<< Пред. стр.

стр. 8
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

дополнение X \ {f ? t} открыто.
?: Пусть для каких-нибудь x ? X и t ? R выполнены соотно-
шения limy>x inf f (y) ? t < f (x).
Возьмем ? > 0 из условия t + ? < f (x) и, используя рассуждения
доказательства 4.3.5, для U ? ? (x) найдем точку xU из U ? {f ?
inf f (U ) + ?}. Бесспорно, xU ? {f ? t + ?} и xU > x. Приходим к
противоречию.
4.4. Компактность 61

4.4. Компактность
4.4.1. Определение. Пусть C — множество в X. Множество C
называют компактным, если для каждого множества E ? Op(?X )
такого, что C ? ?{G : G ? E }, существует конечное подмножество
E0 в E , удовлетворяющее соотношению C ? ?{G : G ? E0 }.
4.4.2. Замечание. Определение 4.4.1 часто выражают слова-
ми: «множество компактно, если из любого его открытого покрытия
можно выделить конечное подпокрытие».
4.4.3. Замкнутое подмножество компактного множества явля-
ется компактным. Компактное множество замкнуто.
4.4.4. Замечание. В связи с 4.4.3 используют понятие отно-
сительно компактного множества, т. е. множества, замыкание ко-
торого компактно.
4.4.5. Теорема Вейерштрасса. Образ компактного множе-
ства при непрерывном отображении компактен.
Прообразы множеств из открытого покрытия образа состав-
ляют открытое покрытие исходного множества.
4.4.6. Полунепрерывная снизу функция принимает на непустом
компактном множестве наименьшее значение (т. е. образ такого мно-
жества имеет наименьший элемент).
Будем считать, что f : X > R· и X компактно. Пусть t := 0
inf f (X). Если t0 = +?, то доказывать нечего. Если же t0 < +?,
то положим T := {t ? R : t > t0 }. Множество Ut := {f ? t} для
t ? T непусто и замкнуто. Докажем, что ?{Ut : t ? T } непусто
(тогда любой элемент x указанного пересечения — искомый: f (x) =
inf f (X)).
Предположим противное. Тогда множество {Gt := X \ Ut : t ?
T } образует открытое покрытие X. Выделяя из него конечное под-
покрытие {Gt : t ? T0 }, выводим: ?{Ut : t ? T0 } = ?. Последнее
соотношение ложно, поскольку Ut1 ? Ut2 = Ut1 ?t2 при t1 , t2 ? T .
4.4.7. Критерий Бурбаки. Пространство является компакт-
ным в том и только в том случае, если каждый ультрафильтр в нем
сходится (ср. 9.4.4).
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
62

4.4.8. Произведение компактных пространств компактно.
Достаточно дважды применить критерий Бурбаки.
4.4.9. Теорема Кантора. Непрерывное отображение компак-
та равномерно непрерывно.

4.5. Полнота
4.5.1. Пусть B — базис фильтра в X. Тогда {B 2 : B ? B} —
базис фильтра B ? в X 2 .
(B1 ? B1 ) ? (B2 ? B2 ) ? (B1 ? B2 ) ? (B1 ? B2 )
4.5.2. Определение. Пусть F — фильтр в X и UX — равно-
мерность в X. Фильтр F называют фильтром Коши, если F ? ?
UX . Сеть в X называют сетью Коши или фундаментальной сетью,
если фильтр ее хвостов есть фильтр Коши. Аналогичный смысл
вкладывают в термин «фундаментальная последовательность».
4.5.3. Замечание. Если V — окружение в X 2 , а U — множе-
ство в X, то говорят, что U мало порядка V , если U 2 ? V . В частно-
сти, U мало порядка B? в том и только в том случае, если диаметр
diam U := sup(U 2 ) не больше ?. В связи с указанной терминологией
определение фильтра Коши выражают словами: «фильтр являет-
ся фильтром Коши в том и только в том случае, если он содержит
сколь угодно малые множества».
4.5.4. Для метрического пространства эквивалентны следую-
щие утверждения:
(1) каждый фильтр Коши сходится;
(2) каждая сеть Коши имеет предел;
(3) любая фундаментальная последовательность сходит-
ся.
Импликации (1) ? (2) ? (3) очевидны, поэтому установим
только импликацию (3) ? (1).
Пусть Un ? F — множество, малое порядка B1/n . Положим
Vn := U1 ? . . . ? Un и возьмем xn ? Vn . Имеем, что V1 ? V2 ? . . . и
diam Vn ? 1/n. Следовательно, (xn ) — фундаментальная последова-
тельность. Значит, есть предел: x := lim xn . Покажем, что F > x.
Для этого выберем n0 ? N из условия: d(xm , x) ? 1/2n при m ? n0 .
Тогда для произвольного n ? N будет d(xp , y) ? diam Vp ? 1/2n и
4.5. Полнота 63

d(xp , x) ? 1/2n, если только p := n0 ? 2n и y ? Vp . Отсюда вытека-
ет, что y ? Vp ? d(x, y) ? 1/n, т. е. Vp ? B1/n (x). Окончательно
заключаем: F ? ? (x).
4.5.5. Определение. Метрическое пространство, удовлетворя-
ющее одному (а потому и любому) из эквивалентных утверждений
4.5.4 (1)–4.5.4 (3), (как хорошо известно) называют полным.
4.5.6. Критерий Кантора. Метрическое пространство полно
в том и только в том случае, если всякое фильтрованное по убыва-
нию непустое семейство его непустых замкнутых подмножеств, диа-
метры которых стремятся к нулю, имеет общую точку.
?: Если B — подобное семейство множеств, то, по опреде-
лению 1.3.1, B — базис фильтра. По условию B — базис фильтра
Коши, т. е. существует предел: B > x. Точка x — искомая.
?: Пусть F — фильтр Коши. Положим B := {cl V : V ? F }.
Диаметры множеств из B стремятся к нулю. Стало быть, найдется
точка x такая, что x ? cl V при каждом V ? F . Ясно, что F > x. В
самом деле, пусть V — множество из F малое порядка ?/2 и y ? V .
Для некоторого y ? V будет d(x, y ) ? ?/2 и, значит, d(x, y) ?
d(x, y ) + d(y , y) ? ?, т. е., следовательно, V ? B? (x) и, значит,
B? (x) ? F .
4.5.7. Метрическое пространство полно в том и только в том
случае, если любая последовательность вложенных шаров B?1 (x1 ) ?
. . . ? B?n (xn ) ? B?n+1 (xn+1 ) ? . . . , радиусы (?n ) которых стремятся
к нулю, имеет общую точку.
4.5.8. Образ фильтра Коши при равномерно непрерывном отоб-
ражении — фильтр Коши.
Пусть отображение f действует из пространства X с равно-
мерностью UX в пространство Y с равномерностью UY . Пусть, да-
лее, F — фильтр Коши в X. Если V ? UY , то f ?1 ? V ? f ? UX по
определению 4.2.5 (см. 4.2.4 (2)). Поскольку F — фильтр Коши, то
при подходящем U ? F будет U 2 ? f ?1 ? V ? f . Оказывается, что
f (U ) мало порядка V . В самом деле,
f (u1 ) ? f (u2 ) =
f (U )2 =
(u1 ,u2 )?U 2

= f ? U 2 ? f ?1 ? f ? (f ?1 ? V ? f ) ? f ?1 = (f ? f ?1 ) ? V ? (f ? f ?1 ) ? V,
ибо, на основании 1.1.6, f ? f ?1 = Iim f ? IY .
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
64

4.5.9. Произведение полных пространств — полно.
Следует применить 4.5.8 и 4.5.4.
4.5.10. Пусть X0 плотно в X (т. е. cl X0 = X) и f0 : X0 > Y —
равномерно непрерывное отображение из X0 в полное пространство
Y . Тогда существует, и притом единственное, равномерно непре-
рывное отображение f : X > Y , продолжающее f0 , т. е. такое, что
f |X0 = f0 .
Для x ? X фильтр Fx := {U ? X0 : U ? ?X (x)} является
фильтром Коши в X0 . Стало быть, из 4.5.8 можно вывести, что
f0 (FX ) — фильтр Коши в Y . В силу полноты Y существует предел
y ? Y , т. е. f0 (Fx ) > y. Более того, этот предел единствен (ср.
4.1.18). Полагаем f (x) := y. Остается провести несложную проверку
равномерной непрерывности отображения f .
4.5.11. Определение. Отображение f : (X, d) > (X, d ) на-
зывают изометрией X в X (или изометрическим вложением), если
d = d ? f ? . Отображение f называют изометрией X на X (короче,
изометрией), если f — изометрия X в X и, кроме того, im f = X.
4.5.12. Теорема Хаусдорфа о пополнении. Пусть (X, d) —
метрическое пространство. Тогда существуют полное метрическое
пространство (X, d ) и изометрия ? : (X, d) > (X, d ) на плотное
подпространство в (X, d ). Пространство (X, d ) единственно с точ-
ностью до изометрии в том смысле, что любая диаграмма
?
- (X, d )
(X, d)
@
?1@
@
R ?
(X1 , d1 )
где ?1 : (X, d) > (X1 , d1 ) — изометрия X на плотное подпростран-
ство полного пространства (X1 , d1 ), достраивается до коммутатив-
ной диаграммы с помощью изометрии : (X, d ) > (X1 , d1 ) про-
странства X и пространства X1 .
Единственность с точностью до изометрии вытекает из 4.5.10.
В самом деле, пусть 0 := ?1 ? ??1 . Тогда 0 — изометрия плотного
подпространства ?(X) в X на плотное подпространство ?1 (X) в X1 .
4.6. Компактность и полнота 65

единственное продолжение 0 на X. Следу-
Возьмем в качестве
действует на X1 . Выберем x1 из X1 .
ет проверить только, что
Этот элемент есть предел последовательности (?1 (xn )), где xn ? X.
Понятно, что (xn ) фундаментальная. Стало быть, фундаментальна
последовательность (?(xn )) в X. Пусть x := lim ?(xn ), x ? X. При
этом (x) = lim 0 (?(xn )) = lim ?1 ? ??1 (?(xn )) = lim ?1 (xn ) = x1 .
Наметим теперь схему доказательства существования X. Рас-
смотрим множество X всех фундаментальных последовательностей
в пространстве X. Определим в X отношение эквивалентности так:
x1 ? x2 ? d(x1 (n), x2 (n)) > 0. Пусть X := X / и d(?(x1 ), ?(x2 )) :=
?
lim d(x1 (n), x2 (n)), где ? : X > X — каноническое отображение.
Изометрия ? : (X, d) > (X, d ) строится так: ?(x) := ?(n > x (n ?
N)).
4.5.13. Определение. Пространство (X, d ), фигурирующее
в 4.5.12, р?вно как и любое изометричное ему пространство, назы-
а
вают пополнением пространства (X, d).
4.5.14. Определение. Множество X0 в (X, d) называют пол-
ным, если полным является пространство (X0 , d|X0 ) — подпростран-
2

ство (X, d).
4.5.15. Замкнутое подмножество полного пространства являет-
ся полным. Полное множество замкнуто.
4.5.16. Пусть X0 — подпространство некоторого полного мет-
рического пространства X. Тогда пополнение X0 изометрично за-
мыканию X0 в X.
Пусть X := cl X0 и ? : X0 > X — тождественное вложение.
Ясно, что ? — изометрия на плотное подпространство. При этом X
полно в силу 4.5.15. Осталось сослаться на 4.5.12.

4.6. Компактность и полнота
4.6.1. Компактное пространство полно.
4.6.2. Определение. Пусть U — множество в X и V ? UX .
Множество E в X называют V -сетью для U , если U ? V (E).
4.6.3. Определение. Множество называют вполне ограничен-
ным, если для каждого V из UX у него имеется конечная V -сеть.
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
66

4.6.4. Если для любого V из UX у множества U в X есть вполне
ограниченная V -сеть, то U — вполне ограниченное множество.
Пусть V ? UX и W ? UX таково, что W ? W ? V . Возьмем
вполне ограниченную W -сеть F для U , т. е. U ? W (F ). Поскольку
F вполне ограничено, то найдется конечная W -сеть E для F , т. е.
F ? W (E). Окончательно

U ? W (F ) ? W (W (E)) = W ? W (E) ? V (E),

т. е. E — конечная V -сеть для U .
4.6.5. Множество U в X является вполне ограниченным в том
и только в том случае, если для всякого V из UX найдется конечное
семейство U1 , . . . , Un подмножеств U такое, что U = U1 ? . . . ? Un и
каждое из множеств U1 , . . . , Un мало порядка V .
4.6.6. Замечание. Факт, отмеченный 4.6.5, выражают слова-
ми: «множество вполне ограничено тогда и только тогда, когда у
него есть конечные покрытия сколь угодно малыми множествами».
4.6.7. Критерий Хаусдорфа. Множество является компакт-
ным тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
4.6.8. Пусть C(X, F) — пространство непрерывных функций
на компакте X со значениями в основном поле F и с метрикой Че-
быш?ва
е

d(f, g) := sup dF (f (x), g(x)) = sup |f (x) ? g(x)| (f, g ? C(X, F)).
x?X x?X


Для ? ? UF положим

U? := (f, g) ? C(X, F)2 : g ? f ?1 ? ? .

Тогда Ud = ?l {U? : ? ? UF }.
4.6.9. Пространство C(X, F) полно.
4.6.10. Теорема Асколи — Арцела. Множество E в C(X, F)
относительно компактно в том и только в том случае, если E равно-
степенно непрерывно и множество ?{g(X) : g ? E } вполне ограни-
чено в пространстве F.
4.6. Компактность и полнота 67

?: То, что ?{g(X) : g ? E } — это вполне ограниченное
множество, не вызывает сомнений. Для проверки равностепенной
непрерывности E возьмем ? ? UF и подберем симметричное окруже-
ние ? из условия ? ? ? ? ? ? ?. По критерию Хаусдорфа найдется
конечная U? -сеть E в E . Рассмотрим окружение U ? UX , заданное
соотношением
f ?1 ? ? ? f
U :=
f ?E

(ср. 4.2.9). Для произвольных g ? E и f ? E таких, что g ? f ?1 ? ? ,
выполнено

? = ? ?1 ? (g ? f ?1 )?1 = (f ?1 )?1 ? g ?1 = f ? g ?1 .

Помимо этого, из свойств композиции соответствий и из 4.6.8 выте-
кает
g ? (U ) = g ? U ? g ?1 ? g ? (f ?1 ? ? ? f ) ? g ?1 ?
? (g ? f ?1 ) ? ? ? (f ? g ?1 ) ? ? ? ? ? ? ? ?.
Вместе с произвольностью g последнее означает, что E равностепен-
но непрерывно.
?: На основании 4.5.15, 4.6.7, 4.6.8 и 4.6.9 достаточно для каж-
дого ? ? UF построить конечную U? -сеть в E . Подыщем ? ? UF , для
которого ? ? ? ? ? ? ?, и найдем открытое симметричное окружение
U ? UX , чтобы было

g ?1 ? ? ? g
U?
g?E


(существование U обеспечено равностепенной непрерывностью E ).
Ясно, что семейство {U (x) : x ? X} образует открытое покры-
тие X. Используя компактность X, укажем конечное подпокрытие
{U (x0 ) : x0 ? X0 }. В частности, с учетом 1.1.10

IX ? U (x0 ) ? U (x0 ) =
x0 ?X0


U ?1 (x0 ) ? U (x0 ) = U ? IX0 ? U.
=
(x0 ,x0 )?IX0
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
68

Множество {g|X0 : g ? E } вполне ограничено в FX0 . Стало быть,
в этом множестве есть конечная ? -сеть. Точнее говоря, имеется ко-
нечное множество E в E , обладающее тем свойством, что для каж-
дого g ? E при подходящем f ? E справедливо

g ? IX0 ? f ?1 ? ? .

Применяя полученные оценки, последовательно выводим

g ? f ?1 = g ? IX ? f ?1 ? g ? (U ? IX0 ? U ) ? f ?1 ?

? g ? (g ?1 ? ? ? g) ? IX0 ? (f ?1 ? ? ? f ) ? f ?1 =
= (g ? g ?1 ) ? ? ? (g ? IX0 ? f ?1 ) ? ? ? (f ? f ?1 ) =
= Iim g ? ? ? (g ? IX0 ? f ?1 ) ? ? ? Iim f ?
? ? ? ? ? ? ? ?.
Таким образом, в силу 4.6.8, E — это конечная U? -сеть для E .
4.6.11. Замечание. Полезным утверждением является пере-
вод доказательства теоремы Асколи — Арцела на язык «?-?». Вот
необходимый словарь: «?, U? — это ?», «? — это ?/3», а «? — это
U ». Столь же полезно (и поучительно) найти обобщения теоремы
Асколи — Арцела для отображений, действующих в произвольные
пространства.

4.7. Бэровские пространства
4.7.1. Определение. Множество U принято называть разре-
женным или нигде не плотным, если в его замыкании нет внут-
ренних точек, т. е. int cl U = ?. Множество U называют тощим
(или множеством первой категории), если U содержится в объеди-
нении (не более чем) счетного числа разреженных множеств, т. е.
U ? ?n?N Un , int cl Un = ?. Нетощие множества, т. е. множества,
не являющиеся тощими, называют также множествами второй ка-
тегории.
4.7.2. Определение. Пространство называют бэровским, если
любое его непустое открытое множество нетощее.
4.7. Бэровские пространства 69

4.7.3. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) X — бэровское пространство;
(2) объединение счетного числа замкнутых разреженных
множеств не имеет внутренних точек;
(3) пересечение счетного числа любых всюду плотных
(т. е. плотных в X) открытых множеств является
всюду плотным;
(4) дополнение любого тощего множества всюду плотно.
(1) ? (2): Пусть U := ?n?N Un , Un = cl Un , причем int Un = ?.
Тогда U — тощее множество. Так как int U ? U и int U — открытое
множество, то int U , являясь тощим множеством, обязательно пусто
в силу бэровости X.
(2) ? (3): Пусть U := ?n?N Gn , где Gn открыто и cl Gn = X.
Тогда X \U = X \?n?N Gn = ?n?N (X \Gn ). При этом X \Gn замкнуто
и int(X \ Gn ) = ? (ибо cl Gn = X). Стало быть, int(X \ U ) = ?.
Последнее означает, что у U пустая внешность, т. е. U всюду плотно.
(3) ? (4): Пусть U тощее в X, т. е. U ? ?n?N Un и int cl Un = ?.
Можно считать, что Un = cl Un . Тогда Gn := X \ Un открыто и всюду
плотно. По условию ?n?N Gn = X \ ?n?N Un всюду плотно. При этом
указанное множество содержится в X \ U и, значит, множество X \ U
всюду плотно.
(4) ? (1): Если U — непустое открытое множество в X, то X \ U
не является всюду плотным. Следовательно, U нетощее.
4.7.4. Замечание. В связи с 4.7.3 (4) отметим, что дополне-
ния тощих множеств (иногда) называют вычетами или остаточ-
ными множествами. Вычеты в бэровском пространстве — нетощие
множества.
4.7.5. Теорема Осгуда. Пусть X — бэровское пространство
и (f? : X > R)?? — семейство полунепрерывных снизу функций,
причем sup{f? (x) : ? ? } < +? для каждого x ? X. Тогда всякое
непустое открытое множество G в X содержит непустое открытое
подмножество G0 , на котором семейство (f? )?? равномерно ограни-
чено сверху, т. е. выполнено supx?G0 sup {f? (x) : ? ? } ? +?.
4.7.6. Теорема Бэра. Полное метрическое пространство — бэ-
ровское.
Пусть G — непустое открытое множество и x0 ? G. Допустим,
что G тощее, т. е. G ? ?n?N Un , где int Un = ? и Un = cl Un . Найдем
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
70

?0 > 0 из условия B?0 (x0 ) ? G. Ясно, что U1 не содержит целиком
шар B?0 /2 (x0 ), т. е. имеется x1 ? B?0 /2 (x0 ) \ U1 . В силу замкнутости
U1 можно подыскать ?1 так, что 0 < ?1 ? ?0 /2 и B?1 (x1 ) ? U1 = ?.
Проверим, что B?1 (x1 ) ? B?0 (x0 ). Действительно, если d(x1 , y1 ) ?
?1 , то d(y1 , x0 ) ? d(y1 , x1 ) + d(x1 , x0 ) ? ?1 + ?0 /2, ибо d(x1 , x0 ) ?
?0 /2. Шар B?1 /2 (x1 ) не лежит целиком в U2 . Поэтому существуют
x2 ? B?1 /2 (x1 ) \ U2 и 0 < ?2 ? ?1 /2 такие, что B?2 (x2 ) ? U2 = ?.
Видно, что вновь B?2 (x2 ) ? B?1 (x1 ). Продолжая начатый процесс по
индукции, получим последовательность шаров B?0 (x0 ) ? B?1 (x1 ) ?
B?2 (x2 ) ? . . . , причем ?n+1 ? ?n /2 и B?n (xn )?Un = ?. На основании
4.5.6 у построенных шаров есть общая точка x := lim xn . При этом,
конечно же, x = ?n?N Un и, стало быть, x ? G. С другой стороны,
x ? B?0 (x0 ) ? G. Получили противоречие.

4.7.7. Замечание. Теорему Бэра часто используют как «чи-
стую теорему существования».
В качестве классической иллюстрации рассмотрим вопрос о су-
ществовании непрерывных нигде не дифференцируемых функций.
Для f : [0, 1] > R и x ? [0, 1) положим

f (x + h) ? f (x)
D+ f (x) := lim inf ;
h
hv0


f (x + h) ? f (x)
D+ f (x) := lim sup .
h
hv0


Элементы D+ f (x) и D+ f (x) из расширенной числовой прямой R
называют нижней правой и соответственно верхней правой произ-
водной Дини функции f в точке x.
Пусть D — это множество таких функций f ? C([0, 1], R), что
для некоторой точки x ? [0, 1) элементы D+ f (x) и D+ f (x) входят
в R, т. е. конечны. Тогда D — тощее множество. Значит, функции,
не имеющие производной ни в одной точке из (0, 1), всюду плотны
в C([0, 1], R). В то же время конкретные примеры таких функций
дались не просто. Вот наиболее известные из них:

?

<< Пред. стр.

стр. 8
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>