<< Пред. стр.

стр. 7
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

костями в X.
3.8.10. Гиперплоскости в X суть в точности множества уровня
ненулевых элементов из X # .
3.8.11. Теорема отделимости. Пусть X — векторное прост-
ранство, U — непустое выпуклое множество в X и L — аффинное
многообразие в X. Если L ? U = ?, то найдется гиперплоскость H
в X такая, что H ? L и H ? core U = ?.
Не нарушая общности, можно считать, что core U = ? (иначе
нечего доказывать) и, более того, что 0 ? core U . Возьмем точку
x ? L и положим X0 := L ? x. Рассмотрим вектор-пространство
X/X0 и соответствующее каноническое отображение ? : X > X/X0 .
Привлекая 3.1.8 и 3.4.10, видим, что ?(U ) является поглощающим
коническим отрезком. Значит, в силу 3.8.7 и 3.8.8 функционал Мин-
ковского p := p?(U ) таков, что dom p = X/X0 и, кроме того,
?(core U ) ? core ?(U ) ? {p < 1} ? ?(U ).
Упражнения 51

Отсюда, в частности, следует, что p(?(x)) ? 1 либо ?(x) ? ?(U ).
На основании 3.5.6 имеется функционал f из субдифференциала
?x (p ? ?). Учитывая теорему Хана — Банаха 3.5.3, выводим

f ? ?x (p ? ?) = ??(x) (p) ? ?.

Положим H := {f = p ? ?(x)}. Ясно, что H — это вещественная
гиперплоскость в X. То, что H ? L, несомненно. Осталось сослаться
на 3.5.2 (1), чтобы заключить: H ? core U = ?. Пусть теперь f :=
Re?1 f и H := {f = f (x)}. Нет сомнений, что L ? H ? H. Таким
образом, гиперплоскость H — искомая.
3.8.12. Замечание. В условиях теоремы отделимости 3.8.11
можно считать, что core U ? L = ?. Отметим здесь же, что теорему
3.8.11 часто называют теоремой Хана — Банаха в геометрической
форме или же теоремой Минковского — Асколи — Мазура.
3.8.13. Определение. Пусть U , V — множества в X и H — ве-
щественная гиперплоскость в X. Говорят, что H разделяет U и V ,
если эти множества лежат в разных полупространствах, определя-
емых H, т. е. если существует представление H = {f = t}, где f ?
(XR )# и t ? R, для которого V ? {f ? t} и U ? {f ? t} := {?f ? ?t}.
3.8.14. Теорема отделимости Эйдельгайта. Пусть U и V —
непустые выпуклые множества, причем ядро V не пусто и не пере-
секается с U . Тогда найдется вещественная гиперплоскость, разде-
ляющая U и V и не содержащая точек ядра V .

Упражнения
3.1. Установить, что гиперплоскостями служат в точности максимальные
по включению аффинные множества, не совпадающие со всем пространством.
3.2. Доказать, что каждое аффинное множество представляет собой пере-
сечение гиперплоскостей.
3.3. Доказать, что в вещественном векторном пространстве дополнение ги-
перплоскости состоит из двух выпуклых множеств, каждое из которых совпада-
ет со своим ядром. Такие множества именуют открытыми полупространствами.
Объединение открытого полупространства с исходной гиперплоскостью называ-
ют замкнутым полупространством. Найти способы задания полупространств.
3.4. Найти возможные представления элементов выпуклой оболочки ко-
нечного числа точек. Как учесть конечномерность пространства, в котором ве-
дется рассмотрение?
Гл. 3. Выпуклый анализ
52

3.5. Для множеств S1 и S2 полагают S = 0???1 ?S1 ?(1??)S2 . Доказать,
что S выпукло при условии выпуклости S1 и S2 .
3.6. Вычислить функционалы Минковского полупространства, конуса, вы-
пуклой оболочки объединения и пересечения конических отрезков.
3.7. Пусть S := {p + q ? 1}, где p, q — функционалы Минковского кониче-
ских отрезков Sp и Sq . Выразить S через Sp и Sq .
3.8. Описать сублинейные функционалы, определенные на RN .
3.9. Вычислить субдифференциал максимума конечного числа линейных
функционалов.
3.10. Пусть p, q — сублинейные функционалы, находящиеся в общем по-
ложении, т. е. такие, что

dom p ? dom q = dom q ? dom p.

Доказать симметричную формулу Хана — Банаха (ср. 3.5.7)

?(p + q) = ?p + ?q.

3.11. Пусть p, q : X > R — всюду определенные на X сублинейные функ-
ционалы. Тогда выполнено равенство

?(p ? q) = co(?p ? ?q).

3.12. Найти функционал Минковского шара с необязательно нулевым цен-
тром симметрии в гильбертовом пространстве.
3.13. Симметричную квадратную 2 ? 2-матрицу назовем положительной,
если у нее положительные собственные числа. Согласован ли возникающий по-
рядок в пространстве таких матриц с векторной структурой? Определяет ли он
структуру пространства Канторовича?
3.14. На каждом ли упорядоченном векторном пространстве можно задать
нетривиальный положительный функционал?
3.15. Какими способами RN можно превратить в K-пространство?
3.16. При каких условиях заключение теоремы Хана — Банаха в аналити-
ческой форме выполнено для не всюду определенного сублинейного функциона-
ла?
3.17. Для стандартной нормы в l? найти крайние точки ее субдифферен-
циала.
3.18. Найти возможные обобщения теоремы Хана — Банаха для отображе-
ний, действующих в пространства Канторовича.
3.19. Для множества C в пространстве X определить преобразование Х?р-
е
мандера H(C) соотношением

H(C) = {(x, t) ? X ? R : x ? tC}.

Изучить свойства преобразования Х?рмандера.
е
Глава 4
Экскурс в метрические
пространства


4.1. Равномерность и топология метрического
пространства
4.1.1. Определение. Отображение d : X 2 > R+ называют
метрикой на X, если
(1) d(x, y) = 0 ? x = y;
(2) d(x, y) = d(y, x) (x, y ? X);
(3) d(x, y) ? d(x, z) + d(z, y) (x, y, z ? X).
Пару (X, d) называют метрическим пространством. Веще-
ственное число d(x, y) обычно именуют расстоянием между x и y.
Допуская вольность речи, само множество X в этой ситуации также
называют метрическим пространством.
4.1.2. Отображение d : X 2 > R+ является метрикой в том и
только в том случае, если
(1) {d ? 0} = IX ;
(2) {d ? t} = {d ? t}?1 (t ? R+ );
(3) {d ? t1 } ? {d ? t2 } ? {d ? t1 + t2 } (t1 , t2 ? R+ ).
Свойства 4.1.2 (1)–4.1.2 (3) суть переформулировки 4.1.1 (1)–
4.1.1 (3) соответственно.
4.1.3. Определение. Пусть (X, d) — метрическое простран-
ство и ? ? R+ \ 0. Множество B? := Bd,? := {d ? ?} называют за-
? ?
мкнутым цилиндром (порядка ?), а множество B ? := B d,? := {d < ?}
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
54

— открытым цилиндром (порядка ?). Образ B? (x) точки x при соот-
ветствии B? называют замкнутым шаром радиуса ? с центром в x.
?
Аналогично множество B ? (x) называют открытым шаром радиуса
? с центром x.

4.1.4. Открытые цилиндры, р?вно как и замкнутые цилиндры
а
непустого метрического пространства, составляют базисы одного и
того же фильтра.

4.1.5. Определение. Фильтр, порожденный цилиндрами непу-
стого метрического пространства (X, d) в множестве X 2 , называют
метрической равномерностью и обозначают UX , или Ud , или, нако-
нец, просто U , если нет сомнений, о каком пространстве идет речь.
При X := ? полагают UX := {?}. Элементы равномерности UX
называют окружениями (диагонали).

4.1.6. Пусть U — метрическая равномерность. Тогда
(1) U ? ?l {IX };
(2) U ? U ? U ?1 ? U ;
(3) (? U ? U ) (? V ? U ) V ? V ? U ;
(4) ?{U : U ? U } = IX .

4.1.7. Замечание. Свойство 4.1.6 (4), связанное с 4.1.1 (1), ча-
сто называют хаусдорфовостью U .

4.1.8. Для пространства X с равномерностью UX положим

? (x) := {U (x) : U ? U }.

Тогда ? (x) — фильтр для каждого x ? X. При этом
(1) ? (x) ? ?l {x};
(2) (? U ? ? (x)) (? V ? ? (x) & V ? U ) (? y ? V )
V ? ? (y).

4.1.9. Определение. Отображение ? : x > ? (x) называют
метрической топологией, а элементы ? (x) — окрестностями точки
x. Для обозначения топологии используют также и более полные
обозначения: ?X , ? (U ) и т. п.
4.1. Равномерность и топология метрического пространства 55

4.1.10. Замечание. Замкнутые шары с центром в некоторой
точке составляют базис фильтра окрестностей этой точки. То же
верно и для открытых шаров. Отметим еще, что у различных то-
чек в X существуют непересекающиеся окрестности. Это свойство,
связанное с 4.1.6 (4), называют хаусдорфовостью ?X .
4.1.11. Определение. Множество G в X называют открытым,
если оно является окрестностью каждой своей точки (символиче-
ски: G ? Op(? ) ? ((? x ? G) G ? ? (x))). Множество F в X на-
зывают замкнутым, если его дополнение открыто (символически:
F ? Cl(? ) ? (X \ F ? Op(? ))).
4.1.12. Объединение любого семейства и пересечение конечного
семейства открытых множеств суть множества открытые. Пересече-
ние любого семейства и объединение конечного семейства замкнутых
множеств суть множества замкнутые.
4.1.13. Определение. Для множества U в X полагают
?
int U := U := ?{G ? Op(?X ) : G ? U };
cl U := U := ?{F ? Cl(?X ) : F ? U }.
Множество int U называют внутренностью U , а его элементы —
внутренними точками U . Множество cl U называют замыканием
U , а его элементы — точками прикосновения U . Внутренность до-
полнения X \ U называют внешностью U , а элементы внешности —
внешними точками U . Точки пространства X, не являющиеся ни
внешними, ни внутренними для U , называют граничными точками
U . Совокупность всех граничных точек U называют границей U и
обозначают fr U или ?U .
4.1.14. Множество U является окрестностью точки x в том и
только в том случае, если x — внутренняя точка U .
4.1.15. Замечание. В связи с предложением 4.1.14 множество
Op(?X ) также часто называют топологией X, имея в виду, что ?X
однозначно восстанавливается по Op(?X ). Последнее, разумеется,
относится и к совокупности Cl(?X ) всех замкнутых множеств в X.
4.1.16. Определение. Пусть B — базис фильтра в X. Говорят,
что B сходится к точке x из X или что x — это предел B (и пишут:
B > x), если ?l B тоньше фильтра окрестностей точки x, т. е. ?l B ?
? (x).
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
56

4.1.17. Определение. Пусть (x? )?? — это (обобщенная) по-
следовательность в X. Говорят, что рассматриваемая последова-
тельность сходится к
x (пишут: x? > x), если к x сходится фильтр хвостов этой
последовательности. Используют и другие распространенные обо-
значения и обороты. Например, x = lim? x? и x — предел (x? ), когда
? пробегает .
4.1.18. Замечание. Предел фильтра, как и предел обобщенной
последовательности, единствен. Этот факт есть другое выражение
хаусдорфовости топологии.
4.1.19. Для непустого множества U и точки x равносильны сле-
дующие утверждения:
(1) точка x является точкой прикосновения U ;
(2) существует фильтр F такой, что F > x и U ? F ;
(3) существует последовательность (x? )?? элементов U ,
сходящаяся к точке x.
(1) ? (2): Так как x не является внешней точкой U , то филь-
тры ? (x) и ?l {U } имеют точную верхнюю границу F := ? (x)??l {U }.
(2) ? (3): Пусть F > x и U ? F . Превратим F в направле-
ние с помощью порядка, противоположного порядку по включению.
Возьмем xV ? V ? U для V ? F . Ясно, что xV > x.
(3) ? (1): Пусть V — замкнутое множество, (x? )?? — последо-
вательность элементов V и x? > x. Достаточно показать, что в этом
случае x ? V . Последнее очевидно, ибо при x ? X \ V хотя бы для
одного ? ? было бы x? ? X \ V .
4.1.20. Замечание. В условиях метрического пространства в
4.1.19 (2) можно считать, что фильтр F имеет счетный базис, а в
4.1.19 (3) — что := N. Указанное обстоятельство иногда выражают
словами: «метрические пространства удовлетворяют первой аксиоме
счетности».

4.2. Непрерывность и равномерная
непрерывность
4.2.1. Пусть f : X > Y и ?X , ?Y — топологии в X и Y соответ-
ственно. Эквивалентны утверждения:
4.2. Непрерывность и равномерная непрерывность 57

G ? Op(?Y ) ? f ?1 (G) ? Op(?X );
(1)
F ? Cl(?Y ) ? f ?1 (F ) ? Cl(?X );
(2)
(3) f (?X (x)) ? ?Y (f (x)) при всех x ? X;
(4) (x ? X, F > x) ? (f (F ) > f (x)) для фильтра F ;
(5) f (x? ) > f (x), каковы бы ни были точка x и сходяща-
яся к ней последовательность (x? ).
Эквивалентность (1) ? (2) вытекает из 4.1.11. Остается про-
верить, что (1) ? (3) ? (4) ? (5) ? (2).
(1) ? (3): Если V ? ?Y (f (x)), то W := int V ? Op(?Y ) и f (x) ? W .
Отсюда f ?1 (W ) ? Op(?X ) и x ? f ?1 (W ). Иначе говоря, f ?1 (W ) ?
?X (x) (см. 4.1.14). Помимо этого, f ?1 (V ) ? f ?1 (W ) и, следователь-
но, f ?1 (V ) ? ?X (x). Наконец, V ? f (f ?1 (V )).
(3) ? (4): Если F > x, то ?l F ? ?X (x) по определению 4.1.16.
Привлекая условие, выводим f (F ) ? f (?X (x)) ? ?Y (f (x)). Повтор-
ная апелляция к 4.1.16 дает f (F ) > f (x).
(4) ? (5): Образ фильтра хвостов последовательности (x? )??
при отображении f грубее фильтра хвостов (f (x? ))?? .
(5) ? (2): Пусть F — замкнутое подмножество в Y . Если F = ?,
то f ?1 (F ) также пусто, а потому и замкнуто. Пусть F непусто и
x — точка прикосновения f ?1 (F ). Рассмотрим последовательность
(x? )?? точек из f ?1 (F ), сходящуюся к x (ее существование обес-
печено 4.1.18). Тогда f (x? ) ? F и f (x? ) > f (x). Вновь применяя
4.1.18, видим, что f (x) ? F и, стало быть, x ? f ?1 (F ).
4.2.2. Определение. Отображение f : X > Y , удовлетворя-
ющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных утверждений
4.2.1 (1)–4.2.1 (5), (как хорошо известно) называют непрерывным.
Если при этом 4.2.1 (5) выполнено в фиксированной точке x ? X,
то говорят, что f непрерывно в точке x. Стало быть, f непрерыв-
но на X в том и только в том случае, если f непрерывно в каждой
точке X.
4.2.3. Суперпозиция непрерывных отображений непрерывна.
Следует трижды применить 4.2.1 (5).
4.2.4. Пусть f : X > Y и UX , UY — равномерности в X и Y
соответственно. Эквивалентны утверждения:
(1) (? V ? UY ) (? U ? UX ) (? x, y)(x, y) ? U ?
? (f (x), f (y)) ? V ;
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
58

(2) (? V ? UY ) f ?1 ? V ? f ? UX ;
(3) f ? (UX ) ? UY , где f ? : X 2 > Y действует по прави-
лу f ? : (x, y) > (f (x), f (y));
(4) (? V ? UY ) f ??1 (V ) ? UX , т. е. f ??1 (UY ) ? UX .
Достаточно заметить, что по 1.1.10 для U ? X 2 и V ? Y 2
выполнено

f ?1 ? V ? f = f ?1 (v1 ) ? f ?1 (v2 ) =
(v1 ,v2 )?V

= {(x, y) ? X 2 : (f (x), f (y)) ? V } = f ??1 (V );
f ? U ? f ?1 = f (u1 ) ? f (u2 ) =
(u1 ,u2 )?U

= {(f (u1 ), f (u2 )) : (u1 , u2 ) ? U } = f ? (U ).

4.2.5. Определение. Отображение f : X > Y , удовлетворя-
ющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных утвержде-
ний 4.2.4 (1)–4.2.4 (4), (как хорошо известно) называют равномерно
непрерывным.
4.2.6. Суперпозиция равномерно непрерывных отображений
равномерно непрерывна.
Пусть f : X > Y , g : Y > Z и h := g ? f : X > Z. Ясно, что

h? (x, y) = (h(x), h(y)) = (g(f (x)), g(f (y))) =
= g ? (f (x), f (y)) = g ? ? f ? (x, y)

для всех x, y из X. Значит, h? (UX ) = g ? (f ? (UX )) ? g ? (UY ) ? UZ в
силу 4.2.4 (3). Вновь апеллируя к 4.2.4 (3), видим, что h равномерно
непрерывно.
4.2.7. Равномерно непрерывное отображение непрерывно.
4.2.8. Определение. Пусть E — множество отображений из X
в Y и UX , UY — соответствующие равномерности. Множество E
называют равностепенно (равномерно) непрерывным, если

f ?1 ? V ? f ? UX .
(? V ? UY )
f ?E
4.3. Полунепрерывность 59

4.2.9. Равностепенно непрерывное множество отображений со-
стоит из равномерно непрерывных отображений. Конечное множе-
ство равномерно непрерывных отображений равностепенно непре-
рывно.

4.3. Полунепрерывность
4.3.1. Пусть (X1 , d1 ) и (X2 , d2 ) — метрические пространства.
Пусть, далее, X := X1 ? X2 . Для x := (x1 , x2 ) и y := (y1 , y2 )
положим
d(x, y) := d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ).
Тогда d — метрика на X . При этом для любого x := (x1 , x2 ) ? X
справедливо представление

?X (x) = ?l{U1 ? U2 : U1 ? ?X1 (x1 ), U2 ? ?X2 (x2 )}.

4.3.2. Определение. Топологию ?X называют произведени-
ем топологий ?X1 и ?X2 или топологией произведения X1 и X2 и
обозначают ?X1 ? ?X2 .
4.3.3. Определение. Функцию f : X > R· называют полуне-
прерывной снизу, если ее надграфик epi f — замкнутое множество
в топологии произведения X и R.
4.3.4. Примеры.
(1) Непрерывная функция f : X > R полунепрерывна
снизу.
(2) Если f? : X > R· — полунепрерывная снизу функция
для каждого ? ? , то верхняя огибающая f (x) := sup{f? (x) : ? ?
} (x ? X) также полунепрерывная снизу функция, так как epi f =
??? epi f? .
4.3.5. Функция f : X > R· полунепрерывна снизу в том и толь-
ко в том случае, если выполнено

x ? X ? f (x) = lim inf f (y).
y>x

Здесь, как обычно,

lim inf f (y) := lim f (y) := sup inf f (U )
y>x U ?? (x)
y>x
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
60

— нижний предел функции f в точке x (по фильтру ? (x)).
?: Если x ? dom f , то (x, t) ? epi f для каждого t ? R.
Значит, имеется окрестность Ut точки x, где inf f (Ut ) > t. Отсю-
да вытекает: limy>x inf f (y) = +? = f (x). Если же x ? dom f ,
то inf f (V ) > ?? для подходящей окрестности V точки x. Выбе-
рем ? > 0 и для любой U ? ? (x), лежащей в V , подыщем точку
xU ? U из условия inf f (U ) ? f (xU ) ? ?. По построению xU ? dom f
и, кроме того, xU > x (при введении естественного порядка в мно-
жество окрестностей точки x). Положим tU := inf f (U ) + ?. Ясно,
что tU > t := limy>x inf f (y) + ?. Поскольку (xU , tU ) ? epi f , то
(x, t) ? epi f в силу замкнутости надграфика f . Окончательно

lim inf f (y) + ? ? f (x) ? lim inf f (y).
y>x y>x

?: Если (x, t) ? epi f , то

t < lim inf f (y) = sup inf f (U ).
U ?? (x)
y>x


Таким образом, inf f (U ) > t для некоторой окрестности U точки x.
Отсюда вытекает, что дополнение (X ? R) \ epi f открыто.
4.3.6. Замечание. Свойство, указанное в предложении 4.3.5,
можно принять за основу определения полунепрерывности снизу в
точке.
4.3.7. Функция f : X > R непрерывна в том и только в том
случае, если f и ?f полунепрерывны снизу.
4.3.8. Функция f : X > R· полунепрерывна снизу в том и толь-
ко в том случае, если для всякого t ? R замкнуто лебегово множество
{f ? t}.
?: Если x ? {f ? t}, то t < f (x). На основании 4.3.5 в
подходящей окрестности U точки x будет t < inf f (U ). Иначе говоря,

<< Пред. стр.

стр. 7
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>