<< Пред. стр.

стр. 13
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

(r1 , s2 ) = 0 и 2 ( s1 , r2 ) = 0 .
дифференциальных уравнений:
¶s1 ¶s2
С учетом формул (128) - (130) получаем, что
¶x2 ss
( s1 s2 ) = m (r1 r2 )Y1 1 2 ;
(132)
¶s1 s1 s2 - c

¶x
2
s1
(133) 2 ( s1 s2 ) = m (r1 r2 )Y1 .
¶s2 s1 s2 - c

Из (132) получаем
¶x 2 s1c .
( s1 s 2 ) = - m (r1 r2 )Y1
¶s1¶s 2 ( s1 s 2 - c) 2



Из (133) получаем
¶x2 2s c - s1 s2
2

( s1 s2 ) = - m (r1 r2 )Y1 1 .
¶s2 ¶s1 ( s1 s2 - c) 2



¶y ¶y
?
Следовательно . Поэтому не существует такой
¶s1¶s2 ¶s2 ¶s1
непрерывно-дифференцируемой функции x2(s1,s2), удовлетворяющей
требованиям утверждения. ¦
Рассмотрим, как может повлиять назначение центром размера
трансферта ресурса типа 2 в зависимости от заявок игроков, исходя из
предположения, что АЭ поделят выигрыш от обмена поровну:

(134) f2= r2f1 .

101
Лемма 8. При дележе выигрыша f2= r2f1 максимум функций
полезности каждого АЭ будет достигаться при тех же заявках, при
которых достигается максимум выигрыша коалиции, т.е. при s1s2*=r1r2.
Доказательство. Из (127) и (134) следует, что
r1r2 x1 - x3 f
f1 = = 12 ;
2r2 2r2
r1r2 x1 - x3 f12
f2 = =.
2 2
В соответствии с утверждением 12, максимум значений целевых
функций АЭ будет достигаться при s1s2=r1r2.¦
Трансферт ресурса типа 2, соответствующий дележу (134) можно
записать следующим образом:
r1r2 x1 + x3
(135) x2 (r1 , r2 ) = .
2r2

Но центру не известны истинные значения r2 и r2. Поэтому для центра
выражение (135) записывается следующим образом:
s1 s2 x1 ( s) + x2 ( s)
(136) x2 ( s = s1 s 2 ) = .
2s 2

К сожалению, механизм обмена, определяемый (128), (129) и (136) не
является механизмом обмена открытого управления, так как для каждого
АЭ в отдельности сообщение истинного значения своего обменного
коэффициента не является доминантной стратегией. Более того, верно
следующее:
¶f i ¶f
< 0, i < 0, i = 1,2.
¶si ¶si
Хотя утверждение 12 выполняется и для данного механизма.
В качестве решения данной проблемы, можно предложить
следующую модификацию механизма обмена (128), (129) и (136),
основанную на механизмах Маскина [66] и МакКельви [83] – каждый АЭ
сообщает центру оценки как своего обменного коэффициента, так и
коэффициента другого АЭ – {si,i,s-i,i}. В случае совпадения заявок от обоих
АЭ, центр назначает им план по (128), (129) и (136) в соответствии с
102
сообщенными ему заявками. В случае не соответствия заявок - s1,1?s1,2
или s2,1?s2,2, центр выбирает некоторый произвольный план, основанный
на представленных заявках7, например si = max[ si ,i , si , - i ], i = 1,2 . Т.е.
выбираются максимальные из сообщенных заявок. Необходимо заметить,
что и для такой модификации механизма обмена (128), (129) и (136)
утверждение 12 верно.
Для механизмов Маскина и МакКельви предполагалось, что АЭ
полностью информированы о параметрах всех участников АС. Для нашего
механизма можно ввести такое же допущение, либо предположить, что АЭ
как-то информируют друг друга о своих параметрах в ходе их
коалиционного взаимодействия.
Метод «разбиения схемы»




Рис. 14. Метод «разбиения схемы»
Для данного способа необходимо разбить первоначальную схему на
две подсхемы (см. рисунок 14). В первой подсхеме центра дает АЭ1
некоторое количество ресурса типа 1, и забирает от него некотрое
количество ресурса типа 2. Во второй подсхеме центр дает АЭ2 некоторе
количество ресурса типа 2, а получает некоторое количество ресурса типа
3.




7
Оригинальный механизм Маскина был предложен для числа участников не менее трех, и
предлагал в случае несоответствия заявок более чем двух АЭ проведение лотереи, основанной на
представленных заявках[53,66].
103
Лемма 9. Для обеспечения максимальной эффективности
функционирования данной схемы центру необходимо передать АЭ2 все
количество ресурса типа 2, которое он получил от АЭ1.
Доказательство. Из (122) следует, что прибыль центра не
увеличивается с ростом наличия у центра ресурса типа 2, в то время, чем
меньше ресурса этого типа Ц передаст АЭ2 тем меньше он сумеет
получить ресурса типа 3. Следовательно центру, для повышения
эффективности обмена, необходимо передавать АЭ2 весь ресурс типа 2. ¦
С учетом вышесказанного запишем целевые функции всех участников
обмена следующим образом. Для первой подсхемы:
(137) f01 = ?x2 – cx1;
f1 = r1 x1 – x2.
Для второй подсхемы:
(138) f02 = x3 – ?x2;
f2 = r2 x2 – x3,
где ? – произвольным образом введенный обменный коэффициент для
центра по ресурсу типа 2. Легко видеть что для "a (137) и (138) в сумме
дают (122).
Но для правильного построения механизмов открытого управления
для каждой из подсхем необходимо ввести следующие ограничение на ? :
c
(139) a I ( ,r2 ) .
r1

Множество возможных значений ? не пусто при выполнении условий
r1 r 2 ? c .
Теперь перейдем к построению механизмов обмена для обоих
подсхем.
Для первой схемы все достаточно просто – это простая задача
«классического» обмена, рассмотренная в разделе 1.2. При рассмотрении
второй схемы мы сталкиваемся с большими трудностями – центру
необходимо отдать АЭ2 весь ресурс типа и сохранить
неманипулируемость механизма обмена.
104
Введем следующую зависимость плана обмена для первого АЭ от
заявки второго:
m1 (r1 ) m 2 (r2 )
(140) x1 ( s1 , s2 ) = Y1 ;
m1 ( s1 ) m 2 ( s2 )

m (r )
c 1
(141) x2 ( s1 , s2 ) = m1 (r1 )( s1 - (1 - ) 2 2 Y1 ,
a m1 ( s1 ) m 2 ( s2 )

где
s1 - c / a -1
(142) m1 ( s1 ) = [1 + ln ];
r1 - c /a

s2 - a -1
(143) m 2 ( s2 ) = [1 + ln ].
r2 -a

Формулы (140) и (141) представляют механизм обмена ОУ для задачи
m 2 (r2 )
«классического» обмена, помноженные на .
m 2 (s2 )
Обозначим
c 1
(144) Y2 ( s1 ) = m1 (r1 )( s1 - (1 - ))Y1 .
a m1 ( s1 )

Тогда (141) можно переписать следующим образом:
m2 (r2 )
(145) x2 ( s1 , s2 ) = Y2 ( s1 ) .
m 2 ( s2 )

Выражение (145) аналогично выражению, определяющему первую
компоненту плана обмена в механизме обмена ОУ для задачи
«классического» обмена. Отсюда следует, что вторую компоненту плана
обмена для АЭ2 можно будет записать следующим образом:
1
(146) x3 ( s1 , s2 ) = m 2 (r2 )( s2 - a (1 - )Y2 ( s1 ) .
m 2 ( s2 )

Выражения (140), (141) и (146) являются механизмом обмена между
центром и двумя АЭ, полученным методом «разбиения» схемы, так как
полностью определяют трансферты всех ресурсов в системе.
105
Утверждение 14. Механизм обмена, определяемый выражениями
(140), (141) и (146), является механизмом открытого управления.
Нам необходимо показать, что максимум целевых функций обоих АЭ
будет достигаться при сообщении ими истинных значений своих
обменных коэффициентов. Из (123), (140), (141) и (146) следует, что
m (r )
¶f1 r -s
( s1 , s2 ) = 2 2 m1 (r1 ) 1 1 ;
m 2 ( s2 ) s1 - c / a
¶s1
m (r ) r - c /a
¶ 2 f1
( s1 , s2 ) = - 2 2 m1 (r1 ) 1 ;
m 2 ( s2 ) ( s1 - c / a )
¶s1
2 2



¶f 2 r - s2
( s1 , s2 ) = Y2 ( s1 ) m 2 (r2 ) 2 ;
s2 - a
¶s1
k -a
¶2 f2
( s1 , s2 ) = -Y2 ( s1 ) m 2 (r2 ) 2 .
( s2 - a )
¶s1
2 2



Следовательно, с учетом ограничений модели и (139), получаем, что
максимум функции полезности АЭ1 достигается при s1=r1 , для АЭ2 – при
s2=r2.¦
Сравним эффективности механизмов, построенных в данной и
предыдущей главах - (128), (129) и (140), (141), (146). Эффективность
неманипулируемого механизма обмена, полученного первым методом
записывается:
K 1 = m (r1r2 ) ;
Полученного вторым методом –

m1 (r1 ) m 2 (r2 ) e u
c
1 1 c
))(r2 - a (1 -
(147) K 2 = (r1 - (1 - )) - .
(r1r2 - c) e (r1 ) m 2 (r2 ) u
a m1 m2 m1
(r1 ) (r2 )
e u
Проанализируем полученные выше выражения.
Лемма 10. "r1 , r2 , удовлетворяющим ограничениям модели, верно
следующее – 1. m (r1r2 ) < m1 (r1 ) , m (r1r2 ) < m 2 (r2 ) ; 2. m (r1r2 ) ? m1 (r1 ) m 2 (r2 ) .
Доказательство. С учетом ограничений на параметр ? получаем
следующие неравенства:
r1 - c / a r1 r 2 - c - c(r 2 / a - 1) r1 r 2 - c r1 r2 - c
= < < ;
r 1 - c / a r 1 r 2 - c - c(r 2 / a - 1) r 1 r 2 - c r 1 r 2 - c

106
r2 - a r2 r 1 - c - (r 1a - c) r2 r 1 - c r1r2 - c
= < < .
r 2 - a r 1 r 2 - c - (r 1a - c) r 1 r 2 - c r 1 r 2 - c
Из полученных выше неравенств очевидным образом следует, что
m (k1 k 2 ) < m1 (k1 ) и m (k1k 2 ) < m 2 (k 2 ) .
Для доказательства второго утверждения рассмотрим следующую
функцию
M (r1r2 ) = m (r1 r2 ) / m1 (r1 ) m 2 (r2 ) .
Очевидно, что M (r 1 r 2 ) = 1 . Кроме того,
m (r1 r2 ) e m1 (r1 ) r2 m (r1 r2 ) u
¶M
(r1r2 ) = e r - c /a - r r - c u ;
m1 (r1 ) m 2 (r2 ) e 1
¶r1 u
12


m (r1r2 ) 2 c(r2 / a - 1)
¶M
(r1 r2 ) > > 0;
m1 (r1 ) m 2 (r2 )(r1 - c / a )(r1 r2 - c )
¶r1
m (r1r2 ) e m 2 (r2 ) r1 m (r1 r2 ) u
¶M
(r1r2 ) = er -a - rr - c u;
m1 (r1 ) m 2 (r2 ) e 2
¶r2 u
12


m (r1 r2 ) 2 (r1a - c)
¶M
(r1 r2 ) > >0.
m1 (r1 ) m 2 (r2 )(r2 - a )(r1 r2 - c )
¶r2
m (r1r2 ) ? m1 (r1 ) m 2 (r2 ) , M (r1 r2 ) -
Следовательно так как функция
возрастающая. ¦
Далее, можно показать, что

c 1 1 c
))(r2 - a (1 -
(r1 - (1 - )) - =
a m1 (r1 ) m 2 (r2 ) m1 (r1 ) m 2 (r2 )
1 1 1 c 1
) - r1a (1 -
= r1r2 + c(1 - - ) - r2 (1 - )<
m1 (r1 ) m 2 (r2 ) m 2 (r2 ) a m1 (r1 )
(148)
1 1 c 1 c 1
< r1 r2 + c(1 - - ) - r1 (1 - ) - r2 (1 - )<
m1 (r1 ) m 2 (r2 ) m 2 (r2 ) m1 (r1 )
a1 a2
< r1 r2 - c

Утверждение 15. «Консолидированный» неманипулируемый
механизм обмена обладает большей эффективностью, чем
неманипулируемый механизм обмена, полученный методом «разбиения
схемы».

107
Доказательство. Из неравенства (148) следует, что K 2 < m1 (r1 ) m 2 (r2 ) . А
из Лемма 10 - K 2 < m1 (r1 ) m 2 (r2 ) ? m (r1 r2 ) = K 1 .¦

Но механизм (140), (141), (146) однозначно задает трансферты
ресурсов всех типов в обменной схеме и побуждает АЭ сообщать центру
истинные значения обменных коэффициентов, а не результирующего
обменного коэффициента, как в механизме (128), (129) (или в его
модификации (128), (129) и (136)), что может быть актуальным в отдельно
взятых обменных схемах.
Метод «доносчика»




Рис. 15. Метод «доносчика»
Данный способ подразумевает, что центр каким-то образом
присваивает одному из АЭ роль промежуточного центра (или посредника)
и назначает ему некий план обмена. Посредник, в свою очередь, назначает
некий план обмена между собой и оставшимся АЭ (см рисунок 15).
Не трудно показать, что в случае полной информированности обоих
АЭ и отсутствия возможности их кооперации данный способ позволяет
устранить неполную информированность центра и свести задачу обмена к
детерминированной. Данный механизм обмена выглядит следующим
образом:
Центр просит каждого из АЭ сообщить свою оценку их общего
обменного коэффициента r2 r1. Затем центр выбирает АЭ, сообщившего
наибольшую оценку, и назначает ему следующий план обмена
(149) x1=Y1; x3=si Y1,

108
где i – номер АЭ, которого центр назначил посредником. Так как
посредник обладает полной информированностью относительно
параметров другого АЭ, то он решает детерминированную задачу обмена:
(150) x2=s1/r2Y1; x3= s1Y1,
если посредник – АЭ1 и
(151) x1=Y1; x2=r1Y1,
если АЭ2.
Очевидно, что всю прибыль от обмена между элементами получает
посредник. Следовательно, каждый из АЭ будет стремится сообщить
максимально возможную заявку.
Лемма 11. Максимально возможной заявкой для любого из АЭ для
описанной выше обменной схемы является r2 r1.
Доказательство. Из (149) и (150) получаем целевую функцию АЭ1,
когда он выступает в роли посредника:
f1=(r1-s1/r2)Y1.
А из (149) и (151) – Для АЭ2:
f2=(r1 r2-s2)Y2.
Очевидно, что для "i max si = r1 r2 .¦

Утверждение 16. При отсутствии возможности кооперации между АЭ
и наличии полной информированности АЭ о параметрах ОС, метод
«доносчика» обладает максимально возможной эффективностью
Доказательство. Из леммы 11 следует, что любой из АЭ может стать
посредником только в том случае, если сообщит в качестве заявки r2 r1 – ?,
где ? - бесконечно малая величина. Из (149) получаем значение функции
полезности центра:
(152) f0 =( r2 r1 – ? – c)Y1.
Из (125) и (152), что центр получает прибыль, фактически
эквивалентную его прибыли в детерминированной обменной схеме, т.е.
K ? 1. ¦


109
Следует отметить, что данный механизм обмена также является
неманипулируемым – АЭ сообщают истинные значения своих типов.
К сожалению, описанный выше механизм обмена теряет всю свою
привлекательность, если АЭ могут кооперироваться между собой, так как
элементы будут сообщать минимально возможное значение общего
обменного коэффициента - "i si = r 1 r 2 . Центр в таком случае получает
максимальный гарантированный результат f 0 = (r 1 r 2 - c)Y1 .
Если же полная информированность АЭ о параметрах обменной
схемы отсутствует, или (и) элементы могут кооперироваться между собой,
то обменная схема, изображенная на рисунке 15 можно преобразовать в
обменную схему, изображенную на рисунке 13.

Результаты, полученные для ОС с двумя АЭ, ниже распространяются
на ОС с конечным числом АЭ.




Рис. 16. Многоэлементная ОС со структурой взаимодействием
агентов типа «цепочка» - конечное число АЭ

Полученные в предыдущих разделах результаты можно перенести на
обменные цепочки, состоящие из любого конечного числа АЭ (см рисунок
16). Рассмотрим поочередно каждый из предложенных выше способов.
Постановка задачи обмена останется прежней. Обменный коэффициент
каждого АЭ имеет для центра интервальную неопределенность –
ri I?i = [ r i , ri ].


<< Пред. стр.

стр. 13
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>