ОГЛАВЛЕНИЕ

Калибровка Лоренца и кулоновская калибровка не эквивалентны
М. В. Корнева, В. А. Кулигин, Г.А. Кулигина (http://www.n-t.ru/ac/iga)
Аннотация: Показано, что калибровка Лоренца и кулоновская калибровка не эквивалентны, а различные «доказательства» их эквивалентности некорректны.
Введение
Проблема нарушения единственности решения задачи Коши для уравнений в частных производных существует уже давно. Своим возникновением она обязана вопросам, связанным с доказательством эквивалентности кулоновской калибровки и калибровки Лоренца в электродинамике. Анализ, проведенный в работах [1], [2], показал, что для волнового уравнения в общем случае единственность решения не имеет места, и упомянутые калибровки не могут быть эквивалентными. В тех же работах был сформулирован метод построении новых решений. Дальнейшее развитие эта идея получила развитие в [3], [4], [5], [6], где было показано, что нарушение единственности решения приводит к радикальным следствиям не только для электродинамики, но и для других областей физики. Здесь мы рассмотрим два доказательства эквивалентности калибровок и покажем их ошибочность. В соответствии с уже сложившейся терминологией стандартное решение задачи Коши для волнового уравнения мы будем именовать прямым решением, а нестандартное – параллельным решением.
1. Пример, подтверждающий нарушение единственности решения
А. Постановка задачи. Пусть некоторый потенциал u удовлетворяет неоднородному волновому уравнению с некоторыми заданными начальными условиями. Для простоты примера будем считать их нулевыми.
(1.1)
где - функция обильности источника потенциала u.
Решение задачи Коши для неограниченного пространства должно удовлетворять следующим начальным условиям

В. Прямое решение. Прямое решение этой задачи существует. Запишем его

Это выражение легко интегрируется, но ради экономии места мы его записывать не будем.
С. Параллельное решение. Будем искать параллельное решение в виде суммы U = v + w. Наложим на потенциал w следующее условие. Пусть он удовлетворяет уравнению Пуассона
(1.2)
Теперь выберем частное решение этого уравнения, положив, например, константы интегрирования равными нулю. Оно примет следующий вид

Теперь, когда потенциал w нами определен, будем искать другой потенциал – потенциал v. С учетом выражения (1.2) потенциал v должен удовлетворять волновому уравнению
(1.3)
Сформулируем начальные условия для v так, чтобы параллельное решение в дальнейшем удовлетворяло начальным условиям поставленной задачи.

Итак, чтобы найти w, мы должны решить стандартную задачу, т.е. найти прямое решение уравнения (1.3) при известных начальных условиях. Это решение имеет вид

Теперь можно записать выражение для параллельного решения
(1.4)
Прямой проверкой нетрудно убедиться в следующем:
Параллельное решение не является тривиальным.
Параллельное решение не совпадает с прямым решением.
Параллельное решение (1.4) удовлетворяет неоднородному волновому уравнению (1.1).
Параллельное решение (1.4) удовлетворяет начальным условиям задачи Коши.
Таким образом, мы на примере показали, что задача Коши для неоднородного волнового уравнения не имеет единственного решения.
D. Некоторые следствия. Мы здесь отметим два следствия.
Комбинируя прямое и параллельное решения, мы можем получить другие параллельные решения задачи Коши, например, U1 = a U + (1 - a) u, где a - некоторый постоянный множитель. Для a = ? получим: .
Как известно, прямое решение однородного волнового уравнения при нулевых начальных условиях задачи Коши является тривиальным, т.е. равным нулю. Составим разность из параллельного и прямого решения

Прямой проверкой несложно убедиться, что эта разность является нетривиальным параллельным решением задачи Коши для однородного волнового уравнения при нулевых начальных условиях. Таким образом, однородное волновое уравнение также может иметь нетривиальные параллельные решения.
2. Доказательство эквивалентности калибровок [7]
В учебнике [7] приводится следующее доказательство эквивалентности кулоновской калибровки калибровке Лоренца. Вводятся электромагнитные потенциалы и подставляются в уравнения Максвелла. Уравнения Максвелла после введения потенциалов приобретают вид (См.6.32-33 в [7])
N2Ф + (1/c)¶ [N?A]/ ¶t = - 4pr (2.1)
N2A - (1/c2) ¶2A/ ¶t2 - N(N?A + (1/c) ¶Ф/¶t) = - (4pJ/c) (2.2)
В результате мы имеем одно волновое уравнение для функции Ф и второе волновое уравнение для функции А. Пока это два уравнения, которые независимы друг от друга. Кроме того, имеется определенная свобода в выборе потенциалов. Эта свобода записывается в виде дополнительного условия
N?A + (с/v2) ¶Ф/¶t = 0 (2.3)
При v = c уравнение для скалярного потенциала становится волновым. Если же v ® ? , то волновое уравнение для Ф превращается для уравнение Пуассона, а второе уравнение, как и в предыдущем случае, остается волновым.
Электродинамика утверждает, что в разных калибровках решения будут безусловно разными, но если мы найдем комбинацию,
Е = - NФv - (1/c)¶Av/ ¶t, (2.4)
то для любого значения v величина Е будет одинакова. Это и есть теорема равенства (эквивалентности) калибровок.
Сравним теперь решения для двух случаев (v ® ? и v = c, что соответствует кулоновской калибровке и калибровке Лоренца). Если рассмотреть разницу EL – EC, то легко видеть, что
EL – EC = - N[ФL – ФC - ФF] (2.5)
где потенциалы в (2.5) удовлетворяют уравнениям
N2ФС = - 4pr (2.6)
N2ФL - (1/c2) ¶2ФL/ ¶t2 = - 4pr (2.7)
N2ФF - (1/c2) ¶2ФF/ ¶t2 = (1/c2) ¶2ФC/ ¶t2 (2.8)
. Представим (2.7) в виде
N2[ФC + ФF] - (1/c2) ¶2[ФC + ФF] / ¶t2 = - 4pr
Тогда принимая во внимание (2.6) и перенося (1/c2) ¶2ФС/ ¶t2 в правую часть, получаем в точности уравнение (2.8). Джексон утверждает, что «решения» будут равны, то есть
ФL – ФC - ФF = 0
Можно подойти иначе. Можно сложить уравнения (2.6) и (2.8), а затем вычесть их из уравнения (2.7). В этом случае получим
N2 [ФL – ФC - ФF] - (1/c2) ¶2 [ФL – ФC - ФF] / ¶t2 = 0 (2.9)
Откуда как будто следует, что [ФL – ФC - ФF] = 0. Но так ли это?
Мы в первом параграфе привели пример, который позволяет наглядно раскрыть ошибку этого доказательства. Нетрудно видеть, что имеет место следующая аналогия в обозначении потенциалов: u = ФL; w = - ФC; v = - ФF; DU = ФL – ФC - ФF. Следовательно, пример противоречит теореме, и доказательство теоремы некорректно.
Покажем физическую причину некорректности. Обратимся к уравнению (2.9). Правая часть этого уравнения равна нулю, поскольку источники полей взаимно компенсируют друг друга. Но это источники, которые обладают различными свойствами. Один источник создает запаздывающие потенциалы, а другой – мгновенно действующие. При t = 0 суммарный потенциал Ф = ФL – ФC - ФF (или DU) и его первая производная по времени действительно равны нулю, но при t > 0 запаздывающие потенциалы «убегают» от своего источника и взаимная компенсация запаздывающих и мгновенно действующих потенциалов уже невозможна. Ошибка Дж. Джексона в том, что, формально проведя доказательство, он «упустил из внимания» различную функциональную зависимость потенциалов от координат и времени.
Доказательство эквивалентности [8]
Существуют другие «доказательства», изложенные, например, в [8]. Приведем основные моменты доказательства.
Доказательство.
Основой для получения кулоновской калибровки являются уравнения Максвелла в калибровке Лоренца. Дадим краткое воспроизведение доказательства.
Делается замена потенциалов A ® A’ + gradY; f = f’ - ¶Y/ ¶t.
Показано, что при такой замене поля Е и Н формально сохраняются неизменными.
Рассматривается условие калибровки Лоренца. Заменяя не штрихованные величины штрихованными, получают: (3.1)
Для получения кулоновской калибровки необходимо, чтобы выполнялось соотношение , что является отходом от условия градиентной инвариантности, поскольку уравнение для Y имеет правую часть.
После замены не штрихованных переменных на штрихованные волновые уравнения для скалярного и векторного потенциалов преобразуются в уравнения .
Так мы получаем кулоновскую калибровку. Кажется, что с математической точки зрения здесь все корректно, и обе калибровки выглядят с точки зрения формального доказательства совершенно равноправными. Корректность действительно существует, но опять только формально-символьная. По существу поля Е и Н оказываются различными по своей структуре (функциональной зависимости). Например, скалярный потенциал кулоновской калибровки является в общем случае мгновенно действующим, поскольку этот потенциал является решением уравнения Пуассона.
Поэтому не случайно Левич В.Г., комментируя это обстоятельство, пишет [8]:
«При кулоновской калибровке скалярный потенциал f’ определяется распределением зарядов так, как будто они покоились. Само собой разумеется, напряженности полей Е и Н, найденные из решений с кулоновской калибровкой и калибровкой Лоренца, совпадают (а вот это второе предложение не верно! – Прим. авторов)».
Выражение: «как будто они покоились», (хотя на самом деле заряды движутся!), как раз и отражает мгновенное действие, поскольку никакого «запаздывания» при движении заряда такие поля не испытывают. Электрическое поле скалярного потенциала движется синхронно с зарядом. Левич В.Г. боится назвать кошку кошкой, поскольку не хочет вступать в противоречие с постулатами СТО. Потому он и подменяет истину мифом в угоду существующим предрассудкам. Увы!
Еще раз отметим, что вывод этой калибровки находится в противоречии с условием градиентной инвариантности (см. [9]), поскольку уравнение в пункте 4 не соответствует этому условию. Уравнение (2.5.1) не является однородным волновым уравнением [9].
Теперь для сравнения возьмем книгу Ландау Л.Д.и Лифшица Е.М. «Теория поля» [9]. Читаем:
«Описанная неоднозначность потенциалов дает всегда возможность выбрать их так, чтобы они удовлетворяли одному произвольному, дополнительному условию, - одному, так как мы можем произвольно выбрать одну функцию f в (8.12). В частности, всегда можно выбрать потенциалы поля так, чтобы скалярный потенциал f был равен нулю».
Авторы говорят о том, что калибровку Лоренца (волновые уравнения для векторного и скалярного потенциалов) можно свести к одному векторному уравнению, например, для векторного потенциала А или поля Е (а это отнюдь не кулоновская калибровка!). Более того, Ландау и Лифшиц ни в своей книге «Теория поля», ни в другой книге «Электродинамика сплошных сред» не упоминают о кулоновской калибровке. Это не случайно, поскольку о ней они знали. Они видели различие кулоновской калибровки и калибровки Лоренца. Для здравомыслящих ученых это очевидно (правда, пока далеко не для всех!).
Заключение
Итак, мы рассмотрели различные «доказательства» эквивалентности калибровок. На основании нарушения единственности решения задачи Коши для уравнений в частных производных можно утверждать в общем случае, что различные калибровки уравнений Максвелла не являются равнозначными. Иными словами, эти калибровки могут приводить к таким решениям одной и той же задачи Коши, которые будут отличаться друг от друга.
Источники информации:
В.А. Кулигин, Г.А. Кулигина, М.В Корнева. Калибровки и поля в электродинамике. / Воронеж. Ун-т. – Воронеж, 1998. Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, № 467 – В98.
V.A. Kuligin, G.A. Kuligina, M.V. Korneva. Analysis of the Lorenz Gauge. Apeiron, Vol. 7, number 1-2, (January - April), 2000. http://redshift.vif.com/journal_archives.htm
В. А. Кулигин, Г.А. Кулигина, М.В. Корнева. Проблемы квазистатической электродинамики. НиТ, 2004. http://n-t.org/tp/ns/pke.htm
В. А. Кулигин, Г.А. Кулигина, М.В. Корнева. Проблемы волновой электродинамики http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/4480.html
В. А. Кулигин, Г.А. Кулигина, М.В. Корнева. Ревизия теоретических основ релятивистской электродинамики. НиТ, 2005. http://www.n-t.ru/tp/ns/rt.
В.А.Кулигин. Электродинамика отвергает теорию относительности. http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/8037.html
Дж. Джексон. Классическая электродинамика. – М.: «ФИЗМАТГИЗ», 1962.
В.Г. Левич. Курс теоретической физики. Т.1. - М.:«ФИЗМАТГИЗ», 1962.
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. - М.: «ФИЗМАТГИЗ», 1963.








ОГЛАВЛЕНИЕ