<< Пред. стр.

стр. 7
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

x2 x2
этом планы для типов АЭ, хуже j остаются неизменными.
1
Если распределение типа АЭ взять равномерным - pi = , то (34)
n +1
можно переписать следующим образом:
-1
? n +1- i n - i o ˜ i
? , x2 , Y2 ) , i= 0, n - 1 , x2 n = min(rn , ˜2 n , Y2 ) .?
x2 = min(c -
i
x
cr ?
ri +1 o
e i


Задача 2. Построить эффективный и неманипулируемый механизм
обмена для ОС с линейными функциями полезности Ц и АЭ:

(36) f 0 ( x1 , x2 ) = x2 - cx1 ;

(37) f1 ( x1 , x2 ) = rx1 - x2 .

Данный вид функций полезности используется чаще всего при
описании процессов обмена между крупными промышленными
предприятиями. Задача центра – максимизация гарантированной
f 0 (p ( s))
® max . Множество
относительной прибыли от обмена min det
max f 0 ( s) p
s



возможных значений типа АЭ – n+1 точек на отрезке [rmin,rmax], r0 = rmin>0,
rn = rmax.
Распределение ресурса в схеме такое же, как в рассмотренном выше
примере - весь ресурс первого типа Y1 сосредоточен у центра, весь ресурс
второго типа Y 2 – у АЭ. Причем существенным будем считать ограничение
на ресурс первого типа.
mn
1
Механизм имеет следующий вид: x2 = m Y1 (r - c(1- i )) , x1 = i Y1 ,
i i
n i

m
?
r n - r 0 i 1 -1
a r j - c ) , i= 0, n .?
m = (1 +
i

n j =1
Получив механизм ОУ для задачи обмена в схеме из двух участников
с внутренней неопределенностью в случае дискретного распределения

58
возможных типов АЭ, перейдем к рассмотрению непрерывного случая
распределения.

Непрерывный подход к построению эффективного и
неманипулируемого механизма обмена для «базовых» ОС основан на
методе, изложенном в разделе 1.5.
В непрерывном случае область возможного значения типа АЭ будет
задаваться как отрезок - ? = [rmin,rmax]. Получаем, что механизм ОУ
p ( s ) = ( x1 ( s ), x2 ( s )) должен удовлетворять следующим требованиям:
¶c
dx1 dx
(r ) - ( x2 (r ), r ) 2 (r ) = 0 ;
¶x2
dr dr
¶c dx
( x2 (r ), r ) 2 (r ) ? 0 .
¶x2 ¶r dr
Обе компоненты плана являются неубывающими функциями своего
dx1 dx
аргумента "s I W , ( s ) ? 0, 2 ( s ) ? 0 .
ds ds
Так как наихудшим из возможных типов АЭ является тип rmin, то, с
учетом условий ИР n 1 (rmin ) = 0 . Выражение (9) для рассматриваемого
случая запишется следующим образом:
¶c
r

(38)n 1 (r ) = ( x2 (t ),t )dt .
o - ¶r
rmin



Учитывая, что
n 1 (r ) = x1 (r ) - c( x2 (r ), r ) ,
можно сделать замену переменных
¶c
r

( x2 (t ),t )dt ,
o
(39) x1 (r ) = c( x2 (r ), r ) -
¶r
rmin



которая позволяет свести задачу построения механизма ОУ к решению
следующей задачи.
(40) x2(r) = arg max K(x1,x2,r), 0 ? x2(r) ? Y2, 0 ? x1(r) ? Y1.
x2




59
Произведем проверку эквивалентности дискретного и непрерывного
решений рассматриваемой задачи. Переменная n отражает мелкость
разбиения множества ? = [rmin,rmax]:
rmax - rmin
r0 = rmin , ri = r0 + iD, i = 1...n, D = .
n
Справедлива следующая лемма
Лемма 4. n (ri ) = lim Ci , где Ci определяется из (29), n (ri ) - из (38).
n ®?

Доказательство. Выражение (29) можно переписать следующим
образом:

( )
i -1
Сi= a c(x2 ,rj-1 ) - c(x2 ,rj -1 + D) , C0=0, i = 0...n .
j -1 j -1

j =0


Очевидно, что

( ) ¶c j -1
j -1 j -1
lim c(x2 ,rj-1 ) - c(x2 ,rj -1 + D) = - ( x2 , rj -1 )dr .
¶r
D ®0


Учитывая, что x2 соответствует ri , т.е x2 = x2 (ri ) , получаем, что
i i



¶c
r

( x2 (t ),t )dt .¦
o
lim Ci = lim Ci = -
¶r
n ®? D ®0
rmin


Как следствие леммы 4, получаем, что при n ® ? , выражения (28) и
(39) эквивалентны. Т.е. решение задачи в дискретном случае соответствует
решению задачи в непрерывном случае. Проиллюстрируем полученное
решение на примере.
Задача 3. Построить эффективный и неманипулируемый механизм
обмена для ОС, рассмотренной в разделе 2.1. Функция полезности центра
2
x
от обмена f 0 ( x1 , x2 ) = x2 - x1 . Функция полезности АЭ - f1 ( x1 , x2 ) = x1 - 2 .
2r
Критерий эффективности центра Ef0 (p ( s)) > max . Множество
p (s)

возможных значений типа АЭ –отрезок [rmin,rmax], rmin>0.
Функция затрат АЭ имеет следующий вид
x2
c ( x, r ) = .
2r


60
Как было показано в примере 3, данная функция затрат удовлетворяет
требованиям А.4. В соответствии с (39) получаем
x2 (r ) 2 r x2 (t ) 2
dt .
+o
x1 (r ) =
2t
2r 2
r min



Задача динамического программирования, которую необходимо
решить для построения механизма ОУ:

x2 (r ) 2 r x2 (t ) 2
rmax

dt ]r (r )dr ® max ,
(41) Ef 0 (?) = o [ x2 (r ) - -o
2t
2r 2 x
2
r r
min min




(42) 0 ? x2(r)? Y2, 0 ? x1(r) ? Y1.
Предположим, что ограничения (42) выполнены для "r I W , т.е.
множество вариантов обмена , составляющих механизм ОУ, лежит внутри
множества возможных вариантов обмена. В таком случае решение (41)
¶Ef 0
= 0 . Т.е.
сведется к решению уравнения
¶x2
x2 (r ) x2 (r ) 1 - F (r ) r

= 0 , где F (r ) = o r ( s )ds .
1- -2
r (r )
r r r min




Получаем, что механизм ОУ будет иметь следующий вид

r 2 r (r )
(43) x2 (r ) = , "r I W ;
rr (r ) + 1 - F (r )

x2 (r ) 2 r x2 (t ) 2
dt , "r I W .
+o
(44) x1 (r ) =
2t
2r 2
r min




r - rmin
Для равномерного распределения типов АЭ - F ( r ) = , вид
rmax - rmin
механизма ОУ можно упростить:

r2
(45) x2 (r ) = , "r I W ;
rmax

4r 3 - rmin
3

(46) x1 (r ) = , "r I W .
6rmax
2



61
Оценим ожидаемую прибыль центра от обмена при применении
механизма (45), (46)
1
Ef 0 (?) = (rmax + rmax rmin + rmin ) .
2 2

6rmax
Сравним полученный результат с ожидаемой полезностью,
получаемой при решении эквивалентной задачи стимулирования путем
построения механизма без сообщения информации АЭ центру [48]:
rmax rmin
Ef 0 class (?) = max[
, ].
42
Сравнение ожидаемой полезности для двух механизмов показывает,
что при условии на ?:
rmax
< (1 + 3 ) .
rmin
механизм открытого управления с сообщением информации эффективнее
механизма, описанного в [48], при равномерном вероятностном
распределении типа АЭ на множестве возможных типов. Преимуществом
механизма открытого управления является тот факт, что обмен
совершается с АЭ любого типа, в то время как в механизме без сообщения
rmax
информации АЭ типа хуже, чем , вынужден отказываться от обмена.
2
Вернемся к рассмотрению поставленной задачи в случае, когда
ограничения (42) существенны. Выражение (43) можно трактовать, как
фазовую траекторию, соответствующую оптимальному управлению. В
соответствии с принципом оптимальности Беллмана [28] – отдельный
участок оптимальной траектории является также оптимальной
траекторией. Т.е решение задачи (41) сохранит свой вид в области
r I W? = [ rmin , ˜ ] , ˜ = min{arg{ x ( r ) = Y }, arg{ x ( r ) = Y }} .
r r
где Для
1 1 2 2

"r I W / W? = ( ˜; r ] p (r ) = p (˜ ) . Для равномерного распределения типов
r r
max

АЭ можно записать

r2
, "r I W? ;
(47) x2 (r ) =
rmax



62
4r 3 - rmin
3

, "r I W? ;
(48) x1 (r ) =
6rmax
2




˜ = min{( r Y )1 / 2 , ( 3 r 2 Y + 1 r 3 )1 / 3 } .
r max 2 max 1 min
2 4
Ожидаемая прибыль центра будет иметь более сложный вид
˜-r
r min
1
[2rmax (˜ 2 + ˜rmin + rmin ) - (˜ + rmin )(˜ 2 + rmin ) + rmin ]
(49) Ef 0 (W) = 2 r r r r
2 2 3

6rmax (rmax - rmin )
?
Задача 4. Построить эффективный и неманипулируемый механизм
обмена для ОС с линейными функциями полезности Ц - f1 ( x1 , x2 ) = rx1 - x2 ,
f1 ( x1 , x2 , r ) = rx1 - x2 .
и АЭ - Задача центра – максимизация
гарантированной относительной прибыли от обмена
f 0 (p ( s))
® max .
min det
max f 0 ( s) p
s




Множество возможных значений типа АЭ –отрезок [rmin,rmax].
Распределение ресурса в схеме такое же, как в рассмотренном выше
примере - весь ресурс первого типа Y1 сосредоточен у центра, весь ресурс
второго типа Y 2 – у АЭ. Причем существенным будем считать ограничение
на ресурс первого типа.
Легко видеть, что функция полезности АЭ удовлетворяет требованиям
(F1) и (F2):
¶f1 ( x1 , x2 , r )
= x1 ? 0 ,
rI ?, " х I Х
"
¶r

т.е. выполнено F1. Также,

¶f1 ( x1 , x 2 , r )
= 0,
" rI ?, " х I Х
¶x 2 ¶r
что соответствует F2 b . Также очевидно,
¶f1 ( x1 , x2 , r )
= 1 > 0,
" rI ?, " х I Х,
¶x1¶r
что соответствует F2a.
63
В соответствии с (39) получаем
r

x2 (r ) = rx1 (r ) + o x1 (t )dt .
rmin


Для построения механизма ОУ необходимо решить следующее
уравнение:
f (p ( s ))
d
( 0 det ) = 0 .
ds max f 0 ( s)
Очевидно, что max f 0 ( s ) = ( s - c)Y1 . Поэтому получаем, что
det




dx (r ) x1 (r ) 1 r

o x (t )dt = 0 ,
- +
(50) 1
r - c (r - c ) 2
1
dr rmin


<< Пред. стр.

стр. 7
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>