<< Пред. стр.

стр. 5
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

K.
3.2.4. Определение. Заданный конус K называют упорядочи-
вающим или острым, если K ? (?K) = 0.
3.2.5. Замечание. На основании 3.2.2 и 3.2.3 задание в вектор-
ном пространстве структуры предупорядоченного векторного про-
странства равносильно выделению в нем конуса положительных эле-
ментов. Структуру упорядоченного векторного пространства созда-
ют выделением острого конуса. В этой связи о (пред)упорядоченном
векторном пространстве X часто говорят как о паре (X, X+ ), где
X+ — конус положительных элементов.
3.2.6. Примеры.
(1) Пространство функций R с конусом R+ := (R+ )
функций, принимающих положительные значения.
(2) Пусть X — упорядоченное векторное пространство
с конусом положительных элементов X+ . Если X0 — подпростран-
ство X, то порядок, индуцируемый в X0 из X, задан конусом X0 ?
X+ . В этом смысле X0 рассматривают как упорядоченное векторное
пространство.
(3) Пусть X и Y — (пред)упорядоченные векторные про-
странства. Оператор T ? L (X, Y ) называют положительным (пи-
шут T ? 0), если выполнено T (X+ ) ? Y+ . Множество всех положи-
тельных операторов образует конус L+ (X, Y ). Линейную оболочку
3.2. Упорядоченные векторные пространства 31

L+ (X, Y ) обозначают символом Lr (X, Y ). Операторы из Lr (X, Y )
называют регулярными.
3.2.7. Определение. Упорядоченное векторное пространство
называют векторной решеткой, если решеткой является упорядо-
ченное множество векторов рассматриваемого пространства.
3.2.8. Определение. Векторную решетку называют простран-
ством Канторовича или, короче, K-пространством, если любое
непустое ограниченное сверху множество в ней имеет точную верх-
нюю границу.
3.2.9. В K-пространстве каждое непустое ограниченное снизу
множество имеет точную нижнюю границу.
Пусть x ? U . Тогда ?x ? ?U . Значит, по 3.2.8 существует
sup(?U ). При этом ?x ? sup(?U ). Отсюда очевидно следует, что
? sup(?U ) = inf U .
3.2.10. В K-пространстве для непустых ограниченных сверху
множеств U и V выполнено

sup(U + V ) = sup U + sup V.

В случае, когда множество U или множество V состоит из
одного элемента, требуемое равенство ясно. Общий случай получаем
теперь в силу «ассоциативности точных верхних границ». Именно,

sup(U + V ) = sup{sup(u + V ) : u ? U } =

= sup{u + sup V : u ? U } = sup V + sup{u : u ? U } =
= sup V + sup U.
3.2.11. Замечание. Вывод предложения 3.2.10 можно считать
справедливым в произвольном упорядоченном векторном простран-
стве при условии, что у исходных множеств имеются точные верхние
границы. Аналогично трактуют соотношение: sup ?U = ? sup U для
? ? R+ .
3.2.12. Определение. Для элемента x векторной решетки век-
тор x+ := x ? 0 называют положительной частью x, элемент x? :=
(?x)+ — отрицательной частью, а |x| := x ? (?x) — модулем x.
Гл. 3. Выпуклый анализ
32

3.2.13. В векторной решетке для любых элементов x и y имеет
место тождество
x + y = x ? y + x ? y.
x + y ? x ? y = x + y + (?x) ? (?y) = y ? x
3.2.14. x = x+ ? x? ; |x| = x+ + x? .
Первое равенство получается из 3.2.13 при y := 0. Помимо
этого, |x| = x ? (?x) = ?x + (2x) ? 0 = ?x + 2x+ = (x+ ? x? ) + 2x+ =
x+ + x? .
3.2.15. Лемма о сумме промежутков. Для положительных
элементов x, y в векторной решетке X будет
[0, x + y] = [0, x] + [0, y].
(Как обычно, [u, v] := ?(u) ? ? ?1 (v) — (порядковый) промежу-
ток или интервал.)
Включение [0, x] + [0, y] ? [0, x + y] несомненно. Если же
0 ? z ? x + y, то положим z1 := z ? x. Видно, что z1 ? [0, x].
Пусть теперь z2 := z ? z1 . Тогда z2 ? 0. При этом z2 = z ? z ? x =
z + (?z) ? (?x) = 0 ? (z ? x) ? 0 ? (x + y ? x) = 0 ? y = y.
3.2.16. Теорема Рисса — Канторовича. Пусть X — вектор-
ная решетка, а Y — некоторое K-пространство. Пространство регу-
лярных операторов Lr (X, Y ) с конусом L+ (X, Y ) положительных
операторов является K-пространством.

3.3. Продолжение положительных функционалов и
операторов
3.3.1. Контрпримеры.
(1) Пусть X — пространство B([0, 1], R) ограниченных
вещественных функций на [0, 1], а X0 := C([0, 1], R) — подпростран-
ство X, составленное из непрерывных функций. Положим Y := X0
и наделим X0 , X и Y естественными отношениями порядка (ср. 3.2.6
(1) и 3.2.6 (2)). Рассмотрим задачу о продолжении тождественного
оператора T0 : X0 > Y до положительного оператора T ? L+ (X, Y ).
Если бы эта задача имела решение T , то у каждого непустого огра-
ниченного множества E в X0 нашлась бы точная верхняя граница
supX0 E , вычисленная в X0 . Именно, supX0 E = T supX E , где supX E
— точная верхняя граница E в X. В то же время нет сомнений, что
Y не является K-пространством.
3.3. Продолжение положительных функционалов 33

(2) Пусть s := RN — пространство последовательностей,
наделенное естественным порядком. Пусть, далее, c — подпростран-
ство в s, составленное из сходящихся последовательностей. Уста-
новим, что положительный функционал f0 : c > R, определенный
соотношением f0 (x) := lim x(n), не допускает положительного про-
должения на s. В самом деле, пусть f ? s# , f ? 0 и f ? f0 . Поло-
жим x0 (n) := n и xk (n) := k ? n для k, n ? N. Ясно, что f0 (xk ) = k.
Помимо этого, f (x0 ) ? f (xk ) ? 0, так как x0 ? xk ? 0. Получили
противоречие.
3.3.2. Определение. Подпространство X0 упорядоченного век-
торного пространства X с конусом положительных элементов X+
называют массивным (в X), если X0 + X+ = X.
3.3.3. Подпространство X0 массивно в X в том и только в том
случае, если для всякого x ? X найдутся элементы x0 , x0 ? X0
такие, что выполнено x0 ? x ? x0 .
3.3.4. Теорема Канторовича. Пусть X — упорядоченное век-
торное пространство, X0 — массивное подпространство в X и Y —
некоторое K-пространство. Любой положительный оператор T0 ?
L+ (X0 , Y ) допускает положительное продолжение T ? L+ (X, Y ).
Этап I. Пусть сначала X := X0 ? X1 , где X1 — одномерное
подпространство, X1 := {?x : ? ? R}. Так как подпространство
X0 массивно и оператор T0 положителен, то множество U := {T0 x0 :
x0 ? X0 , x0 ? x} ограничено снизу и, значит, определен элемент
y := inf U . Положим

T x := {T0 x0 + ?y : x = x0 + ?x, x0 ? X0 , ? ? R}.

Очевидно, T — однозначное линейное соответствие, причем T ? T0
и dom T = X. Осталось убедиться в положительности T .
Если x = x0 + ?x и x ? 0, то при ? = 0 доказывать нечего. Если
же ? > 0, то x ? ?x0 /?. Отсюда следует, что ?T0 x0 /? ? y, т. е.
T x ? Y+ . Аналогично при ? < 0 имеем x ? ?x0 /?. Стало быть,
y ? ?T0 x0 /? и вновь T x = T0 x0 + ?y ? Y+ .
Этап II. Пусть теперь E — совокупность таких однозначных
линейных соответствий S ? X ? Y , что S ? T0 и S(X+ ) ? Y+ .
В силу 3.1.3 при упорядочении по включению E индуктивно, и по
лемме Куратовского — Цорна в E есть максимальный элемент T .
Гл. 3. Выпуклый анализ
34

Если x ? X \ dom T , то можно применить доказанное на этапе I к
случаю X := dom T ? X1 , X0 := dom T, T0 := T и X1 := {?x : ? ? R}.
Возникает противоречие с максимальностью T . Итак, T — искомое
продолжение.
3.3.5. Замечание. При Y := R о 3.3.4 иногда говорят как о тео-
реме Крейна — Рутмана.
3.3.6. Определение. Элемент x из конуса положительных эле-
ментов называют дискретным, если [0, x] = [0, 1]x.
3.3.7. Если на пространстве (X, X+ ) имеется дискретный функ-
ционал, то X = X+ ? X+ .
Пусть T — такой функционал и X := X+ ? X+ . Возьмем
f ? X . Достаточно показать, что ker f ? X ? f = 0. По условию
#

T + f ? [0, T ], т. е. для некоторого ? ? [0, 1] будет T + f = ?T . Если
T |X = 0, то 2T ? [0, T ]. Отсюда T = 0 и f = 0. Если же T (x0 ) = 0
для какого-либо x0 ? X , то ? = 1 и вновь f = 0.
3.3.8. Теорема Крейна – Рутмана для дискретного функ-
ционала. Пусть X — упорядоченное векторное пространство, X —
массивное подпространство в X и T0 — дискретный функционал на
X0 . Тогда существует дискретный функционал T на X, продолжа-
ющий T0 .
«Подправим» доказательство 3.3.4.
Этап I. Предъявленный функционал T дискретен. В самом де-
ле, при T ? [0, T ] для подходящего ? ? [0, 1] при всех x0 ? X0 будет
T (x0 ) = ?T (x0 ) и (T ? T )(x0 ) = (1 ? ?)T (x0 ). Оцениваем:

T (x) ? inf{T (x0 ) : x0 ? x, x0 ? X0 } = ?T (x);

(T ? T )(x) ? inf{(T ? T )(x0 ) : x0 ? x, x0 ? X0 } = (1 ? ?)T (x).
Таким образом, T = ?T и [0, T ] ? [0, 1]T . Противоположное вклю-
чение справедливо всегда. Итак, функционал T дискретен.
Этап II. Пусть E — множество, введенное при доказательстве
3.3.4. Рассмотрим множество Ed , состоящее из таких элементов S ?
E , что след S|dom S представляет собой дискретный функционал на
пространстве dom S. Следует установить индуктивность Ed . В со-
ответствии с 1.2.19 возьмем цепь E0 в Ed . Положим S := ?{S0 :
3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы 35

S0 ? E0 }. Очевидно, что S ? E . Убедимся в дискретности S, что
и завершит доказательство.
Пусть S ? (dom S)# таков, что 0 ? S (x0 ) ? S(x0 ) для всех
x0 ? (dom S)+ . Если S(x0 ) = 0 для любого такого x0 , то S = 0S,
что и нужно. Если же S(x0 ) = 0 для некоторого x0 ? (dom S)+ , то
выберем S0 ? E0 из условия S0 (x0 ) = S(x0 ). Тогда в силу дискрет-
ности S0 можно записать: S (x ) = ?S(x ) для всех x ? dom S0 . При
этом ? = S (x0 )/S(x0 ), т. е. ? не зависит от выбора S0 . Поскольку
E0 — цепь, заключаем: S = ?S.

3.4. Выпуклые функции и сублинейные
функционалы
3.4.1. Определение. Полурасширенной числовой прямой R·
называют множество R· с присоединенным наибольшим элементом
+?. При этом полагают ?(+?) := +? (? ? R+ ), +? + x := x +
(+?) := +? (x ? R· ).

3.4.2. Определение. Пусть f : X > R· — некоторое отобра-
жение. Множество

epi f := {(x, t) ? X ? R : t ? f (x)}

называют надграфиком f , а множество

dom f := {x ? X : f (x) < +?}

— эффективной областью определения функции f .

3.4.3. Замечание. Непоследовательность в применении сим-
вола dom f кажущаяся. Именно, эффективная область определения
функции f : X > R· совпадает с областью определения однозначно-
го соответствия f ? X ? R из X в R. В этой связи при dom f = X
будем, как и прежде, писать f : X > R, опуская точку в R· .

3.4.4. Определение. Пусть X — вещественное векторное про-
странство. Отображение f : X > R· называют выпуклой функцией,
если надграфик epi f — это выпуклое множество.
Гл. 3. Выпуклый анализ
36

3.4.5. Отображение f : X > R· является выпуклой функцией
в том и только в том случае, если имеет место неравенство Йенсена,
т. е.
f (?1 x1 + ?2 x2 ) ? ?1 f (x1 ) + ?2 f (x2 ),
как только ?1 , ?2 ? 0, ?1 + ?2 = 1 и x1 , x2 ? X.
?: Если выбраны числа ?1 , ?2 ? 0, ?1 +?2 = 1 и один из век-
торов x1 , x2 не входит в dom f , то доказывать нечего — неравенство
Йенсена очевидно. Пусть x1 , x2 ? dom f . Тогда (x1 , f (x1 )) ? epi f
и (x2 , f (x2 )) ? epi f . Стало быть, с учетом 3.1.2 (8), ?1 (x1 , f (x1 )) +
?2 (x2 , f (x2 )) ? epi f .
?: Пусть f : X > R· — функция и (x1 , t1 ) ? epi f, (x2 , t2 ) ?
epi f , т. е. t1 ? f (x1 ) и t2 ? f (x2 ) (в случае dom f = ? будет f (x) =
+? (x ? X) и epi f = ?). Привлекая неравенство Йенсена, видим,
что для ?1 , ?2 ? 0, ?1 + ?2 = 1 справедливо (?1 x1 + ?2 x2 , ?1 t1 +
?2 t2 ) ? epi f .
3.4.6. Определение. Отображение p : X > R· называют суб-
линейным функционалом, если надграфик epi p — это конус.
3.4.7. При dom p = 0 эквивалентны утверждения:
(1) p является сублинейным функционалом;
(2) p — выпуклая функция, удовлетворяющая условию
положительной однородности; т. е. p(?x) = ?p(x)
при всех ? ? 0 и x ? dom p;
(3) для любых ?1 , ?2 ? R+ и x1 , x2 ? X выполнено
p(?1 x1 + ?2 x2 ) ? ?1 p(x1 ) + ?2 p(x2 );
(4) p — положительно однородный функционал, удовле-
творяющий условию субаддитивности: p(x1 + x2 ) ?
p(x1 ) + p(x2 ) для всех x1 , x2 ? X.
3.4.8. Примеры.
(1) Линейный функционал сублинеен, в то время как аф-
финный функционал — выпуклая функция.
(2) Пусть U — выпуклое множество в X. Положим
если x ? U,
0,
?(U )(x) :=
+?, если x ? U.
Отображение ?(U ) : X > R· называют индикаторной функцией мно-
жества U . Ясно, что ?(U ) — выпуклая функция. Если U — конус, то
3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы 37

?(U ) — сублинейный функционал. Если U — аффинное множество,
то ?(U ) — аффинный функционал.
(3) Сумма конечного числа выпуклых функций и точ-
ная верхняя граница (или верхняя огибающая) семейства выпуклых
функций (вычисляемая поточечно, т. е. в (R· )X ) суть выпуклые
функции. Аналогичные свойства наблюдают у сублинейных функ-
ционалов.
(4) Суперпозиция выпуклой функции с аффинным опе-
ратором (т. е. со всюду определенным однозначным аффинным со-
ответствием) является выпуклой функцией. Суперпозиция субли-
нейного функционала с линейным оператором — сублинейный функ-
ционал.
3.4.9. Определение. Пусть X — векторное пространство, а U
и V — два подмножества в X. Говорят, что U поглощает V , если
найдется n ? N, для которого V ? nU . Множество U называют
поглощающим (в X), если U поглощает каждую точку в X, т. е.
X = ?n?N nU .
3.4.10. Пусть T ? X ? Y — линейное соответствие, причем
im T = Y . Если U поглощающее (в X), то T (U ) поглощающее (в Y ).
Y = T (X) = T (?n?N nU ) = ?n?N T (nU ) = ?n?N nT (U )
3.4.11. Определение. Пусть U — подмножество векторного
пространства X. Точка x из U принадлежит ядру core U множе-
ства U (или алгебраически внутренняя в U ), если множество U ? x
— поглощающее в X.
3.4.12. Пусть f : X > R· — произвольная выпуклая функция
и x ? core dom f . Для всякого h ? X существует

f (x + ?h) ? f (x) f (x + ?h) ? f (x)
f (x)(h) := lim .
= inf
? ?
?>0
?v0


При этом отображение f (x) : h > f (x)h является сублинейным
функционалом f (x) : X > R.
Пусть ?(?) := f (x + ?h). В силу 3.4.8 (4) отображение ? : R >
· — это выпуклая функция. При этом 0 ? core dom ?. Отображение
R
? > (?(?) ? ?(0))/? (? > 0) возрастает и ограничено снизу, т. е.
имеется ? (0)(1). По определению f (x)(h) = ? (0)(1).
Гл. 3. Выпуклый анализ
38

Для ? > 0 и h ? H последовательно получаем

f (x + ??h) ? f (x)
f (x)(?h) = inf =
?
f (x + ??h) ? f (x)
= ? inf = ?f (x)(h).
??
Кроме того, для h1 , h2 ? X в силу уже установленного

f x + 1 ?(h1 + h2 ) ? f (x)
2
f (x)(h1 + h2 ) = 2 lim =
?
?v0


+ ?h1 ) + 1 (x + ?h2 ) ? f (x)
1
f 2 (x
?
2
= 2 lim
?
?v0

f (x + ?h1 ) ? f (x) f (x + ?h2 ) ? f (x)
? lim + lim =
? ?
?v0 ?v0

= f (x)(h1 ) + f (x)(h2 ).
Ссылка на 3.4.7 завершает доказательство.

3.5. Теорема Хана — Банаха
3.5.1. Определение. Пусть X — вещественное векторное про-
странство, f : X > R· — выпуклая функция и x ? dom f . Множество
?x (f ) := {l ? X # : (? y ? X) l(y) ? l(x) ? f (y) ? f (x)} называют
субдифференциалом функции f в точке x.
3.5.2. Примеры.
(1) Пусть p : X > R· — сублинейный функционал. Опре-
делим субдифференциал p соотношением ?(p) := ?0 (p). Тогда

?(p) = {l ? X # : (? x ? X) l(x) ? p(x)};
?x (p) = {l ? ?(p) : l(x) = p(x)}.

(2) Пусть l ? X # . Тогда ?(l) = ?x (l) = {l}.
(3) Пусть X0 — подпространство X. Тогда

?(?(X0 )) = {l ? X # : ker l ? X0 }.
3.5. Теорема Хана — Банаха 39

(4) Пусть f : X > R· — выпуклая функция и при этом
выполнено x ? core dom f . Тогда

?x (f ) = ?(f (x)).

3.5.3. Теорема Хана — Банаха. Пусть T ? L (X, Y ) — ли-
нейный оператор, f : Y > R· — выпуклая функция, а точка x ? X
такова, что T x ? core dom f . Тогда

?x (f ? T ) = ?T x (f ) ? T.

На основании 3.4.10 заключаем, что x ? core dom f . Применяя
3.5.2 (4), имеем ?x (f ? T ) = ?((f ? T ) (x)). Помимо этого, для h ? X
выполнено
(f ? T )(x + ?h) ? (f ? T )(x)
(f ? T ) (x)(h) = lim =
?
?v0


f (T x + ?T h) ? f (T x)
= f (T x)(T h).
= lim
?
?v0

Положим p := f (T x). Вновь апеллируя к 3.5.2 (4) и учитывая, что,
в силу 3.4.12, p — это сублинейный функционал, выводим:

?(p) = ?(f (T x)) = ?T x (f );

?(p ? T ) = ?((f ? T ) (x)) = ?x (f ? T ).
Таким образом, осталось доказать равенство

?(p ? T ) = ?(p) ? T.

Если l ? ?(p) ? T , т. е. l = l1 ? T , где l1 ? ?(p), то l1 (y) ? p(y)
для любого y ? Y . В частности, l(x) ? l1 (T x) ? p(T x) = p ? T (x) при
всех x ? X, т. е. l ? ?(p ? T ). Итак, ?(p) ? T ? ?(p ? T ).
Пусть теперь l ? ?(p ? T ). Если T x = 0, то l(x) ? p(T x) =
p(0) = 0, т. е. l(x) ? 0. То же верно для элемента ?x. Окончательно
l(x) = 0. Другими словами, ker l ? ker T . Значит, по теореме 2.3.8,
l = l1 ? T для некоторого l1 ? Y # . Полагая Y0 := T (X) и обозначая
символом ? вложение Y0 в Y , видим, что функционал l1 ? ? входит в
?(p ? ?). Если мы покажем, что ?(p ? ?) ? ?(p) ? ?, то для подходящего
Гл. 3. Выпуклый анализ
40

l2 ? ?(p) будет l1 ?? = l2 ??. Отсюда l = l1 ?T = l1 ???T = l2 ???T = l2 ?T ,
т. е. l ? ?(p) ? T .
Таким образом, для завершения доказательства теоремы Хана
— Банаха следует установить только, что ?(p ? ?) ? ?(p) ? ?.
Возьмем элемент l0 из ?(p ? ?) и в подпространстве Y0 := Y0 ? R
пространства Y := Y ? R рассмотрим функционал T0 : (y0 , t) >
t ? l0 (y0 ). Упорядочим Y с помощью конуса Y+ := epi p. Заметим,

<< Пред. стр.

стр. 5
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>