стр. 1
(общее количество: 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

«НАУКА», Новосибирск
ISBN 5-02-031549-4


К РАСПРЕДЕЛЕНИЮ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ НА МНОЖЕСТВЕ
НАТУРАЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

А. В. Баяндин
1999г.



ВВЕДЕНИЕ


Прежде, чем изложить суть проблемы и ее решение остановимся немного на
истории чисел и их связью с действительностью. Особенно ярко значимость чисел в
деятельности человека отражена в древнегреческой мифологии.
Так в трагедии «Прикованный Прометей» древнегреческого драматурга Эсхила,
полубог Прометей говорит о своих деяниях на благо людей, за что и был наказан:
«Смотрите же , что смертным сделал я. Число им изобрел и буквы научил соединять,
им память дал, мать муз, всему причину...». Как видно из приведенной цитаты, первое
место среди своих заслуг перед человечеством он ставит не огонь, который принес
людям, а число, счет. Затем - письменность, а затем- «мать муз» и всему причину -
память, которую Олицетворяла Мнемосина - муза памяти. Благодаря памяти строится
любая деятельность и накапливается опыт человека, как - индивидуальный, так и-
коллективный. Такова роль чисел и счисления в оценке грека Эсхила, а следовательно
, и Прометея.
Пифагор и его последователи открыли много диковинного и даже таинственного в
мире чисел.
К ним восходит великая магия чисел, которая якобы управляет миром. К их
кабалистике нет-нет да и обращаются ученые даже в наше время.
Так , свой труд - классическую работу по инженерной психологии , Дж. А. Миллер
назвал , можно сказать, оригинально: «Магическое число семь плюс минус два. О
некоторых пределах нашей способности перерабатывать информацию».
Действительно, кто скажет, почему у французов самая сильная клятва «крепко, как
семь», у греков- семь чудес света и семь мудрецов? Почему счастливый человек
чувствует себя на седьмом небе, а по русским пословицам «семеро одного не ждут», «у
семи нянек дитя без глазу», «семь раз отмерь»?...
В заключении Дж. Миллер возвращается к тому , с чего начал: «...Как же обстоит дело
с магическим числом 7 ? Что можно сказать о 7 чудесах света, о 7 морях, о 7
смертных грехах, о 7 дочерях Атланта - Плеядах, о 7 возрастах человека, 7 уровнях
ада, 7 основных цветах, 7 тонах музыкальной шкалы или о 7 днях недели? Что можно
сказать о семизначной оценочной шкале, о 7 категориях абсолютной оценки, о 7
объектах в объеме внимания и 7 единицах в объеме непосредственной памяти?».
Сюда же можно добавить выражение - «книга за семью печатями», содержание которой


1
трудно поддается осмыслению и доступно только знатокам.
Логически завершая свою работу, Миллер пишет: «Вероятно, за всеми этими
семерками скрывается нечто очень важное и глубокое, призывающее нас открыть
тайну. Но я подозреваю, что это злое пифагорейское совпадение» [1].
Итак, вопрос о том, имеем ли мы дело с объективной реальностью или мистикой,
когда рассуждаем о роли семерки или иного числа с «магическими свойствами»,
ученый оставляет открытым.

Но вернемся к «нашим» древним грекам , заложившим основы современной науки о
числе. Современником и другом Архимеда остроумнейшим человеком был Эратосфен.
К числу его изобретений относится так называемое «решето Эратосфена», решето -
«просеивающее» числа и позволяющее отобрать из них простые. По сути дела - это
был первый в мире алгоритм - свод правил, строго следуя которым непременно
получишь верный результат: располагая ряд чисел в их натуральной (естественной)
последовательности , начиная с единицы и вычеркивая из него все числа после двойки
- через одну цифру, после тройки - через две, после четырех -через три цифры и т.д.
Таким образом , останутся только простые числа, т.е. такие числа p ? 1 , которые
делятся только на себя p и на единицу.
Эратосфеново решето поработало на исследователей далеко не простых простых
чисел - с древнейших времен до Чебышева и даже до наших дней.
Так , в современной литературе по теории чисел, или «высшей арифметике» как ее
иногда называют профессионалы, алгоритм поиска простых чисел по методу решета
Эратосфена приводится , как правило , в начале изложения материала [2].
Разработкой основ теории чисел занимались такие корифеи математики , как Эйлер,
Гаусс, Лежандр, Чебышев и его ученик - Золотарев, а также всем известный Ферма.
Так, Гаусс в свое время писал о теории чисел: «Высшая арифметика предлагает
нам неиссякаемый запас интересных истин - истин, которые не стоят
изолированно , а соединены глубокими внутренними связями и между которыми
по мере увеличения нашего знания мы постоянно открываем все новые и иногда
полностью неожиданные связи».
В теории чисел - фундаменте математики, хоть и недостроенном и стоящем где-то
особняком от могучего храма высшей математики , в чем не раз убеждались ученые,
казалось бы случайные, побочные результаты кажущихся бесполезных работ в этой
области порождают новые методы исследования природы, открывают истинный смысл
научных законов.
Одной из определяющих теорию чисел основ является закон распределения
простых чисел в натуральном ряду чисел. Поведение множества простых чисел во
множестве натуральных чисел казалось бы не связано с уже известными законами
природы. Хотя природа и не играет с нами в прятки и из всех возможных решений
выбирает наиболее простые , экономные (принцип наименьшего действия), наиболее
логичные, но в случае простых чисел, множество которых бесконечно, а поведение на
числовой оси взбалмошное - найти для них закон оказалось не так то просто.
Началом аналитического поиска распределения простых чисел явилась работа
Л. Эйлера по доказательству теоремы Евклида о бесконечности простых чисел [3].
Он рассмотрел произведение по всем простым числам p:

?1
? 1? ? ?
1 1
? p ? 1 ? s ? = ? p ? 1 + s + 2 s + ? ??? (1)
? p? ? ?
p p

при s ?1. Это произведение сходится, и если его раскрыть, то в силу однозначности
разложения натуральных чисел на простые сомножители получается, что оно равняется


2
1
?n=1 n s , откуда следует тождество Эйлера или т.н. дзета-функция:
?
сумме ряда

?1
? 1? 1
= ? n =1
?
= ? ( s)
? p ?1 ? s ? (2)
? p? ns

при S ?1.
Это тождество и его обобщения играют фундаментальную роль в теории распределения
1
?
простых чисел. Исходя из него Л. Эйлер доказал, что ряд и произведение
p
?1
? 1?
?? 1 ? s ? по простым p расходятся. Более того, Эйлер установил, что простых
? p?
чисел «много», ибо ? ( x ) ? ln x ? 1, и в то же время почти все натуральные числа
являются составными, т.к. ? ( x ) x ?1 > 0 при x > ?.
Далее значительного успеха достиг П.Л. Чебышев [4], который в 1851-52 доказал,
что имеются такие две постоянные а и А, что :

x x
?? ( x ) ? A
а (3)
ln x ln x

где

ln 2
а? A?2 ln 2 , при любых x ? 2 , (т.е. что
и
2
растет , как функция x / ln x ).
Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему
Чебышева , является [3] т.н. асимптотический закон распределения простых
чисел (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том , что
предел отношения ? ( x ) к x / ln x равен 1. Исследование по сужению
колебаний ? ( x ) около x / ln x было непосредственно продолжено также целым
рядом математиков: Сильвестром, Ивановым и Станевичем. Вообще говоря, формула
Чебышева дает заниженные значения количества простых чисел в сравнении с их
x > ? формула
фактическим количеством при заданном x. Казалось бы , что при
Чебышева даст истинное значение простых чисел. Но пройдет не более полстолетия
после опубликования формулы Чебышева и английский математик Литлвуд докажет,
что в ряду целых чисел существует некое число, около которого числа Чебышева
оказываются уже не меньше , а больше действительного количества простых чисел.
Еще через два десятка лет это таинственное число нашли. Оно больше всех
известных науке чисел - гигантов и выглядит так [1]:


10 34
? ? 1010

Это так называемое число Скьюиса.
В свое время Эйлер сформулировал теорему: от какого угодно числа а вплоть до его
удвоения (2а) существует хоть одно простое число. Используя метод решета
Эратосфена он пытался разработать общий метод подсчета количества простых чисел в


3
рассматриваемом распределении простых чисел в натуральном ряду. Но найти ее
Эйлеру не удалось [5]. Теорему переоткрыл Бертран в виде своего знаменитого
постулата, который был доказан Чебышевым. Наиболее точные результаты по
дальнейшему уточнению постулата Бертрана были получены Н.Г. Чудаковым на
основании исследований Гогейзеля и И.М. Виноградова [6, 7, 8]. Глубокие идеи
Римана о тесной связи закона распределения простых чисел с законом расположения
нетривиальных нулей дзета-функции ? ( s) в комплексной плоскости явились шагом
вперед по отношению к первой работе П.Л. Чебышева и полностью покрыли ее идейное
содержание.
Но прошло уже более восьмидесяти лет после удачной на первых порах реализации
идей Римана математиками Ж. Адамаром, Ш. Валле Пуссеном, Мангольтом и
другими, но никакого сужения критической полосы , хотя бы на ? , не последовало,
несмотря на усилия многих очень сильных математиков. А «спасительную» формулу
для нахождения простых чисел так никто и не нашел.


ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
I.

Требуется определить характер поведения количества простых чисел ? ( x ) в
натуральном ряду чисел x при x > ?. Найти отличия и связь с другими числами, а
также - провести аналитическое исследование полученных соотношений.
Обобщить результаты исследования на весь натуральный ряд чисел, сформулировать
вопросы для дальнейшего углубленного рассмотрения путей решения поставленной
проблемы.
Индуцировать полученные результаты на математику, основывающуюся в своих
методах на счислении, - на естествознание , оперирующее абстрактными образами и
приемами математики в исследовании окружающей природы научными методами .
Сформулировать принцип адекватности абстрактного математического мышления
человека , использующего счисление , измерение - как достоверный инструмент
познания Природы, - объективным законам развития Природы.

II.ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ПОИСКА
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ БАЯНДИНА
«РЕШЕТА»

Пожалуй теория чисел - единственный раздел математики, допускающий
экспериментальное исследование непосредственно изучаемого объекта. В последние
годы с ростом мощности и доступности ЭВМ все большую роль в работе математиков
стал играть эксперимент, бывший до недавнего времени почти безраздельной вотчиной
физики, химии и других естественных наук. Математики получили возможность
выдвигать новые гипотезы, на основе результатов быстрой компьютерной обработки
огромных массивов. Порой при этом проявляются закономерности, которые вряд ли
можно было обнаружить в «добрые старые времена» [8].
Вместе с тем, не потерял актуальности метод анализа статистического и
экспериментального материала на предмет выявления закономерностей.
2.1 Свойство многозначных чисел иметь цифровой корень или, по-другому -
инвариант, известно с древних времен . В частности, это свойство чисел
используется в практической магии чисел и по сей день для , якобы, определения
характера , судьбы и пр. человека. Суть этого свойства многозначных чисел сводится к
следующему:
- если складывать в произвольном порядке цифры целого многозначного числа друг с
другом до получения в итоге однозначного числа, то результат сложения всегда будет
один и тот же, т.е. - конечный результат сложения всех цифр этого числа и будет
называться инвариантом;
- количество инвариантов для всех многозначных произвольных чисел равно девяти
(9).


4
Пример:
1. 5871036 > 58+7+10+36=111 > 1+11=12 > 1+2=3,
5871036 > 5+871+0 +3+6=885 > 88+5=93 > 9+3=12 > 1+2=3, т.е.
цифра 3 есть инвариант числа 5871036.
2. 39016395 > 39+0+16+395=450 > 4+50=54 > 5+4=9,
39016395 > 3+90+1+63+9+5=171 > 17+1=18 > 1+8=9 и здесь цифра 9 -
инвариант числа 39016395.
3..Для множества целых чисел натурального ряда инвариантами являются девять цифр:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Легко также заметить, что добавление (сложение) цифры 0 и 9 не изменяют значения
инварианта. Поэтому, при подсчете инварианта произвольного числа указанные цифры
отбрасывают.
Обобщая свойства числа 9 можно сказать, что сложение и вычитание любого
произвольного многозначного числа с числом 9 не изменяют его (многозначного числа)
инварианта.
Более того, число 9 является периодом для инварианта целого числа в десятичной
системе счисления. Т.е., если записать результат деления произвольного целого числа
на число 9:
? =9 ? ( k + m) (4)

где k - целая часть, а m - мантисса полученного числа, то k характеризует
количество периодов повторения инварианта для числа N, а произведение
9 ? m = Inv - является инвариантом числа N.
Очевидным следствием периодичности инварианта числа является утверждение, что :
любое число делится на число 9 без остатка, если перед делением из делимого
вычесть инвариант этого числа.
2.1.1.Используя указанное выше правило и данные таблиц простых чисел, например
[2 ], найдем, что простые числа характеризуются всего шестью инвариантами,
это:

Inv.: 1, 2, 4, 5, 7, 8.

2.2.Анализ тех же экспериментальных таблиц простых чисел показывает, что
окончания (цифра младшего разряда числа) простых чисел образуются нечетными
числами (в силу их определения) и представляют собой строго чередующийся ( по
порядку следования окончаний) ряд с периодом равным десяти (10) для однозначной
цифры окончания :

bi : ( 3, 1, 9, 7); (3, 1, 9, 7); (3, 1, 9, 7); ...

для которых справедливо выражение -

N=bi+10n (5)

где n- количество периодов повторения окончания bi простого числа.

2.3.Из сравнения выражений (4) и (5) для простых чисел следует рекуррентное
выражение:

N= Inv.j+9k=bi+10n (6)


2.4.Период следования простых чисел с одинаковыми окончаниями и
инвариантами равен




5
? ? Inv. j
= ? = 90 (7)
n
где n ? число периодов и n =1, 2, 3, 4, .... - натуральный ряд чисел .

2.5. Число три (3) имеет окончание 3 как и у простых чисел, но инвариант 3 -
отсутствует у простых чисел, напротив, у числа 5 имеется необходимый инвариант
простых чисел, равный 5, но у простых чисел нет окончаний на 5. Поэтому числа 3 и
5 не могут относиться к ряду простых чисел в этом представлении.
Число 2 - четное и к тому же имеет инвариант и окончание, отличные от простых,
поэтому оно в дальнейшем не рассматривается как простое.
Число 1 обладает всеми свойствами простых чисел, но отличается от всех простых
чисел математическим свойством, а именно: 1 = 1-n , вследствие чего оно не
рассматривается в дальнейшем исследовании.
Таким образом, число семь (7) является первым числом ряда простых чисел.

2.6.Свойства (п.2.1.1. и п.2.2 ) простых чисел , объединенные вместе, образуют
элементарную ячейку - матрицу размещения простых и составных из простых
сомножителей чисел . Для одной матрицы этот признак можно записать так:


j =6 i =4

? j ? ? i = 24 = const =? (8)
j =1 i =1


где постоянная ? = 24 = const характеризует количество простых и составных из
простых сомножителей (начиная с числа 7 ) чисел в элементарной ячейке - матрице,
назовем ее постоянной матрицы (4 ? 6 ) содержащей 4 строки и 6 столбцов
элементов - чисел ( в произведении сумм выражения (8) j и i как числовые
количественные символы соответственно для Inv.j и bi ).

2.7.Учитывая свойство периодичности простых чисел по инвариантам и окончанием,
св. П. 2.4., для n периодов повторения, т.е. для

n = x / ? = x / 90 (9)
запишем:


? j =6 i =4 ?
?( x ) = n ? ? ? j? ? i? = 24n = const = ? ?n (10)
? j =1 i =1 ?

где x - рассматриваемое текущее целое число натурального ряда;
?( x ) ? количество простых и составных из простых сомножителей чисел (начиная с
числа 7) в натуральном ряду чисел.
Подставляя в выражение (10) соотношение (9) получим:

x ? j =6 i =6 ?
? ? x 24 x
?( x ) = ? ? ? j ? ? i ? = = = ? ? x (11)
? ? j =1 ?
i =1 ? 90


24
где новая постоянная ? = = 0,2666666..... = const характеризует относительное
90
количество простых и составных из простых сомножителей (начиная с числа 7) чисел



6
в натуральном ряду чисел, или в процентах - 26, 666% от всего количества чисел.
Назовем эту постоянную - структурной постоянной, как величину, определяющую
структурное деление натурального ряда на множество составных и простых чисел.
Результаты исследований множества чисел натурального ряда с выделением
периодичности размещения простых чисел представлена на рис.1:




рис.1.


Если вырезать элементарные ячейки-кластеры размером ( 4 ? 6 ) чисел и склеить
кластеры в порядке возрастания чисел с периодом , равным 10 для каждого окончания
(3, 1, 7, 9) , то в результате сворачивания в спираль получим периодическую
конструкцию для простых чисел , замечательную тем, что простые числа следуют одно
за другим в виде четырех параллельных «цепочек» :




рис.2.


2.8. Краткие выводы:
2.8.1.Условия п.2.1.1 и п. 2.2., выделенные мной жирным курсивом являются
необходимыми и достаточными условиями для нахождения простых чисел и составных
чисел из простых, начиная с семерки и, таким образом, являются новым, более
эффективным математическим инструментом («решетом») для простых чисел.
2.8.2.Ряд простых чисел с указанными в п.3.1. свойствами ряда начинается с числа 7.


7
2.8.3.В отличие от «решета» Эратосфена, где необходимо последовательно, в течение
какого -то времени вычеркивать по определенному алгоритму непростые числа ( даже
с помощью ЭВМ), причем по несколько раз одни и те же , тем самым затрудняя
получение окончательного результата - в нашем случае эта процедура полностью
исключается. Для простых и составных из простых чисел , начиная с числа семь
существует
одна - единственная матрица размером 4 на 6 чисел для размещения этих чисел.
Таким образом, в силу периодичности ( Т= 90 ) простых и составных из простых
чисел для анализа распределения простых чисел достаточно одной матрицы на 24
числа.
2.8.4.Впервые обнаружено в поведении простых чисел в натуральном ряду их
закономерное периодическое изменение: сведение бесконечного к конечному путем
выявления периодических свойств.
2.8.5.Выявление периодичности простых чисел позволило найти постоянные простых
чисел: ? - постоянную матрицы и ? - структурную постоянную.

III.ФОРМУЛИРОВКА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

стр. 1
(общее количество: 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>