<< Пред. стр.

стр. 5
(общее количество: 28)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

4.966% * 365 дней
Д = --------------------------- * 100% = 40.66% годовых
106.144% * 42 дня

Ответ: доходность операции равна 40.66% годовых.

Задача 11.2.7 Определение цены покупки ОФЗ-ПД или ОФЗ-ФД,
исходя из заданной доходности
На рынке государственных купонных облигаций России инвестор очень
часто сталкивается с задачей определения цены покупки ОФЗ-ПД и ОФЗ-ФД.

Определить: По какой цене 21.11.03 г. инвестор должен купить ОФЗ-
ПД с датой погашения и датой последней купонной выплаты 15.03.04 г.,
купонным процентом 10%, купонным периодом, равным 365 дням, комиссией
при покупке 0.1% от суммы сделки, если требуемый уровень доходности
должен быть не ниже 20% годовых?



35
Решение: Пусть формальная цена покупки равна X% от номинала.
Тогда реальная цена покупки с учётом накопленного купонного дохода составит
X% + НКД. Определим накопленный купонный доход:

10%
НКД = --------- * (365 – 115) = 6.85% от номинала
365

Реальная цена покупки составит, таким образом, X% + 6.85%. Обратите
внимание, уважаемый читатель, на важный, я бы даже сказал принципиальный
момент. Мы прибавляем накопленный купонный доход к цене покупки, так как
и цена покупки и накопленный купонный доход выражаются в процентах от
номинала облигации. В этом случае совершенно недопустимо реальную цену
покупки представить в форме выражения X% * 1.0685. Дело в том, повторюсь
ещё раз, 6.85% - это накопленный купонный доход, выраженный в процентах от
номинала облигации, а не от формальной цены покупки. Реальная цена покупки
с учётом комиссии равна: (X% + 6.85%) * 1.001. Время операции равно
интервалу между 22.11.03 г. и 15.03.04 г. – 115 дней. Подставляем эти величины
в формулу {11.3}:

110%
(X + 6.85%) * 1.001 = -------------------------------------------------------
(1 + (20% * 115 дней) / (100% * 365 дней))

откуда X равен 95.526% от номинала.

Ответ: Формальная цена покупки ОФЗ-ПД должна быть не более чем
95.526% от номинала. С учётом накопленного купонного дохода реальная цена
сделки составит 95.526% + 6.85% = 103.376% от номинала.

Задача 11.2.8 Определение цены продажи пакета ОФЗ-ФД на
основании заданной доходности

Дано: 01.03.02 г. инвестор приобрёл пакет ОФЗ-ФД по средней цене
90% от номинала без учёта накопленного купонного дохода.
Определить: По какой цене ему надо продать свои ценные бумаги
21.03.02 г. чтобы выйти на уровень доходности не ниже 35% годовых, если дата
ближайших купонных выплат – 10.04.02 г., продолжительность текущего
купонного периода – 91 день, ставка купонного процента равна 15% годовых, а
комиссия равна 0.7% от суммы сделки?

Решение: Эта непростая на первый взгляд задача решается на
удивление легко, если мы вспомним про ранее выведенную формулу {11.8}. Но
перед тем, как ей воспользоваться, определим необходимые величины.
Итак, если продолжительность купонного периода равна 91 дню, то
значит, купон выплачивается ежеквартально в размере 15% / 4 = 3.75%.
Определим накопленный купонный доход для момента покупки:



36
3.75%
НКД = ----------- * (91 – 40) = 2.102% от номинала
91

Значит реальная цена покупки равна 90% + 2.102% = 92.102%.
Определим накопленный купонный доход для момента продажи:

3.75%
НКД = ----------- * (91 – 20) = 2.926% от номинала
91

Найденные величины подставляем в формулу {11.8}:

92.102% * (1 + 0.7% / 100%)
Цп + 2.926% = ---------------------------------------------------------------
365 дней * 100% 0.7%
---------------------------------------------- – ---------
35% * 20 дней + 365 дней * 100% 100%

Откуда получаем, что инвестору надо продать пакет ОФЗ-ФД по цене не
менее 92.277% от номинала.

Ответ: Формальная цена продажи должна быть не менее 92.277% от
номинала.

В этой задаче инвестор продал ОФЗ-ФД до наступления даты погашения
купона. А что если он сделает это после? Рассмотрим следующую задачу.

Задача 11.2.9 Определение цены продажи пакета ОФЗ-ФД на
основании заданной доходности после получения купонного дохода

Дано: 01.04.02 г. инвестор приобрёл пакет ОФЗ-ФД по средней цене
95% от номинала без учёта накопленного купонного дохода.
Определить: По какой цене ему надо продать свои ценные бумаги
17.04.02 г. чтобы выйти на уровень доходности не менее 18% годовых, если
дата ближайших купонных выплат – 10.04.02 г., продолжительность текущего
купонного периода – 91 день, ставка купонного процента равна 16% годовых, а
комиссия равна 0.3% от суммы сделки?

Попытка решить эту задачу, что называется, «в лоб», при помощи
формулы {11.8} приводит к неверному результату. Почему? При решении
задачи 11.2.9 у нас появляется купонный процент, полученный 10.04.02 г. и
неясно, как его вставить в формулу {11.8}. Значит, для такого случая надо
вывести какую-то особенную формулу. Давайте попытаемся это сделать.
Возьмём в качестве образца наши рассуждения в задаче 11.2.4.
Модифицируем формулу {11.1}. Пусть затраты инвестора при
совершении этой операции из расчёта на одну акцию составят:

З = Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003 {11.11}


37
Выручка от продажи акций равна Цп. Тогда прибыль равна:

П = Цп + КВ – (Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003) {11.12}
Подставим в формулу {11.1} правые части равенств {11.11} и {11.12}
вместо переменных З и П соответственно. Имеем следующее соотношение:

(Цп + КВ – (Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003)) * 365 дней
Д = ------------------------------------------------------------------------ * 100%
(Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003) * t
перепишем его как:

(Цп + КВ – (Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003)) 365 дней * 100%
Д = -------------------------------------------------------- * -----------------------
(Цк + Цк * 0.003 + Цп * 0.003) t
преобразуя которое по аналогии с примером из задачи 11.2.4, получаем:

Д*t Цп + КВ
------------------------ = -------------------------------- – 1
365 дней * 100 % Цк * 1.003 + Цп * 0.003
теперь наша задача состоит в том, чтобы как-то выразить Цп через
другие, уже известные величины. Однако нам мешают купонные выплаты – КВ.
Из за этого компонента мы не можем провести дальнейшие преобразования.
Кстати говоря, вот ещё одна задача любителям математики. Попытайтесь,
исходя из последнего соотношения, получить уравнение для определения Цп.
Для того чтобы выйти из затруднительного положения, упростим задачу,
отбросив комиссионные. Тогда формула доходности {11.1} примет следующий
вид:

(Цп + КВ – Цк) * 365 дней
Д = ------------------------------------- * 100%
Цк * t
откуда:

Д * Цк * t
Цп = ------------------------- – КВ + Цк, где {11.13}
365 дней * 100%

Цп – цена продажи;
Д – доходность операции в процентах годовых;
Цк – цена покупки;
t – время операции в днях;

38
КВ – сумма купонных выплат.
Теперь подставим в эту формулу данные из задачи, предварительно
определив накопленный купонный доход при покупке облигации, который
равен 3.604%.

18% * 98.604% * 16 дней
Цп = ------------------------------------ – 4% + 98.604% = 95.382%
365 дней * 100%

Мы нашли реальную цену. Для того чтобы найти формальную цену
сделки, надо из реальной цены вычесть накопленный купонный доход:
95.382% – 0.3077% = 95.0743%.

Ответ: Формальная цена продажи должна быть не менее 95.0743% от
номинала.

Теперь произведём проверку, подставив цифры из задачи в формулу
определения доходности {11.1}:

0.778% * 365 дней
Д = --------------------------- * 100% = 18% годовых.
98.604% * 16 дней

***

Отдельно следует упомянуть о подсчёте доходности ОФЗ-ПК. Как мы
знаем, ОФЗ-ПК является облигацией с переменным купонным доходом,
выплачиваемым один раз в квартал. Купонный процент по ОФЗ-ПК на
следующий период объявляется за семь дней до конца текущего купонного
периода. Следовательно, инвестор имеет возможность просчитать доходность
операции, которая, по его предположению, окончится до завершения
следующего купонного периода. Однако дальше он уже «смотреть» не может, и
все его вычисления будут носить вероятностный характер. Доходность же ОФЗ-
ПК к погашению в момент покупки этой бумаги инвестор может подсчитать
только в случае, если наступающий купонный период будет последним.
Что же касается ОВВЗ – облигаций внутреннего валютного займа с
ежегодным начислением фиксированного купонного процента,
номинированных в долларах США, то подсчёт доходности по ним ничем не
отличается от приведённых выше алгоритмов для ОФЗ-ПД и ОФЗ-ФД, так как
при торговле ОВВЗ также применяется схема с накопленным купонным
доходом. Следует, правда, помнить, что поскольку ОВВЗ номинированы в
долларах США, доходность по этим облигациям будет отражать темп роста
долларовой массы на счёте инвестора.
При решении задачи 11.2.1 мы говорили, что использовать формулу
{11.1} для подсчёта доходности к погашению для облигаций со сроком
обращения более года некорректно, так как моменты покупки, получения
купонного процента и погашения оказываются сильно разнесёнными во
времени. Что делать? Давайте представим себе, как будет выглядеть таблица
затрат и доходов из расчёта на одну облигацию в случае, если инвестор


39
покупает двухлетнюю купонную облигацию из примера, приведённого в начале
задачи 11.2.6 (см. рис. 215):

Дата: Затраты (р.): Доходы (р.):
01.02.02 г. 924.32
01.08.02 г. 50.00
01.02.03 г. 50.00
01.08.03 г. 50.00
01.02.04 г. 1 050.00
924.32 1 200.00
Итого:

Рис. 215 Таблица затрат и доходов для двухлетней купонной облигации

Финансисты договорились меж собой о том, что для таких случаев (когда
срок обращения бумаги более года) доходность к погашению будет равна
банковской ставке в процентах годовых, начисленной по методу сложного
процента, при которой инвестор получает тот же доход на вложенные деньги,
что и при операции с облигацией. Поясню сказанное на конкретных цифрах.
Под какой сложный процент надо положить в банк 924.32 р., чтобы через
два года получить 1 050.00 р. (см. рис. 215)? Сложный процент отличается от
простого тем, что подразумевает реинвестирование средств после окончания
каждого года. Обозначим искомую ставку процента как q. Тогда после первого
года у инвестора будет 924.32 * (1 + q/100%). После второго уже 924.32 * (1 +
q/100%) * (1 + q/100%) или 924.32 * (1 + q/100%)2. Следовательно, запишем
первое равенство:

924.32 * (1 + q/100%)2 = 1 050.00, откуда:

1 050.00
924.32 = -------------------
(1 + q/100%)2

Продолжим наши рассуждения. Под какой сложный процент надо
положить в банк 924.32 р., чтобы через два года получить 1 050.00 р., а через
полтора года 50.00 р.? Запишем второе равенство:

50.00 1 050.00
924.32 = --------------------- + -------------------
(1 + q/100%)1.5 (1 + q/100%)2

Главное, уважаемый читатель, не бояться дробных степеней. Продолжая
наши рассуждения, запишем уравнение:

50.00 50.00 50.00 1 050.00
924.32 = --------------------- + ------------------- + --------------------- + -------------------
(1 + q/100%)0.5 (1 + q/100%)1 (1 + q/100%)1.5 (1 + q/100%)2

Решая это уравнение, находим сложный процент q, который равен 15%.
Следовательно, доходность к погашению будет равна 15% годовых. Надо
отметить, что решить это уравнение, что называется, напрямую, с помощью
ручки, листа бумаги и обычного калькулятора не представляется возможным,
однако оно легко решается на компьютере, с помощью специальных процедур,


40
встроенных в большинство финансовых и математических программ. Ещё один
способ заключается в том, что финансист некоторое количество раз подставляет
в уравнение произвольно выбранные значения q и определяет значения правой
части, уменьшая или увеличивая q в зависимости от того, какой результат он
получает в левой. В результате через несколько шагов цикла подобных
вычислений он находит значение доходности к погашению. Этот метод
достаточно трудоёмкий и к нему следует прибегать только в том случае, если
под рукой нет компьютера или специального финансового калькулятора.
Полезно также посмотреть на различие в величинах доходности к
погашению, рассчитанной по методу, связанному с начислением сложных
процентов и по методу, в основе которого лежит базовая формула доходности,
не подразумевающая реинвестирования доходов. По формуле {11.1} доходность
к погашению будет равна:

275.68 * 365 дней
Д = ------------------------- * 100% = 14.91%
924.32 * 730 дней

Согласитесь, что это несколько иной результат. Для определения
доходности к погашению ОФЗ-ПД и ОФЗ-ФД отечественные финансисты
пользуются следующим базовым уравнением:

Кi Н
n

? ---------------------------- {11.14}
Ц + НКД = + ----------------------------, где
ti/365 t/365
i=1
(1 + Дп/100%) (1 + Дп/100%)

Дп – доходность к погашению;
Н – номинал облигации;
Ц – формальная цена покупки облигации;
НКД – накопленный купонный доход;
Кi – размер i-того купона;
n – количество предстоящих купонных выплат;
ti – число дней до выплаты соответствующего купона;
t – срок до погашения облигации в днях.

Доходность, рассчитываемая с учётом возможности реинвестирования
денег, называется эффективной доходностью. Доходность к погашению для
ОФЗ-ПД и ОФЗ-ФД, рассчитанная на основании уравнения {11.14}, является
эффективной, так как в логике её вывода мы говорим о сложном проценте,
следовательно, имеем ввиду реинвестирование.
В США для расчёта эффективной доходности к погашению для билетов
и облигаций Казначейства также применяется соотношение {11.14}. В Главе 9
Части II настоящего пособия на рис. 184 помещён фрагмент таблицы котировок
американских средне- и долгосрочных бумаг, в последней колонке которой
находится эффективная доходность к погашению по цене предложения дилера.
Когда же финансисты по обыкновенной формуле доходности {11.1}
считают доходность к погашению для дисконтной бумаги сроком обращения
менее года, то они говорят об эквивалентной доходности (equivalent yield).


41
Помните, на страницах Главы 9 брокер БОБ, покупая ГКО, подсчитывал их
доходность к погашению? Так вот, это была эквивалентная доходность.
Для любителей математики сообщу, что эффективную доходность можно
подсчитать и для бумаги со сроком обращения менее года. Некоторые
специалисты пользуются следующей формулой:


Дэ = (Н / Ц)365/t – 1 * 100%, где {11.15}

Дэ – эффективная доходность к погашению краткосрочной бескупонной
облигации;
Н – номинал облигации;
Ц – цена покупки облигации;
t – количество дней до погашения.
Кроме того, знатоки финансовой математики сразу увидят, что
доходность к погашению, определяемая исходя из соотношения {11.14},
является ничем иным, как внутренней нормой доходности (internal rate of return
– IRR) потока платежей, связанных с покупкой и последующим погашением
купонной облигации.
Вы вправе задать следующий вопрос: «Разбирая операции с купонными
облигациями с уплатой накопленного купонного дохода и подсчитывая
доходность от таких операций, мы почему-то не разобрали такой показатель,
как убыточность. Почему»?
Дело в том, что при операциях с облигациями инвестор в 99.9% получает
прибыль, а не убыток. Соответственно, если мы выведем формулу для
определения убыточности, то она не будет иметь никакой практической
ценности. Кроме того, мы можем определить доходность к погашению, но не
убыточность к погашению, так как размещая облигацию, неважно какую,
купонную или бескупонную, эмитент закладывает в неё доход инвестора, но
никак не убыток. Если же вас, уважаемый читатель, заинтересовала такая тема,
как убыточность операций с облигациями, торговля которыми происходит с
начислением накопленного купонного дохода, то вы сами легко можете вывести
формулу убыточности.
После всего вышесказанного, нам не составит труда прокомментировать
таблицу котировок государственных облигаций России, публикуемую в газете
«Коммерсантъ». Откроем номер от 29 марта 2002 г. и посмотрим на рис. 216:

Итоги торгов государственными облигациями 28.03.02
YTM
Объём
Изм.
Посл.
Макс.
Мин.
Предл.
Погашение Спрос
Серия Погашение Купон
(%
(млн.
(% от
(% от
(% от
(% от
(% от
Купона (% от
(% от
год.)
руб.)
ном.)
ном.)
ном.)
ном.)
ном.)
ном.)
ном.)
21155 03.04.02 — — 99.80 — 99.80 99.80 99.80 — 9.98 12.25
21156 17.07.02 — — — 96.16 — — — — — —
21157 07.08.02 — — 94.18 95.15 95.20 95.20 95.20 +0.20 0.01 13.94
21158 21.08.02 — — 94.05 94.25 94.15 94.30 94.25 -0.05 0.43 15.52
21159 06.11.02 — — 91.35 91.50 91.35 91.75 91.35 +0.05 8.01 15.50
25053 21.11.05 — 21.11.05 57.01 59.62 — — — — — —
26002 15.03.04 10 15.03.02 — 90.00 — — — — — —
26003 15.03.05 10 15.03.02 82.72 83.10 82.90 83.00 83.00 — 4.06 17.86
27002 22.05.02 15 22.05.02 99.99 100.50 99.96 100.00 99.99 +0.04 36.39 15.47
27003 05.06.02 15 05.06.02 100.00 100.10 99.94 100.00 100.00 +0.04 25.38 15.61
27004 18.09.02 15 20.03.02 100.12 100.15 100.00 100.24 100.06 +0.03 3.61 15.62
27005 09.10.02 15 10.04.02 98.87 99.00 98.78 98.82 98.82 -0.28 13.76 15.80



<< Пред. стр.

стр. 5
(общее количество: 28)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>