<< Пред. стр.

стр. 6
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

больше значение типа АЭ, тем меньше его затраты на выполнение одного
и того же действия.
Лемма 2. Условие А.4. обеспечивает выполнение условия F1 и F2 для
функции прибыли от обмена АЭ f1 ( x1 , x2 , r ) .

Доказательство. Т.к f1 ( x1 , x2 , r ) = х1 - c(х2,r), то, с учетом А.4.

¶f1 ( x1 , x2 , r ) dc( x2 , r )
=- >0,
rI ?, " х I Х
"
¶r dr

т.е. выполнено F1. Также, из А.4. следует

¶f1 ( x1 , x2 , r ) d 2 c( x2 , r )
=- > 0,
" rI ?, " х I Х
¶x2 ¶r dx2 dr
что соответствует F2a. Также очевидно,
¶f1 ( x1 , x2 , r )
= 0,
rI ?, " х I Х
"
¶x1¶r
что соответствует F2b.¦
Следовательно, для построения механизма ОУ для данной обменной
схемы можно использовать общий метод построения неманипулируемых
механизмов обмена, полученные в главе 1.

51
2.2. Построение эффективных и неманипулируемых механизмов
обмена для двухэлементных иерархических обменных схем


Дискретный подход. Рассмотрим случай, когда параметр r (тип АЭ)
может принимать только два “граничных” значения, т.е. АЭ может быть
двух типов - с функцией затрат c(y,r0) или с c(y,r1), где r0 = rmin, r1 = rmax.
Рисунок 7 иллюстрирует “графический” метод построения
неманипулируемого механизма обмена. На рисунке изображен
преобразованный ящика Эджворта в координатах трансфертов. Линия
f 0 ( x ) = 0 задает ограничения ИР для центра, линии f1 ( x, r0 ) = 0 и
f 1 ( x, r1 ) = 0 для АЭ соответствующих типов. Для каждого из возможных
типов АЭ выбирается точка на множестве Х - ri ® x i = ( x1 , x2 ) .
i i




Рис. 7. «Графический» метод
Точка для наихудшего типа АЭ (в нашем случае наименьшего)
f 1 ( x, r0 ) = 0 , точка для наилучшего типа АЭ
выбирается на кривой
выбирается на кривой f 1 ( x, r1 ) = C1 , так чтобы f 1 ( x 0 , r1 ) = C1 . Учитывая вид
функции полезности АЭ, получим
(23) x10 = c(x20,r0);

(24) x11 = c(x21,r1) + C1;

(25) С1= c(x20,r0) – c(x20,r1).
52
Значения величин x20 и x21 определяются из решения задачи
нелинейного программирования:
(26) x2i = arg max K(x1(x2),x2,ri), 0 ? x2i ? Y2, 0 ? x1i ? Y1, i=0,1,
x2


где K(?) – критерий эффективности, т.е. действие АЭ x2i должно быть
оптимальным (с точки зрения центра) при условии, что в обмене участвует
АЭ типа ri. На критерий эффективности необходимо наложить следующие
требования:
А.5 В детерминированной ОС, соответствующей рассматриваемой ОС
с неопределенностью, решение задачи обмена с критерием K(?)
эквивалентно решению детерминированной задачи, т.е. при r0 = r1 (26) и
(20) дают одинаковое значение x2.
Данное требование всего лишь обеспечивает возможность анализа
задач с неопределенностью путем экстраполяции их к детерминированным
задачам. Например, если целью центра является максимизация ожидаемой
прибыли от обмена (критерием эффективности является ожидаемая
полезность центра Ef0), и он имеет некоторую информацию о
вероятностном распределении типов АЭ - pi, i = 0,1, p0 + p1 = 1, то можно
записать:
x2i = arg max {(H(x20 ) – c(x20,r0)) p0 + (H(x21) – c(x21,r1) – C1) p1}, i = 0,1.
x2


Собственно сам механизм таков – АЭ сообщает центру оценку s=ri
своего типа, центр назначает АЭ обмен x i = ( x1 , x2 )
i i



Для предложенного «графического» метода справедлива следующая
лемма.
Лемма 3. Для сообщения АЭ истинной оценки своего типа
необходимы следующие ограничения:

(27) x j ? x j , j = 1,2 .
0 1




Доказательство. Принцип построения механизма, который выражен
в (23) - (25) требует, что бы
f1 ( x1 , x2 , r0 ) = 0 ;
0 0



f1 ( x1 , x2 , r1 ) = f1 ( x1 , x2 , r1 ) = C1 .
0 0 1 1


53
Из (23) - (25) также следует
f1 ( x1 , x2 , r0 ) = [c( x2 , r1 ) - c( x2 , r0 )] - [c( x2 , r1 ) - c( x2 , r0 )]
1 1 1 1 0 0



Из условия А.4 (точнее, его трактовки в дискретном случае) следует,
что c( x2 , r0 ) - c( x2 , r0 ) ? c( x2 , r1 ) - c( x2 , r1 ) при x2 ? x2 .
1 0 1 0 0 1



Также, из (23) - (25) и А.4 получаем, что x1 = x1 при x2 = x2 , x1 > x1
0 1 0 1 0 1



при x2 > x2 , x1 < x1 при x2 < x2 .
0 1 0 1 0 1



f1 ( x1 , x2 , r0 ) ? 0 x j ? x j , j = 1,2 ,
1 1 0 1
Получается, что при и
f1 ( x1 , x2 , r0 ) > 0 при x j > x j , j = 1,2 соответственно. С учетом гипотезы
1 1 0 1



благожелательности получаем, что при выполнении (27) АЭ будет
сообщать истинную оценку своего типа ri.¦
Из (23) - (25) видно, что, если x20 = x21, то x10 = x11. Т.е. для АЭ разных
типов назначается одинаковый план. Данная ситуация не противоречит
принципу открытого управления, так как, с учетом гипотезы
благожелательности, АЭ будет сообщать свой истинный тип, что следует
из леммы 3.
Итак, (23) - (25) с учетом требования (27) дают решение поставленной
нами задачи при условии, что возможны только два типа АЭ. При
увеличении количества возможных значений типов АЭ принцип
построения механизма обмена не меняется. Запишем множество
возможных типов АЭ: ? = (r0,r1,…,rn), r0 = rmin, rn = rmax. Тогда для пары
x i = ( x1 , x2 ) , i = 0, n по аналогии с (23) - (26) можно выписать следующие
i i



условия:

(28) x1i = c(x2i,ri) + Ci, i = 0, n ;


( )
i
(29) Сi= a c(x2 ,rj-1 ) - c(x2 ,rj ) , C0=0, i = 0, n ;
j -1 j -1

j =1




(30) x2i = arg max K(x2,ri), 0 ? x2i ? Y2, 0 ? x1i ? Y1, i = 0, n .
x2


При сообщении АЭ заявки s = ri центр назначает ему план обмена
x i = ( x1 , x2 ) . Также сохраняется требования (27):
i i




54
i -1
(27а) "i = 1, n, x j ? x j , j = 1,2 .
i



Также, очевидно, что если совпадение одной из компонентов плана
для разных типов АЭ означают, что планы для данных типов АЭ
эквивалентны (можно сказать, что с точки зрения центра данные типы АЭ
эквивалентны)
Теорема 2. Если выполнена гипотеза благожелательности, то
доминантной стратегией АЭ в предложенном механизме обмена будет
сообщение истинной оценки своего типа. Т.е. s = r*.
Доказательство. Запишем прибыль АЭ типа i (r* = ri) - f1 ( x1 , x2 , ri )
при выполнении им плана, предлагаемого для типа j (s = rj), используя (28)
и (29):

(31) f1 ( x1 , x2 , ri ) = c( x2 , rj ) + C j - c( x2 , ri ) .
j j j i




Из (31) получаем, что f1(x1i,x2i, ri) = Ci. Также из (31) и (29) следует, что
f1 ( x1 , x2 , ri ) = c( x2 , ri -1 ) + C j - c( x2 , ri ) ? f1(x1i-1,x2i-1, ri)= Ci. Для случая j
i -1 i -1 i -1 i



= i + 1 (31) с учетом (29) (выразив Ci+1 через Ci) можно записать:
i +1 i +1 i +1 i +1
(32) f1 ( x1 , x2 , ri ) = Ci + c( x2 , ri +1 ) - c( x2 , ri +1 ) + c( x2 , ri ) - c( x2 , ri ) .
i i




Из условия А.4, с учетом (27а), очевидно, что
i +1 i +1
c( x2 , ri ) - c( x2 , ri ) ? c( x2 , ri +1 ) - c( x2 , ri +1 ) .
i i


i +1 i +1
Следовательно, f1 ( x1 , x2 , ri ) ? f1 ( x1 , x2 , ri ) .
i i



Аналогично, можно показать, что " j = i + 1,n
f1 ( x1 , x2 , ri ) ? f1 ( x1 , x2 , ri ) .
j j i i



Для случая j = i - 2 (31) с учетом (29) (выразив Ci-2 через Ci) можно
записать:
i -2 i-2 i -2 i -2 i -1 i -1
(33) f1 ( x1 , x2 , ri ) = Ci + c( x2 , ri -1 ) - c( x2 , ri ) + c( x2 , ri ) - c( x2 , ri -1 ) .

Из условия А.4, с учетом (27а), очевидно, что
i -1 i-2 i -1 i-2
c( x2 , ri -1 ) - c( x2 , ri -1 ) ? c( x2 , ri ) - c( x2 , ri ) .
i-2 i-2
Следовательно, f1 ( x1 , x2 , ri ) ? f1 ( x1 , x2 , ri ) .
i i



По аналогии с (П.4) можно показать, что " j = 0, i - 2

55
f1 ( x1 , x2 , ri ) ? f1 ( x1 , x2 , ri ) .
j j i i



Из приведенных выше рассуждений следует, что АЭ типа ri получает
максимальную прибыль от обмена при сообщениях s = ri и s = ri-1.
Учитывая гипотезу благожелательности, получаем, что АЭ типа ri сообщит
s = ri, потому что из двух эквивалентных планов он выберет лучший для
центра, т.е. (x1i, x2i).¦
Т.е. построенный механизм обмена p ( s ) = ( x1 ( s ), x2 ( s )) , определяемый
(28) - (30), является механизмом открытого управления. Учитывая, что
для двухэлементных задач поиск механизмов планирования можно
ограничить классом механизмов ОУ [52], получаем, что дискретный метод
позволяет найти механизм обмена максимальной эффективности.
Задача 1. Построить эффективный и неманипулируемый механизм
обмена для ОС, рассмотренной в разделе 2.1. Функция полезности центра
2
x2
от обмена f 0 ( x1 , x2 ) = x2 - x1 . Функция полезности АЭ - f1 ( x1 , x2 ) = x1 - .
2r
Критерий эффективности центра - максимизация ожидаемой полезности
от обмена Ef0 (p ( s)) > max . Множество возможных значений типа АЭ –
p (s)

n+1 точек на отрезке [rmin,rmax], r0 = rmin>0, rn = rmax.
Функция затрат АЭ имеет следующий вид
x2
c ( x, r ) = .
2r
Данная функция удовлетворяет требованиям А.4. " rI ?, " х > 0
x2
1) непрерывна по r и по х;
2r
dc( x , r ) x2
= - 2 < 0;
2)
dr 2r
d 2 c ( x, r ) x
= - 2 < 0;
3)
dxdr r
dc( x , r ) x
= > 0;
4)
dx r
d 2 c( x , r )
= r -1 > 0 .
5)
dx 2
56
Следовательно, можно построить механизм ОУ p (i) = ( x1 , x2 ) . Из (28)
i i



и (29) получаем.
j2
x 1 1
i -1
Сi= a 2 ( - ) , i=1, n , C0=0;
2 rj rj +1
j =0



i2
x
x1i = 2 + Ci, i = 0, n .
2ri

Механизм должен максимизировать ожидаемую прибыль центра при
ограничениях 0 ? x2i ? Y2, 0 ? x1i ? Y1, i = 0, n . Т.е. необходимо решить
задачу нелинейного программирования:
¶L * * ¶L * * ¶L * * * ¶L * * *
( x2 , l ) ? 0; ( x2 , l ) ? 0; ( x2 , l ) x2 = 0; ( x2 , l )l = 0;
¶l ¶l
¶x2 ¶x2
x2 ? 0, l * ? 0 .
*



Здесь
n
x2 = ( x2 ,..., x2 ) , l = (l0 ,..., l2 n +1 ) , L = Ef 0 + a [l2i (Y2 - x2 ) + l2 i +1 (Y1 - x1 )] .
0 n i i

i =0

Учитывая, что
e u
i2 n2
p
x x
11 n -1
n n
Ef 0 (W) = a pi ( x2 -x1 ) = a e pi x2 - 2 ( i + ( - ) a p j )u + pn ( x2 - 2 )
i i i n

2 ri ri ri +1 j =i +1 u 2rn
e
e u
i=0 i=0


получим:
pi
, ˜2 , Y2 ) , i= 0, n - 1 , x2 = min(rn , ˜2 , Y2 ) ;
(34) x2 = min(
i i n n
x x
1n 1 n

a ap
pj - j
ri j =i ri +1 j = i +1


1/ 2

˜ i = e2r Y - ( ri - ri ) x j 2 u , i= 0, n ;
i -1
x2 e i 1 a u
2
j =0 r j rj +1
e u
i2 j2 02
x2 x x
1 1
i -1
+a 2 ( -
(35) x1 = ) , i=1, n , x1 = 2 .
i 0

2ri 2 rj rj +1 2r0
j =0



Точки ˜2 , i= 0, n - значение трансферта типа 2 при выходе на
i
x
ограничение x1i ? Y1. Очевидно, что если для некого типа АЭ rl данное
57
ограничение вступает в силу (x2l= ˜2 ), то для всех j= l + 1, n x2j=
l
x
˜ j = ˜ l .Т.е. планы для всех типов АЭ, начиная j и лучше, совпадают. При

<< Пред. стр.

стр. 6
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>