<< Пред. стр.

стр. 3
(общее количество: 9)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

частично плоскостью

68
Само собой разумеется, что потребуется большая сила для подъема тела в направлении перпендикуляра СВ, нежели в направлении наклонной плоскости АВ. Сделаем так, что прямая ВА (рис. 22) будет двигаться относительно неподвижной точки А. Если мы будем приближать ее к перпендикуляру AD, плоскость будет становиться наклонной по мере того, как мы будем ее поднимать, и для того, чтобы удержать груз, понадобится большая сила. Если же, наоборот, понижать ее, приближая к горизонтальной линии СА, наклон плоскости будет уменьшаться по мере того,

как мы будем ее опускать, и такой же груз будет удерживаться меньшой силой. В первом случае наклонная плоскость удерживает меньшую часть груза, а во втором — большую. Все это подтверждается опытом.
Когда направление
силы тяги параллельно
плоскости, груз
на наклонной
плоскости
удерживается
наименьшей силой
Если сила Р находится в равновесии с грузом D (рис. 23), когда направление силы тяги TD параллельно плоскости, то, как только это направление перестанет быть параллельным плоскости, равновесие нарушится, и груз потянет сила Р. Следовательно, если угодно удержать тяжесть наименьшей силой, надо, чтобы направление тяги было параллельно плоскости. И это подтверждается опытом.

Сила должна
относиться к тяжести
так же, как высота
наклона плоскости
относится к ее длине
Но поскольку плоскость, по мере того как Вы придаете ей большую или меньшую высоту наклона, поддерживает большую или меньшую часть тяжести, Вам ясно, что это правило можно обобщить. И тогда Вы скажете:
сила всегда так относится к тяжести, как высота наклона плоскости относится к ее длине. В сущности, это правило является следствием фактов, нами рассмотренных. Оно не что иное, как эти самые факты, выраженные обобщенно. Теперь попытаемся доказать это согласно установленным нами принципам.
Сила Р (рис. 23) действует на центр тяжести D, т. е. на конец линии FD; тяжесть стремится упасть в направлении
69
линии DEC перпендикулярно горизонту, и она упала бы в этом направлении, если бы ее частично не поддерживала плоскость. Вы можете рассматривать DFE как изогнутый рычаг, имеющий свою точку опоры в F; Вы видите, что прилагаемая сила воздействует в конце более длинного плеча рычага, а тяжесть давит на конец короткого плеча, на конец линии FE, перпендикулярной DC; она давит на точку Е и упала бы перпендикулярно в С, если бы не была поддержана.
Следовательно, DF выражает расстояние, на которое точка приложения силы отдалена от точки опоры, a EF выражает расстояние от этой самой точки, на которой находится тяжесть. Следовательно, две эти линии выражают условия, необходимые для равновесия, т. е. определенное соотношение силы и тяжести. Итак, эти две линии соотносятся между собой, как высота и длина плоскости: EF относится к DF, как ВА к АС. Вот это и следует доказать.
Сказать, что EF относится к DF, как ВА к АС,— это значит сказать, что три стороны треугольника DEF так же соотносятся друг с другом, как и три стороны треугольника ABC, поскольку если даны две стороны треугольника, то тем самым определена и третья.
Ведь сказать, что три стороны треугольника EDF так относятся друг к другу, как три стороны треугольника ABC,— это значит сказать, что эти треугольники подобны; нам остается доказать, что они действительно подобны.
Они подобны один другому, если они подобны третьему. Итак, DEF подобен DCF. Во-первых, DEF имеет прямой угол F, a DCF также имеет прямой угол F — они подобны в том, что каждый имеет прямой угол. Во-вторых, они подобны и в том, что угол CDF является общим для обоих. Стало быть, они одинаково подобны и третьему, так как, если даны два угла, третий определен.
Так же легко будет понять, что треугольник ABC подобен CDF, поскольку Вы видите, что каждый из них имеет прямой угол. Вы видите также, что наклонная линия АС падает на две параллельные линии АВ и CD и что, следовательно, угол DCA равен углу CAB. Вспомните сказанное нами, когда мы рассматривали углы, образующиеся при пересечении двух параллельных прямых третьей.
Когда какая-нибудь тяжесть находится в равновесии на наклонной плоскости, то доказано, что расстояние до точки опоры относится к расстоянию от точки приложения силы до этой же точки, как высота относится к длине

плоскости, и что, следовательно, сила относится к тяжести, как высота плоскости — к ее длине.
Скорость, с которой
тело спускается
по наклонной
плоскости
Тело спускается с различной скоростью в зависимости от того, падает ли оно перпендикулярно к горизонту или же падает по наклонной плоскости. Оно не может спускаться иначе как с силой, равной той силе, которая удерживала бы его в равновесии. Стало быть, мы можем вывести общее правило: сила, с которой тело спускается по наклонной плоскости, относится к весу тела, как высота плоскости к ее длине. Теперь следует найти путь, который оно должно пройти по линии АВ за то же время, за какое оно проходит путь от А до С.
Начертим плоскость ABC (рис. 24), длина которой будет вдвое больше высоты, и разделим АС и АВ на четыре части.

Я предполагаю, что АЕ, EF, FG и GC — четыре отрезка, которые тело должно пройти за две секунды.
Его движение
ускоряется
в пропорции
1, 3, 5, 7
На тело действует наполовину меньшая сила, когда оно падает из А в В, чем когда оно падает из А в С. Стало быть, оно должно иметь наполовину меньшую скорость, и потому оно достигает В лишь за четыре секунды. Итак, сила тяготения воздействует на тела одинаково, в каких бы направлениях они ни двигались, иначе говоря, в равные промежутки времени ускорение движения составляет пропорцию 1, 3, 5, 7 и т. д. Стало быть, тела, падающие
71
70

из А в С, проходят в первую секунду отрезок пути АЕ, а в следующую — отрезки EF, FG, GC, и точно так же тело, падающее из А в В, в первые две секунды должно пройти отрезок АН, а в две следующие — отрезки HI, IK, КВ. Тело, двигающееся по этой наклонной плоскости, придет в Н за такое же время, как если бы оно падало перпендикулярно из А в С, т. е., падая но линии АВ в течение двух секунд, оно окажется не ниже, чем падая по линии АС в течение одной секунды. Ведь Е и Н находятся на равном расстоянии от горизонтальной линии СВ.
Как узнать
расстояние,
которое оно должно
пройти по наклонной
плоскости за такое же
время, как если бы
оно падало перпендикулярно
Если Вы опустите перпендикуляр на АВ, Вы увидите, что он падает точно в Н. Стало быть, чтобы узнать путь, который тело должно пройти по наклонной плоскости за такое же время, как если бы оно падало из А в С, нам нужно всего лишь опустить перпендикуляр из С на плоскость АВ.
Падает ли тело
перпендикулярно
или вдоль наклонной
плоскости, оно
приобретает ту же
силу всякий раз,
когда оно падает
с той же высоты
Раз сила тяготения действует всегда одинаково, то из этого следует, что, каким бы ни был наклон плоскости, тело, когда оно опустится вниз, будет иметь ту же скорость, какую бы оно имело, если бы падало вдоль перпендикуляра.
Если плоскость имеет больший наклон и потому короче, ускорение будет большим и эта скорость будет достигнута раньше; если плоскость менее наклонна, ускорение будет меньшим и та же скорость будет достигнута позднее. Стало быть, какой бы ни была линия, которую описывают несколько тел, достигнув низа, они имеют ту же силу всякий раз, когда падают с той же высоты.
ГЛАВА XI
О МАЯТНИКЕ
Тело, падающее
вдоль хорд
окружности,
проходит их
за такое же время,
как если бы оно
проходило весь
диаметр
Начертим несколько наклонных плоскостей между точкой А и горизонтальной линией ВС и опустим перпендикуляры из С на эти плоскости. Наметим центр на равных расстояниях от А и от С и начертим окружность по угловым точкам D, Е, F. Линии AD, АЕ, AF (рис. 25) — хорды окружности; и мы
72

можем во второй полуокружности начертить прямые, которые, будучи параллельны первым, будут им равны и одинаково наклонны.
Ведь очевидно, что все эти прямые играют ту же роль, что и плоскости, о которых мы только что говорили. Тело спустится вдоль каждой из них за такое же время, как если бы оно падало с верха диаметра вниз из А в С.
Сколько бы мы ни проводили хорд в вертикально поставленной окружности, тело всегда затратит одинаковое время на прохождение каждой хорды, и время это будет равно тому, которое оно затратило бы на прохождение диаметра. Вы также заметите, что хорды пропорционально степени их наклона будут более длинными или более короткими.
Маятник производит
колебания за то же
время, за какое он
прошел бы четыре
диаметра окружности,
радиусом которой
он является
Сила тяготения всегда действует перпендикулярно, и независимо от угла наклона плоскости тело, достигнув горизонтальной линии ВС, имеет ту же силу, как если бы оно падало перпендикулярно из А в С. Пусть тело подвешено (рис. 25) к центру М на нити, длина которой равна полудиаметру

окружности. Это тело, опускаясь из h, не может упасть ниже С; но сила, приобретенная им при прохождении данного пути, может быть использована для прохождения еще одного, равного ему пути, и оно вновь поднимется в F. Дойдя до этой точки, оно утратит всю свою силу и, таким образом, вновь упадет под действием своего тяготения, вновь обретет достаточную силу, для того чтобы
73
подняться в точку h, откуда оно снова упадет, и т. д.
Тело, подвешенное таким образом, называется маятником. Оно может быть подвешено на веревке либо на проволоке. Движение маятника из h в С и из С в h называется колебанием или качанием.
Оно падает ускоренным движением из h в С за то же время, за какое оно упало бы из А; и за такое же время оно поднимается в F затухающим движением.
Стало быть, если бы за эти два промежутка времени оно падало перпендикулярно из точки А, оно прошло бы четыре диаметра окружности.
Значит, тело, подвешенное в центре М, затратило бы на колебание такое же время, какое оно затратило бы, проходя перпендикулярно четыре диаметра, либо, что то же самое, проходя высоту маятника восемь раз.
Условия, необходимые
для изохронных
колебаний
Таково соотношение между движением колебательным и движением перпендикулярным, когда, по нашему предположению, маятник опускается и поднимается по хордам. Ведь поскольку дуги окружности тем менее отличаются от хорд, чем они меньше, предполагается, что соотношение остается тем же, когда маятник совершает колебание по малой дуге LCK. По правде говоря, это допущение не совсем точно, поскольку геометры доказывают, что время, необходимое для того, чтобы опустить тяжелое тело по бесконечно малой дуге, относится к времени, необходимому для того, чтобы опустить его по хорде той же дуги, как длина окружности — к четырем ее диаметрам, или приблизительно как 355 к 452. Между тем периоды колебания по сколь угодно малым дугам окружности равны, потому что они соотносятся как равные периоды падения по хордам этих дуг. Вам следует отметить, что во всем сказанном нами о движении мы упускаем из виду трение, а также сопротивление воздуха. Но трение тем менее ощутимо, чем длиннее маятник и чем меньшую дугу он описывает.
Если бы не существовало ни трения, ни сопротивления воздуха, маятник, раз качнувшись, вечно продолжал бы свои колебания в равные промежутки времени. Когда маятник короток, а дуги большие и трение и сопротивление воздуха более ощутимы, то колебания происходят в неравные промежутки времени. А когда, наоборот, маятник длиннее, а дуги меньше, колебания могут без ощутимой ошибки рассматриваться как происходящие в одинаковые периоды

времени, до тех пор пока маятник не остановится. Подобные колебания называются изохронными.
Соотношение между
длиной маятника
и продолжительностью
колебаний
Время колебаний тем меньше, чем короче сам маятник. Вот каково должно быть это соотношение (рис. 26). AGBE и D/Bi — две окружности, диаметры которых АВ и DB относятся друг к другу как 4 к 1.

Мы доказали, что если тело падает из А в В за определенное время, то за промежуток времени, вдвое меньший,

оно может упасть лишь из D в В. Мы доказали также, что тело падает вдоль хорды окружности за то время, за какое оно падает вдоль диаметра. Стало быть, тело в Е упадет вдоль хорды BE за время, вдвое большее по сравнению с тем временем, в течение которого тело в f упадет вдоль хорды fВ. Итак, доказано, что если допустить, что дуги BE и fВ подобны или очень малы, то периоды падений по этим дугам, или периоды полуколебаний, соотносятся как периоды падений по хордам. Следовательно, время колебания маятника СВ будет вдвое больше, нежели время колебания маятника Be.
Если Вы хотите, чтобы колебания были в два раза медленнее, надо, чтобы маятник был в четыре раза длиннее, и, напротив, надо, чтобы он стал в четыре раза короче, если Вы желаете, чтобы колебания стали вдвое быстрее.
74
75

Для определения длины маятника необходимо знать центр колебаний
Но для того чтобы вымерить маятник, надо уметь определить центр колебаний, ведь длина маятника равна расстоянию от центра колебаний до центра подвешивания. Это один из труднейших вопросов. Всего того, что мы изучили до сих пор, недостаточно, чтобы научиться отыскивать точку, которая и есть центр колебания. Ограничимся же тем, что составим понятие о данной проблеме.
Представим себе маятник СР (рис. 27) как рычаг, имеющий точку опоры в центре подвеса С, и, не учитывая силы тяготения рычагов, предположим, что вся тяжесть подвешенного тела сосредоточена в точке Р.
Предположим, что это тело упадет из Р в В со скоростью, пропорциональной массе, умноженной на расстояние от центра тяжести до центра подвеса С, и центр колебания будет тот же, что и центр тяжести. Если предположить то же относительно маятника ср, составляющего лишь одну четверть СР, центр колебания будет для него снова тот же, что и центр тяжести подвешенного тела. Итак, если эти два маятника совершают колебания по дугам, соотносящимся как окружности, частями которых они являются, то р достигнет /, когда Р будет еще только в В; и р возвратится в точку, откуда оно вышло, когда Р достигнет F; р делает два колебания, в то время как Р делает одно, и если р затрачивает полсекунды на каждое колебание, то Р затратит на каждое колебание целую секунду.
Вы также можете рассматривать (рис. 28) подвешенный рычаг АС, не учитывая силы тяготения, и, разделив его на четыре равные части, поместить на втором делении тело В весом в два ливра, а на конце — тело С весом тоже в два ливра.
Скорости В и С соотносятся как произведения их масс на их расстояние от А, и произведения будут 12. А ведь произведение массы на расстояние для тела весом в четыре ливра, помещенное в D, на третьем делении было бы тоже 12. Следовательно, колебания этого маятника будут происходить со скоростью, составляющей среднее арифметическое по отношению к скоростям В и С, как если бы вся тяжесть сосредоточивалась в D.
Из всех этих предположений Вам ясно, что, чем меньшую тяжесть будет иметь нить по отношению к весу маятника, тем меньше поправок внесет сила тяготения рычага. Так именно и получается, когда тело значительного веса



подвешивают на очень тонкую стальную проволоку; наблюдали, что маятник длиной 39,2 дюйма (в английской мере) от центра диска до точки подвеса совершает одно колебание в секунду и, следовательно, 3600 колебаний в час. Этот опыт был проведен с маятником весом 50 ливров, которому была придана чечсвицеобразная форма, чтобы уменьшить

сопротивление воздуха; колебания продолжались целый день. Опыт (рис. 29) приблизительно показывает центр колебания бруска, однородного и имеющего одну и ту же плотность во всех своих частях, так как его колебания изохронны с колебаниями маятника, длина которого была бы равна третям длины бруска.
Предмет следующей книги
Я не склонен входить в дальнейшие подробности устройства механизмов. Принципов, изложенных мною, достаточно для объяснения того, как очевидность факта и очевидность разума содействуют друг другу при достижении истины, и, поскольку эти принципы позволяют составить идею о системе планет, я дам Вам представление об этой системе в качестве нового примера рассуждений, касающихся одновременно и очевидности факта, и очевидности разума. Вы увидите, монсеньер, что вселенная — не что иное, как машина, подобная только что изученным нами; это — весы. Эта истина будет доказана Вам при помощи ряда теорем, тождественных теоремам второй книги.
77
76

КНИГА ТРЕТЬЯ
КАК ОЧЕВИДНОСТЬ ФАКТА
И ОЧЕВИДНОСТЬ РАЗУМА
ДОКАЗЫВАЮТ СИСТЕМУ НЬЮТОНА

тивоположном берегу и АВ — двое детей, играющих в волан в этой лодке. Итак, если за то время, пока волан переходит из А в В, А вследствие движения лодки оказывается перемещенным в а и В в Ь, то В получит волан в Ь. Таким образом, под действием двух сил, направления которых образуют угол ВАа, волан прошел линию Аb —
ГЛАВА 1
О МЕТАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
(MOUVEMENT DE PROJECTION)
Действие
сопротивления
воздуха и силы
тяготения на снаряд,
выпущенный
горизонтально
Пушечное ядро, посланное горизонтально, продолжало бы двигаться с одинаковой скоростью в одном и том же направлении, если бы ему не противодействовала никакая причина. Но в то время как сопротивление воздуха уменьшает его скорость, сила, заставляющая его стремиться вниз, называемая силой тяготения, изменяет его направление. Если, предполагая, что ядро невесомо, мы будем учитывать лишь сопротивление воздуха, то мы предположим, что оно будет следовать своему первоначальному направлению, с каждым мгновением теряя скорость, так как оно не проложит себе путь, если не устранит частиц флюида, оказывающих ему сопротивление; оно не устранит их иначе, как придавая им движение, а сколько движения оно им сообщит, столько его и потеряет. Следовательно, оно будет продвигаться все медленнее и наконец остановится в воздухе.
Но оно падает, потому что имеет вес; оно падает в каждое мгновение, так как не прекращает быть невесомым. Таким образом, с каждым мгновением оно отклоняется от горизонтального направления и описывает кривую. Это происходит оттого, что оно уступает в одно и то же время двум силам, направленным под углом друг к другу. Как же оно уступает этим двум силам? Какому закону оно подчиняется?
Этот снаряд
проходит диагональ
параллелограмма
в то же время,
в какое он прошел бы
одну из двух сторон
Для наглядности предположите (рис. 30), что TS — плоскость лодки, движущейся в направлении TS по каналу HhgG.
Допустим, что dD — два неподвижных предмета, например два дерева, которые находятся на берегу; Сс — два человека на про-


диагональ параллелограмма ABba; он прошел ее за такое же время, за какое он был бы перенесен из А в а, если бы не имел иного движения, кроме движения лодки, или за такое же время, за какое он был бы вытолкнут из А в В, если бы он имел лишь движение, сообщенное ему ракеткой в лодке, находящейся в покое.
Между тем волан кажется детям движущимся в направлении АВ, так как в то время, когда он попадает в Ь, дети находятся на линии ab, не замечая движения, в результате которого они переместились, и не сознавая того, что они принимают ab за АВ.
Но люди на берегу, находящиеся в Сс и устремляющие глаза на предметы dD, не могут спутать эти две линии и видят, что волан перешел из А в b.
Если, сохраняя прежнюю скорость волана, Вы увеличите или уменьшите скорость лодки, то диагональ будет пройдена в такое же время, но она будет либо длиннее, либо короче. Если лодка движется быстрее, диагональ будет длиннее: она окончится, например, в точке п; если лодка движется медленнее, диагональ будет короче и окончится, например, в точке т.
Итак, мы можем обобщить этот закон: тело, приводимое в движение двумя силами, направленными под углом друг к другу, проходит диагональ параллелограмма за такое же
79
78

время, как если бы оно под воздействием одной из двух сил прошло одну из двух сторон.
Галилею возражали, что если бы Земля вращалась вокруг своей оси с запада на восток, то снаряд, выпущенный перпендикулярно горизонту, не упал бы в ту же точку, откуда поднялся, а упал бы, более или менее отклонившись к западу, в зависимости от того, насколько подвинулась бы эта точка к востоку за промежуток времени, который снаряд затратил бы, чтобы подняться и опуститься.
Это точно так, как если бы было сказано, что волан, брошенный из А к В, остался бы позади и упал бы за борт вне лодки; если бы, пока он двигался, лодка сама двигалась в направлении Аa.
Но волан подчиняется двум направлениям, поскольку он приводится в движение одновременно силой, приложенной к нему ракеткой, и силой, сообщаемой ему лодкой; так и предполагаемый снаряд имеет два направления: одно — перпендикулярное, которое мы ему придаем, другое — горизонтальное, сообщенное ему движением Земли. Стало быть, он должен подняться вдоль одной диагонали, по которой он движется к востоку, и из наивысшей точки, достигнутой им, опуститься вдоль другой диагонали, которая также отклоняет его к востоку. Так и отвечал Галилей; в качестве доказательства он приводил тот факт, что на парусном судне, как и на судне, стоящем на якоре, камень одинаково падает с верха мачты к ее подножию. Галилей справедливо полагал, что если камень падает перпендикулярно, когда судно неподвижно, то, когда судно движется, он падает наклонно к горизонту и проходит диагональ параллелограмма, одна сторона которого равна расстоянию, пройденному судном, а другая — высоте мачты.
Итак, опыт доказывает, что тело, движимое двумя силами, направленными под углом друг к другу, проходит диагональ параллелограмма за такое же время, за которое оно прошло бы одну из его сторон. Теперь посмотрим, как, проходя ряд диагоналей, оно опишет кривую.
Проходя ряд
диагоналей, оно
описывает кривую
Пушечное ядро (рис. 31), приведенное в движение в горизонтальном направлении АВ, продолжало бы, как мы уже говорили, двигаться в данном направлении, если бы сила тяготения не отклоняла его в каждое мгновение; и если бы оно было вытолкнуто силой, способной придать ему скорость 4 фута в секунду, оно прошло бы в пять секунд 20 футов по линии АВ.

Точно так же, если, падая из А, это ядро приводилось бы в движение только той силой, которую оно получает от своего тяготения, оно продолжало бы двигаться в направлении АЕ, перпендикулярно горизонту, и, поскольку в первую секунду оно прошло бы 1 фут, опускаясь из А в С, за пять секунд оно опустилось бы в Е, прошло бы 25 футов, поскольку это квадрат периодов времени.

Но так как его приводят в движение сразу две силы, из которых одна способна переместить его в В за то же время, за которое другая способна переместить его в Е, т. е. каждая за 5 секунд, оно подчинится обеим этим силам и, вместо того чтобы достичь В или Е, за 5 секунд упадет в G.
Если бы диагональ А параллелограмма ABGE представляла направление падения, ядро словно проходило бы по прямой линии, но поскольку обе силы действуют каждое мгновение и в каждое мгновение каждая отклоняет ядро от того направления, которое другая стремится ему придать, то очевидно, что мы приблизимся к описываемой ядром кривой лишь по мере того, как мы будем наблюдать его в самый короткий промежуток времени. Поэтому, если мы считаем, что ядро в А, толкаемое к С и к D, движется по диагонали Аb и что в 6, толкаемое к е и к /, оно движется по диагонали bh, и так далее вплоть до G, мы увидим, что оно движется по диагоналям 1, 3, 5, 7, 9, ряд которых образует кривую, и нам становится ясно, что если бы мы наблюдали движение ядра в более короткие промежутки времени, то каждая из этих диагоналей еще более искривлялась бы. Если бы это ядро (рис. 32) двигалось в направлении, наклонном к горизонту, как AI, то метательная сила заставила бы его пройти в равные промежутки расстояния АВ, ВС и т. д. Но так как сила притяжения заставляет его опускаться в каждое мгновение, оно будет
81
80

двигаться из А в Ь, вместо того чтобы двигаться из А в В. Следовательно, оно пройдет диагональ параллелограмма АВbа, сторона АВ которого представляет вытолкнувшую его силу, а сторона ВЬ, равная Аа, представляет силу тяготения.


опустится так же, как и поднималось, т. е. от диагонали к диагонали, вплоть до низшей точки V. Значит, оно опишет кривую AOV за такое же время, за какое оно поднялось бы в I, если бы совершало только движение, вызванное вытолкнувшей его силой.
Кривая, описываемая телом, брошенным горизонтально либо наклонно, называется параболой.
Таким образом, Вы можете представить себе параболу как ряд диагоналей, через которые проходит движущееся тело, когда оно одновременно подчиняется и выбросившей его метательной силе, и силе тяготения.
Вы можете заметить, что все сказанное нами в данной главе тождественно с какой-либо из двух теорем, доказываемых наблюдением; первая: отрезки пути, пройденные падающим телом, равны квадратам времени; вторая: тело, приводимое в движение двумя силами, направленными под углом друг к другу, проходит диагональ параллелограмма в такое же время, в какое под действием одной из двух сил оно прошло бы одну из двух сторон. В сущности, мы лишь по-разному объясняем эти две теоремы, когда заключаем из этого, что тело, брошенное наклонно или горизонтально, описывает параболу. Вам надлежит освоиться с ними, чтобы с большей легкостью постичь их тождественность с другими истинами, которые станут для Вас открытиями.
ГЛАВА II
ОБ ИЗМЕНЕНИИ, ПРОИСХОДЯЩЕМ С ДВИЖЕНИЕМ, КОГДА НОВАЯ СИЛА ПРИБАВЛЯЕТСЯ К ПЕРВОЙ
Точно так же, вместо того чтобы двигаться из Ь в М, подчиняясь лишь метательной силе, оно придет в N, так как подчиняется и силе тяготения, и пройдет диагональ параллелограмма bMNL. Таким образом, от диагонали до диагонали оно за четыре мгновения поднимется лишь на высоту точки О, вместо того чтобы подняться до Е, как это было бы, если бы оно двигалось под действием одной лишь метательной силы. Итак, от О до Е шестнадцать отрезков пути, и это ровно столько, насколько оно должно опуститься за четыре промежутка времени, так как шестнадцать — квадрат четырех.
Но поскольку оно поднялось из А в О замедленным движением, то из О в V оно опустится движением ускоренным. Вместо того чтобы двигаться из Q в R, оно будет двигаться из Q в S. Таким образом, под действием двух сил оно


Силы действуют
в одном и том же
направлении или
в различных
направлениях
Результат действия
сил, имеющих
одинаковое
направление
Две силы действуют либо в одном направлении, либо в противоположных направлениях, либо в направлениях, образующих угол. Надо рассмотреть эти три случая. Пусть тело А направлено из А в L (рис. 33) с силой, способной заставить его пройти расстояние АВ в одну секунду; в следующие секунды оно пройдет расстояние ВС, CD и т. д. потому, что все проходимые участки пространства равны первому. Если, когда оно находится в В, новая сила, равная первой, действует на него в том же направлении, оно обретет двойную силу; значит, оно пройдет из В в D, из D в F за та-
83
82

кое же время, за какое оно прошло из А в В, т. е. оно пройдет вдвое большую часть пространства в секунду, если добавленная вторая сила будет вдвое больше.
Результат действия сил, направления
которых противоположны
Если в то время, когда тело, движимое первой силой, проходит одинаково АВ, ВС и т. д., на него будет действовать равная сила в обратном направлении LA, оно останется неподвижным; так как эти две силы равны и противоположны, действие одной должно уничтожить действие другой. Если же последняя сила действует, лишь когда тело имеет тройную силу для прохождения трех отрезков пути за одну секунду, она уничтожит треть скорости. Следовательно, тело будет двигаться, как если бы оно подвергалось воздействию лишь одной двойной силы в направлении AL, и оно пройдет лишь два отрезка пути в одну секунду. Наконец, если в то время, когда оно продвигается на три отрезка в секунду, на него будут действовать сразу две силы, равные первой, одна в направлении AL, а другая в направлении LA, оно будет продолжать двигаться с той же скоростью, так как результат двух новых сил будет равен нулю, поскольку они взаимоуничтожились. Таковы результаты действия сил, имеющих одинаковое направление, и сил, направленных в противоположные стороны.
А теперь посмотрим, что должно произойти в других случаях.

Скорость возрастает,
когда две силы
цействуют под прямым
углом друг к другу
Я предполагаю, что тело (рис. 33), двигаясь равномерно, проходит расстояние от А до В и от В до С за одну секунду и что новая сила, равная первой, действует на тело в В в направлении линии В/, перпендикулярной к AL; в данном случае эта сила действует под прямым углом к первой. Тело изменит направление и, как ясно из сказанного выше, опишет диагональ Bb. На том же основании, если бы новая сила была вдвое больше, тело описало бы диагональ Be,

а если бы она была вдвое меньше первой, тело описало бы лишь диагональ В/. Отсюда Вы видите, что, какова бы ни была новая сила, действующая под прямым углом, скорость тела непременно увеличится, так как оно проходит диагональ прямоугольного параллелограмма в такое же время, в какое под действием одной из двух сил оно бы прошло одну сторону этого параллелограмма. Одним словом, Вы увидите, что в предполагаемом нами случае предложения Скорость движущегося тела увеличится и Движущееся тело проходит диагональ прямоугольного параллелограмма идентичны. Вы увидите, что и следующие теоремы тождественны с указанными выше, и мне не нужно будет это подчеркивать.
Скорость возрастает
и тогда, когда силы
действуют под острым
углом
Если новая сила действует под острым углом, то, как Вы понимаете, ее направление тем больше приближается к направлению первой силы, чем острее угол. Отсюда мы делаем два вывода: что она увеличит скорость и что она не увеличит ее так, как увеличила бы, если бы действовала не под углом, т. е. в том же направлении.
Если вторая сила
образует с первой
тупой угол, скорость
либо останется
прежней, либо
уменьшится
Если, например, новая сила, равная первой, направлена по линии Сс, то DCc будет острым углом, образуемым двумя направлениями. Итак, чем острее данный угол, тем тупее gcC и тем больше диагональ Cg. Но ведь эта диагональ есть пройденный путь, и она выражает скорость тела. Следовательно, скорость увеличивается всякий раз, когда новая сила действует под прямым или острым углом, но, если новая сила действует под тупым углом, скорость либо останется прежней, либо слегка уменьшится. Предположим, что эта сила, равная первой, когда тело находится в К, действует в направлении Кm, тогда диагональ К« параллелограмма КLnm будет равна Km, так как параллелограмм разделен на два треугольника, стороны которых равны. Тогда скорость тела останется прежней. Если бы новая сила была вдвое меньше первой, скорость тела уменьшилась бы, так как тогда [отрезок] Кр представлял бы новую силу и [отрезок] Ко, более короткий, нежели Кn, был бы пройденной диагональю.
Если новая сила вдвое больше и действует под тем же тупым углом (она изображается Кr), скорость, изображаемая Ks, увеличится.
84
85

Если эта сила действует под более тупым углом и вследствие этого в направлении более близком к противоположному, таком, как Кt, тело пройдет диагональ Km, равную KL, и, следовательно, его скорость не увеличится, несмотря на то что новая сила больше первой. Вы понимаете, что, если бы она была равна первой, скорость уменьшилась бы в той мере, в какой увеличился бы угол.
Положения данной
главы тождественны
с положениями
предыдущей
Все рассмотренные нами положения всего лишь различные приемы для выражения применительно к различным случаям следующего положения: движущееся тело пройдет диагональ, когда на него действуют две силы, направления которых образуют угол. Но рассмотренные выше положения будут необходимы нам для уяснения других тождественных им положений, т. е. других истин.
Закон, которому
подчиняется сила
тяготения, и закон,
которому подчиняется
тело, на которое
действуют две силы,
образующие угол,
окажутся
тождественными
со многими явлениями,
объясняемыми
в дальнейшем
ГЛАВА III КАК ДЕЙСТВУЮТ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ
Мы видели, что сила тяготения — это сила, способная заставить пройти фут в первую секунду; так она действует вблизи земной поверхности. Нам остается узнать, как она действует на всяком другом расстоянии, и, когда мы узнаем это путем наблюдения, мы начнем понимать систему планет. Для объяснения этих явлений достаточно учитывать закон, которому подчинена сила тяготения на любом расстоянии, и закон, которому подчиняется тело, приводимое в движение двумя силами, направленными под углом друг к другу. Вы увидите, что истины, нами открытые, и будут этими двумя законами, различным образом изложенными сообразно различным случаям.
Что подразумевается под силой
центробежной, центростремительной
и центральной
Когда Вы вращаете пращу, камень, с одной стороны, делает усилие, чтобы вырваться по тангенсу, а с другой — удерживается веревкой. Сила, с которой он стремится отклониться
от центра своего движения, называется центробежной, а сила, благодаря которой он удерживается на своей


Соотношение
центробежных и
центростремительных
сил в теле,
движущемся
кругообразно
орбите, называется центростремительной; понятно, что и ту и другую можно назвать центральными силами. Чем быстрее вращение пращи, тем больше усилий делает камень, чтобы вырваться, и тем больше усилий делает веревка, чтобы его удержать. Вы, разумеется, ощущаете, что, по мере того как камень движется со все большей скоростью, веревка все туже натягивается, и Вы можете догадаться, что камень описывает круг лишь потому, что сила, которая влечет его к центру, равна силе, удаляющей его от центра.
Подобно этому, планеты перемещаются вокруг Солнца. Когда Вы наблюдаете в театре смену декораций, Вы отлично представляете себе, что механизмы приводятся в движение только веревками, на которых они подвешены и которые Вам не видны.
А ведь притяжение, монсеньер, не что иное, как невидимая веревка, и натяжение этой веревки бывает больше или меньше. Соответственно этому стремление планеты отклониться будет больше или меньше.

Пушечное ядро (рис. 34), выпущенное с вершины горы, будет двигаться сообразно силе пороха по кривой АВ в С и в D; оно даже вернулось бы в А, если бы не встречало сопротивления воздуха; порох мог бы сообщить ему силу проекции, равную силе, притягивающей его к центру Земли, и оно продолжало бы двигаться так потому, что центробежная сила равна силе центростремительной. Эта истина станет для Вас очевидной, если Вы увидите, что она тождественна с другими, уже доказанными истинами.
Прочертите из центра Земли радиус АЕ ( рис. 34) и перпендикулярно этому радиусу проведите прямую AF. Вы увидите, что эти две прямые образуют прямой угол, что AF изображает направление силы, вытолкнувшей ядро, а АЕ — направление силы тяготения, которая толкает, или
86
87

притягивает, его к Земле. Однако сказать об этих двух силах, которые мы считаем равными, что они действуют под прямым углом, еще не значит сказать, что они приближают ядро к центру Земли или удаляют ядро от центра. Это всего-навсего означает, что ядро движется с удвоенной скоростью, а раз оно двигается с удвоенной скоростью, не удаляясь и не приближаясь, то, значит, оно описывает окружность. В самом деле, разделите эту окружность на малые равные части и начертите радиусы, которые заканчиваются в конце каждой из них, и Вы увидите, что сказать применительно к каждому делению, что эти две силы заставляют ядро пройти равные диагонали,— значит сказать, что они постоянно удерживают ядро на равном расстоянии от центра, либо что они вынуждают ядро описать круг.
Сила тяжести,
или притяжения,
действует прямо
пропорционально
количеству материи
Сила тяжести, как называют еще центростремительную силу, действует прямо пропорционально количеству материи, т. е. два тела притягиваются друг к другу пропорционально их массе. По сути дела притяжение в массе — это притяжение каждой частицы; оно, стало быть, будет удвоенным, утроенным и т. д., когда количество материи будет удвоено, утроено и т. д., а расстояния будут предположительно равны.
И обратно
пропорциональна
квадрату расстоянии
Я говорю «если расстояния равны», потому что сила притяжения убывает соразмерно расстоянию между телами. На удвоенном расстоянии тело будет притягиваться в четыре раза слабее, на утроенном — в девять раз и т. д. Данное положение следует сделать наглядным.
Пример, поясняющий это
Если свет одной свечи пропустить в маленькое отверстие и на расстоянии одного фута поместить поверхность А в один квадратный дюйм (рис. 35), эта поверхность отбросит на тело В, находящееся в двух футах, тень в 4 квадратных дюйма, а на тело С, находящееся в трех футах, тень в 9 дюймов. На D, находящееся в четырех футах,— тень в 16 дюймов, на расстоянии пяти футов — тень в 25, на расстоянии шести — тень в 36. Одним словом, тень увеличивается пропорционально квадрату расстояния. Но раз тело А отбрасывает на В тень в 4 квадратных дюйма, на С — в 9 квадратных дюймов и на D — в 16, то, следова-

тельно, будучи перемещено в В, оно получит лишь четвертую часть света, который оно получило в А, в С — лишь девятую, а в D — лишь шестнадцатую. Значит, свет убывает соразмерно тому, как увеличивается тень.

Если бы свет возрастал, как тень, он усиливался бы прямо пропорционально квадрату расстояния, но так как он убывает в той же пропорции, в какой растет тень, то говорят, что свет действует обратно пропорционально квадрату расстояния. То же происходит и с теплотой, если предположить, что действие лучей является единственной ее причиной; ведь согласно этому предположению, если бы Земля была в два раза дальше от Солнца, она была бы в четыре раза меньше освещена. На утроенном расстоянии она была бы нагрета в девять раз меньше; на расстоянии, в четыре раза большем,— в шестнадцать раз меньше и т. д. Следовательно, действие теплоты также обратно пропорционально квадрату расстояния.
Но сила притяжения, так же как и свет и теплота, действует от центра к окружности. Значит, она будет также действовать обратно пропорционально квадрату расстояний, раз она увеличивается и уменьшается в той же пропорции, что и свет и теплота. Именно так она возрастает и убывает; это доказывается наблюдением. Но оттого что Вы еще не в состоянии понять, каким образом стало возможным наблюдать это явление, Вам пока будет достаточно довериться авторитету наблюдателей и вместе с ними считать это принципом, способным объяснить и другие явления.
Сила тяготения, вес, тяжесть, гравитация — все это следствия одной причины, которую мы называем притяжением.
Все эти слова, в сущности, означают одно и то же и различаются лишь по дополнительным данным, которые я Вам уже объяснил *.
* В словаре французских синонимов.
88
89

Явления, которые мы обозначаем этими словами, следовательно, подвержены законам притяжения, т. е. сила тяготения в небесных телах, их вес, тяжесть или тяготение, обратно пропорциональна квадрату расстояний. Я говорю «небесные тела», потому что нам представится случай заметить, что гравитация частиц материи подчиняется другим законам.
Вес тела на любом расстоянии от Земли относится к его весу
на поверхности
Земли как единица
к квадрату этого
расстояния
Из того, что сила притяжения действует обратно пропорционально квадрату расстояния, следует, что три тела, которые будут иметь вес в один ливр (одно — в двух радиусах от центра Земли, другое — в трех и третье — в четырех радиусах), будут весить в одном радиусе: первое — 4 ливра, второе — 9 и третье — 16. Потому что все эти теоремы, в сущности, говорят одно и то же, а различаются лишь по способу выражения.
Скорость, с которой падает тело,
обратно
пропорциональна
квадрату его
расстояния
Следовательно, и это еще одна теорема, тождественная с предыдущими, вес тела на любом расстоянии так относится к весу, который оно имело бы на поверхности Земли, как единица к квадрату этого расстояния. Если же я хочу узнать, сколько бы весило на поверхности Земли тело, которое на расстоянии 60 радиусов весило бы один ливр, мне нужно всего лишь умножить 60 на 60, и я получу квадрат этого числа — 3600; если же, наоборот, на поверхности Земли оно весило бы один ливр, то на расстоянии в 60 радиусов оно весило бы всего лишь 3600-ю часть ливра. Итак, сила тяготения — это сила, которая определяет скорость, с которой падает тело. Следовательно, зная скорость падения тела на поверхности Земли, я узнаю его скорость на любом другом расстоянии, например на расстоянии 60 радиусов. Мне понадобится лишь следующее рассуждение. Тело вблизи поверхности Земли опускается за одну секунду на один фут, следовательно, в 60 радиусах оно подвергнется действию силы, в 3600 раз меньшей; стало быть, оно опустится лишь на 3600-ю часть фута. А если я захочу узнать, в какое время оно должно пройти на этом расстоянии 3600 частей, или целый фут, мне нужно только вспомнить, что пройденные участки пространства представляют собой квадраты соответствующих промежутков времени. Таким образом, если пройденное про-

странство содержит 3600 частей, то время будет равно 60 секундам, квадратному корню из 3600.
Даже из этих расчетов тождественность достаточно видна; будем продолжать идти от тождественных теорем к тождественным и посмотрим, куда мы придем.
Какова
центростремительная сила Луны
Какова
ее центробежная сила
Луна находится на расстоянии 60 радиусов от Земли; значит, она опустилась бы на один фут в минуту и на 3600 — в 60 минут, или за один час, если бы она была предоставлена своему весу, т. е. если бы она приводилась в движение одной толькой силой, которая влечет ее к Земле; при данном предположении было бы достаточно произвести вычисления согласно законам ускорения движения, чтобы определить время ее падения. Но если за один час ее вес, или ее центростремительная сила, должен принудить ее опуститься на 3600 футов, то очевидно, что она опишет орбиту на расстоянии 60 радиусов лишь при условии, что на нее будет действовать центробежная сила, способная отклонить ос на 3600 футов за один час.
Итак, мы знаем, какова центробежная сила Луны и какова ее центростремительная сила. Кроме того, мы знаем, что она заканчивает свой полный оборот за 270 дней и 7 часов. Зная это, мы можем определить ее орбиту.
Как можно узнать ее орбиту
Если мы предположим, что АВ (рис. 36) — путь, который она прошла бы за один день, будучи предоставлена своему собственному весу, то мы имеем одну из сторон параллелограмма, диагональ которого она должна описать.

Но поскольку АВ представляет центростремительную силу, [отрезок] АС, перпендикулярный к АВ, представляет силу, побуждающую ее двигаться по касательной к орбите, и [отрезок] CD, параллельный и равный АВ, заканчивает параллелограмм и представляет центро-
90
91

бежную силу. Таким образом, очевидно, что AD — это кривая, которую Луна опишет за день под действием двух сил. В результате мы получим приблизительную орбиту этой планеты, если, для упрощения пренебрегая часами, начертим такую окружность, что AD будет одной двадцать седьмой ее частью.
Как наблюдения
подтверждают
соответствующие
расчеты
Вы видите теперь, как наблюдения за силой тяготения позволяют определить центральные силы Луны и кривую, которую она описывает вокруг Земли. Но для того чтобы уверить Вас в том, что эти расчеты верны, надо подтвердить их наблюдениями; и если обнаружатся отклонения от рассчитанной нами кривой движения Луны, надо, чтобы наблюдения выявили причину таких отклонений, которая не противоречила бы расчетам; именно так и получилось у нас.
Почему трудно объяснить кажущиеся
неправильности в движении Луны
Все эти расчеты подтверждались бы наблюдениями, если бы Луна тяготела лишь к одной Земле и описывала окружность, центром которой была бы Земля. Но, во-первых, Луна, кроме того, тяготеет и к Солнцу; во-вторых, она описывает не окружность, а эллипс, и, наконец, Земля находится не в центре эллипса, а в одном из фокусов.
Все эти соображения настолько затрудняют расчеты, что еще не удалось с точностью объяснить все кажущиеся неправильности движения Луны.
Действие солнечного притяжения на Луну
Если Луна (рис. 37) находится в А, а Земля — в Т, Солнце S одинаково притягивает их, так как оно находится на равном расстоянии от той и от другой.
В таком случае ничто не изменит силы тяготения Луны к Земле. Но если Луна находится в В, она будет больше притягиваться Солнцем, так как она ближе к нему, и вследствие этого она будет меньше тяготеть к Земле. В С сила тяготения к Земле будет та же, что и в А. И наконец, в D Земля, сильнее притягиваясь к Солнцу, удалится от Луны, которая в силу этого меньше будет тяготеть к Земле. Таким образом, во всех точках орбиты, за исключением А и С, Солнце более или менее стремится отдалить друг от друга эти две планеты. Добавим, что это действие Солнца изменяется еще и по мере того, как Земля и Луна, которую она увлекает в своем обращении, приближаются к Солнцу или удаляются от него. Здесь Вы начинаете понимать, что дви-




жение Луны должно быть то ускоренным, то замедленным и что описываемая ею орбита не может быть абсолютно правильной.
Бесполезно вдаваться в дальнейшие подробности по этому вопросу. Я ограничиваюсь тем, что даю Вам общую картину, общие планы, с помощью которых Вы сможете глубже вникнуть в данный предмет, если Вас побудит к этому любознательность и если занятия, более соответствующие Вашему положению, оставят Вам какой-то досуг для этого.
ГЛАВА IV ЭЛЛИПСЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ПЛАНЕТАМИ
Эллипсы объясняются рядом теорем,
тождественных с тем,
что уже было
доказано
Луна вокруг Земли, планеты и кометы вокруг Солнца описывают эллипсы. Тот, который я Вам сейчас приведу в качестве примера, является наиболее эксцентрическим из всех планетных эллипсов, и все же он менее эксцентрический, нежели кометные эллипсы; но его рассмотрения достаточно, для того чтобы объяснить и те и другие, потому что законы для них одинаковы.
92
93

ГЛАВА V ПЛОЩАДИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ВРЕМЕНИ
Часть эллипса,
описываемая
при ускоренном
движении
Часть эллипса,
где движение
замедляется
Увеличение и уменьшение углов —
не единственная
причина, ускоряющая
и замедляющая
движение
Я хочу, чтобы Вы сначала отметили, что вес, что мы будем говорить для объяснения этих эллипсов, сводится, в сущности, к тому, что уже говорилось и доказывалось, когда мы объясняли кривую, называемую параболой, именно что небесные тела описывают эллипсы только потому, что, подчиняясь двум силам, всегда направленным под углом друг к другу, они движутся от одной диагонали к другой. Тело (рис. 38), брошенное в направлении ай, притягивается Солнцем в направлении AS, т. е. под прямым углом, следовательно, оно будет двигаться ускоренно из А в В. Когда оно придет в эту точку, сила проекции понудит его двигаться по линии ВЬ, но оно притягивается под острым углом в направлении BS; следовательно, его движение еще будет ускоренным, и оно будет двигаться из В в С. Таким образом, направление силы, действующей вдоль касательных, всегда составляет острый угол с направлением силы тяготения, и две сложные силы ускорят движение планеты, пока она не придет в Р. Когда планета приходит в Р, направление силы, действующей вдоль касательной Р, составляет прямой угол с PS, направлением силы тяготения; планета будет двигаться в F. Но поскольку она прошла путь из D в Р, двигаясь ускоренно, то из Р в F она движется замедленно. ВF направление силы, действующей по касательной F/, составит тупой угол с FS, направлением силы тяготения, следовательно, движение будет еще замедленным, и оно будет замедленным до тех пор, пока планета не придет в А, потому что углы все время будут тупыми. Но следует заметить, что увеличение и уменьшение углов — не единственная причина, которая ускоряет и замедляет движение. Ведь из А в Р углы уменьшаются лишь до половины пути, точно так же как и возрастают
они до половины пути из Р в А. Следовательно, ускорение и замедление имеют еще и другую причину. И действительно, планета ускоряет свое движение по пути из А в Р, так как все больше приближается к Солнцу, которое притягивает ее обратно пропорционально квадрату расстояния, а замедляет она свое движение, возвращаясь из Р в А, поскольку, по мере того как она все больше удаляется от Солнца, она все меньше им притягивается.


Что подразумевается под радиусом,
вектором и
под описываемыми
ими площадями
Площадь треугольника — это пространство, ограниченное тремя его сторонами (рис. 38). Таковы отрезки AS, BS и т. д. Когда планета движется из А через В, С и т. д., радиус SA представляется как прямая, которая, поднимаясь над центром S, уносит планету на другой конец и которая, перемещаясь вместе с планетой, так сказать, заметает соответствующую площадь, по мере того как планета описывает сторону, противоположную центру S. Этот радиус называется «радиус-вектор», т. с. «несущий». Вот что подразумевают, когда говорят, что планета описывает площади вокруг центра своего движения. Площади пропорциональны промежуткам времени.
Ныне все астрономы знают, что площади, описываемые планетой, пропорциональны времени, т. е. в равные промежутки времени планеты описывают равные площади. Кеплер первый открыл это явление и первый выдвинул догадку, что причина его — притяжение Солнца. Ньютон доказал истинность этого открытия и этого предположения.
Эта истина становится наглядной, когда планета движется по круговой орбите. Когда планета движется кругообразно вокруг центра, она описывает одинаковые дуги окружности в одинаковые промежутки времени. В данном случае площади, которые описывает радиус-вектор, не только равны, но также и подобны, и это подобие делает наглядным их равенство. Вот что должно происходить всякий раз, когда планета движется по круговой орбите, ибо поскольку ее движение ни замедленно, ни ускоренно, то, очевидно, радиус-вектор в одинаковые промежутки времени проходит равные и подобные площади.
Именно так, по-видимому, движутся вокруг Юпитера его спутники. По правде сказать, сообразно их положениям они должны более или менее отклоняться, так как они не всегда находятся на одном и том же расстоянии от Солнца и на одинаковом расстоянии друг от друга. Но мы можем пренебречь этими неправильностями, так как они не столь значительны, чтобы их можно было наблюдать в телескоп.
94
95

Доказательство
данной истины,
когда планета
движется
по эллипсу
Когда планета совершает движение по эллипсу, а центр движения находится в одном из фокусов, то радиус-вектор описывает равные площади. Это равенство вначале не столь ощутимо, потому что площади не все подобны и Вы найдете подобие лишь среди тех, которые соответствуют одна другой на одинаковом расстоянии от перигелия и от афелия. Но хотя площади (рис. 39) не все подобны, они все равны: те, у которых наименьшая длина, выигрывают в ширине то, что они проигрывают в длине. Вы сможете наглядно увидеть это на рисунке; однако необходимо привести доказательство этого.

Вы знаете, что площадь треугольника, или пространство, заключенное между тремя сторонами, есть половина произведения высоты на основание, а потому Вы полагаете, что, когда треугольники имеют одно и то же основание и одинаковую высоту, площади равны. Теперь предположим, что тело (рис. 39), двигаясь равномерно, проходит в равные промежутки
времени равные отрезки АВ, ВС; очевидно, что площади ASB, BSC, описываемые радиусом-вектором, равны, так как оба этих треугольника имеют одинаковую высоту и одинаковое основание: одинаковое основание — так как ВС равно АВ и одинаковую высоту — так как высота и того и другого — это перпендикуляр, опущенный из вершины S на прямую AD.
Следовательно, пока это тело будет продолжать двигаться по той же прямой и пока треугольники будут иметь общую вершину в той же точке, площади останутся равными и будут различаться лишь потому, что они будут выигрывать в длине то, что потеряют в ширине.
Однако, когда это тело вместо прямой линии будет описывать кривую линию вокруг точки S, где мы установили вершину треугольников, данное направление не изменит размера площадей, а изменит лишь их конфигурацию, так что они выиграют в ширину то, что они потеряют в длину. Для доказательства сообщим этому телу, пришедшему в С, силу, способную, при условии что на тело не будут действовать другие силы, перенести его в Е за то же время, за какое

оно пршло бы, двигаясь равномерно, из С в D. Из вышесказанного явствует, что данное тело, подчиняясь этим двум силам, пройдет диагональ CF параллелограмма CDFE за то же время, за какое оно прошло бы СЕ или CD. Стало быть, радиус-вектор опишет площадь SCF, но эта площадь равна SCD, так как два треугольника имеют общее основание в CS и, находясь между двумя параллелями СЕ и DF, имеют также общую высоту в перпендикуляре, опущенном с одной из этих прямых на другую. Вам понятно, что то же самое рассуждение доказывает равенство следующих площадей.
Площади

<< Пред. стр.

стр. 3
(общее количество: 9)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>