<< Пред. стр.

стр. 9
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

4n x
функция Ван дер Вардена —
4n
n=0
4.8. Теорема Жордана и простые картины 71

(здесь x := (x ? [x]) ? (1 + [x] ? x) — расстояние до ближайшего к
x целого числа),

+?
1
функция Римана — sin (n2 ?x)
n2
n=0

и, наконец, исторически первая

?
функция Вейерштрасса — bn cos (an ?x)
n=0

3?
(здесь a — нечетное положительное целое, 0 < b < 1 и ab > 1 + 2 ).


4.8. Теорема Жордана и простые картины
4.8.1. Замечание. В топологии, в частности, устанавливают
глубокие и тонкие факты о метрическом пространстве R2 . Ниже
приведены используемые в дальнейшем те из этих фактов, роль ко-
торых известна, например, из комплексного анализа.
4.8.2. Определение. Гомеоморфный (= взаимно однозначный
и взаимно непрерывный) образ отрезка называют (жордановой) ду-
гой. Гомеоморфный образ окружности называют простой (жорда-
новой) петлей. Естественный смысл вкладывают в понятия типа
«гладкая дуга» и т. п.
4.8.3. Теорема Жордана. Пусть ? — простая петля в плоско-
сти R2 . Существуют непересекающиеся открытые множества G1 и
G2 такие, что

G1 ? G2 = R2 \ ?; ? = ?G1 = ?G2 .

4.8.4. Замечание. Одно из множеств G1 и G2 , фигурирую-
щих в 4.8.3, ограничено. Помимо этого, каждое из них связно, т. е.
непредставимо в виде объединения двух непустых непересекающих-
ся открытых подмножеств. В этой связи теорему Жордана часто
выражают так: «простая петля разрезает плоскость на две области
и является их общей границей».
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
72

4.8.5. Определение. Пусть D, D1 , . . . , Dn — замкнутые круги
(= замкнутые шары) на плоскости, причем Dm ? Dk = ? при m = k
и D1 , . . . , Dn ? int D. Множество
n
D\ int Dk
k=1
называют резным диском. Всякое множество в плоскости, диффео-
морфное (= «гладко гомеоморфное») некоторому резному диску, на-
зывают связным элементарным компактом. Объединение непусто-
го конечного семейства попарно не пересекающихся связных элемен-
тарных компактов называют элементарным компактом.
4.8.6. Замечание. Граница ?F элементарного компакта F со-
стоит из конечного числа непересекающихся гладких простых пе-
тель. При этом вложение F в (ориентированную) плоскость R2 ин-
дуцирует в F структуру (ориентированного) многообразия с (ориен-
тированным) краем ?F . Отметим здесь же, что в силу 4.8.3 имеет
смысл говорить о положительной ориентации гладкой петли, подра-
зумевая ориентацию края компактной части плоскости, ограничен-
ной этой петлей.
4.8.7. Пусть K — компактное подмножество плоскости и G —
непустое открытое множество, содержащее K. Тогда существует эле-
ментарный компакт F такой, что
K ? int F ? F ? G.
4.8.8. Определение. Множество F , наличие которого отмече-
но в 4.8.7, называют простой картиной для пары (K, G).

Упражнения
4.1. Привести примеры метрических пространств. Выяснить, какими спо-
собами можно получать новые метрические пространства.
4.2. Каким должен быть фильтр в X 2 , совпадающий с некоторой метри-
ческой равномерностью в X?
4.3. Пусть S — пространство измеримых функций на [0, 1] с метрикой
1
|f (t) ? g(t)|
(f, g ? S)
d(f, g) := dt
1 + |f (t) ? g(t)|
0

(подразумевается некоторая естественная факторизация — какая именно?). Вы-
яснить смысл сходимости в этом пространстве.
Упражнения 73

4.4. Для ?, ? ? NN полагают
d(?, ?) = 1/ min {k ? N : ?k = ?k }.
Проверить, что d — метрика и что пространство NN гомеоморфно множеству
иррациональных чисел.
4.5. Можно ли метризовать поточечную сходимость последовательностей?
А функций?
4.6. Как следует ввести разумную метрику в счетное произведение метри-
ческих пространств? В произвольное произведение метрических пространств?
4.7. Выяснить, какие классы функций описываются ошибочными опреде-
лениями непрерывности и равномерной непрерывности.
4.8. Для непустых компактных подмножеств A и B пространства RN по-
ложим
sup inf |x ? y| ? sup inf |x ? y|
d(A, B) := .
x?A y?B y?B x?A

Установить, что d — метрика. Ее называют метрикой Хаусдорфа. Каков смысл
сходимости в этой метрике?
4.9. Доказать, что непустые выпуклые компактные подмножества выпук-
лого компакта в RN составляют компакт относительно метрики Хаусдорфа. Ка-
кова связь этого утверждения с теоремой Арцела — Асколи?
4.10. Доказать, что каждая полунепрерывная снизу функция на RN есть
верхняя огибающая некоторого семейства непрерывных функций.
4.11. Выяснить связи между непрерывными и замкнутыми (как множества
в произведении) отображениями метрических пространств.
4.12. Выяснить, когда непрерывное отображение метрического простран-
ства в полное метрическое пространство допускает распространение на пополне-
ние исходного пространства.
4.13. Описать компактные множества в произведении метрических про-
странств.
4.14. Пусть (Y, d) — полное метрическое пространство. Отображение F :
Y > Y называют расширяющимся, если d(F (x), F (y)) ? ?d(x, y) для некоторого
? > 1 и x, y ? Y . Пусть расширяющееся отображение F : Y > Y действует на
Y . Доказать, что F взаимно однозначно и обладает единственной неподвижной
точкой.
4.15. Доказать, что компакт не отображается изометрично на свою соб-
ственную часть.
4.16. Установить нормальность произвольного метрического пространства.
4.17. При каких условиях счетное подмножество полного метрического
пространства является нетощим?
4.18. Можно ли охарактеризовать равномерную непрерывность в терминах
сходящихся последовательностей?
4.19. На каких метрических пространствах любая непрерывная веществен-
ная функция достигает точные границы множества своих значений? Ограниче-
на?
Глава 5
Мультинормированные и
банаховы пространства


5.1. Полунормы и мультинормы
5.1.1. Пусть X — векторное пространство над основным полем
F и p : X > R· — полунорма. Тогда
(1) dom p — подпространство в X;
(2) p(x) ? 0 для всех x ? X;
(3) ядро полунормы ker p := {p = 0} — подпространство
X;
?
(4) множества B p := {p < 1} и Bp := {p ? 1} абсолютно
выпуклые, причем p является функционалом Мин-
ковского любого абсолютно выпуклого множества B
?
такого, что B p ? B ? Bp ;
?
(5) X = dom p в том и только в том случае, если B p —
поглощающее множество.
Если x1 , x2 ? dom p и ?1 , ?2 ? F, то ввиду 3.7.6 имеем

p(?1 x1 + ?2 x2 ) ? |?1 |p(x1 ) + |?2 |p(x2 ) < +? + (+?) = +?.

Значит, (1) верно. Допустим, что (2) не верно, т. е. для некоторого
x ? X справедливо p(x) < 0. Тогда 0 ? p(x) + p(?x) < p(?x) =
p(x) < 0. Получается противоречие. Утверждение (3) немедленно
следует из (2) и субаддитивности p. Справедливость (4) и (5) ча-
стично уже отмечалась (ср. 3.8.8). Оставшаяся неотмеченной часть
обосновывается теоремой о функционале Минковского.
5.1. Полунормы и мультинормы 75

5.1.2. Пусть p, q : X > R· — две полунормы. Неравенство p ? q
(в множестве (R· )X ) имеет место в том и только в том случае, если
Bp ? Bq .
?: Ясно, что {q ? 1} ? {p ? 1}.
?: Имеем, по 5.1.1 (4), p = pBp и q = pBq . Возьмем t1 , t2 ? R
такие, что t1 < t2 . Если t1 < 0, то {q ? t1 } = ? и, стало быть,
{q ? t1 } ? {p ? t2 }. Если же t1 ? 0, то t1 Bq ? t1 Bp ? t2 Bp . Значит,
в силу 3.8.3, p ? q.
5.1.3. Пусть X, Y — векторные пространства, T ? X ? Y —
линейное соответствие и p : Y > R· — полунорма. Пусть, далее,
pT (x) := inf p ? T (x) для x ? X. Тогда pT : X > R· — полунорма,
множество BT := T ?1 (Bp ) абсолютно выпукло, причем pT = pBT .
Для x1 , x2 ? X и ?1 , ?2 ? F имеем

pT (?1 x1 + ?2 x2 ) = inf p(T (?1 x1 + ?2 x2 )) ?
? inf p(?1 T (x1 ) + ?2 T (x2 )) ?
? inf(|?1 |p(T (x1 )) + |?2 |p(T (x2 ))) =
= |?1 |pT (x1 ) + |?2 |pT (x2 ),

т. е. pT — полунорма.
То, что множество BT абсолютно выпукло, следует из 5.1.1 (4)
и 3.1.8. Если x ? BT , то для некоторого y ? Bp выполнено (x, y) ? T .
Отсюда pT (x) ? p(y) ? 1, т. е. BT ? BpT . Если, в свою очередь,
?
x ? B pT , то pT (x) = inf{p(y) : (x, y) ? T } < 1. Значит, найдется y ?
?
T (x) такой, что p(y) < 1. Стало быть, x ? T ?1 (B p ) ? T ?1 (Bp ) = BT .
?
Итак, B pT ? BT ? BpT . Привлекая 5.1.1 (4), видим: pBT = pT .
5.1.4. Определение. Полунорму pT , построенную в 5.1.3, на-
зывают прообразом полунормы p при соответствии T .
5.1.5. Определение. Пусть p : X > R — полунорма (в силу
3.4.3 эта запись означает, что dom p = X). Пару (X, p) называ-
ют полунормированным пространством. Часто, допуская обычную
вольность, само X называют полунормированным пространством.
5.1.6. Определение. Непустое множество всюду определенных
полунорм (в RX ) называют мультинормой и обозначают MX или
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
76

просто M, если ясно, о каком пространстве X идет речь. Пару
(X, MX ), р?вно как и исходное X, называют мультинормирован-
а
ным пространством.
5.1.7. Множество полунорм M в (R· )X является мультинормой
в том и только в том случае, если (X, p) является полунормирован-
ным пространством для всякого p ? M.
5.1.8. Определение. Мультинорму MX называют хаусдорфо-
вой (или отделимой), если для любого x ? X, x = 0, существует
полунорма p ? MX такая, что p(x) = 0. В этом случае X называют
хаусдорфовым (или отделимым) мультинормированным простран-
ством.
5.1.9. Определение. Хаусдорфову мультинорму, состоящую
из одного элемента, называют нормой. Единственный элемент нор-
мы в X (как хорошо известно) также называют нормой в X и обо-
значают · или (реже) · X , и даже ·| X , если есть необходимость
в указании на пространство X. Пару (X, · ) называют нормиро-
ванным пространством. Как правило, так же называют и X.
5.1.10. Примеры.
(1) Полунормированное пространство (X, p) рассматри-
вается как мультинормированное пространство (X, {p}). То же от-
носится к нормированному пространству.
(2) Пусть M — множество всех (всюду определенных) по-
лунорм на пространстве X. Тогда M — хаусдорфова мультинорма,
которую называют сильнейшей мультинормой в X.
(3) Пусть (Y, N) — мультинормированное пространство
и T ? X ? Y — линейное соответствие, причем dom T = X. В си-
лу 3.4.10 и 5.1.1 (5) для p ? N полунорма pT всюду определена и,
стало быть, M := {pT : p ? N} — мультинорма в X. Мультинор-
му N называют прообразом мультинормы N при соответствии T
и (иногда) обозначают NT . Отметим, что если T ? L (X, Y ), то
M = {p ? T : p ? N}. В связи с этим используют естественное обо-
значение N ? T := M. Особо выделим случай, когда X — это подпро-
странство Y0 в Y и T — тождественное вложение T := ? : Y0 > Y . В
такой ситуации Y0 , как правило, рассматривают как мультинормиро-
ванное пространство с мультинормой N ? ?. Более того, некорректно
5.1. Полунормы и мультинормы 77

используют фразу «N — мультинорма в Y0 ». Эту некорректность
использовать очень удобно.
(4) Основное поле F наделено, как известно, нормой | · | :
F > R. Пусть X — векторное пространство и f ? X # . Так как
f : X > F, то определен прообраз нормы в основном поле: pf (x) :=
|f (x)| (x ? X). Если теперь X — некоторое подпространство в X # ,
то мультинорму ?(X, X ) := {pf : f ? X } называют слабой муль-
тинормой в X, наведенной X .
(5) Пусть (X, p) — полунормированное пространство, X0
— подпространство в X и ? : X > X/X0 — каноническое отображе-
ние. Линейное соответствие ??1 определено на всем пространстве
X/X0 . Значит, имеется полунорма p??1 , которую называют фактор-
полунормой p по подпространству X0 и обозначают pX/X0 . Про-
странство (X/X0 , pX/X0 ) называют фактор-пространством прост-
ранства (X, p) по подпространству X0 . Определение фактор-про-
странства общего мультинормированного пространства связано с не-
которой тонкостью и введено в 5.3.11.
(6) Пусть X — векторное пространство и M ? (R· )X —
множество полунорм на этом пространстве. В этой ситуации можно
говорить об M как о мультинорме на пространстве X0 := ?{dom p :
p ? M}. Более точно, подразумевая мультинормированное про-
странство (X0 , {p? : p ? M}), где ? — тождественное вложение X0
в X, употребляют выражения: «M — мультинорма» или «рассмот-
рим (мультинормированное) пространство, порожденное M». Вот
типичный образец: «семейство полунорм

p?,? (f ) := sup |x? ? ? f (x)| : ?, ? — мультииндексы
x?RN

задает (мультинормированное) пространство бесконечно дифферен-
цируемых и быстро убывающих на бесконечности функций на RN »
(такие функции часто называют умеренными, ср. 10.11.6).
(7) Пусть (X, · ) и (Y, · ) — нормированные простран-
ства (над одним основным полем F). Для T ? L (X, Y ) рассмотрим
«операторную норму», т. е. величину

Tx
T := sup { T x : x ? X, x ? 1} = sup .
x
x?X
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
78

(Здесь и в дальнейшем в аналогичных случаях принято считать, что
0/0 := 0.)
Видно, что · : L (X, Y ) > R· — полунорма. В самом деле,
положив BX := { · X ? 1}, для T1 , T2 ? L (X, Y ) и ?1 , ?2 ? F
имеем
?1 T1 + ?2 T2 = sup · ?1 T1 +?2 T2 (BX ) =
= sup · ((?1 T1 + ?2 T2 )(BX )) ? sup ?1 T1 (BX ) + ?2 T2 (BX ) ?
? |?1 | sup · + |?2 | sup ·
T1 (BX ) T2 (BX ) =
= |?1 | T1 + |?2 | T2 .
Подпространство B(X, Y ), являющееся эффективной областью
определения введенной полунормы, называют пространством огра-
ниченных операторов, а его элементы — ограниченными оператора-
ми. Ясно, что векторное пространство B(X, Y ) нормировано (опе-
раторной нормой). Отметим, что оператор T ? L (X, Y ) ограничен
в том и только в том случае, если для него справедливо норматив-
ное неравенство, т. е. если найдется строго положительное число K
такое, что
T x Y ? K x X (x ? X).
При этом T есть точная нижняя граница чисел K, фигурирующих
в нормативном неравенстве.
(8) Пусть X — векторное пространство над F и · —
норма в X. Пусть, далее, X := B(X, F) — сопряженное простран-
ство, т. е. векторное пространство ограниченных функционалов f с
«сопряженной нормой»:

|f (x)|
x ? 1} = sup
f = sup{|f (x)| : .
x
x?X


Рассмотрим пространство X := (X ) := B(X , F) — второе
сопряженное к X пространство. Для элементов x ? X и f ? X
положим
x := ?(x) : f > f (x).
Несомненно, что ?(x) ? (X )# = L (X , F). Помимо этого,

= ?(x) = sup {|?(x)(f )| : ? 1} =
x f X
5.2. Равномерность и топология 79

= sup{|f (x)| : |f (x)| ? x (x ? X)} =
X


= sup{|f (x)| : f ? |?|( · =x X.
X )}

Последнее равенство следует, например, из теоремы 3.6.5 и лем-
мы 3.7.9. Таким образом, ?(x) ? X для каждого x ? X. Понятно,
что оператор ? : X > X , действующий по правилу ? : x > ?(x),
является линейным и ограниченным, при этом ? — мономорфизм и
?x = x для всех x ? X. Оператор ? называют каноническим
вложением X во второе сопряженное пространство или, более об-
разно, двойным штрихованием. Более того, как правило, элементы
x и x := ?x не различают, т. е. X рассматривают как подпростран-
ство X . Нормированное пространство X называют рефлексивным,
если X совпадает с X (при указанном вложении). Рефлексивные
пространства обладают многими достоинствами. Очевидно, одна-
ко, что не все пространства рефлексивны. Так, к сожалению, не
рефлексивно пространство C([0, 1], F).

5.1.11. Замечание. Построения, проведенные в 5.1.10 (8), по-
казывают известную симметрию (или «двойственность») между X
и X . В этой связи для обозначения действия элемента x ? X на
элемент f ? X (или действия f на x) используют запись (x, f ) :=
x | f := f (x). Для достижения наибольшего единообразия элементы
X обозначают символами типа x , т. е. x | x = (x, x ) = x (x).

5.2. Равномерность и топология
мультинормированного пространства
5.2.1. Пусть (X, p) — полунормированное пространство. Возь-
мем x1 , x2 ? X и положим dp (x1 , x2 ) := p(x1 ? x2 ). Тогда
(1) dp (X 2 ) ? R+ , {d ? 0} ? IX ;
(2) {dp ? t} = {dp ? t}?1 , {dp ? t} = t{dp ? 1}
(t ? R+ \ 0);
(3) {dp ? t1 } ? {dp ? t2 } ? {dp ? t1 + t2 } (t1 , t2 ? R+ );
(4) {dp ? t1 } ? {dp ? t2 } ? {dp ? t1 ? t2 } (t1 , t2 ? R+ );
(5) p — норма ? dp — метрика.
5.2.2. Определение. Фильтр Up := ?l {{dp ? t} : t ? R+ \ 0}
называют равномерностью пространства (X, p).
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
80

5.2.3. Пусть Up — равномерность полунормированного прост-
ранства. Тогда
(1) Up ? ?l {IX };
(2) U ? Up ? U ?1 ? Up ;
(3) (? U ? Up ) (? V ? Up ) V ? V ? U .
5.2.4. Определение. Пусть (X, M) — мультинормированное
пространство. Фильтр U := sup{Up : p ? M} называют равномер-
ностью пространства X (используют также обозначения UM , UX
и т. п.). (Это определение корректно в силу 5.2.3 (1) и 1.3.13.)
5.2.5. Пусть (X, M) — мультинормированное пространство и
U — соответствующая равномерность. Тогда
(1) U ? ?l {IX };
(2) U ? U ? U ?1 ? U ;
(3) (? U ? U ) (? V ? U ) V ? V ? U .
Проверим (3). Если U ? U , то по 1.2.18 и 1.3.8 найдутся
полунормы p1 , . . . , pn ? M такие, что U = U{p1 ,...,pn } = Up1 ?. . .?Upn .
Привлекая 1.3.13, подыщем множества Uk ? Upk из условия U ?
U1 ? . . . ? Un . Используя 5.2.3 (3), выберем Vk ? Upk , для которых
Vk ? Vk ? Uk . Ясно, что

(V1 ? . . . ? Vn ) ? (V1 ? . . . ? Vn ) ? V1 ? V1 ? . . . ? Vn ? Vn ?

? U1 ? . . . ? Un .

Помимо этого, V1 ? . . . ? Vn ? Up1 ? . . . ? Upn ? U .
5.2.6. Мультинорма M в X хаусдорфова в том и только в том
случае, если равномерность UM тоже хаусдорфова, т. е. ?{V : V ?
UM } = IX .
?: Пусть (x, y) ? IX , т. е. x = y. Тогда для некоторой
полунормы p ? M будет p(x?y) > 0. Значит, (x, y) ? {dp ? 1/2 p(x?
y)}. Но последнее множество входит в Up , а потому и в UM . Итак,
X 2 \IX ? X 2 \?{V : V ? UM }. Помимо этого, IX ? ?{V : V ? UM }.

<< Пред. стр.

стр. 9
(общее количество: 40)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>