<< Пред. стр.

стр. 2
(общее количество: 11)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Символом «•» здесь и далее обозначается окончание примера, доказа-
тельства и т.д.
12
лирования. Основная идея стимулирования как раз и заключает-
ся в том, что, варьируя систему стимулирования, центр может
побуждать агента выбирать те или иные действия.
Так как целевая функция центра зависит от действия, выби-
раемого агентом, то эффективностью системы стимулирования
называется (максимальное или минимальное) значение целевой
функции центра на множестве действий агента, реализуемых дан-
ной системой стимулирования. Следовательно, задача стимулиро-
вания заключается в том, чтобы выбрать оптимальную систему
стимулирования, то есть систему стимулирования, имеющую
максимальную эффективность. Приведем формальные определе-
ния.
Множество действий агента, доставляющих максимум его це-
левой функции (и, естественно, зависящее от функции стимулиро-
вания), называется множеством решений игры или множеством
действий, реализуемых данной системой стимулирования:
(4) P(?) = Arg max {?(y) - c(y)}.
y?A
Зная, что агент выбирает действия из множества (4), центр
должен найти систему стимулирования, которая максимизировала
бы его собственную целевую функцию. Так как множество P(?)
может содержать более одной точки, необходимо доопределить (с
точки зрения предположений центра о поведении агента) выбор
агента. Если выполнена гипотеза благожелательности1 (ГБ),
которую мы будем считать имеющей место, если не оговорено
особо, в ходе дальнейшего изложения, то агент выбирает из мно-
жества (4) наиболее благоприятное для центра действие. Альтерна-
тивой для центра является расчет на наихудший для него выбор
агента из множества решений игры.



1
Гипотеза благожелательности заключается в следующем: если агент
безразличен между выбором нескольких действий (например, действий,
на которых достигается глобальный максимум его целевой функции), то
он выбирает из этих действий то действие, которое наиболее благопри-
ятно для центра, то есть действие, доставляющее максимум целевой
функции центра [14, 71, 72].
13
Соответственно, различают эффективность системы стимули-
рования ? ? M:
(5) K(?) = max ?(y)
y?P (? )
и ее гарантированную эффективность
(6) Kg(?) = min ?(y),
y?P (? )
где ?(y) определяется либо (2), либо (3) (соответственно, задачи
стимулирования первого и второго рода [72]).
Прямая задача синтеза оптимальной системы стимулирования
заключается в выборе допустимой системы стимулирования,
имеющей максимальную эффективность (или максимальную га-
рантированную эффективность):
(7) K(?) > max ;
? ?M
(8) Kg(?) > max .
? ?M
Отметим, что решения задач (7) и (8) в общем случае не сов-
падают (см. подробности в [46, 72]).
Обратная задача стимулирования заключается в поиске мно-
жества систем стимулирования, реализующих заданное действие,
или в более общем случае - заданное множество действий A* ? A.
Например, в рамках предположения А.3' при A* = {y*} обратная
задача может заключаться в поиске множества M(y*) систем стиму-
лирования, реализующих это действие, то есть M(y*) = {? ? M |
y* ? P(?)}. Определив M(y*), центр имеет возможность найти в
этом множестве "минимальную" систему стимулирования, то есть
реализующую заданное действие с минимальными затратами на
стимулирование, или систему стимулирования, обладающую каки-
ми-либо другими заданными свойствами, например - монотон-
ность, линейность и т.д.
Следует отметить, что введенные выше предположения согла-
сованы в следующем смысле. Агент всегда может выбрать нулевое
действие, не требующее от него затрат (предположение А.2') и
приносящее нулевой доход центру (предположение А.4). В то же
время, центр имеет возможность ничего не платить ему за выбор
этого действия (см. предположение А.3).

14
Во всех содержательных интерпретациях теоретико-игровых
моделей стимулирования (см. обзор [11] по теории контрактов и
[107, 134]) предполагается, что у агента имеется альтернатива -
сохранить статус-кво, то есть не вступать во взаимоотношения с
центром (не заключать трудового контракта). Отказываясь от
участия в данной ОС, агент не получает вознаграждения от центра
и всегда имеет возможность выбрать нулевое действие, обеспечив
себе неотрицательное (точнее - нулевое) значение целевой функ-
ции.
Если вне данной ОС агент может гарантированно получить
полезность U ? 0 (ограничение пособия по безработице или огра-
ничение резервной заработной платы в терминологии теории
контрактов [11, 127, 131]), то и при участии в данной ОС ему дол-
жен быть гарантирован не меньший уровень полезности.
Сделав маленькое отступление, обсудим более подробно мо-
дель процесса принятия решений агентом. Предположим, что
некоторый агент предполагает устроиться на работу на некоторое
предприятие. Ему предлагается контракт {?(y), y*}, в котором
оговаривается зависимость (?(?)) вознаграждения от результатов
его деятельности (y), а также то, какие конкретные результаты от
него ожидаются (y*). При каких условиях агент подпишет кон-
тракт, если обе стороны – и агент, и предприятие (центр) прини-
мают решение о подписании контракта самостоятельно и добро-
вольно? Рассмотрим сначала принципы, которыми может
руководствоваться агент.
Первое условие – условие согласованности стимулирования,
которое заключается в том, что при участии в контракте выбор
именно действия y* (а не какого-либо другого допустимого дейст-
вия) доставляет максимум его целевой функции (функции полезно-
сти). Другими словами, это – условие того, что система стимулиро-
вания согласована с интересами и предпочтениями агента.
Второе условие – условие участия в контракте (иногда его на-
зывают условием индивидуальной рациональности), которое за-
ключается в том, что, заключая данный контракт, агент ожидает
получить полезность, большую, чем он мог бы получить, заключив
другой контракт на другом предприятии (с другим центром). Пред-
ставления агента о своих возможных доходах на рынке труда
15
отражает такая величина как резервная заработная плата. Остано-
вимся на ее рассмотрении более подробно.
Предположим, что агент (безработный или собирающийся
сменить работу) имеет свои субъективные1 представления о рас-
пределении предлагаемой на рынке труда заработной платы (или
ставки заработной платы2) [96, 113, 137]. Обозначим плотность
этого распределения вероятности p(?), k* - уровень квалификации
данного агента. Гипотетическая кривая распределения приведена
на рисунке 1.
Понятно, что в среднем более высокой квалификации соответ-
ствует более высокая оплата. Если бы агент обладал полной ин-
формацией о требованиях ?*(k) к квалификации, предъявляемых на
рынке труда для получения соответствующей заработной платы, и
если бы достоверная информация о его квалификации k* была
полностью доступна всем потенциальным работодателям (цен-
трам), то он был бы, фактически, лишен выбора и соглашался бы
на существующий однозначный рыночный уровень заработной
платы ?*(k*), соответствующий его квалификации. Вся проблема
заключается в том, что информация о рыке труда несовершенна, то
есть и агент, и центр действуют в условиях неполной информиро-
ванности3.


1
Необходимо помнить, что рассматривается модель поиска работы
некоторым конкретным агентом. Поведение других агентов в тех же
условиях может отличаться в силу различий их индивидуальных харак-
теристик.
2
Ставка заработной платы при повременной оплате труда соответст-
вует вознаграждению за единицу времени (час, день, месяц и т.д.). Зара-
ботная плата в этом случае определяется произведением ставки оплаты
на продолжительность отработанного времени.
3
Информированность субъектов экономики является важнейшей харак-
теристикой, определяющей как их индивидуальное поведение, так и
эффективность функционирования той социально-экономической сис-
темы, элементами которой они являются. Изучению роли информиро-
ванности и неопределенности в экономических и экономико-
математических моделях посвящено значительное число исследований.
Интересующие нас в настоящей работе проявления фактора информи-
рованности обсуждаются ниже при рассмотрении соответствующих
16
p(?)




?
E?(k*)
0 ? * (k * )
U (k * )
Рис. 1. Резервная, ожидаемая и максимальная
заработная плата
Предположим, что агент имеет свои субъективные представ-
ления о минимальном уровне заработной платы U (k * ) , за которую
он согласен работать при данной его квалификации. Величина
U (k * ) называется резервной заработной платой. Тогда процесс
поиска работы можно представить себе следующим образом:
получая информацию о предлагаемых условиях работы и ее опла-
ты, агент соглашается с первым предложением, превышающим его
резервную заработную плату (в случае смены работы в качестве
резервной заработной платы может выступать, например, величина
зарплаты на старом месте работы или величина пособия по безра-
ботице и т.д.).
Так как получение заработной платы, большей ?*(k*), для дан-
ного агента невозможно (поэтому величину ?*(k*) иногда называют
максимальной заработной платой), то ожидаемая заработная
? * (k * )
?? p (? ) d? .
плата будет равна следующей величине: E?(k ) =*
*
U (k )

Более подробное обсуждение свойств резервной заработной
платы и моделей поиска работы можно найти в [119, 120, 137].



моделей. Более полную информацию по этому вопросу можно найти в
[45, 61, 69].
17
Вернемся к анализу условий взаимовыгодности заключения трудо-
вого контракта.
Аналогичные приведенным выше для агента, условия согласо-
ванности и индивидуальной рациональности можно сформулиро-
вать и для центра. Если имеется единственный агент – претендент
на заключение контракта, то контракт будет выгоден для центра,
если выполнены два условия.
Первое условие (аналогичное условию согласованности сти-
мулирования) отражает согласованность системы стимулирования
с интересами и предпочтениями центра, то есть применение имен-
но фигурирующей в контракте системы стимулирования должно
доставлять максимум целевой функции (функции полезности)
центра (по сравнению с использованием любой другой допустимой
системы стимулирования).
Второе условие для центра аналогично условию участия для
агента, а именно – заключение контракта с данным агентом выгод-
но для центра по сравнению с сохранением статус-кво, то есть
отказу от заключения контракта вообще. Например, если считать,
что прибыль предприятия (значение целевой функции центра) без
заключения контракта равна нулю, то при заключении контракта
прибыль должна быть неотрицательна.
Качественно обсудив условия заключения взаимовыгодного
трудового контракта, вернемся к формальному анализу.
Легко видеть, что в рамках введенных предположений при
участии агента в рассматриваемой организационной системе ему
гарантируется как минимум нулевое значение полезности. Условие
неотрицательности полезности агента:
(9) ? y ? P(?) f(y) ? 0
является «условием участия» или «условием индивидуальной
рациональности». Следовательно, как минимум, реализуемыми
будут такие действия, при выборе которых значения целевой
функции агента будут неотрицательны:
(10) P0(?) = {y ? A | ?(y) ? c(y)} ? P(?).
Из этого следует, что выбор величины затрат от нулевого дей-
ствия агента и ограничений в условиях индивидуальной рацио-
нальности может быть произведен относительно произвольным


18
образом, правда, согласованным с условием индивидуальной ра-
циональности и ограничениями на стимулирование.
Поясним последнее утверждение. Более корректно (то есть с
учетом условия индивидуальной рациональности) множество
реализуемых действий следует определить как множество таких
точек максимума целевой функции агента, в которых выполнено
условие индивидуальной рациональности:
(11) P(?) = Arg max {?(y) - c(y)} ? {y ? A | f(y) ? U }.
y?A
Рассмотрим двух агентов. Пусть затраты первого агента удов-
летворяют предположению А.2', а затраты второго агента всюду на
одну и ту же величину ? (положительную или отрицательную,
причем, как отмечалось выше, обычно полагают ? = U ) отлича-
ются от затрат первого агента, то есть c2(y) = c1(y) + ?, c2(0) = ?
(величина c(0) иногда называется индивидуальным нулем полезно-
сти [65, 128]). Обозначим P1(?) и P2(?) - соответствующие множе-
ства реализуемых действий при одних и тех же ограничениях на
стимулирование. Если некоторое действие y* ? A принадлежит
множеству P1(?), то оно принадлежит и множеству P2(?), и наобо-
рот, что следует непосредственно из определения (4) реализуемого
действия - соответствующих систем неравенств, которые называ-
ются "условиями согласования":
(12) ? y ? A ?(y*) - c(y*) ? ?(y) - c(y)
и не изменяются от добавления к обеим частям константы (см.
рисунок 2, на котором C – ограничение механизма стимулирова-
ния, y+(C) – правая граница множества P(C) реализуемых дейст-
вий).
Несколько сложнее дело обстоит с условием индивидуальной
рациональности. Если понимать под множеством реализуемых
действий (11), то (10) примет вид P0(?) = {y?A | ?(y) ? c(y)+U }.
Понятно, что для того, чтобы изменение ограничения индивиду-
альной рациональности и "вертикальный сдвиг" затрат не изменяли
множества P0, следует изменять используемую центром систему
стимулирования следующим образом - добавлять к ней соответст-
вующую константу (U и/или ?). Следует при этом иметь в виду,
что при фиксированных ограничениях на функцию стимулирова-

19
ния увеличение, например, величины U может привести к суже-
нию множества реализуемых действий (см. (11) и предположение
А.3).


c(y)+?

c(y)
C+?


C

?

y
0
y+(C)
P(C)
Рис. 2. Инвариантность множества реализуемых
действий относительно «сдвига» функции затрат агента


Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1. Все агенты, функции затрат и/или резервные
зарплаты которых отличаются на одну и ту же величину, эквива-
лентны с точки зрения условий реализуемости при условии соот-
ветствующих изменений ограничения механизма стимулирования.
Итак, учет изменений индивидуального нуля полезности аген-
та ("сдвиг" его затрат по вертикали) и учет изменений ограничений
индивидуальной рациональности приводит к незначительным и
легко учитываемым в каждом конкретном случае по аналогии с
тем, как это делалось выше, модификациям основных характери-
стик задачи стимулирования (множеств реализуемых действий,
ограничений на ФЗП и т.д.). Поэтому при дальнейшем изложении
мы будем считать, что U = 0 и ограничиваться введенными выше
предположениями, в рамках которых условие индивидуальной
рациональности можно не учитывать. Вернемся к анализу задачи
синтеза оптимальной функции стимулирования.


20
1.2. Множества реализуемых действий
и минимальные затраты на стимулирование

Тот факт, что реализуемыми являются те действия, которые
как минимум обеспечивают агенту неотрицательную полезность,
существенно упрощает анализ задачи стимулирования. Фиксируем
произвольное действие агента y* ? A и рассмотрим следующую
систему стимулирования:
? c( y * ), y = y *
(1) ?QK(y*, y) = ? ,
y ? y*
?0,
которая называется квазикомпенсаторной: QK-типа (иногда, в
случаях, когда это не приведет к неоднозначности, зависимость от
y* в записи ?QK будет опускаться).
Очевидно, что y* ? P0(?QK(y*)). Если выполнено предположе-
ние А.3, то есть на абсолютные значения поощрений не наложено
никаких ограничений, то действие y* реализуемо системой стиму-
лирования (1) (другими словами, в рамках А.3 реализуемо любое
допустимое действие агента). Если же выполнено предположение
А.3', то должно выполняться: С ? ?(y) ? c(y). Обозначим макси-
мальное множество действий, реализуемых при заданных ограни-
чениях:
(2) P(C) = { y ? A | c(y) ? С }.
В рамках предположения А.3' выполнено: P(С) = [0; y+(С)]
(см. рисунок 2), где c(y+) = С. Если верно предположение А.3, то
C = +? и P(+?) = A.
В [14, 71, 72] показано, что не существует системы стимули-
рования, удовлетворяющей А.3', и реализующей действия агента,
не принадлежащие множеству (2). Приведем для полноты изложе-
ния доказательство этого факта. Пусть существует ?QK ? M, удов-
летворяющая А.3', и существует система стимулирования ?1 ? M,
такая, что ? y1 ? P(?1), для которого выполнено y1 > y+. Тогда из
условий согласования и определения y+ следует, что ?1(y1) > C, что
противоречит предположению А.3'.
Так как в определении эффективности системы стимулирова-
ния максимум вычисляется по множеству реализуемых действий,
то чем шире это множество, тем больше соответствующее макси-
21
мальное значение. Следовательно, с расширением множества
реализуемых действий увеличивается эффективность стимулиро-
вания. Другими словами, если одна система стимулирования (точ-
нее – класс систем стимулирования) имеет более широкое множе-
ство реализуемых действий, чем другая система стимулирования
(другой класс систем стимулирования), то и эффективность первой
системы стимулирования выше, чем второй. Значит максимальной
эффективностью обладает класс систем стимулирования, имеющий
максимальное множество реализуемых действий.
Из вышесказанного следует, что решение задачи стимулиро-
вания может быть разделено на два этапа. На первом этапе реша-
ется задача согласования – определяются множества реализуемых
при заданных ограничениях действий. На втором этапе решается
задача оптимального согласованного планирования – ищется
реализуемое действие, которое наиболее предпочтительно с точки
зрения центра. Подобная идеология разбиения решения задачи
управления ОС широко используется в теории активных систем
[11, 14, 72] и в теории контрактов [11, 112, 127].
Из того, что система стимулирования QK-типа имеет мак-
симальное множество реализуемых действий, следует, что она
является решением задачи синтеза оптимальной функции
стимулирования в прямой задаче стимулирования первого
рода.
Отметим, что выражение (1) задает параметрический (пара-
метр y*) класс систем стимулирования. Поэтому утверждения об
оптимальности тех или иных систем стимулирования (классов
систем стимулирования - в данном случае - квазикомпенсаторных)
следует понимать следующим образом: существует значение пара-
метра, при котором функция стимулирования из заданного класса
имеет максимальную на множестве M эффективность (см. также
[72]).
Зная, что оптимальную систему стимулирования следует ис-
кать в классе квазикомпенсаторных, а также то, что при использо-
вании системы стимулирования ?QK(y*, y) агент выбирает действие,
совпадающее с действием y*, центр может "забыть" про условия
согласования и решать задачу оптимального согласованного пла-


22
нирования [14], то есть искать реализуемое действие агента, мак-
симизирующее доход или целевую функцию центра:
(3) ?(y) > max .
y?P ( C )
В оптимальной (максимизирующей эффективность) квазиком-
пенсаторной системе стимулирования параметр y* является реше-
нием задачи (3).
В задачах стимулирования первого рода оптимальными оказы-
ваются не только квазикомпенсаторные системы стимулирования,
но и компенсаторные, скачкообразные и квазискачкообразные (см.
их описание в разделе 1.3.) [14, 72].

<< Пред. стр.

стр. 2
(общее количество: 11)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>