<< Пред. стр.

стр. 7
(общее количество: 11)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

на рынке рабочей силы определяется двумя эффектами – дохода и
замещения.
Эффект дохода заключается в том, что с увеличением сово-
купного дохода снижается желаемая продолжительность рабочего
времени. Соответственно, если «целью» агента является поддержа-
ние совокупного дохода постоянным, то увеличение ставки оплаты
в рамках эффекта дохода приведет к сокращению желаемой про-
должительности рабочего времени, и наоборот – для поддержания
дохода постоянным при сокращении ставки оплаты желаемая
продолжительность рабочего времени возрастет. Примером прояв-
ления «чистого» эффекта дохода является получение наследства
[96].
Эффект замещения заключается в том, что увеличение ставки
оплаты приводит к увеличению желаемой продолжительности
рабочего времени – альтернативная стоимость одного часа досуга
возрастает и агент предпочтет отработать большее количество
часов.
Таким образом, если доминирует эффект дохода, то агент реа-
гирует на повышение ставки заработной платы сокращением пред-
ложения труда, а если доминирует эффект замещения, предложе-
ние труда увеличивается (см. рисунок 17). Изображенная на
рисунке 17 кривая зависимости желательной продолжительности
рабочего времени ? от ставки оплаты ? получила название «кривой
обратного изгиба» [96].
Пусть полезность агента u(q, t) зависит от его дохода q ? ?1 и
продолжительности ежедневного свободного времени t ? [0; T],
где свободное и рабочее время связаны условием t + ? = T.
А.5. Функция полезности u(q, t) непрерывно дифференцируе-
ма, частично строго монотонна и имеет убывающие и выпуклые
кривые безразличия1.
Если у агента отсутствуют нетрудовые доходы (non-wage in-
come), то его доход равен заработной плате и однозначно опреде-
ляется продолжительностью рабочего времени, то есть q(t) = ?(?).

1
См. подробное обсуждение свойств кривых безразличия функции полез-
ности в [96, 124].
64
?
доминирует доминирует
эффект эффект
замещения дохода




?
0
Рис. 17. Зависимость желательной
продолжительности рабочего времени от ставки
оплаты («кривая обратного изгиба»)


Обозначим ? – некоторый фиксированный уровень полезности
(см. рисунок 18). Если уравнение u(q, t) = ? разрешимо относи-
тельно q, то можно получить уравнение кривой безразличия:
?u ( q, t ) ?u ( q, t )
q = v(?, t). Обозначая ut? = , u? = , получаем выраже-
?t ?q
q

ние для производной кривой безразличия:
dq
= - ut? / u q .
?
(1)
dt
Если ? - постоянная ставка оплаты, то кривая бюджетного ог-
раничения q(t) = ?(?), где ?(?) - функция стимулирования, имеет
вид прямой (см. рисунок 18):
(2) q(t) = ? ? = ? (T – t).
Агент решает задачу выбора такого значения t* времени досуга
(и, соответственно, рабочего времени ?* = T – t*), которое максими-
зировало бы его полезность:
(3) t* ? Arg max u(q(t), t),
t?[ 0;T ]




65
где q(t) определяется выражением (2). Необходимое условие опти-
мальности – равенство нулю производной по t выражения u(q(t), t):
dq
? + ut? = 0.
uq
dt
Подставляя (2), запишем условие оптимума следующим обра-
зом:
(4) ut? = ? u q .
?
Условие (4) в литературе по предложению труда называется
«Roy’s Identity» [136].
Воспользовавшись (1), получаем, что необходимое условие
оптимальности графически можно интерпретировать как условие
касания кривой безразличия прямой бюджетного ограничения (см.
рисунок 18).

q
?2 > ?1


?T ?(?2, t)
A
?(?1, t)
?
0 t* T

Рис. 18. Кривые безразличия для значений полезности ?1 и
?2, бюджетное ограничение и условие оптимальности

Отметим, что (4) является условием оптимума при «внутрен-
них» решениях задачи (3). Если максимум в выражении (3) дости-
гается при t = T (граничное решение), то говорят, что имеет место
«угловое решение» [96, 113].
Содержательно, «угловое решение» соответствует оптималь-
ности для рассматриваемого агента решению «не работать вооб-
ще», так как любой час своего досуга (в том числе и шестнадца-
тый) он ценит выше предлагаемой ставки оплаты. На рисунке 19
изображено «угловое решение», то есть при ставке резервной
66
заработной платы ? и величине «нетрудовых доходов» qT (дохо-
дов агента, не зависящих от количества отрабатываемых часов,
например – рента, пособия и т.д.) кривая безразличия ? касается
прямой бюджетного ограничения в точке А (t* = T – см. рисунок
19).

q



?

? A

qT t
0 t*=T

Рис. 19. «Угловое решение»

Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение описанно-
го метода определения оптимального времени досуга.
Пример 3. Пусть функция полезности имеет вид1: u(q, t) = ? q
t, где ? - некоторая положительная константа2. Кривой безразличия
?1
? в данном случае является гипербола: q(t) = . Из условия (4)
?t
получаем:
?
(5) t* = .
??


1
В качестве модельных и теоретических зависимостей функции полезно-
сти от дохода и рабочего времени в литературе использовались следую-
щие: u = q? t?, u = [? (? + ?) + U ] ? [T – (? + ?)] ? [101, 103, 105, 113,
119], где ?, ? и ? - некоторые константы, и др.
2
В приводимых в настоящей работе примерах фигурируют постоянные
коэффициенты. Необходимость их введения обусловлена соображениями
согласования размерностей. Так, в рассматриваемом примере коэффици-
ент ? имеет размерность «единица полезности / (рубль ? час)».
67
Из выражения (5) следует, что имеют место и эффект дохода:
*
*
?t (? , ? )
?t (? , ? )
? 0, и эффект замещения: ? 0.
??
??
? = Const
? = Const
Существуют два способа поиска оптимального времени досу-
dq
= ?? .
га. Первый заключается в использовании условия (4):
dt
Проверяя, что оптимально внутреннее решение (u(0) = u(T) = 0),
получаем: t* = T/2.
Второй способ заключается в «лобовом» решении задачи мак-
симизации полезности (см. (3)):
t* = arg max u(q(t), t) = arg max {?? t (T – t) } = T / 2.
t?[ 0;T ] t?[ 0;T ]

Интересно отметить, что при рассматриваемой функции по-
лезности оптимальное решение t* равно восьми часам и не зависит
от ставки оплаты. В то же время, максимальное значение полезно-
сти u* = ??T2/4 возрастает с ростом ставки оплаты. •
Напомним, что до сих пор мы рассматривали модели индиви-
дуального поведения на рынке труда в предположении, что за
каждый отработанный час агент получает одинаковую оплату
(ставка оплаты считалась постоянной). Откажемся от этого пред-
положения, то есть расширим класс допустимых систем стимули-
рования (любая система стимулирования может рассматриваться
как пропорциональная с переменной ставкой оплаты). Кроме того,
установим взаимосвязь между базовыми системами стимулирова-
ния, рассмотренными в первой части настоящей работы, и описа-
нием индивидуального поведения на рынке труда в рамках пред-
почтений на множестве «доход – свободное время».
Действием агента будем считать продолжительность рабочего
времени ?, которая однозначно определяет продолжительность
свободного времени: t = T - ?, то есть y = ?, A = [0; T]. Предполо-
жим, что центр использует некоторую (не обязательно пропорцио-
нальную) систему стимулирования ?(?). Определим функцию
˜
«оплаты свободного времени» ? (t) = ?(T - t). Отметим, что, если
?(?) – возрастающая (убывающая, выпуклая, вогнутая) функция, то

68
˜
? (t) – убывающая (соответственно, возрастающая, выпуклая,
вогнутая) функция.
Если функция стимулирования задана, то, фактически, можно
считать, что задана и зависимость дохода от свободного времени:
˜
q(t) = ? (t) = ?(T - t).
Определяя наиболее предпочтительное (с точки зрения значе-
ния своей функции полезности u(q, t)) значение продолжительно-
сти рабочего времени, агент решает следующую задачу:
(6) u(q, t) = u(?(T – t), t) > max .
t?[0;T ]
Предполагая существование внутреннего решения t*
(t ? (0; T)), получаем необходимое условие оптимальности:
*


ut' ˜
(7) ' = - ? ' (t) = ? ' (T - t) = ? ' (?).
uq
Левая часть выражения (7) с точностью до знака совпадает с
производной кривой безразличия функции полезности, следова-
тельно в точке оптимума графики кривой безразличия полезности
u(?) и функции стимулирования ?(?) должны иметь общую каса-
тельную. Содержательно это утверждение означает, что предель-
ный доход должен быть равен предельному стимулированию
d? (? )
dq(t * )
=? ), то есть в точке оптимума альтернатив-
(
d? ? = T ? t *
dt
ная стоимость единицы свободного времени по абсолютной вели-
чине равна скорости изменения вознаграждения.
Второй важный (и достаточно очевидный) вывод, который
следует из анализа выражения (7), заключается в том, что в точке
оптимума ?* = T – t* производная функции стимулирования ?(?)
должна быть положительна (так как положительны обе производ-
ные функции полезности, фигурирующие в левой части (7); дейст-
вительно, выше предполагалось, что полезность агента возрастает
как с ростом дохода, так и с увеличением продолжительности
свободного времени). Более того, так как «рабочим» оказывается
участок функции стимулирования с положительной производной,
то в рамках рассматриваемой модели для любой функции стимули-
рования найдется монотонная (неубывающая) функция стимулиро-

69
вания, побуждающая агента выбрать то же действие. Следователь-
но, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 6. Если выполнены предположения А.1-А.5, то
при решении задач синтеза оптимальных функций стимулирования
достаточно (без потери эффективности) ограничиться классом
неубывающих функций стимулирования.
Это утверждение вполне согласовано со здравым смыслом и
практическим опытом – большим значениям действий (отработан-
ному времени) должно соответствовать большее вознаграждение.
Рассмотрим интерпретации базовых систем стимулирования в
терминах функции полезности1, принимая во внимание, что выше
мы предположили, что кривые безразличия функции полезности
u(q, t) агента убывающие и выпуклые2.
Системы стимулирования K-типа.
Напомним, что компенсаторной выше была названа система
стимулирования, которая компенсирует затраты агента, обеспечи-
вая ему некоторый уровень полезности (например, полезность
резервной заработной платы U ). Множество допустимых возна-
граждений агента при ограничении C механизма стимулирования
заштриховано на рисунке 20.
Если центр гарантирует агенту значение полезности, равное
полезности резервной заработной платы, то компенсаторная систе-
ма стимулирования ?K(?) может быть найдена из следующих соот-


1
Так как целевая функция агента аддитивна (по доходу и времени), то в
рамках установления соответствия между функцией полезности и
целевой функцией [108, 116, 130] возникает задача аддитивной предста-
вимости полезности агента [111, 140]. Некоторые аспекты этой задачи
для случая моделей стимулирования обсуждались в [47]. Более подробное
изучение этого вопроса выходит за рамки настоящей работы и пред-
ставляет интерес в качестве объекта самостоятельного исследования.
2
Подчеркнем, что для упрощения изложения считается, что задача (6)
имеет внутреннее решение, то есть исключим из рассмотрения «угловое
решение», при котором оптимальная для агента продолжительность
свободного времени равна T (при этом стимулирование бессмысленно,
так как агент отрабатывает нулевое число часов, как и в случае полного
отсутствия стимулирования).
70
ношений (см. определение множества реализуемых действий
выше):
˜
(8) ? t: (T – t) ? P(C) u( ? K (t), t) = U ,
˜
(9) ?K(?) = ? K (T - ?).


c(?)+U



Множество
C
реализуемых действий

U
?

?max = c -1(C-U )
Рис. 20. Множество допустимых
вознаграждений АЭ
˜
Из (8) следует, что график функции ? K (t) совпадает с кривой
безразличия функции полезности, определяемой условием: ? = U
(см. рисунок (21)). Так как кривая безразличия - убывающая и
выпуклая, следовательно компенсаторная система стимулирования
(а также, как мы знаем из результатов первой главы, функция
затрат агента) является возрастающей и выпуклой (см. рисунок 21).
Кривая безразличия, соответствующая гарантированной полезно-
сти агента U , на рисунке 21 выделена жирной линией.
На рисунке 21 также изображена (жирной штрих-пунктирной
линией) компенсаторная функция стимулирования ?K(?), соответ-
ствующая данной функции полезности агента (отметим, что при
? > ?max = T - tmin = c-1(C - U ) компенсаторное вознаграждение
превысит ограничение C).
Итак, компенсация затрат в модели индивидуальных предпоч-
тений означает, что агент «находится» на изокванте полезности и
безразличен между всеми продолжительностями рабочего времени.
Если выполнена гипотеза благожелательности, то он выберет
продолжительность рабочего времени, оговоренную в контракте.
71
q
?K(?)
C



?? U
?= U

?? U t, ?
0 ?max = T - tmin
T/2
tmin T

Рис. 21. Компенсаторная функция стимулирования

Приведем доказательство оптимальности систем стимулиро-
вания К-типа (в задачах первого и второго рода) в терминах функ-
ции полезности. Пусть центр хочет побудить агента отработать ?*
часов. Свободное время при этом равно t* = T - ?*. Наличие резерв-
ной заработной платы ограничивает множество возможных значе-
ний вознаграждения полуинтервалом АВ (см. рисунок 22).
Задача синтеза оптимальной функции стимулирования сводит-
ся к поиску такого бюджетного ограничения, которое касалось бы
некоторой кривой безразличия на отрезке АВ, причем желательно,
чтобы величина вознаграждения в точке касания была минимальна,
то есть чтобы точка касания находилась как можно ближе к точке
А, а в идеале – совпадала бы с ней. Кривая безразличия, проходя-
щая через точку А, соответствует ограничению резервной заработ-
ной платы. Если рассматривать ее саму как бюджетное ограниче-
ние, то получим, что последнему соответствует именно
компенсаторная система стимулирования. При ее использовании
затраты на стимулирование по реализации действия ?* равны qA
(см. рисунок 22).
Если попытаться найти оптимальную пропорциональную сис-
тему стимулирования, реализующую то же действие ?*, то полу-
чим, что соответствующим ей бюджетным ограничением является
˜
прямая, касающаяся кривой безразличия ? > ? = U в точке С (см.
рисунок 22). Через точку С проходит кривая безразличия, соответ-
72
ствующая строго большей полезности, чем полезность резервной
заработной платы. Поэтому, хотя пропорциональная система сти-
мулирования и реализует действие ?*, она реализует его с затрата-
ми на стимулирование qC, строго большими, чем минимально
необходимые. Разность qC - qA показывает насколько переплачива-
ет центр при использовании пропорциональных систем стимулиро-
вания по сравнению с компенсаторными. Аналогичные рассужде-
ния можно привести, иллюстрируя их графиками (см. ниже), и
относительно эффективности других базовых систем стимулирова-
ния в сравнении с компенсаторными и друг с другом.

q
B ˜
? >?
C
qC
˜
?
A
qA

?= U

t, ?

t* T

Рис. 22. Оптимальность функции стимулирования К-типа

<< Пред. стр.

стр. 7
(общее количество: 11)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>