<< Пред. стр.

стр. 10
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

- max[0, 1 (r 1 max + r 1 max r 1 min + r 1 min ) - r 1 ((rmax - r 0 )r 0 - (rmax - r 0 )r 0 )]
??
0 0

6r max
Следует отметить, что у предложенного выше метода анализа
агентами выгодности позиций центра и активного агента есть недостаток –
агенты не производят анализ предлагаемого оппонентом механизма и не
пытаются восстановить истинные тип оппонента. Поэтому данный метод
может быть назван методом для «квазиинтеллектуальных». Метод анализа
выгодности позиций Ц и АЭ для «интеллектуальных» агентов может
основываться на сравнении прибыли агента в роли АЭ с прибылью в роли
центра, куда подставляется тип оппонента, восстановленный из
предлагаемого им механизма обмена. Проиллюстрируем данное
предположение. Агент 0 предлагает агенту 1 некий план обмена:
?
2
(86) x2 (r 1 ) = Ar 1 , "r 1 I W1 ;

?
3
(87) x1 (r 1 ) = Br 1 - C , "r 1 I W1 .

Предполагая, что данный план обмена должен являться механизмом
ОУ, и зная вид функции прибыли агента 0 от обмена (17), агент 1 может
решить следующую систему уравнений, получив тип агента 0 r 0 :

i
ir 0 = Ar 1 max
i
i 3
(88) ir 0 = r 1 max B
2
i
i0 6C
r = r 1 max 13
i
i r min


79
Причем, если данная система совместна, то агент 0 действительно
предлагает механизм обмена ОУ. Полученное значение типа агента 0
позволяет посчитать уже не ожидаемую прибыль агента 1 в роли центра, а
фактическую:
(2r 0 - r 0 max ) 2 ?
02
f1 (r , r ) = r (r - (r - r )r - ), "r 0 I W 0 = [r 0 , r 0 max ] ,
C
?? ?
0 1 1 0 0 0
(89) max
2
"r 1 I W1 ;
?
f1 (r 0 , r 1 ) = 0 , "r 0 I W 0 / W 0 , "r 1 I W1 .
C



Аналогичная ситуация и для агента 0 – для него показателем
использования агентом 1 механизма обмена ОУ служит совместность
следующей системы

i1 M
ir = 2
i
ir 1 = N
i
r 0 max
(90) i
ir 1 = O
i
P
ir 1 =
i (r 0 max - r 0 )r 0
??
i
Константы M,N,O,P определяются из предлагаемым агентом 1
механизма обмена:
?
(91) x2 (r 0 ) = Mr 0 - N , "r 0 I W 0 = [r 0 , r 0 max ] ;
?

?
x2 (r 0 ) = 0 , "r 0 I W 0 / W 0 ;

?
2
(92) x1 (r 0 ) = Or 0 - P, "r 0 I W 0 = [r 0 , r 0 max ] ;
?

?
x1 ( r 0 ) = 0 , "r 0 I W 0 / W 0 .
Полученное значение типа агента 1 может быть использовано для
вычисления фактической прибыли агента 0 в роли центра:
2 3 3
4r 1 - r 1min ?
r1 02
(93) f 0 (r , r ) = r ( 1 - ) , "r 0 I W 0 , "r 1 I W1 ;
C 0 1
2
r max 6r 1max


80
Используя введенную ранее замену переменных - r 0 = armax , r 0 = b rmax ,
?
0 0



r 1 = grmax , rmin = hrmax , перепишем фактические прибыли обоих агентов в
1 1 1



удобном для анализа виде:

a2
(94) f 0 ( I ,a , g ,h ) = I (6g 2 - 4g 3 + h 3 ) ;
C

6

1
(95) f1 ( I ,a , b , g ) = Ig ( - (1 - a ) 2 - (1 - b ) b ) .
C

2

Для того, что бы «интеллектуальный» агент 0 предпочел роль АЭ роли
центра необходимо выполнение следующего неравенства

a2
(96) L0 (a , b , g ,h ) = g [(1 - b ) b - (1 - a )a ] - (6g 2 - 4g 3 + h 3 ) ? 0 .
6
Для того, что бы «интеллектуальный» агент 1 предпочел роль АЭ роли
центра, необходимо, что бы

a2 1
(97) L1 (a , b , g ,h ) = (g 3 - h 3 ) - g ( - (1 - a ) 2 - (1 - b ) b ) ? 0 .
6 2
Утверждение 4. Существует область значений параметров ?, ?, ?, ?,
Q 0 Iae = QaIae ? Q 0 Iae ? Qg0 Iae ? Qh Iae в которой позиция АЭ предпочтительнее
0 0
b

для «интеллектуального» агента с нулевым номером. Область
Q 0 Iae = QaIae ? Q 0 Iae ? Qg0 Iae ? Qh Iae имеет следующий вид:
0 0
b



(98) a I QaIae = [(3 + 9 - 6(6 - m )(1 - b ) b )(6 - m ) -1 ,1] ;
0




11 1
(99) b I Q 0 Iae = [ ; (1 + 9 - 6m )] ;
b
22 6

3
(100) g I Q g0 Iae = [h , ( 3 - 1)] ;
4

1
(101)h I Qh Iae = (0, (32g 3 - 48g 2 + 12g )1 / 3 ] .
0

2


81
6g 2 - 4g 3 + h 3
Здесь используется замена m = .
g
Доказательство. Очевидно, что m > 0 .
Решив (96) как квадратичное неравенство относительно ?, получим,
что a I (-?,a - ] E [a + , ?) , где a ± = (3 ± 9 - 6(6 - m )(1 - b ) b )(6 - m ) -1 ,
при условии, что m < 6 .
Покажем, что ?- < 1/2. Очевидно, что данное утверждение
эквивалентно неравенству
m
(102) 9 - 6(6 - m )(1 - b ) b > .
2
Неравенство (102) выполнено для m I (-6(1 - 2b ) 2 ,6) . Учитывая (62)
получаем, что данное неравенство выполнено всегда.
Если m > 6 , то a I [a - ,a + ] , где
a ± = (3 m 9 - 6(6 - m )(1 - b ) b )(6 - m ) -1 .
Легко показать, что при m > 6 , a + > 1 .
Следовательно, с учетом (62), (102) выполнено для
a I QaIae = [(3 + 9 - 6(6 - m )(1 - b ) b )(6 - m ) -1 ,1] .
0



Для того, что бы множество QaIae было не пусто, необходимо, что бы
0




(103) 9 - 6(6 - m )(1 - b ) b ? 3 - m .

Неравенство (103) можно переписать следующим образом

(104) m 2 - 6m (1 + (1 - b ) b ) + 36(1 - b ) b ? 0 .

Решив данное неравенство относительно ?, получаем
3
1 1 1 1
b I [ (1 - 9 - 6m ); (1 + 9 - 6m )] и m ? .
2
2 6 2 6
1 1 1
9 - 6m ) ? .
(1 -
Очевидно, что Следовательно, с учетом
2 6 2
11 1
b I Q 0 Iae = [ ; (1 + 9 - 6m )] ,
ограничений на ? и (62), получаем b
22 6


82
1
h I Qh Iae = (0, (32g 3 - 48g 2 + 12g )1 / 3 ] . Множество Qh Iae
0 0
не пусто при
2
3
g I Q g0 Iae = [h , ( 3 - 1)] .¦
4
На качественном уровне - «интеллектуальный» агента 0 добровольно
согласится на роль АЭ, если качество его типа будет достаточно высоким,
качество типа оппонента достаточно низким, и оба агента будут плохо
информированы.

Утверждение 5. Q 0 ae C Q 0 Iae =0.

2(1 + h + h 2 )
3
Доказательство. Очевидно, что для "h ( 3 - 1) < .
4 3
Следовательно Q g0 ae C Qg0 Iae =0.¦
Т.е. стратегии «интеллектуального» и «квазиинтеллектуального»
агентов 0 различны в вопросе выбора роли АЭ.

Утверждение 6. Q / Q C Q / Qg0 Iae ? 0 .
0 ae




Рассмотрим h = 0,9 . Очевидно, что h I Qh ae и
?
? 0
Доказательство.
h I Qh Iae . "a , b , g ,
? 0
Т.е. для удовлетворяющих (61) и (62)
(a , b , g ,h ) I Q / Q g0 ae и (a , b , g ,h ) I Q / Qg0 Iae .¦
? ?
Иными словами, возможны ситуации, когда и «интеллектуальный» и
«квазиинтеллектуальный» агент 0 выберут роль центра.
Проведем аналогичное исследование для «интеллектуального» агента
1.
Утверждение 7. Существует область значений параметров ?, ?, ?, ?,
Q1Iae = Q1Iae ? Q1bIae ? Q1Iae ? QhIae , в которой роль АЭ предпочтительнее для
1
a g


Q1Iae = Q1Iae ? Q1bIae ? Q1Iae ? QhIae
1
«интеллектуального» агента 1. Область a g

имеет следующий вид:

1
(105) a I Q1Iae = [ b , (1 - 1 - ( + (1 - b ) b )(1 + x ) )(1 + x ) -1 ] ;
a
2

83
1 1 (1 - 1 - 2x )
(106) b I Q1bIae = [ ; ];
x
22

"g ,h , удовлетворяющие (61) и (62).
g 3 -h 3
Здесь используется замена x = .
6g
1
> x ? 0 для "g ,h ,
Доказательство. Очевидно, что
6
удовлетворяющие (61) и (62). Перепишем (97) с учетом данной замены:
1
(107) L1 (a , b , g , x ) = g (a 2 (x + 1) - 2a + + (1 - b ) b )) ? 0 .
2
Решение (107) как квадратичного неравенства относительно ? имеет
вид a I (-?,a - ] E [a + , ?) , где
1
a ± = (1 ± 1 - ( + (1 - b ) b )(1 + x ) ) /(1 + x ) .
2
Легко видеть, что a + > 1 при "b , x , для которых выполняются (61) и
(62):
1 3 11
1 - ( + (1 - b ) b )(1 + x ) > 1 - (1 + x ) > >.
2 4 86
Также, очевидно, что a - < 1 при "b , x , для которых выполняются (61)
и (62):
1
- 1 - ( + (1 - b ) b )(1 + x ) < x
2
Соответственно, множество Q1Iae не пусто, если a - ? b :
a


1
(108) 1 - 1 - ( + (1 - b ) b )(1 + x ) ? b (1 + x ) .
2
b I (-?, b - ] E [ b + , ?) , где
Неравенство (108) выполняется для
1 (1 ± 1 - 2x )
b± = .
x
2
Легко видеть, что b + > 1 для "x 1 - 2x + 1 - 2x > 0 .
Также, не трудно показать, что b - ? 1 для "x 1 - 2x ? 1 - 2x .
84
1
По аналогии, b - ? для "x 1 - x ? 1 - 2x .
2
Следовательно, множество Q1bIae не пусто для "g ,h , удовлетворяющие
(61) и (62). ¦
На качественном уровне - «интеллектуальный» агента 1 добровольно
согласится на роль АЭ, если качество типа оппонента достаточно низкое и
информированность самого агента достаточно плохая.
Следует отметить некоторую «схожесть» множеств Q 0 Iae и Q1Iae - оба
«интеллектуальных» агента предпочитают позицию АЭ, если их
информированность невелика, а тип оппонента достаточно плохой. В тоже
время, очевидны и различия данных множеств – агент 1 может
предпочесть позицию АЭ для любого значения собственного типа и любой
информированности оппонента, в то время как агенту 0 для этого
потребуется плохая информированность оппонента и хороший свой тип.
Проанализируем, какие из ситуаций возможны в игре
«интеллектуальных» агентов.
Утверждение 8. В игре «интеллектуальных» агентов ситуация, когда
оба элемента предпочтут роль АЭ, невозможна.
Доказательство. Очевидно, что оба агента выберут позиции АЭ, если
множества Q 0 Iae и Q1Iae пересекаются. Если же данные множества не
пересекаются хотя бы по одной из переменных, то данной ситуации не
возникнет. Можно показать, что QaIae C Q1Iae = 0 . Из (98) и (105) видно, что
0
a

пересечение пусто если следующая функция положительна

1
1 - 1 - ( + (1 - b ) b )(1 + x )
3 + 9 - 6(6 - m )(1 - b ) b 2
(109) T ( b , m , x ) = -
6-m 1+ x

"b I Q 0 Iae C Q1bIae , "g I Q g0 Iae C Q1Iae , "h I Qh Iae C QhIae .
0 1
для Здесь
b g


g 3 -h 3 6g 2 - 4g 3 + h 3
сохраняются замены x = , m= .
6g g

Можно установить связь между ? и ?: m = 6g - 3g - 6x .
2




85
Учитывая, что для "b I Q 0 Iae C Q1bIae "g I Q g0 Iae C Q1Iae , "h I Qh Iae C QhIae
0 1
b g

¶T ( b , m , x )
производная положительна, достаточно будет потребовать
¶b
выполнения следующего неравенства:
3 1
m 1 - 1 - 3x
3+
1 2 2
T ( , m ,x ) = - >0.
6-m 1+ x
2
Данное неравенство можно представить иначе:

3
(110) 1 - 3x + m -1> 0 .
2

<< Пред. стр.

стр. 10
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>