<< Пред. стр.

стр. 9
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


схемы.
Проанализируем зависимость выражений (63) - (66) от новых
переменных.
a
¶Ef 0
( I ,a ,h ) = I (1 + h + h 2 ) - ожидаемая прибыль агента 0 в роли
¶a 3
центра растет с улучшением его типа.
a2
¶Ef 0
( I ,a ,h ) = I (1 + 2h ) - ожидаемая прибыль агента 0 в роли центра
¶h 6
растет с улучшением его информированности.



71
¶f 0
( I ,a , b , g ) = Ig [ 2a - 1] - с учетом (62), прибыль агента 0 в роли АЭ
¶a
растет с улучшение его типа (собственно на этом принципе и строился
механизм ОУ)
¶f 0
( I ,a , b , g ) = Ig [1 - 2 b ] - с учетом (62), прибыль агента 0 в роли АЭ
¶b
убывает с улучшение информированности агента 1.
¶f 0
( I ,a , b , g ) = I [(1 - b ) b - (1 - a )a ] - прибыль агента 0 в роли АЭ
¶g
растет с улучшением типа агента 1.
21 b
¶Ef1
( I , b , g ) = I ( - + b 2 ) - с учетом (62), ожидаемая прибыль
¶g 34 2
агента 1 в роли центра растет с улучшением его типа.
¶Ef1 2 1
( I , b , g ) = I g (2 b - ) - ожидаемая прибыль агента 1 в роли
¶b 3 2
центра растет с улучшением его информированности.
a2 2
¶f1
( I ,a , g ,h ) = I g - прибыль агента 1 в роли АЭ растет с
¶g 2
улучшение его типа.
a2 2
¶f1
( I ,a , g ,h ) = - I h - прибыль агента 1 в роли АЭ убывает с
¶h 2
улучшение информированности агента 0.
a
¶f1
( I ,a , g ,h ) = I (g 3 - h 3 ) - прибыль агента 1 в роли АЭ растет с
¶a 3
улучшением типа агента 0.
Можно сформулировать следующее качественное утверждение – для
любого из агентов позиция АЭ может быть более предпочтительна, если
он плохо информирован, но и его оппонент плохо информирован также, и,
если тип оппонента высокий. Кроме того, учитывая, что прибыль агента с
худшим типом при использовании механизма ОУ нулевая, а прибыль в
роли центра очевидным образом положительна, можно предположить, что
позиция АЭ предпочтительна, когда тип агента достаточно высокий.


72
Предпочтительность позиции АЭ можно сформулировать следующим
образом.
Для того, что бы агент 0 предпочел роль АЭ роли центра необходимо
выполнение следующего неравенства

a2
(67) F0 (a , b , g ,h ) = g [(1 - b ) b - (1 - a )a ] - (1 + h + h 2 ) ? 0 .
6
Для того, что бы агент 1 предпочел роль АЭ роли центра, необходимо,
что бы

a2 21b
(68) F1 (a , b , g ,h ) = (g 3 - h 3 ) - g ( - + b 2 ) ? 0 .
6 342
В следующей лемме определяются условия необходимости, которые
накладываются на тип агента 1 и область его значений, при которых
возможна ситуация, когда агент 0 предпочтет позицию АЭ.

1+h +h2
неравенство (67) не выполняется для "a
Лемма 5. При g <
3
и "b .

Доказательство. Функция F0 (a , b , g ,h ) достигает своего глобального
1 + h + h 2 -1
экстремума по ? при a = (2 - *
) т.к
3g

1+h +h2
¶F0
(a , b , g ,h ) = 2ag - g - a
(69) .
¶a 3

Данный экстремум является минимумом, если

1+h +h2
¶ 2 F0
(a , b , g ,h ) = 2g - > 0.
(70)
¶a 2 3
Кроме того, очевидно, что

b2
(71) F0 ( b , b , g ,h ) = - (1 + h + h 2 ) < 0 .
6



73
Следовательно, для "b , "g , "h , удовлетворяющих (61), (62), и (70), при
1 + h + h 2 -1
a I [ b , (2 - )] неравенство (67) не выполняется. Если
3g
1 + h + h 2 -1
1+h +h2 1+h +h2
g I[ ] , то (2 - ) ? 1 , т.е на всей области
,
3g
6 3
возможных значений ? неравенство (67) не выполняется.

1+h +h2
Если (70) является равенством - g = , то (65) отрицательно
6
для "a и "b . С учетом (71) получаем, что на всей области возможных
значений ? неравенство (67) не выполняется.
1+h +h2
g< F0 (a , b , g ,h )
Если , то функция достигает при
6
1 + h + h 2 -1
a = (2 - ) своего максимума, причем очевидно, что a * < 0 .
*

3g
Следовательно, с учетом (71) получаем, что на всей области возможных
значений ? неравенство (67) не выполняется. ¦
Общее условие предпочтительности позиции АЭ для
«квазиинтеллектуального» агента 0 можно записать в следующем виде.
Утверждение 2. Существует область значений параметров ?, ?, ?, ?,
Q 0 ae = Qaae ? Q 0 ae ? Q g0 ae ? Qh ae , в которой роль АЭ предпочтительнее для
0 0
b

«квазиинтеллектуального» агента с номером ноль. Область
Q 0 ae = Qaae ? Q 0 ae ? Q g0 ae ? Qh ae задается следующим образом:
0 0
b



(72) a I Qaae = [(1 + 2(1 - b ) bc + 1 - 4(1 - b ) b )(2 - c ) -1 ,1] ;
0




11
(73) b I Q 0 ae = [ ; (1 + 1 - 2 c )] ;
b
22

2(1 + h + h 2 )
(74) g I Q g =[ ,1] ;
0 ae

3

1
(75)h I Qh ae = (0, ( 3 - 1)] .
0

2

74
1+h +h 2
Здесь используется замена c = .
3g
Доказательство. Из леммы 5 следует, что c < 1 . Также очевидно, что
c > 0.
Решив (67) как квадратичное неравенство относительно ?, получим,
что a I (-?,a - ] E [a + , ?) , где
a ± = (1 ± 2(1 - b ) bc + 1 - 4(1 - b ) b )(2 - c ) -1 .
Покажем, что ?- < 1/2. Очевидно, что данное утверждение
эквивалентно неравенству
c
(76) 2(1 - b ) bc + 1 - 4(1 - b ) b > .
2
Неравенство (76) выполнено для c I (8(1 - b ) b - 2,2) . Учитывая (62)
получаем, что данное неравенство выполнено всегда. Т.е ?- < 1/2 для
любых параметров модели. Следовательно, с учетом (62), (67) выполнено
для a I Qaae = [(1 + 2(1 - b ) bc + 1 - 4(1 - b ) b )(2 - c ) -1 ,1] .
0



Для того, что бы множество Qaae было не пусто, необходимо, что бы
0




(77) 2(1 - b ) bc + 1 - 4(1 - b ) b ? 1 - c .

Неравенство (77) можно переписать следующим образом

(78) c 2 - 2 c (1 + (1 - b ) b ) + 4(1 - b ) b ? 0 .

Решив данное неравенство относительно ?, получаем
1 1 1
b I [ (1 - 1 - 2 c ); (1 + 1 - 2 c )] и c ?
2 2 2
1 1
(1 - 1 - 2 c ) ? .
Очевидно, что Следовательно, с учетом
2 2
11
b I Q 0 ae = [ ; (1 + 1 - 2 c )] ,
ограничений на ? и (62), получаем b
22
2(1 + h + h 2 )
g I Qg =[ Qg0 ae
,1] . Множество не пусто при
0 ae

3
1
h I Qh ae = (0, ( 3 - 1)] .¦
0

2
75
На качественном уровне – если информированность обоих агентов
достаточно плоха, а качество типов агентов достаточно высоко, то
«квазиинтеллектуальный» агент 0 может добровольно согласиться на роль
АЭ.
"(a , b , g ,h ) I Q
Утверждение 3. роль АЭ не выгодна для
«квазиинтеллектуального» первого агента.

Доказательство. Утверждение трактуется следующим образом – для
"(a , b , g ,h ) I Q неравенство (68) не выполнено.

Введем следующие замены
1b
(79) e = - + b 2;
42

e3 1
(80) L = (108h + 12 81h - 768 6 ) 3 .
3 6

a
Решив (68) как кубическое неравенство относительно ?, получим, что
e
L
g I[g * , ?) , где g * = +8 .
La 2
6
Очевидно, что g * > 0 . Следовательно, с учетом (61), получаем, что для
e
L
g I Q1ae = [ + 8 ,1] неравенство (68) выполняется. Множество Q1ae не
La 2
g g
6
пусто, если g * ? 1 .
Минимальное значение ?, для ?, удовлетворяющих (62) достигается
1 1
при b = -e= .
2 4
L2
Следовательно g * ? +.
6L
L2
+ > 1 при любых неотрицательных L. Поэтому
Очевидно, что
6L
множество Q1ae пусто для любых ?, ?, ?, удовлетворяющих (61) и (62). Т.е.
g

не существует таких ?, ?, ?, ?, удовлетворяющих (61) и (62), для которых
выполняется неравенство (68).¦

76
Итак, было доказано, что для агента 1 всегда предпочтительнее
позиция Центра, в то время, как для агента 0 существует область значений
параметров ?, ?, ?, ?, - Q 0 ae = Qaae ? Q 0 ae ? Q g0 ae ? Qh ae , в которой для него
0 0
b

предпочтительнее позиция АЭ. Т.е в обменной схеме возможны
следующие варианты распределения позиций агентов: Ц-Ц и АЭ-Ц.
Ситуация, когда оба элемента претендуют на роль центра – является
конфликтной. Рассматривается метод разрешения данного конфликта,
основанный на компенсации за роль АЭ - элемент, претендующий на роль
центра, предлагает своему оппоненту некоторую компенсацию за то, что
тот откажется от роли центра. Очевидно, что размер компенсации,
которую необходимо выплатить агенту определяется абсолютным
значением функций F0 (a , b , g ,h ) для агента 0 и F1 (a , b , g ,h ) для агента 1.
А определить агента, который займет позицию центра можно исходя из
разницы данных функций:

5b 2 a2
1
(81) F (a , b , g ,h ) = g [- + 4b - - (1 - a )a ] - (1 + h + h 2 + h 3 - g 3 ) .
6 3 6
Если данное выражение отрицательно, то позиция центра доступна
агенту 0, если положительна, то агенту 1. Выше было показано, что
позиция центра всегда предпочтительнее позиции АЭ для агента 1.
Поэтому нас будет интересовать – возможно ли ситуация, когда агент 0 в
состоянии компенсировать агенту 1 отказ от позиции центра.
Теорема 3. "(a , b , g ,h ) I Q только агент 1 может выступать в роли
центра. Т.е "(a , b , g ,h ) I Q F (a , b , g ,h ) > 0 .

Произведем анализ функции F (a , b , g ,h ) . Для
Доказательство.
этого будет достаточно исследовать частные производные данной функции
по параметрам ? и ?:
a
¶F
(a , b , g ,h ) = g (2a - 1) - (1 + h + h 2 + h 3 - g 3 ) ;
(82)
¶a 3

10b
¶F
(a , b , g ,h ) = g (4 -
(83) ).
¶b 3

77
¶F
(a , b , g ,h )
Можно показать, что при выполнении (61) производная
¶a
всегда положительна , т.е с улучшением типа агента 0 его шансы стать
центром уменьшаются. Неотрицательность (82) легко показать, приняв во
внимание результаты утверждения 3 – агенту 0 не выгодно быть АЭ, если
2(1 + h + h 2 )
g< :
3
aa
¶F
(a , b , g ,h ) ? g (1 - ) + > 0 .
¶a 2 3
¶F
(a , b , g ,h )
Также не трудно показать, что производная
¶b
положительна, т.е с улучшением информированности агента 1 шансы
агента 0 стать центром уменьшаются. Из (62) следует, что
¶F 2
(a , b , g ,h ) ? g > 0 .
¶b 3

С учетом результатов утверждения 3 – агенту 0 не выгодно быть АЭ,
2(1 + h + h 2 )
если g < , можно показать, что значение функции F (a , b , g ,h )
3
1
при a = b = положительно:
2
11 7 1 9 1
F ( , , g ,h ) = g - (1 + h + h 2 + h 3 - g 3 ) > g + >0.
22 6 24 8 24
для "g ,h , удовлетворяющих (61). Следовательно, в рамках
рассматриваемой модели функция F (a , b , g ,h ) всегда положительна.¦
Теорема 3 может быть проинтерпретирована следующим образом.
Агент 1 всегда может назначить такую компенсацию агенту 0, при которой
тот согласится выбрать позицию АЭ. Агент 0 не имеет возможности
компенсировать агенту 1 отказ от позиции центра. Можно в явном виде
записать прибыль каждого из агентов в данной обменной схеме. Агент 0
выступает в роли АЭ:




78
(84)
2
r0 2 2
f 0 (r , r , ? ) = max[r ((rmax - r )r - (rmax - r )r ), 1 (r 1 max + r 1 max r 1 min + r 1 min )]
??
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

6r max
Агент 1 выступает в роли Ц, его «ожидаемая» прибыль :
2
?
0
rmax r 0
0
2 1 rmax 2
Ef1 (? , r , r ) = r ( - + r0 ) -
?
0 0 1

3 4 2
(85) .
02
r 2 2

<< Пред. стр.

стр. 9
(общее количество: 15)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>