<< Пред. стр.

стр. 8
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


(51) 0 ? x1(r) ? Y1.
Механизм имеет следующий вид:
m (rmax ) r - c -1
1
x2 (r ) = m (rmax )Y1 (r - c(1- Y1 , m (r ) = (1 + ln
)) , x1 (r ) = ).
m (r ) rmin - c
?(r )
Относительная гарантированная прибыль центра
f 0 (p (r ))
= m (rmax ) .?
det
max f 0 (r )
Следует заметить, что из процесса взаимодействия между центром и
АЭ можно исключить этап сообщения оценки своего типа активным
агентом. Т.е для полученного прямого неманипулируемого механизма
можно привести эквивалентный непрямой механизма. Данный переход
может быть полезен с практичной точки зрения – т.к. в процессе
переговоров фигурируют только сами товары, предлагаемые к обмену.
Взаимодействие между центром и АЭ будет выглядеть следующим
образом.
1) Центр сообщает АЭ «меню» ? - множество вариантов обмена.
2) АЭ выбирает оптимальный с его точки зрения вариант обмена.
3) Производится обмен в соответствии с выбранным вариантом.
Для задач 3 и 4, множество вариантов обмена, предлагаемых центром,
будет выглядеть следующим образом. Для случая дискретного
распределения типа АЭ m = ( x1 , x2 ), i = 1...n , где х2i определяется из (34), х1i
i i




64
из (35). Для непрерывного случая, m = x1 ( x2 ), x2 I [ x2 (rmin ), x2 (rmax )] , и
определяется из (45) и (46). Очевидно, что ( x1 , x2 ) I m , оптимальные для
* *



АЭ, будут совпадать с p (r ) = ( x1 (r ), x2 (r )) , определяемым по все тем же
(34) и (35) (или (45) и (46)). На левой части рисунка 8 представлено
множество вариантов обмена, получаемое в задаче 3. На правой - для
задачи 4.


x1 x1


p (rmax )
p (rmax ) Y1
˜
p (r )
Y1
3
x 2 » exp( x1 ) + cx1
x1 » (x 2 ) 2


Y1 m (rmax )
p (rmin ) p (rmin )

x2
2
rmin / rmax rmax x2




Рис. 8. «Меню»




2.3. Решение задачи обмена для двухэлементных обменных схем без
иерархии


Рассмотрим обменную схему из двух агентов, в которой отсутствует
иерархия, т.е. нет отношений подчиненности типа Ц – АЭ. Т.к. понятие ОС
подразумевает, что у агентов имеется возможность увеличить свою
полезность путем обмена, то возникает вопрос поиска равновесия –
обмена (множество обменов), устраивающего каждого из участников
65
обмена. В качестве критерия, определяющего равновесие, например, могут
выступать некие внешние цены на товары, которые присутствуют в ОС.
Данный критерий, как было показано в разделе 1.4, использовался в
модели обменной экономики Эджворта, а само равновесие называлось
равновесием Вальраса [81]. Но как быть, если применение подобного
затруднительно. В данном разделе рассматривается модель, в которой
агенты не полностью осведомлены о параметрах друг друга. В такой
ситуации задача поиска равновесия осложняется возможностью агентов
манипулировать информацией при обмене. Предлагаемый метод решения
подобных задач основан на рассмотренном выше механизме ОУ – каждый
из агентов предлагает в качестве вариантов обмена свой механизм ОУ, где
он выступает в роли центра. Выбранная модель ОС является
модификацией модели ОС, рассматриваемой в разделе 1.1.
Агенты имеют следующие функции полезности:
j 0 ( y 01 , y 0 2 , r 0 ) = r 0 y 0 2 + y 0 1 ;
j1 ( y 11 , y 1 2 , r 1 ) = y 11 - (Y2 - y 1 2 ) 2 / 2r 1 .
Начальное распределение ресурсов остается прежним:
?Y 0 o
y0 = c 1
c 0 Y ?.
?
e 2o


Также, как и ограничения индивидуальной рациональности:
IR(y0) = {"i = 0,1, j i ( yi ) ? j i ( yi )} .
0



Информационное состояние схемы выглядит следующим образом.
Каждый из агентов знает все параметры схемы за исключением точного
значения типа оппонента – ему известно множество возможных значений
типа и вероятностное распределение типа – ?-i = [r-imin,r-imax], ?-i(r-i),
r - i max

r -i (r -i )dr = 1 .
o Для простоты дальнейших вычислений будем
r - i min

рассматривать именно непрерывный случай с равномерным
1
распределением r -i (r -i ) = =const. Каждый агент знает точное
- r min
r -i max -i


значение собственного типа.


66
Функции полезности агентов от обмена в данной модели
записываются следующим образом (17), (18):
f 0 ( x1 , x2 , r 0 ) = r 0 x2 - x1 ;
f1 ( x1 , x2 , r 1 ) = x1 - x2 / 2r 1 .
2



Процесс обмена (игра) происходит следующим образом:
1. Каждый из агентов сообщает свое «меню» или множество
предлагаемых вариантов обмена, соответствующее механизму ОУ, в
котором он выступает в роли центра.
2. Каждый из агентов сравнивает прибыль от наилучшего варианта
обмена из предложенных оппонентом с ожидаемой прибылью от своего
механизма обмена.
3. Каждый из агентов сообщает оппоненту свою заявку - по какому
из предложенных механизмов он готов обмениваться (кем готов быть –
центром или АЭ).
4. Если позиции агентов не противоречивы (Ц - АЭ или АЭ – Ц), то
тот из них, кто выбрал роль АЭ, сообщает вариант обмена из меню
оппонента, который его устраивает (или просто свой тип в случае прямого
механизма). Если позиции элементов противоречивы (Ц - Ц или АЭ – АЭ),
то возникает конфликтная ситуация, варианты решения которой будут
рассмотрены позже.
5. Элементы совершают обмен в соответствии с выбранным планом в
случае непротиворечивости выбранных ими ролей.
Предполагается, что при одинаковой выгодности роли Ц и АЭ, любой
из агентов предпочтет роль АЭ.
Данный вариант игры является «квазиинтеллектуальным», т.к. агенты
не используют предлагаемый оппонентом план для вычисления типа
оппонента.
Оба агента строят механизмы ОУ, основываясь на максимизации
собственной ожидаемой прибыли Ef i (r i , p (s -i )) ® max
C

p ( s -i )

Механизм ОУ, предлагаемый агентом 0. Данная задача имеет вид,
аналогичный задаче из примера 4, за исключением вида функции
полезности от обмена для центра. Т.е. задача динамического

67
программирования, которую необходимо решить для построения
механизма ОУ, имеет следующий вид (41):

x2 (r 0 , r 1 ) 2 r x2 (r 0 ,t ) 2
r 1max 1


dt ]r1 (r 1 )dr 1 ® max ,
o -o
Ef 0 (r 0 , ?1 ) = [ r x2 ( r , r ) -
0 0 1

2t 2
2r 1 x
2
r1min 1
r
min




при условиях

0 ? x2(r0, r1) ? Y2, 0 ? x1(r0, r1) ? Y1.
Решение данной задачи для равномерного распределения типа АЭ
будет иметь следующий вид (43), (44):
2
?
r 0r1
(52) x2 (r , r ) = 1 , "r 0 I W 0 , "r 1 I W1 ;
0 1

r max
3 3
4r 1 - r 1 min ?
02
(53) x1 (r , r ) = r , "r 0 I W 0 , "r 1 I W1 .
0 1
2
6r 1 max
? 32 13
W1 = [r 1 min , ˜ 1 ] , ˜ 1 = min{( rmaxY2 / r 0 )1 / 2 , ( rmaxY1 / r 0 + rmin )1 / 3 } .
2
r
r
2 4
Для простоты анализа, но без потери общности, примем, что
ресурсные ограничения выполняются для всех значений типов агентов.
При данных предположениях ожидаемая прибыль агента 0 в качестве
центра будет иметь следующий вид:
2
r0 2 2
(54) Ef 0 (r , ? ) = 1 (r 1 max + r 1 max r 1 min + r 1 min ) .
0 1

6r max
Прибыль АЭ
3 3
r 1 - r 1 min
02
(55) f1 (r , r ) = r ( ).
0 1
12
6r max
Механизм ОУ, предлагаемый агентом 1.
Задача центра – Ef1 (? 0 , r 1 ) >max. Проверим, удовлетворяет ли
модель свойствам, позволяющим построить механизм ОУ. Функция
полезности АЭ
f 0 ( x1 , x2 , r 0 ) = r 0 x2 - x1 .

68
Соответственно,
¶f 0 ( x1 , x2 , r 0 )
0 0
= x2 ? 0 ,
"r I? ,"хIХ
¶r 0



т.е. выполнено F1. Также,

¶f 0 ( x1 , x2 , r 0 )
0 0
=1> 0,
"rI? ,"хIХ
¶x2 ¶r 0
что соответствует F2a. Также очевидно,
¶f 0 ( x1 , x2 , r 0 )
0 0
= 0,
"rI? ,"хIХ
¶x1¶r 0
что соответствует F2b.
Приступим к построению механизма ОУ. Из (9) получаем
r0

o x (t , r )dt .
x1 (r 0 , r 1 ) = r 0 x2 (r 0 , r 1 ) - 1
2
r 0 min

Необходимо решить следующую задачу
r 0 max 0
x2 (r 0 , r 1 ) 2 r
- o x2 (t , r 1 )dt ]r 0 (r 0 )dr 0 ® max ,
o
Ef1 (? 0 , r 1 ) = [ r x2 ( r , r ) -
0 0 1

2r 1 x
2
r 0 min 0
r min




при условиях

0 ? x2(r0, r1) ? Y2, 0 ? x1(r0, r1) ? Y1.
Выше мы приняли, что ресурсные ограничения выполняются для
любых типов агентов, поэтому решение поставленной задачи будет иметь
следующий вид:
?
(56) x2 (r 0 , r 1 ) = r 1 (2r 0 - r 0 max ) , "r 0 I W 0 = [r 0 , r 0 max ] , "r 1 I W1 ;
?

?
x2 (r 0 , r 1 ) = 0 , "r 0 I W 0 / W 0 , "r 1 I W1 ;

?
2
(57) x1 (r 0 , r 1 ) = r 1 (r 0 - (r 0 max - r 0 )r 0 ), "r 0 I W 0 = [r 0 , r 0 max ] , "r 1 I W1 ;
?? ?

?
x1 (r 0 , r 1 ) = 0 , "r 0 I W 0 / W 0 , "r 1 I W1
где

(58) r 0 = max[r 0 min , r 0 max / 2] .
?
69
Ожидаемая прибыль агента 1 в роли центра
2
?
2 1 rmax rmax r 0
0 0
2
(59) Ef1 (? , r ) = r ( - + r0 ) .
?
0 1

3 4 2
Прибыль АЭ
(60) f 0 (r 0 , r 1 ) = r 1 [(rmax - r 0 )r 0 - (rmax - r 0 )r 0 ] .
??
0 0




На рисунке 9 приводится вид «меню» - множества вариантов обмена,
предлагаемых агентом 1.


x1

p (rmax )
˜
p (r )
Y1


x1 » (x2 ) 2


rmax (r ) 2
p ?x

Рис. 9. Вид множества вариантов обмена, предлагаемых агентом 1.

Построив механизмы ОУ (52), (53) и (58), (59), можно
проанализировать, какая из возможных позиций в иерархии выгодна для
каждого из агентов, в зависимости от следующих параметров модели –
качество типа каждого из агентов, определяемое как отношение истинного
типа агента к лучшему и его информированность – отношение худшего из
возможных типов оппонента к лучшему. Для этого необходимо сравнить
(54) и (60) для агента 0 и (59) и (55) для агента 1.
Для анализа выгодности позиций для агентов, введем следующие
замены: r 0 = armax , r 0 = b rmax , r 1 = grmax , rmin = hrmax . Причем очевидно, что
?
0 0 1 1 1




(61) 0 < h ? g ? 1 ,

и из (58) –
70
(62) 1 / 2 ? b ? a ? 1.

Множество всех значений переменных ?, ?, ?, ?, удовлетворяющих
(61) и (62) обозначим Q Введенные переменны можно трактовать
следующим образом:
? - осведомленность агента 0, чем больше ее значение, тем лучше
информирован данный агент;
? - тип агента 1;
? - осведомленность агента 1, чем больше ее значение, тем лучше
информирован данный агент;
? - тип агента 0;
С учетом данной замены переменных, получаем

a2
(63) Ef 0 ( I ,a ,h ) = I (1 + h + h 2 ) ;
6

a2
(64) f1 ( I ,a , g ,h ) = I (g 3 - h 3 ) ;
6

21b
(65) Ef1 ( I , b , g ) = I g ( - + b 2 ) ;
342

(66) f 0 ( I ,a , b , g ) = Ig [(1 - b ) b - (1 - a )a ] .
2
Здесь I = rmax rmax - константа, определяемая параметрами обменной
0 1


<< Пред. стр.

стр. 8
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>