<< Пред. стр.

стр. 4
(общее количество: 28)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


Цк – предполагаемая цена покупки облигации;
Цп – цена продажи или погашения облигации;
КВ – совокупные купонные выплаты за время владения облигацией;
Д – заданная доходность операции;
t – время владения облигацией.

Однако в этой формуле отсутствует комиссия. Как быть? Начальник
фондового отдела написал следующее уравнение, обозначив за X цену покупки:

1 000.00
X * 1.005 = -------------------------------------------------------
(1 + (18% * 182 дня) / (100% * 365 дней))

которое после подсчёта правой части приняло следующий вид:

X * 1.005 = 917.64

Откуда:

X = 917.64 / 1.005 = 913.08 р.

Ответ: ГКО надо приобрести по цене не большей, чем 913.08 р.
Небольшое пояснение. Выражение X * 1.005 означает цену покупки
плюс комиссию из расчёта на 1 облигацию (действительно, прибавить к
некоторой величине 0.5% это всё равно, что умножить эту величину на 1.005).
Итак, чтобы вложиться под 18% годовых, надо купить облигацию по цене
913.08 р. Давайте сделаем проверку, подставив найденное значение в формулу
{11.1}, предварительно определив прибыль, которая равна 82.36 р. (1 000.00 –
917.64):



27
82.36 р. * 365 дней
Д = --------------------------- * 100% = 18,00% годовых.
917.64 р. * 182 дня

Для любителей математики сообщу, что формула {11.3} выводится из
формулы {11.1} по следующему алгоритму. Рассмотрим частный случай, когда
мы имеем дело с облигацией. Прибыль по такой операции из расчёта на одну
облигацию равна:

П = Цп + КВ – Цк {11.4}
Затраты равны цене покупки облигации:

З = Цк {11.5}
Подставим в формулу {11.1} правые части равенств {11.4} и {11.5}
вместо переменных П и З соответственно. Получим следующее соотношение:

Цп + КВ – Цк 365 дней * 100 %
Д = -------------------- * --------------------------
Цк t

в скобках – неизвестный множитель. Как его найти? Разделить Д на
другой множитель. Кроме того, внутри скобок Цк сокращается. Таким образом
получаем:

Д*t Цп + КВ
------------------------ = ------------- – 1
365 дней * 100 % Цк
откуда:

Цп + КВ Д*t
--------------- = 1 + ------------------------
Цк 365 дней * 100%
и, наконец, преобразуя последнее выражение, получаем формулу {11.3}:

Цп + КВ
Цк = --------------------------------------------
(1 + (Д * t) / (100% * 365 дней))
Хочется отметить, что человек любящий и знающий математику всегда
сможет выпутаться из затруднительной ситуации, возникающей при
необходимости вывести новую формулу на основе уже существующей.




28
Определение цены продажи на основании
Задача 11.2.4
заданной доходности

Дано: Инвестор держит пакет обыкновенных акций НК «ЛУКойл»,
купленных 75 дней назад по средней цене 500.00 р. По какой цене ему надо
продать свои ценные бумаги сегодня, чтобы выйти на уровень доходности не
менее 20% годовых? Комиссия при покупке и продаже – 0.3% от суммы сделки.

Решение: Модифицируем формулу {11.1}. Пусть затраты инвестора
при совершении этой операции из расчёта на одну акцию составят:

З = Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003 {11.6}

Выручка от продажи акций равна Цп. Тогда прибыль равна:

П = Цп – (Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003) {11.7}
Подставим в формулу {11.1} правые части равенств {11.6} и {11.7}
вместо переменных З и П соответственно. Получим следующее соотношение:

(Цп – (Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003)) * 365 дней
Д = ---------------------------------------------------------------- * 100%
(Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003) * t
перепишем его как:

(Цп – (Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003)) 365 дней * 100%
Д = ------------------------------------------------ * -----------------------
(Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003) t
преобразуя это соотношение по аналогии с предыдущим примером,
получаем:

Д*t Цп
------------------------ = -------------------------------- – 1
365 дней * 100 % Цк * 1.003 + Цп * 0.003

теперь наша задача состоит в том, чтобы как-то выразить Цп через
другие, уже известные величины. Для этого перебрасываем единицу в левую
часть равенства:

Д*t Цп
------------------------ + 1 = --------------------------------
365 дней * 100 % Цк * 1.003 + Цп * 0.003




29
365 дней * 100%
и представляем её в виде выражения ------------------------, после чего
365 дней * 100%
имеем:


Д * t + 365 дней * 100 % Цп
------------------------------------ = --------------------------------
365 дней * 100 % Цк * 1.003 + Цп * 0.003

затем одновременно переворачиваем дроби в обеих частях равенства:

365 дней * 100 % Цк * 1.003 + Цп * 0.003
------------------------------------ = --------------------------------
Д * t + 365 дней * 100 % Цп

далее, выполняя несложные преобразования, получаем:

365 дней * 100 % Цк * 1.003
------------------------------------ = --------------- + 0.003
Д * t + 365 дней * 100 % Цп

откуда:

Цк * 1.003
Цп = ------------------------------------------------
365 дней * 100%
-------------------------------- – 0.003
Д * t + 365 дней * 100%

в завершение всего подставляем в полученное уравнение данные из
задачи: Д = 20% годовых, Цк = 500.00 р., t = 75 дней и получаем:

500.00 * 1.003
Цп = ----------------------------------------------------------- = 523.76 р.
365 дней * 100%
--------------------------------------------- – 0.003
20% * 75 дней + 365 дней * 100%


Ответ: Чтобы выйти на уровень не менее 20% годовых за 75 дней при
комиссии 0.3%, инвестор должен продать акции сегодня по цене не ниже чем
523.76 р. за акцию.

Сделаем проверку, подставив полученный результат в формулу
определения доходности {11.1}:


30
(523.76 – (500.00 + 500.00 * 0.003 + 523.76 * 0.003)) * 365 дней
Д = ------------------------------------------------------------------------------------- * 100%
(500.00 + 500.00 * 0.003 + 523.76 * 0.003) * 75 дней

откуда:

Д = 20% годовых.

На основании материала этой задачи запишем формулу, с помощью
которой можно было бы определять цену продажи ценной бумаги, исходя из
цены покупки, заданного уровня доходности, размера комиссии и времени
проведения операции. Это нам будет сделать несложно, так как такая формула
уже была выведена в процессе решения задачи.

Цк * (1 + к / 100%)
Цп = --------------------------------------------------, где {11.8}
365 дней * 100% к
-------------------------------- – ---------
Д * t + 365 дней * 100% 100%


Цп – цена продажи;
Цк – цена покупки;
к – комиссия в процентах от суммы сделок;
Д – заданная доходность операции в процентах годовых;
t – время проведения операции в днях.

Говоря о доходности, нельзя забывать о её сестре – убыточности.

Задача 11.2.5 Определение убыточности операции по купле-
продаже ценных бумаг с учётом комиссии

Дано: Инвестор приобрёл 300 акций РАО «ЕЭС России» по цене 6.05 р.
и 200 – по 6.10 р., а через 20 дней продал их по 5.98 р. Комиссия при покупке и
продаже составила 0.2% от суммы сделки.
Определить: Убыточность операции в процентах годовых.

Решение: Определяем затраты инвестора на покупку акций:
6.05 * 300 + 6.10 * 200 = 3 035.00 р.

и на комиссию:

6.05 * 300 * 0.2% + 6.10 * 200 * 0.2% + 5.98 * 500 * 0.2% = 12.05 р.

итого затраты равны:

3 035.00 + 12.05 = 3 047.05 р.


31
Определяем выручку от продажи акций:

5.98 * 500 = 2 990.00 р.

а также убыток от всей операции:

3 047.05 – 2 990.00 = 57.05 р.

и подставляем найденные значения в формулу убыточности, взятую из
параграфа 4.4 главы 4 Части I настоящего пособия:

У * 365 дней
Уб = -------------------- * 100%, где {11.9}
З*t

Уб – убыточность в % годовых;
У – убыток от операции с ценной бумагой;
З – затраты на покупку;
t – время владения ценной бумагой.
57.05 * 365 дней
Уб = --------------------------- * 100% = 34.17% годовых.
3 047.05 * 20 дней

Ответ: Убыточность операции равна 34.17% годовых.

Задача 11.2.6 Определение доходности операций с ОФЗ-ПД и
ОФЗ-ФД

При торговле облигациями по классической схеме купонные выплаты
получает тот инвестор, который владеет облигацией в момент купонных
выплат. Поясню сказанное на примере. Пусть 1 февраля 2002 г. инвестор
приобрёл за 924.32 р. среднесрочную купонную облигацию номиналом
1 000.00 р., с датой погашения 1 февраля 2004 г., и четырьмя купонными
выплатами в размере 5% от номинала, приходящимися на следующие даты: 1
августа 2002 г., 1 февраля 2003 г., 1 августа 2003 г. и 1 февраля 2004 г. Это
означает, в частности, следующее. Чтобы получить первый купонный процент,
инвестор должен продержать у себя облигацию по крайней мере до 1 августа
2002 г. – даты первой купонной выплаты. Если он продаст ценную бумагу до
этого срока, то лишится купонного процента. Такая схема была широко
распространена на заре становления рынка ценных бумаг, когда облигации
выпускались в документарной форме. Однако в связи с полномасштабным
развитием вторичного рынка облигаций такая схема оказалась не совсем
приемлемой, так как цена на бумагу сильно падала после очередной купонной
выплаты, что создавало некоторые неудобства для финансистов, потому что
вместе с ценой падала и оценка портфелей бумаг, включавших в себя такие
облигации. Необходимо было сделать курс облигаций на вторичном рынке
более эластичным, мягким. Поэтому в 1983 г. в США была предложена новая



32
схема организации торговли средне- и долгосрочными купонными
облигациями, которая оказалась весьма успешной и была впоследствии принята
и в других странах.
Суть её заключается в следующем. Считается, что инвестор получает
купонный процент не в день выплат по купону, а каждый день. Тогда, продавая
ценную бумагу до срока купонных выплат, он должен каким-то образом
получить купонный доход за время владения ценной бумагой. Поясню
сказанное на нашем примере. Пусть инвестор купил 1 февраля 2002 г.
облигацию, а продал её 1 июня того же года. Срок владения, таким образом,
составил 120 дней. Всего между 1 февраля 2002 г. и 1 августа 2002 г. 181 день.
За каждый день инвестор получит: 5% / 181 = 0.0276% от номинала, что
составит 0.2762 р. Следовательно, за 120 дней он получит:
0.2762 р. * 120 = 33.15 р. Эту сумму финансисты назвали накопленным
купонным доходом (accrued interest). Как инвестор может получить свой
накопленный купонный доход? Решили, что эту сумму ему должен выплатить
новый покупатель облигации. Поясню сказанное на примере.
Пусть наш инвестор продал 1 июня облигацию по цене 980.00 р. Эту
цену я называю формальной ценой сделки или ценой сделки без учёта
накопленного купонного дохода. От нового покупателя наш инвестор получит не
только стоимость самой облигации, но и накопленный купонный доход, то есть
ещё 33.15 р. Сумма, вырученная от продажи облигации, будет, таким образом,
равна: 980.00 р. + 33.15 р. = 1 013.15 р. Эту величину я называю реальной ценой
сделки или ценой сделки с учётом накопленного купонного дохода. Следует
помнить, что:

NB. На биржевом табло и в таблицах котировок указывается
формальная цена сделки, а при расчётах между покупателем и продавцом
клиринговая палата оперирует реальной ценой.

А что же новый покупатель? Он затратил на покупку 1 013.15 р. Если он
продаёт облигацию также по 980.00 р., но уже по прошествии полутора месяцев
– 15 июля, то от следующего покупателя он получит 980.00 р. плюс
накопленный купонный доход не за 44 дня (интервал между 15 июля и 1 июня),
а за 164 дня (время, прошедшее между началом первого купонного периода – 1
февраля, и датой совершения сделки – 15 июля)! Эта величина составит 45.30 р.
Следовательно, прибыль инвестора будет равна: 1 025.30 – 1 013.15 = 12.15 р.
Представим себе, что третий владелец додержал облигацию до даты
первой купонной выплаты. Тогда 1 августа 2002 г. он получит от эмитента
полную сумму купона, равную накопленному купонному доходу за 181 день –
50.00 р. Как мы видим, справедливость восторжествовала. После погашения
первого купона начинается новый купонный период, который продлиться 184
дня и окончиться 1 февраля 2003 г. При погашении облигации по такой схеме,
эмитент выплачивает последним держателям номинал плюс сумму последнего
купона.
По описанному здесь алгоритму ведётся торговля государственными и
корпоративными купонными облигациями в США. У нас в России такой
порядок принят для операций с ОФЗ-ПК, ОФЗ-ПД и ОФЗ-ФД. И если с ОФЗ-ПД
и ОФЗ-ПК мы уже знакомы, то с ОФЗ-ФД ещё нет. ОФЗ-ФД – это облигации
федерального займа с фиксированным доходом, которые стали выпускаться с
декабря 1998 г. сроком на 4 и 5 лет (впоследствии эти сроки были увеличены).


33
ОФЗ-ФД является среднесрочной купонной облигацией с номиналом в 10.00 р.
Купонный доход по ОФЗ-ПД заранее объявляется, начисляется раз в год и
является постоянным за всё время обращения облигации, например 2% (откуда
и пошло название этой бумаги). Купонный доход же по ОФЗ-ФД также заранее
объявляется, начисляется четыре раза в год, и является фиксированным, но не
постоянным. Например, в первый квартал – 7.5%, во второй – 6.25%, в третий –
3.75% и так далее. Рассмотрим следующую задачу:

Дано: 4 марта 2002 г. инвестор приобрёл на вторичных торгах пакет
ОФЗ-ФД по цене 97.80% от номинала, а 15 апреля 2002 г. продал его по цене
98.25% от номинала. Даты выплаты и размеры купонов: 19 декабря 2001 г. –
15%, 20 марта 2002 г. – 10%, 19 июня 2002 г. – 10%. Комиссия составила 0.05%
от сумм сделок.
Определить: доходность операции в процентах годовых.

Решение: Ход решения мы разобьём на ряд этапов:

Этап 1. Сначала определим реальную цену покупки пакета ОФЗ-ФД,
которая состоит из формальной цены покупки плюс накопленный купонный
доход за период с 19 декабря 2001 г. по 4 марта 2002 г. Накопленный купонный
доход считается по следующей формуле:

К
НКД = ------ * (T – t), где {11.10}
T

НКД – накопленный купонный доход;
К – величина ближайшей купонной выплаты;
T – длительность текущего купонного периода;
t – количество дней до даты ближайшей купонной выплаты.
Найдём длительность текущего купонного периода. Она равна
временному интервалу между 19 декабря 2001 г. и 20 марта 2002 г. – 91 дню.
Теперь определим количество дней до даты ближайшей купонной выплаты. Это
интервал между 4 марта 2002 г. и 20 марта 2002 г. – 16 дней. Подставляем эти
величины в формулу {11.10}. Вот что мы получаем:

10%
НКД = --------- * (91 – 16) = 8.24% от номинала
91

Реальная цена покупки пакета ОФЗ-ПД равна:
97.80% + 8.24% = 106.04%. Обратите внимание, что мы считаем цену в
процентах от номинала одной облигации, но для всего пакета. В данном случае
это допустимо.




34
Этап 2. Теперь определим реальную цену продажи. Она считается как
сумма формальной цены продажи и накопленного купонного дохода за период с
20 марта 2002 г. по 15 апреля 2002 г., который равен:

10%
НКД = --------- * (91 – 65) = 2.86% от номинала
91

Итого, цена реальная продажи равна: 98.25% + 2.86% = 101.11%.

Этап 3. Теперь определим комиссию. При покупке она равна:
106.04% * 0.05% / 100% = 0.053%. При продаже она равна:
101.11% * 0.05% / 100% = 0.051%. Обратите внимание, что комиссия берётся от
реальной цены сделок. В некоторых случаях, правда, от фактической. Но это
момент не принципиальный.

Этап 4. Подсчитаем выручку от этой операции. Она равна цене продажи
плюс купон, полученный инвестором 20 марта 2002 г. Выручка, таким образом,
равна: 101.11% + 10.00% = 111.11%.

Этап 5. Определим затраты от этой операции. Они равны цене покупки
плюс комиссия: 106.04% + 0.053% + 0.051% = 106.144%.

Этап 6. Определяем прибыль. Она равна разности выручки и затрат:
111.11% – 106.144% = 4.966%.

Этап 7. Определяем время проведения операции. Оно равно интервалу
между датой покупки пакета ОФЗ-ФД – 4 марта 2002 г. и датой его продажи –
15 апреля 2002 г. Этот интервал – 42 дня.

Этап 8. После чего подставляем найденные величины в формулу {11.1}:

<< Пред. стр.

стр. 4
(общее количество: 28)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>