ? — это отношение
порядка.)
3.2.2. Пусть X — упорядоченное векторное пространство и ?
— соответствующий предпорядок. Тогда ?(0) — конус. При этом
?(x) = x + ?(0) для всякого x ? X.
Гл. 3. Выпуклый анализ
30

Множество ?(0) — конус в силу 3.1.3. Помимо того, из тожде-
ства (x, y) = (x, x) + (0, y ? x) выводим (x, y) ? ? ? y ? x ? ?(0).
3.2.3. Пусть K — конус в векторном пространстве X. Положим
? := {(x, y) ? X 2 : y ? x ? K}.
Тогда ? — предпорядок, согласованный с векторной структурой,
причем K совпадает с конусом положительных элементов ?(0). Бо-
лее того, ? является порядком в том и только в том случае, если
K ? (?K) = 0.
Ясно, что 0 ? K ? IX ? ? и K + K ? K ? ? ? ? ? ?. Имеем
также представление ? ?1 = {(x, y) ? X 2 : x ? y ? K}. Значит,
? ? ? ?1 ? IX ? K ? (?K) = 0. Осталось проверить, что ? — конус.
С этой целью возьмем (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ? ? и ?1 , ?2 ? R+ . Тогда
?1 y1 + ?2 y2 ? (?1 x1 + ?2 x2 ) = ?1 (y1 ? x1 ) + ?2 (y2 ? x2 ) ? ?1 K + ?2 K ?

<< Пред. стр.

стр. 4
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>