<< Пред. стр.

стр. 10
(общее количество: 45)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


Ответ:
1. 7000 баррелей;



70
2. $175 000.

Не составит особого труда подсчитать также:

1. сколько денег на счёте будет у торговца «Q» после проведения этой
операции?
2. сколько денег на счёте будет у торговца «R» после проведения этой
операции?

Пусть у торговца «Q» перед началом операции на счёте было $10
000. Он заплатит премию в размере:

$1.25 * 7 * 1000 = $8 750

При поставке же получит $175 000. Итого на счёте у него будет:

$10 000 – $8 750 + $175 000 = $176 250

Пусть у торговца «R» перед началом операции на счёте было $1
000 000. Он получит в качестве премии $8 750, а при поставке заплатит $175 000
за купленную нефть. Итого на счёте у него будет:

$1 000 000 + $8 750 - $175 000 = $833 750

В последних двух примерах мы исходили из предположения, что
торговцы «Q» и «R» в период между заключением сделки и расчётами по
поставке не совершали никаких других операций.
В следующей задаче мы находим результат операций продавца
непокрытого опциона «колл». Базовые неравенства приведены в конце
параграфа 8.1.

Задача 8.3

Дано: 1 апреля 2002 г. торговец «S» купил у торговца «T» пакет из 40
европейских опционов «колл» на нефть по цене $1.3 за баррель. Дата поставки
21 июля 2002 г. Страйк-цена - $25 за баррель. В одном опционном контракте –
1000 баррелей нефти. На момент заключения сделки торговец «T» нефти на
биржевом складе не имел.

Определить: результат операции торговца «T» - продавца непокрытого
опциона, в случае, если к дате исполнения цена базового актива составит:
1. $24;
2. $25;
3. $26;
4. $27.

Решение: Если к дате исполнения нефть «спот» будет стоить $24, то
торговцу «S» нет смысла реализовывать опцион: торговец «S» купит нефть на
наличном рынке по $24. В этом случае результатом операции торговца «T»
будет прибыль, полученная за счёт премии в размере:


71
$1.3 * 40 * 1000 = $52 000

Если к дате исполнения нефть «спот» будет стоить $25, то торговцу «S»
будет всё равно: реализовывать опцион или покупать нефть на рынке «спот».
Если торговец «S» купит нефть на рынке «спот», то результатом операции
торговца «T», как и в предыдущем случае, будет прибыль в размере:

$1.3 * 40 * 1000 = $52 000

Если торговец «S» по каким-либо причинам захочет реализовать своё
право купить, то тогда торговец «T» вынужден будет закупить на рынке «спот»
нефть по $25 за баррель, потратив на это:

$25 * 40 * 1000 = $1 000 000

А затем он продаст эту нефть торговцу «S» также по $25 за баррель,
выручив:

$25 * 40 * 1000 = $1 000 000

Как вы видите, общий итог двух последних транзакций – нулевой. Но у
торговца «S» остаётся премия в размере $52 000. Это итог операции.
Если к дате исполнения нефть «спот» будет стоить $26, то торговец «S»
реализует своё право купить нефть по $25. Торговец «T» вынужден будет
купить нефть на рынке «спот», затратив при этом:

$26 * 40 * 1000 = $1 040 000

А затем он продаст эту нефть торговцу «S», но уже по $25 за баррель,
выручив:

$25 * 40 * 1000 = $1 000 000

Потери торговца «T» составят, таким образом:

$1 040 000 - $1 000 000 = $40 000.

Но он получил премию в размере $52 000. Следовательно, прибыль
составит:

$52 000 - $40 000 = $12 000

А теперь рассмотрим последний случай. Если к дате исполнения нефть
«спот» будет стоить $27, то торговец «S» реализует своё право купить нефть по
$25. Торговец «T» вынужден будет купить нефть на рынке «спот», затратив при
этом:

$27 * 40 * 1000 = $1 080 000



72
А затем он продаст эту нефть торговцу «S», но уже по $25 за баррель,
выручив:

$25 * 40 * 1000 = $1 000 000

Потери торговца «T» составят, таким образом:

$1 080 000 - $1 000 000 = $80 000.

Премия в размере $52 000 не компенсирует эти потери. Следовательно, в
этом случае убыток составит:

$80 000 - $52 000 = $28 000

Ответ:
1. прибыль = $52 000;
2. прибыль = $52 000;
3. прибыль = $12 000;
4. убыток = $28 000.

Для тех читателей, которых заинтересовала формула Блэка – Шоулза, я
объясню, как с её помощью подсчитать теоретическую стоимость европейского
опциона «колл». Вообще говоря, иногда бывает полезным поупражняться в
разного рода вычислениях – после этого лучше понимаешь предмет.
Практически каждый шахматист знает такой дебют как королевский
гамбит, бывший популярным в XVIII – XIX вв. Современная шахматная теория
признаёт большинство вариантов этого гамбита некорректными, так как белые
получают в них худшую позицию. Однако практически все тренеры
единодушно рекомендуют молодым шахматистам играть этот дебют, так как он
способствует развитию комбинационного мышления.
Так вот, уважаемый читатель, формула Блэка - Шоулза – это своего рода
королевский гамбит для начинающих финансистов, способствующий более
углублённому пониманию процесса ценообразования при торговле опционами.

Задача 8.4

Дано: срок до наступления даты поставки опциона – 3 месяца (T = ? года
или 0,25). Страйк-цена - $30 (E = 30). Текущая цена базового актива - $28 (Ps =
28). Риск – 60% (? = 0,6). Ставка без риска – 7% (R = 0,07).

Определить: Vc - теоретическую стоимость европейского опциона
«колл» по формуле Блэка – Шоулза.

Решение: Сначала подсчитаем промежуточные величины d1 и d2 по
формулам {8.3} и {8.5}:

ln(28/30) + (0,07 + 0,5 * 0,62) * 0,25
d1 = ----------------------------------------------- = -0,021633…
0,6 * v0,25
d2 = -0,021633 – 0,6 v0,25 = -0,321633…



73
После чего подсчитаем значения N(d1) и N(d2), воспользовавшись
таблицей N(d) (см. рис. 99), которую можно взять в любом справочнике по
статистике (напомню, что N(d1) и N(d2) обозначают вероятности того, что при
нормальном распределении со средней, равной 0, и стандартным отклонением,
равным 1, результат будет соответственно меньше d1 и d2).

d N(d) d N(d) d N(d) d N(d) d N(d)
-3,00 0,0013 -1,80 0,0359 -0,60 0,2743 0,60 0,7257 1,80 0,9641
-2,95 0,0016 -1,75 0,0401 -0,55 0,2912 0,65 0,7422 1,85 0,9678
-2,90 0,0019 -1,70 0,0446 -0,50 0,3085 0,70 0,7580 1,90 0,9713
-2,85 0,0022 -1,65 0,0495 -0,45 0,3264 0,75 0,7734 1,95 0,9744
-2,80 0,0026 -1,60 0,0548 -0,40 0,3446 0,80 0,7881 2,00 0,9773
-2,75 0,0030 -1,55 0,0606 -0,35 0,3632 0,85 0,8023 2,05 0,9798
-2,70 0,0035 -1,50 0,0668 -0,30 0,3821 0,90 0,8159 2,10 0,9821
-2,65 0,0040 -1,45 0,0735 -0,25 0,4013 0,95 0,8289 2,15 0,9842
-2,60 0,0047 -1,40 0,0808 -0,20 0,4207 1,00 0,8413 2,20 0,9861
-2,55 0,0054 -1,35 0,0885 -0,15 0,4404 1,05 0,8531 2,25 0,9878
-2,50 0,0062 -1,30 0,0968 -0,10 0,4602 1,10 0,8643 2,30 0,9893
-2,45 0,0071 -1,25 0,1057 -0,05 0,4801 1,15 0,8749 2,35 0,9906
-2,40 0,0082 -1,20 0,1151 0,00 0,5000 1,20 0,8849 2,40 0,9918
-2,35 0,0094 -1,15 0,1251 0,05 0,5199 1,25 0,8944 2,45 0,9929
-2,30 0,0107 -1,10 0,1357 0,10 0,5398 1,30 0,9032 2,50 0,9938
-2,25 0,0122 -1,05 0,1469 0,15 0,5596 1,35 0,9115 2,55 0,9946
-2,20 0,0139 -1,00 0,1587 0,20 0,5793 1,40 0,9192 2,60 0,9953
-2,15 0,0158 -0,95 0,1711 0,25 0,5987 1,45 0,9265 2,65 0,9960
-2,10 0,0179 -0,90 0,1841 0,30 0,6179 1,50 0,9332 2,70 0,9965
-2,05 0,0202 -0,85 0,1977 0,35 0,6368 1,55 0,9394 2,75 0,9970
-2,00 0,0228 -0,80 0,2119 0,40 0,6554 1,60 0,9452 2,80 0,9974
-1,95 0,0256 -0,75 0,2266 0,45 0,6736 1,65 0,9505 2,85 0,9978
-1,90 0,0287 -0,70 0,2420 0,50 0,6915 1,70 0,9554 2,90 0,9981
-1,85 0,0322 -0,65 0,2578 0,55 0,7088 1,75 0,9599 2,95 0,9984

Рис. 99 Таблица значений d и N(d)

N(d1) = N(-0,021633) = 0,4913 (прибл.);
N(d2) = (-0,321633) = 0,3739 (прибл.).

И, наконец, воспользовавшись формулой {8.2}, подсчитаем
окончательный результат:

$30

Vc = 0,4913 * $28 – ------------ * 0,3739 = $2.73
e0,07 * 0,25

Ответ: $2.73.

Более подробно сама формула и процесс её вывода описан у У. Ф.
Шарпа, Г. Дж. Александера и Д. В. Бэйли в учебнике «Инвестиции» (М,


74
ИНФРА-М: 1997). Там же можно найти описание биномиальной модели для
определения цены опционов, а также прочитать про оценку стоимости опционов
«пут».
У читателя может возникнуть вопрос: «А как подсчитать величину ? и в
чём её смысл»? Для начала надо взять из финансовой прессы или компьютерной
базы данных совокупность рыночных цен базового актива за год, которая будет
состоять из цен закрытия торговой сессии (см. рис. 100):

Дата: Цена
03.01.01 $26.20
04.01.01 $26.30
.
.
.
28.12.01 $28

Рис. 100 Таблица цен базового актива (сокращённая форма)

Затем нужно для каждого дня подсчитать изменение цены в процентах по
сравнению с предыдущим днём. Например, для 4 января 2001 г. это изменение
будет равно:

$26.30 / $26.20 = +0,381%

Таким образом, мы получим 365 значений, из которых берём
среднеарифметическую, после чего считаем дисперсию по формуле:

n
? (И - И
?2 = (1 / (n – 1)) * 2
ср) , где {8.9}
t
t=1

?2 – дисперсия;
n – количество дней в году;
t – переменная, принимающая значения от 1 до 365;
Иt – изменение цены выраженное в процентах за период
времени t;
Иср – среднее изменение цены за год, выраженное в
процентах;
После чего из ?2 извлекаем квадратный корень. Получаем ?. Западная
наука считает, что эта величина отражает риск инвестиций. Забегая вперёд, хочу
сказать, что, по-моему, это не так.
Вообще говоря, хочется ещё раз напомнить, что в модели
ценообразования на опционы Блэка - Шоулза очень много допущений и
предположений, которые в реальной жизни не имеют место. Поэтому
пользоваться этой моделью надо очень осторожно и не считать полученные с её
помощью результаты верными.
Ещё одна опасность использования формулы Блэка – Шоулза
заключается в том, что прогнозирование рынка подменяется математическими


75
вычислениями, игрой с цифрами. У начинающего игрока создаётся впечатление,
что для того чтобы разбогатеть, достаточно периодически подсчитывать
значение премии для опциона по методу Блэка - Шоулза. Если реальное
значение премии выше – продавай, ниже – покупай. Практика показывает, что
такого рода бездумный автоматизм – вернейший путь к проигрышу. Во время
действия эффекта самопрограммирования рынка вышеописанная стратегия
приносит некоторый эффект, иногда даже в течение длительного времени.
Человек расслабляется, перестаёт следить за рынком, и получает мощный удар,
за один-два дня проигрывая все свои ранее заработанные деньги и, в
дополнение ко всему, влезая в долги.
Я надеюсь, что через некоторое время формула Блэка – Шоулза исчезнет
из учебников и её можно будет найти только в увесистых фолиантах, изданных
в эпоху, когда участники рынка брели к заветной цели в тумане, наведённом из
лучших побуждений некоторыми математиками.
А теперь рассмотрим типичные задачи на хеджирование.

Задача 8.5

Дано: директор нефтеперерабатывающего завода хочет захеджировать на
рынке опционов сырьё – 200 000 баррелей нефти и готовую продукцию – 3 360
000 галлонов бензина.

Определить: сколько контрактов должен купить директор завода, если
один контракт содержит 1000 баррелей?

Решение: Количество опционных контрактов к покупке определяется
исходя из следующего соотношения:

Кк = От / Ке, где {8.10}

Кк – количество опционных контрактов к покупке;
От – объём партии товара к хеджированию;
Ке – количество единиц базового актива в одном контракте.
Следовательно, директор должен закупить:

200 000 / 1 000 = 200 опционов «колл» на нефть и …

3 360 000 / 1 000 / 42 = 80 опционов «пут» на бензин. Делитель 42
появился потому, что в 1 барреле 42 галлона (это соотношение справедливо в
отношении нефти, бензина и иного жидкого горючего. 1 баррель нефти и
бензина = 158,99 л., 1 галлон бензина (США) = 3,785 л. Смотрите «Основные
меры веса и объёма, используемые в биржевой торговле» в «Приложениях»).

Ответ: 200 опционов «колл» на нефть. 80 опционов «пут» на бензин.

Многие хеджеры после завершения операции хеджирования берут
листок бумаги, ручку, калькулятор и рассчитывают полученный эффект. В
следующей задаче я покажу вам, какие вычисления они производят.



76
Задача 8.6

Дано: хеджер купил 30 опционов «колл» на медь по ?80 с ценой
исполнения ?1 200. В одном контракте – 25 т. металла. К моменту реализации
права купить цена меди составила ?1 300.

Определить: Эффект от операции хеджирования.

Решение: Хеджер будет рассуждать примерно так. Если бы я не
захеджировался, то вынужден был бы покупать медь по ?1 300. А так я её взял
на 100 дешевле – по ?1 200, заплатив за это, однако, ?80. Итого я сэкономил на
одном контракте ?100, а потерял – ?80. Значит, эффект от операции будет
положительным:

(?100 – ?80) * 30 * 25 = ?15 000

Значит хеджироваться надо было.

Ответ: ?15 000.

Несмотря на кажущуюся простоту, эта задача содержит в себе ряд тонких
моментов. Начнём с того, что хеджер сравнивает экономию (?100) с фактически
понесёнными затратами в прошлом (?80), что со строгих позиций логики не
совсем корректно. Результат, следовательно, будет носить в какой-то мере
условный характер, так как никто не принесёт хеджеру банковский чек на ?15
000. – Эта последняя цифра, таким образом, выступает в качестве некоторой
отвлечённой меры эффективности операции хеджирования.
Рассмотрим далее ситуацию, когда к дате поставки цена на медь была
зафиксирована на уровне ?1250. Нетрудно подсчитать, что эффект от операции
хеджирования будет в этом случае отрицательным:

(?50 – ?80) * 30 * 25 = -?22 500

Выходит, что хеджироваться не надо было? И у хеджера есть повод
назвать самого себя перестраховщиком? Нет, потому что логика
математическая отличается от логики экономической. Представим себе, что на
момент заключения сделки рынок был неспокойным и многие специалисты
предсказывали рост цен. В этой ситуации желание нашего игрока
захеджироваться не только понятно, но и обосновано с экономической и
финансовой точек зрения.
Математики могут возразить: «Но ведь с позиций нашей любимой науки
оказывается, что если бы хеджер знал будущую динамику цен, то ему не нужно
было бы выходить на опционную площадку»! Возражение математиков нам
вполне понятно, потому что они очень часто при доказательствах теорем или в
каких либо иных случаях, например при построении моделей или выводе
формул, используют такой приём – забегают вперёд, «подсматривают»
решение, а потом легко находят неизвестные параметры.
Биржевик себе такой роскоши позволить не может. В момент заключения
сделки он не знает куда пойдёт рынок в будущем. Перефразируя героя
еврейского анекдота, который сказал, что «… если бы я тогда был бы таким


77
умным, как моя Сара теперь», скажем, что если бы некий игрок точно знал
(обратите внимание, знал, а не предполагал), на каком уровне будет цена того
или иного товара хотя бы через месяц, то он мог бы крупно выиграть. Кроме
того, обратите внимание на то, как часто в рассуждениях учёных мужей,
касающихся биржи, встречается словосочетание «если бы». О, это выражение
«если бы»! Хотя оно застряло в зубах у многих, вам, уважаемый читатель, надо
запомнить одну простую истину:

На бирже НЕТ слов «ЕСЛИ БЫ»

Эти слова появляются в умах некоторых, некритически настроенных к
себе игроков после проигрыша. Им кажется, что они всё сделали правильно, но
вот цена пошла не туда! И если бы она пошла туда, куда надо, то вся биржа
узнала бы, какие они умные. В реальности служащий Клиринговой палаты
выдаст вам счёт-справку по итогам торговли за день и там вы увидите результат
своих действий. Неважно, что там будет – проигрыш, или выигрыш, но это
будет ваш реальный результат. Остальное – это фантазии, не имеющие к
действительности никакого отношения.
Пусть хеджер опасается, что в будущем цена пойдёт против него, и от
такого движения цены может серьёзно пострадать его производство. В таком
случае хеджироваться надо, во многих случаях невзирая на величину премии.
Вспоминается ещё один анекдот: «Одесса, начало 90-х, «железный занавес»
рухнул, эмигрировать теперь можно. Стоят два еврея и о чём-то оживлённо
спорят. К ним подходит третий и говорит: «Я не знаю, об чём вы тут говорите,
но ехать надо»». Так вот, какой-нибудь крупный торговец в ответ на возражения
математиков скажет им примерно следующее: «Я не знаю, о чём вы тут спорите,
и что хотите мне доказать, но хеджироваться надо». Именно поэтому и
существует рынок фьючерсов и опционов. Именно поэтому ежедневно, в
мировом масштабе, на нём совершается огромное количество сделок.
Возможность захеджировать свою товарную позицию, однако, не
означает, что хеджер не должен изучать рынок и прислушиваться к прогнозам
специалистов и мнениям аналитиков. В некоторых случаях, после детального
анализа оказывается, что страхи потенциального покупателя опционов

<< Пред. стр.

стр. 10
(общее количество: 45)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>