<< Пред. стр.

стр. 6
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

во-первых, что подпространство Y0 является массивным в силу тож-
дества
(y, t) = (0, t ? p(y)) + (y, p(y)) (y ? Y, t ? R).
Во-вторых, при (y0 , t) ? Y0 ? Y+ , на основании 3.4.2, t ? p(y0 )
и, стало быть, T0 (y0 , t) = t ? l0 (y0 ) ? 0, т. е. T0 — положитель-
ный функционал на Y0 . По теореме 3.3.4 найдется положительный
функционал T на Y, продолжающий T0 . Положим l(y) := T (?y, 0)
для y ? Y . Ясно, что l ? ? = l0 . Помимо этого, T (0, t) = T0 (0, t) = t.
Следовательно, 0 ? T (y, p(y)) = p(y) ? l(y), т. е. l ? ?(p).
3.5.4. Замечание. Утверждение теоремы 3.5.3 именуют также
формулой линейной замены переменной под знаком субдифференци-
ала, подразумевая бросающуюся в глаза связь со стандартным цеп-
ным правилом дифференциального исчисления. Отметим здесь же,
что включение ?(p ? ?) ? ?(p) ? ? часто называют «теоремой Хана —
Банаха в аналитической форме» и выражают словами: «линейный
функционал, заданный на подпространстве векторного пространства
и мажорируемый там сублинейным функционалом, допускает про-
должение на все пространство до линейного функционала, мажори-
руемого исходным сублинейным функционалом».
3.5.5. Следствие. Пусть X — векторное пространство, X0 —
подпространство в X и p : X > R — сублинейный функционал.
Имеет место (несимметричная) формула Хана — Банаха:
?(p + ?(X0 )) = ?(p) + ?(?(X0 )).
Включение правой части искомой формулы в ее левую часть
очевидно. Для доказательства противоположного включения возь-
мем l ? ?(p + ?(X0 )). Тогда l ? ? ? ?(p ? ?), где ? — вложение X0
в X. По 3.5.3, l ? ? ? ?(p) ? ?, т. е. для подходящего l1 ? ?(p) выпол-
нено l ? ? = l1 ? ?. Положим l2 := l ? l1 . Из определения получаем
l2 ? ? = (l ? l1 ) ? ? = l ? ? ? l1 ? ? = 0, т. е. ker l2 ? X0 . Как отмечено
в 3.5.2 (3), это означает, что l2 ? ?(?(X0 )).
3.6. Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов 41

3.5.6. Следствие. Пусть f : X > R· — некоторая выпуклая
функция и x ? core dom f . Тогда ?x (f ) = ?.
Пусть p := f (x), а ? : 0 > X — вложение. Ясно, что 0 ? ?(p??),
т. е. ?(p ? ?) = ?. По 3.5.3, ?(p) = ? (иначе было бы ? = ?(p) ? ? =
?(p ? ?)). Осталось привлечь 3.5.2 (4).
3.5.7. Следствие. Пусть f , f : X > R· — выпуклые функции
1 2
и x ? core dom f1 ? core dom f2 . Тогда

?x (f1 + f2 ) = ?x (f1 ) + ?x (f2 ).

Пусть p1 := f1 (x) и p2 := f2 (x). Для x1 , x2 ? X положим
p(x1 , x2 ) := p1 (x1 ) + p2 (x2 ) и ?(x1 ) := (x1 , x1 ). Используя 3.5.2 (4)
и 3.5.3, последовательно выводим:

?x (f1 + f2 ) = ?(p1 + p2 ) = ?(p ? ?) =

= ?(p) ? ? = ?(p1 ) + ?(p2 ) = ?x (f1 ) + ?x (f2 ).
3.5.8. Замечание. Следствие 3.5.6 иногда называют теоремой
о непустоте субдифференциала. С одной стороны, ее можно устано-
вить непосредственным применением леммы Куратовского — Цор-
на. С другой стороны, имея следствие 3.5.6, можно доказать, что
?(p ? T ) = ?(p) ? T , следующим образом. Положим

pT (y) := inf{p(y + T x) ? l(x) : x ? X},

где l ? ?(p) и приняты обозначения из 3.5.3. Ясно, что функционал
pT сублинеен и любой элемент l1 из ?(pT ) удовлетворяет соотноше-
нию l = l1 ? T . Итак, непустота субдифференциала и теорема Хана
— Банаха в субдифференциальной форме образуют удобный (и не
порочный) круг.

3.6. Теорема Крейна — Мильмана для
субдифференциалов

3.6.1. Определение. Пусть X — вещественное векторное про-
странство и seg ? X 2 ? X — соответствие, действующее по закону

seg(x1 , x2 ) := {?1 x1 + ?2 x2 : ?1 , ?2 > 0, ?1 + ?2 = 1}.
Гл. 3. Выпуклый анализ
42

Пусть, далее, V — выпуклое множество в X и segV — сужение seg
на V 2 . Выпуклое множество U , лежащее в V , называют крайним
в V , если seg?1 (U ) ? U 2 . Крайние множества иногда называют
V
гранями. Точку x из V называют крайней точкой V , если {x} —
крайнее подмножество V . Множество крайних точек V обозначают
символом ext(V ).
3.6.2. Множество U является крайним в V в том и только в том
случае, если из условий v1 , v2 ? V, ?1 , ?2 > 0, ?1 + ?2 = 1 и
?1 v1 + ?2 v2 ? V вытекает, что v1 ? U и v2 ? U .
3.6.3. Примеры.
(1) Пусть p : X > R· — сублинейный функционал и точ-
ка x из X входит в dom p. Тогда ?x (p) — крайнее подмножество
?(p).
Действительно, если для ?1 , ?2 > 0 и ?1 +?2 = 1 известно, что
?1 l1 + ?2 l2 ? ?x (p) и l1 , l2 ? ?(p), то 0 = p(x) ? (?1 l1 (x) + ?2 l2 (x)) =
?1 (p(x) ? l1 (x)) + ?2 (p(x) ? l2 (x)) ? 0. Помимо этого, p(x) ? l1 (x) ? 0
и p(x) ? l2 (x) ? 0. Следовательно, l1 ? ?x (p) и l2 ? ?x (p).
(2) Пусть U — крайнее множество в V и, в свою очередь,
V — крайнее множество в W . Тогда U — крайнее множество в W .
(3) Пусть X — упорядоченное векторное пространство.
Элемент x ? X+ является дискретным в том и только в том случае,
если луч {?x : ? ? R+ } представляет собой крайнее множество
в конусе X+ .
?: Пусть 0 ? y ? x. Тогда x = 1/2 (2y) + 1/2 (2(x ? y)).
В силу 3.6.2, 2y = ?x и 2(x ? y) = ?x для некоторых ?, ? ? R+ .
Итак, 2x = (? + ?)x. Если x = 0, то доказывать нечего. Если же
x = 0, то ?/2 ? [0, 1] и, стало быть, [0, x] ? [0, 1]x. Обратное
включение очевидно.
?: Пусть [0, x] = [0, 1]x и для чисел ? ? 0; ?1 , ?2 > 0, ?1 +
?2 = 1 и элементов y1 , y2 ? X+ выполнено ?x = ?1 y1 + ?2 y2 . Если
? = 0, то ?1 y1 ? [0, x] и ?2 y2 ? [0, x] и, стало быть, y1 и y2 лежат
на рассматриваемом луче. Если же ? > 0, то (?1 /?)y1 = tx при
подходящем t ? [0, 1]. Наконец, (?2 /?)y2 = (1 ? t)x.
(4) Пусть U — выпуклое множество. Выпуклое подмно-
жество V множества U называют шапкой U , если U \ V — выпуклое
множество.
3.6. Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов 43

Точка x в U является крайней в том и только в том случае, если
{x} — шапка множества U.
3.6.4. Лемма о крайней точке субдифференциала. Пусть
p : X > R — сублинейный функционал и l ? ?(p). Пусть, далее,
X := X ? R, X+ := epi p и Tl : (x, t) > t ? l(x) (x ? X, t ? R).
Тогда l — крайняя точка ?(p) в том и только в том случае, если Tl
— дискретный функционал.
?: Возьмем функционал T ? X # такой, что T ? [0, Tl ].
Положим
t1 := T (0, 1), l1 (x) := T (?x, 0);

t2 := (Tl ? T )(0, 1), l2 (x) := (Tl ? T )(?x, 0).

Ясно, что t1 ? 0, t2 ? 0, t1 +t2 = 1; l1 ? ?(t1 p), l2 ? ?(t2 p) и l1 +l2 = l.
Если t1 = 0, то l1 = 0, т. е. T = 0 и T ? [0, 1]Tl . Если же t2 = 0,
то t1 = 1, т. е. T = Tl и вновь T ? [0, 1]Tl . Пусть теперь t1 , t2 > 0.
Тогда 1/t1 l1 ? ?(p) и 1/t2 l2 ? ?(p), причем l = t1 (1/t1 l1 )+t2 (1/t2 l2 ).
Поскольку по условию l ? ext(?(p)), из 3.6.2 выводим l1 = t1 l, т. е.
T = t1 T l .
?: Пусть l = ?1 l1 +?2 l2 , где l1 , l2 ? ?(p) и ?1 , ?2 > 0, ?1 + ?2 = 1.
Функционалы T := ?1 Tl1 и T := ?2 Tl2 положительны, причем
T ? [0, Tl ], ибо T + T = Tl . Значит, найдется ? ? [0, 1], для
которого T = ?Tl . Рассматривая точку (0, 1), получаем ?1 = ?.
Следовательно, l1 = l. Аналогично l2 = l.
3.6.5. Теорема Крейна — Мильмана для субдифферен-
циалов. Пусть p : X > R — сублинейный функционал. Для вся-
кого x ? X найдется крайний функционал l ? ext(?(p)) такой, что
l(x) = p(x).
Установим сначала теорему Крейна — Мильмана «в узком
смысле», т. е. докажем, что в субдифференциале любого сублиней-
ного функционала p есть крайние точки: ext(?(p)) = ?.
Введем в пространство X := X ? R конус X+ := epi p и выделим
подпространство X0 := 0?R. Заметим, что X+ ?X0 = 0?R+ = epi 0.
Применяя 3.6.4 для случая X := 0, l := 0 и p := 0, видим, что T0
— это дискретный функционал на X0 . Подпространство X0 в X
массивное (ср. доказательство 3.5.3). Апеллируя к 3.3.8, подыщем
дискретное продолжение T ? X # функционала T0 . Понятно, что
Гл. 3. Выпуклый анализ
44

T = Tl , где l(x) := T (?x, 0) при x ? X. Вновь привлекая 3.6.4,
приходим к соотношению l ? ext(?(p)).
Установим теперь теорему в полном объеме. На основании 3.4.12
и уже доказанного выберем элемент l из ext(?x (p (x))). Из 3.5.2 (2)
и 3.5.2 (4) вытекает: l ? ext(?x (p)). По 3.6.3 (1), ?x (p) — крайнее
множество в ?(p). Таким образом, в силу 3.6.3 (2) функционал l
является крайней точкой субдифференциала ?(p).
3.6.6. Следствие. Пусть p1 , p2 : X > R — сублинейные функ-
ционалы. Неравенство p1 ? p2 (в RX ) справедливо в том и только
в том случае, если ?(p1 ) ? ext(?(p2 )).
Бесспорно, что p1 ? p2 ? ?(p1 ) ? ?(p2 ). Кроме того, по 3.6.5,
p2 (x) = sup{l(x) : l ? ext(?(p2 ))}.

3.7. Теорема Хана — Банаха для полунормы
3.7.1. Определение. Пусть (X, F, +, · ) — векторное про-
странство над F. Векторное пространство (X, R, +, · |R ?X ) называ-
ют вещественной основой пространства (X, F, +, · ) и обозначают
коротко символом XR .
3.7.2. Определение. Пусть X — векторное пространство и f ?
X — линейный функционал. Положим Re f : x > Re f (x) (x ?
#

X). Возникающее отображение Re : (X # )R > (XR )# называют
овеществлением.
3.7.3. Овеществление Re — это изоморфизм вещественных век-
торных пространств (X # )R и (XR )# .
Следует разобрать только случай F := C, ибо при F := R
оператор Re — тождественное отображение.
Линейность оператора Re не вызывает сомнений. Убедимся
в том, что Re — мономорфизм и эпиморфизм одновременно (ср.
2.3.2).
Если Re f = 0, то

0 = Re f (ix) = Re(if (x)) =

= Re(i(Re f (x) + i Im f (x))) = ? Im f (x).
Отсюда f = 0 и Re — мономорфизм.
3.7. Теорема Хана — Банаха для полунормы 45

Если теперь g ? (XR )# , то положим f (x) := g(x) ? ig(ix). Оче-
видно, что f ? L (XR , CR ) и Re f (x) = g(x) при x ? X. Осталось
проверить, что f (ix) = if (x), ибо тогда f ? X # . Прямое вычисление
f (ix) = g(ix) + ig(x) = i(g(x) ? ig(ix)) = if (x) позволяет заключить,
что Re — эпиморфизм.
3.7.4. Определение. Оператор Re?1 : (XR )# > (X # )R назы-
вают комплексификатором.
3.7.5. Замечание. В силу 3.7.3 для комплексного поля скаля-
ров
Re?1 g : x > g(x) ? ig(ix) (g ? (XR )# , x ? X).
В случае F := R комплексификатор Re?1 — тождественный опера-
тор.
3.7.6. Определение. Пусть (X, F, +, · ) — векторное про-
странство над F. Функцию p : X > R· называют полунормой, если
dom p = ? и для x1 , x2 ? X и ?1 , ?2 ? F выполнено
p(?1 x1 + ?2 x2 ) ? |?1 |p(x1 ) + |?2 |p(x2 ).
3.7.7. Замечание. Каждая полунорма является сублинейным
функционалом (на вещественной основе рассматриваемого простран-
ства).
3.7.8. Определение. Пусть p : X > R· — полунорма. Множе-
ство
|?|(p) := {l ? X # : |l(x)| ? p(x) при всех x ? X}
называют субдифференциалом полунормы p.
3.7.9. Лемма о субдифференциале полунормы. Для лю-
бой полунормы p : X > R· субдифференциалы |?|(p) и ?(p) связаны
соотношениями
|?|(p) = Re?1 (?(p)); Re (|?|(p)) = ?(p).
При F := R очевидно равенство |?|(p) = ?(p). Осталось вспом-
нить, что в этом случае отображение Re — тождественное.
Пусть F := C. Если l ? |?|(p), то (Re l)(x) = Re l(x) ? |l(x)| ?
p(x) для всех x ? X, т. е. Re (|?|(p)) ? ?(p). Пусть теперь g ? ?(p)
и f := Re?1 g. Если f (x) = 0, то |f (x)| ? p(x). Если же f (x) = 0, то
положим ? := |f (x)|/f (x). Тогда |f (x)| = ?f (x) = f (?x) = Re f (?x) =
g(?x) ? p(?x) = |?|p(x) = p(x), ибо |?| = 1. Итак, f ? |?|(p).
Гл. 3. Выпуклый анализ
46

3.7.10. Пусть X — векторное пространство, p : X > R — полу-
норма и X0 — подпространство в X. Имеет место (несимметричная)
формула Хана — Банаха для полунормы

|?|(p + ?(X0 )) = |?|(p) + |?|(?(X0 )).

С помощью 3.7.9 и 3.5.5, выводим:

|?|(p + ?(X0 )) = Re?1 (?(p + ?(X0 ))) = Re?1 (?(p) + ?(?(X0 ))) =
= Re?1 (?(p)) + Re?1 (?(?(X0 ))) = |?|(p) + |?|(?(X0 )).

3.7.11. Пусть X, Y — векторные пространства, T ? L (X, Y )
— линейный оператор и p : Y > R — полунорма. Тогда p ? T —
полунорма, причем

|?|(p ? T ) = |?|(p) ? T.

Привлекая 2.3.8 и 3.7.10, последовательно имеем

|?|(p ? T ) = |?|(p + ?(im T )) ? T = (|?|(p) + |?|(?(im T ))) ? T =

= |?|(p) ? T + |?|(?(im T )) ? T = |?|(p) ? T.
3.7.12. Замечание. В случае оператора вложения и комплекс-
ного поля скаляров 3.7.11 называют теоремой Сухомлинова — Бо-
ненблюста — Собчика.
3.7.13. Теорема Хана — Банаха для полунормы. Пусть X
— векторное пространство, p : X > R — полунорма и X0 — под-
пространство в X. Пусть, далее, l0 — линейный функционал на X0 ,
для которого |l0 (x0 )| ? p(x0 ) при x0 ? X0 . Тогда существует такой
линейный функционал l на X, что |l(x)| ? p(x) для всякого x ? X и,
кроме того, l(x0 ) = l0 (x0 ), как только x0 ? X0 .

3.8. Функционал Минковского и отделимость
3.8.1. Определение. Пусть R — расширенная числовая пря-
мая (т. е. R· с присоединенным наименьшим элементом ??). Если
X — произвольное множество и f : X > R — некоторое отображение,
то для t ? R полагают

{f ? t} := {x ? X : f (x) ? t};
3.8. Функционал Минковского и отделимость 47

{f = t} := f ?1 (t);
{f < t} := {f ? t} \ {f = t}.
Множества {f ? t}, {f = t}, {f < t} называют лебеговыми мно-
жествами f . Помимо этого, множества {f = t} называют множе-
ствами уровня.
3.8.2. Лемма о задании функции лебеговыми множе-
ствами. Даны T ? R и t > Ut (t ? T ) — семейство подмножеств X.
Существует функция f : X > R такая, что

{f < t} ? Ut ? {f ? t} (t ? T )

в том и только в том случае, если отображение t > Ut возрастает.
?: Пусть T содержит не менее двух элементов s и t (в про-
тивном случае нечего доказывать). Если s < t, то

Us ? {f ? s} ? {f < t} ? Ut .

?: Положим f (x) := inf{t ? T : x ? Ut }. Тем самым задано
отображение f : X > R. Если для некоторого t ? T множество
{f < t} пусто, то {f < t} ? Ut . Если же x ? {f < t}, то f (x) < +?,
а потому найдется элемент s ? T , удовлетворяющий соотношениям
x ? Us и s < t. Итак, {f < t} ? Us ? Ut . Помимо этого, если x ? Ut ,
то по определению f будет f (x) ? t, т. е. выполнено Ut ? {f ? t}.
3.8.3. Лемма о сравнении функций, заданных лебеговы-
ми множествами. Пусть функции f, g : X > R определены се-
мействами (Ut )t?T и (Vt )t?T соответственно:

{f < t} ? Ut ? {f ? t};

{g < t} ? Vt ? {g ? t} (t ? T ).
Пусть, далее, T плотно в R (т. е. (? r, t ? R, r < t) (? s ? T ) (r <
X
s < t)). Неравенство f ? g (в R , т. е. f (x) ? g(x) для x ? X) имеет
место в том и только в том случае, если

t1 , t2 ? T, t1 < t2 ? Vt1 ? Ut2 .
Гл. 3. Выпуклый анализ
48

?: Следует из включений

Vt1 ? {g ? t1 } ? {f ? t1 } ? {f < t2 } ? Ut2 .

?: Пусть g(x) = +? (иначе заведомо f (x) ? g(x)). Для t ? R
такого, что g(x) < t < +?, выберем t1 , t2 ? T из условий g(x) <
t1 < t2 < t. Имеем

x ? {g < t1 } ? Vt1 ? Ut2 ? {f ? t2 } ? {f < t}.

Итак, f (x) < t. Из-за произвольности t получаем: f (x) ? g(x).

3.8.4. Следствие. Пусть T плотно в R и семейство t > Ut
(t ? T ) возрастает. Существует, и притом единственная, функция
f : X > R, для которой

{f < t} ? Ut ? {f ? t} (t ? T ).

Для лебеговых множеств f выполнены соотношения

{f < t} = ? {Us : s < t, s ? T };

{f ? t} = ?{Ur : t < r, r ? T } (t ? R).

Существование и единственность f обеспечены 3.8.2 и 3.8.3.
Если s < t, s ? T , то Us ? {f ? s} ? {f < t}. Если же f (x) < t, то
в силу плотности T найдется s ? T так, что f (x) < s < t. Значит,
x ? {f < s} ? Us , что доказывает формулу для {f < t}. Пусть
теперь r > t, r ? T . Тогда {f ? t} ? {f < r} ? Ur . В свою очередь,
если x ? Ur для r ? T, r > t, то будет выполнено f (x) ? r для всех
r > t, откуда f (x) ? t.

3.8.5. Пусть X — векторное пространство и S — некоторый ко-
нический отрезок в нем. Для t ? R положим Ut := ?, если t < 0, и
Ut := tS при t ? 0. Отображение t > Ut (t ? R) возрастающее.
Если 0 ? t1 < t2 и x ? t1 S, то x ? (t1 /t2 ) t2 S. Значит,
x ? t2 S.
3.8. Функционал Минковского и отделимость 49

3.8.6. Определение. Функционал pS : X > R такой, что

{pS < t} ? tS ? {pS ? t} (t ? R+ )

и {p < 0} = ?, называют функционалом Минковского конического
отрезка S. (Существование и единственность этого функционала
обеспечивают 3.8.2, 3.8.4 и 3.8.5.) Иными словами,

pS (x) = inf{t > 0 : x ? tS} (x ? X).

3.8.7. Теорема о функционале Минковского. Функционал
Минковского конического отрезка сублинеен и принимает положи-
тельные значения. Если, в свою очередь, p — некоторый субли-
нейный функционал с положительными значениями, то множества
{p < 1} и {p ? 1} суть конические отрезки. При этом p является
функционалом Минковского любого конического отрезка S такого,
что {p < 1} ? S ? {p ? 1}.
Пусть S — некоторый конический отрезок и pS — его функци-
онал Минковского. Пусть x ? X. Неравенство pS (x) ? 0 очевидно.
Возьмем ? > 0. Тогда

t
pS (?x) = inf{t > 0 : ?x ? tS} = inf t > 0 : x ? S =
?
= inf{?? > 0 : x ? ?S, ? > 0} =
= ? inf{? > 0 : x ? ?S} = ?pS (x).

Для проверки субаддитивности pS возьмем x1 , x2 ? X и, заметив,
что для t1 , t2 > 0 выполнено t1 S + t2 S ? (t1 + t2 )S (ибо имеет место
тождество

t1 t2
t1 x1 + t2 x2 = (t1 + t2 ) x1 + x2 ,
t1 + t2 t1 + t2
последовательно получаем

pS (x1 + x2 ) = inf{t > 0 : x1 + x2 ? tS} ?
? inf{t : t = t1 + t2 ; t1 , t2 > 0, x1 ? t1 S, x2 ? t2 S} =
= inf{t1 > 0 : x1 ? t1 S} + inf{t2 > 0 : x2 ? t2 S} = pS (x1 ) + pS (x2 ).
Гл. 3. Выпуклый анализ
50

Пусть теперь p : X > R· — произвольный сублинейный функционал
с положительными значениями. Пусть {p < 1} ? S ? {p ? 1}.
Положим Vt := {p < t}, Ut := tS для t ? R+ и Vt := Ut := ? при t < 0.
Ясно, что
{pS < t} ? Ut ? {pS ? t}; {p < t} ? Vt ? {p ? t}
для t ? R. Если 0 ? t1 < t2 , то Vt1 = {p < t1 } = t1 {p < 1} ? t1 S =
Ut1 ? Ut2 . Кроме того, Ut1 ? t1 {p ? 1} ? {p ? t1 } ? {p < t2 } ? Vt2 .
Значит, в силу 3.8.3 и 3.8.4, p = pS .
3.8.8. Замечание. Конический отрезок S в X является погло-
щающим множеством в том и только в том случае, если dom pS = X.
Если же известно, что S абсолютно выпукло, то pS — полунорма.
При этом для любой полунормы p множества {p < 1} и {p ? 1}
являются абсолютно выпуклыми.
3.8.9. Определение. Подпространство H данного векторного
пространства X называют гиперподпространством, если X/H изо-
морфно основному полю. Элементы X/H называют гиперплоско-
стями в X (параллельными H). Под гиперплоскостью в X пони-
мают аффинное многообразие, параллельное какому-либо гиперпод-
пространству X. При необходимости гиперплоскости в веществен-
ной основе XR пространства X именуют вещественными гиперплос-

<< Пред. стр.

стр. 6
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>